Aritmetica

CEP Santa María de la Providencia
Primer Periodo 1ro. de Secundaria
1
Capítulo 1

2

1. NOCIÓN DE CONJUNTO
La palabra conjunto es un término no definido pero se le
asocia como la reunión o colección de objetos homogéneos
o heterogéneos Ilamados elementos del conjunto
2. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO
2.1. Mediante una Letra mayúscula se denota al conjunto.
2.2. Los elementos del conjunto se escriben en letras
minúsculas a excepción de los nombres propios, los cuales
tienen su primera letra en mayúscula.
2.3. Los elementos se encuentran separados entre si de la
manera siguiente:
2.3.1. Si son números mediante un punto y coma.
2.3.2. Si son letras mediante un punto y coma o por
medio de una coma solamente.
Ejemplos:
1) A = {1;2;3}
2) B = {a, b, c) 3)
3) C = {a; b; c; d)
3

3. RELACION DE PERTENENCIA
Si "x" es un elemento del conjunto "A" entonces se dice que:
"x" pertenece al conjunto "A"; su notación matemática es la
siguiente:
x ε A
Si "x" no es elemento del conjunto "A" entonces se dice que
"x" no pertenece al conjunto "A"; su notaci6n matem6tica es
la siguiente:
X ∉ A
Ejemplo:
1) A = {1; 2; 3) entonces:
1 ε A 2 ε A 3 ε A
4 ∉ A 8 ∉ A 7 ∉ A
Ejemplo:
01.- Si: A = { 2; 3 ; 5 ; 8 } , entonces es verdad:
I. 3 ∈ A
II. {5} ∈ A
III. {8} ∈ A
Solución:
I. (V) : 3 ∈ A
II. (F) : Lo correcto es: {5} ⊂ A
III. (V) : {8} ∉ A
4

02.- Sean Los conjuntos:
A = {1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7}
B = {3 ; 5 ; 6 ; 8 }
C = {x+y/ x ∈ A ∧ y ∈ B}
Es correcto:
I. 15 ∈ C
II. 3 ∉ C
III. n(C) = 20
Solución:
A = { 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 }
B = { 3 ; 5 ; 6 ; 8 }
C = {x+y/ x ∈ A ∧ y ∈ B}
Los elementos de C se obtienen sumando todas las parejas
que se pueden formar con los elementos de A y los B.
I. (V) 7+8 = 15 ∈ C
II. (V) 3 ∉ C
III. (V) n(A) = 5 ; n(B) = 4
 n(C) = 5 x 4 = 20
03.- Determinar si es V o F si: A = { 2 ; 3 ; {2} }
a) 2 ∈ A
b) {2} ⊂ A
c) {2} ∈ A
Solución:
a) (V) 2 ∈ A
b) (V) 2 ∈ A  {2} ⊂ A
c) (V) {2} es elemento de A
 {2} ∈ A
5

PROBLEMAS
01.- Determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones siguientes si:
A = {1; 2; 3; 4}
a) 1 ε A b) 2 ε A c) 4 ∉A
d) 8 ε 5 e) 5 ∉ A f) 0 ε A
02.- Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones siguientes si:
A = {1; {2; 3}; {4}; φ)
a) 1 ⊂ A b) 4 ε A c) {2; 3) ε A
d) ∅ ε A e) {4} ∉ A f) 3 ∉ A
03.- Indicar cuántas proposiciones son verdaderas si:
A = {∅; {1; 2); 3; 4}
a) 3 ε A b) ∅ ε A c) 3; 4; ε A
d) {3) ε A e) {1; 2} ∉ A F) 3 ⊂ A
04.- Se tiene el siguiente conjunto:
A = {2; 3; 4} ; indicar la verdad (V) o falsedad de las
siguientes proposiciones.
a) 2 ε A b) 3 ∉ A c) 4 ε A
d) 5 ε A e) 8 ∉ A f) 3 ε A
g) 9 ∉ A h) 10 ∉ A
05.- Se tiene el conjunto siguiente:
A = {2; 3; {4; 5}}; indicar la verdad o falsedad de las
6

a) 3 ε A b) 4 ε A c) 5 ∉ A
d) 2 ∉ A e) {4; 5} ε A f) {2} ε A
B = {2; {3}; {4; 5}}, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
a) 3 ε B b) 2 ∉ B c) 5 ε B
d) 4 ∉ B e) {2} ε B f) {3} ε B
07 . - Se tiene los conjuntos:
A = { 1 ; { 2 ; 3 } ; ∅ } ; B = { 2 ; { 3 } ; 5 }
Colocar la pertenencia (ε) o no pertenencia (∉) en las
proposiciones siguientes:
a) 2…..A b) ∅ …... A c) {2 3} …… A
d) {∅}…...B e) 5…...B f) 6.
…...B
08.- Se tiene el conjunto:
C = {1; ∅; {3; 4}}
Indicar cuántas proposiciones son falsas:
a) ∅ ε C b) 3 ∉ C c) 4 ε C
d) 1∉C e) {3; 4} ∉ C f) {1} ε C
A = { 2 ; 4 ; 6 ; 7 } ; indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
7

a ) 6 ∉ A b ) 4 ε A c ) 5 ∉ A
d ) 2 ⊂ A __ e ) 8 ε A f) 2 ∉ A
10.- Se tienen los conjuntos:
A = {2; {4; 5}; ∅} B = {3}
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones
a) ∅ ε A b) {3} ε B c) 4 ε A
d) 2∉A e) {4; 5} ε A f) 8 ∉ B
11.- Se tiene el conjunto A = {3; 6; 7} . Indicar la verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
a) 6 ε A b) 7 ∉ A c) ∅ ∉ A
d) {6} ε A e) 8 ∉ A f) 3 ε A
12.- Se tiene el conjunto:
A = { 4 ; {5;6} }; indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones
a) 6 ε A b) 4 ε A c) 5 ∉ A
d) {∅} ε A e) {5;6} ε A f) {4} ∉ A
A = { {2} ; {3; 4} ; ∅ ; 5} ; indicar cuántas proposiciones son falsas:
a) 2 ∉ A b) 3 ∉ A c) ∅ ε A
d) 5 ε A e) {2} ∉ A f) 4 ε A
14.- Se tienen los conjuntos siguientes:
A = { 2 ; {4; 5} ; ∅); B = {∅ ; {3} ; {1; 4}}
8

Colocar la pertenencia (ε) o la no pertenencia (∉), según
corresponda:
a) 4……A b) 4……B c) ∅….. A
d) {3}……B e) 2..…A f) {1; 4}……B
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Un conjunto se puede determinar de dos formas:
1. Por extensión o forma tabular.- Es cuando se nombra todos los
elementos del conjunto.
2. Por Comprensión o Forma Constructiva, Es cuando enuncia la
propiedad o característica que tiene los elementos de un conjunto.
Ejemplo:
Si: A = {2x/x ε N; 1 ≤ x ≤ 4},
Este conjunto está determinado por comprensión, su determinación
por extensión será:
A = {2; 4; 6; 8}
Ejemplo:
Determinar por extensión:
P = { x+6 / x ∈ N ∧ x < 5 }
Solución
Dando los valores a “x”
 x = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
De donde:
x+6 = 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10
9

 P = { 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 }
PROBLEMAS
01.- Determinar por extensión el siguiente conjunto:
A= {2x - 1 /x ε N; 1 ≤ x ≤ 6}
02.- expresar por extensión el siguiente conjunto:
B= {x2
+1 /x ε N; 1 < x ≤ 5}
Dar la suma de sus elementos.
03.- Hallar la suma de los elementos del conjunto:
A = {3x+2/x ε N; 1 < x < 5}
A = {3x - 2/x ε N; 1 < x ≤ 6}
Indicar la suma de los elementos del conjunto A.
05.- Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
1) A = {2x/x ε N; 1 < x ≤ 5}
2) B = {2x - 1/x ε N; 2 < x < 6}
3) C = {x2
+ 1/x ε N; 1 < x ≤ 5}
4) D = {
x
2
/x ε N;1≤ x ≤ 6)
06.- Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:
1) A = {2; 4; 6; 8, 10; 12}
2) B = {4; 9; 16; 25; 36}
3) C = {17; 19; 21; 23; 25}
4) D = {20; 25; 30; 35; 40}
A = {2x + 5/x ε N; 1≤ x ≤ 6}
Indicar, ¿cuántas proposiciones siguientes son verdaderas?
10

a) ∅ ε A b) 9 ε A c) 17∉A
d) 8 ε A e) 11ε A f) 11; 13 ε A
08.- Se tiene el conjunto siguiente: B = {x + 1/x ε N; 1 < x < 6}
Indicar cuantas de las siguientes proposiciones son verdaderas
a) 1 ε B b) ∅ ε B c) 6 ∉ C d) 4 ε B e) 3 ε B
09.- Determinar por extensión el conjunto siguiente:
A = {5x - 1/x ε N; 1 < x < 6}
10.- Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto
A = {4x - 5/x ε N; 2 < x ≤ 6}
11.- Hallar la suma de los elementos del conjunto:
B = {x + 2/x ε N; 1 < x ≤ 8}
12.- Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
1) A = {3x/x ε N; 1 ≤ x ≤ 4}
2) B = {x2
- 1/x ε N; 1 ≤ x < 6}
3) C = {4x - 2/x ε N; 1 < x < 7}
4) D = {3x2
-1/x ε N; 1 < x ≤ 4}
A = {3x - 1/x ε N; 1 < x ≤ 5}
Determinar la suma de los elementos del conjunto "A".
14.- Se tiene el conjunto siguiente:
A = {2x - 1 /x ε N; 1 < x ≤ 6}
Determinar, cuántas proposiciones son verdaderas.
a) 3 ε A b) 11 ∉ A c) ∅ ε A
d) 1 ∉ A e) 5 ε A f) {9} ε A
A = (x2
+ 2/x ε N; 1 ≤ x ≤ 5}
Indicar la suma de los elementos del conjunto "A".
11

16.- Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:
1) A = {18; 20; 22; 24; 26}
2) B = {8; 27; 64; 125}
3) C = {25; 27; 29; 31; 33}
4) D = {5; 10; 17; 26}
12

Departamento de Publicaciones
13
Capítulo 2

14

1. RELACIÓN DE INCLUSIÓN
Se dice que un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B",
cuando todos los elementos del conjunto "A" se encuentran en el
conjunto "B". Su notación matemática es la siguiente
A ⊂ B
La representación gráfica de la inclusión se realiza mediante el
diagrama de Venn - Euler.
 A ⊂ B
Ejemplos:
A = {1; 2; 3}
 A ⊂ B
B = (1; 2; 3; 4)
15

2. PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE INCLUSIÓN
2.1. El conjunto nulo o vació es subconjunto de todo conjunto.
∅ ⊂ A ∀ A; B; C; …
2.2. Todo conjunto es subconjunto de si mismo:
A ⊂ A ∀ A; B ; C ; . . .
2.3. Propiedad transitiva
Si:
A ⊂ B y B ⊂ C ↔ A ⊂ C
3. CONJUNTOS IGUALES
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos
elementos.
Ejemplo:
A = {1; 2; 3}
B = {1; 2; 3}  A = B
4. CONJUNTOS DISJUNTOS
Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún
elemento en común.
A = {1; 2}
A y B son disjuntos
B = (3; 4)
16

Su representación gráfica es:
5. CONJUNTOS ESPECIALES
5.1. Conjunto Unitario.- Es aquel que tiene un solo elemento.
5.2. Conjunto Nulo o Vació.- Se llama así al conjunto que no tiene
elementos.
5.3. Conjunto Finito.- Es aquel conjunto cuyos elementos se
puede enumerar o contar.
5.4. Conjunto Infinito.- Es el conjunto cuyos elementos no se
pueden contar.
5.5. Conjunto de Conjuntos.- Se llama as! al conjunto cuyos
elementos son otros conjuntos.
Ejemplo:
A = { { 3 } ; { 4 } ; { 5 } }
5.6. Conjunto Potencia: Se llama así a aquel conjunto que tiene
por elemento a todos los subconjuntos de un conjunto dado, por
ejemplo:
Dado: A = {m, n, p}
Luego su conjunto potencia, que se denota por P(A), será:
P(A) = {{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}, ∅}
17

El número de elementos del conjunto potencia, se puede
determinar en la siguiente relación:
n[P(A)] = 2
n(A)
Donde: n(A) es el número de elementos del conjunto “A”.
Ejemplos:
01.- Sean los conjuntos A = { x ∈ N / 1< x < 5}
Entonces es correcto:
I. A ⊂ B
II. {3} ⊂ A y {5} ⊂ B
III. n(A) ⊂ B
a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) I y II e) Todas
Solución:
A = {2;3;4Ç
B = {2;3;4;5;6}
I. Correcto. A ⊂ B
II. Correcto. 3 ∈ A  {3} ⊂ A
5 ∈ B  {5} ⊂ B
III. Incorrecto. n(A) = 3. No es correcto
3 ⊂ B. Lo correcto es {3} ⊂ B Rpta: d
02.- Dados
A = { x / x+2 = 5 } ; B = { y / y – 1 = 3 }
Entonces es verdadero:
I. A < B
II. A = 3 y B = 4
III. A ⊂ {3; 4}
18

a) Sólo I. b) Sólo II. c)Sólo III. d) I y II e) Todas
Solución:
A = {3} y B = {4}
I. Falso. A < B no tiene sentido.
No existe una relación de desigualdad entre conjuntos.
II. Falso. A = 3 y B = 4 no tiene sentido. A es un conjunto y no un
número. Igualmente B.
III. Verdadero. A = { 3 }  A ⊂ {3; 4} Rpta: c
03.- Dado A = {2; 3; 4; 5}, determinar la falsedad o veracidad de
las siguientes proposiciones.
a. {3} ⊂ A d. {2} ∈ A
b. {2;5} ⊂ A e. {5; 3} ⊂ A
c. {3;6} ⊄ A f. Card(A) ⊂ A
a) VVVVVV b) VVVVVF c) FFVFVF d) VVVFVV
e) VVVFVF
Solución:
a. (V)
b. (V)
c. (V). {3; 6} ⊄ A {2;3;4;5} = A
{3; 6} ⊄ A porque 6 ∉ A
d. (F). Lo correcto es { 2 } ⊂ A
e) (V). 5 ∈ A y 3 ∈ A  {5;3} ⊂ A
f. (F) Card(A) = 4 y 4 ⊂ A no es correcto. Cuatro no es
conjunto, es elemento.
05.- Si: A = {2; 3}
Entonces es correcto:
i. P(A) = 4 iii. {{2}} ⊂ P(A)
ii. {2} ⊂ P(A) IV. {3} ∈ P(A)
a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo I y IV.
d) III y IV e) II, III y IV.
Solución:
19

A = {2;3}
P(A) = { ∅ ; {2} ; {3} ; {2;3} }
I. Incorrecto. P(A) = 4 no tiene sentido. P(A) es un conjunto y no
puede ser igual a 4. Lo correcto es n[P(A)] = 4, esto es, 4 es el
número de elementos de P(A) y no es P(A).
II. Incorrecto. Para que {2} ⊂ P(A), 2 debe ser elemento de P(A).
El elemento de A es {2} y no 2. Lo correcto es {2} ∈ P(A).
III. Correcto. {2} ∈ P(A)  {{2}} ⊂ P(A)
IV. Correcto. {3} ∈ P(A)
PROBLEMAS
01.- Se tienen los siguientes conjuntos:
A = {1; 2; 3}; B = {2; 3} y C = {2; 3; 4}
Indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
a) A ⊂ B b) A ⊂ C c) B ⊂ C
d) C ⊂ A e) C ⊂ B f ) B ⊂ A
A = {2; 3}; B = {2; 3; 4} y C = {3}
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones
a) A ⊂ B b) A ⊂ C c) B ⊂ C
d) C ⊂ B e) C ⊂ A f) B ⊂ A
03.- Se tienen los conjuntos siguientes:
A = {2; 3}; B = {3} y C = {1; 3}
¿Cuantas proposiciones son verdaderas?
a) B ⊂ A b) C ⊂ B c) ∅ ⊂ A
d) ∅ ε A e) A ⊂ C f) 3 ∈ B
04.- Si: A = {3; 6}, B = {p, q}; sabiendo además que:
A = B; hallar la suma de valores de p y q.
20

05.- Si: A = {m + 1; n - 2}; B = {5; 8}, además A = B; Hallar el mayor
valor de m x n.
06.- Si: A = {5; 11}; B = {a + 3; b - 5}; además A = B; Hallar el
menor valor de a x b.
07.- Si: A = {a + 2; 5; b - 1}, sabiendo que el conjunto "A" es
unitario. Hallar: a x b.
08.- Si el conjunto B = {m + 1; n - 2; p - 4; 10} es un conjunto
unitario. Hallar: m + n + p.
09.- Si: A = {m+n; m-n}; B = {9; 7}. Además A = B; hallar el menor
valor de A x B.
10.- Si: A = {2; 4} y B = {m; n}
Además: A = B. Determinar la suma de los valores de "m" y "n"
11.- Si: A = {m+n; m-n}; B = {20;8}. Además: A = B. Determinar el
valor positivo de "m x n".
12.- Si se tiene el siguiente conjunto
A = {2; 3; {4; 5}} ; B = {2; 3}
Indicar cuantas proposiciones son verdaderas
a) ∅ ⊂ A b) B ⊂ A c) 3 ⊂ B
d) 4 ∉ A e) 8 ∉ B f) A ⊂ A
13.- Si se tiene: A = {x/x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 4}
B = {2x/x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 2}
Indicar cuantas proposiciones son falsas:
a) B ⊂ A b) 1⊂ A c) 5 ∈ A
d) ∅ ⊂ A e) ∅∈B f) 3∉A
A = {2; 3; {5}} ; B = {2; 3} , Indicar la verdad o falsedad
21

a) ∅ ∈ A b) A ⊂ A c) ∅ ⊂ B
d) B ∈ B e) B ⊂ B f) 2 ⊂ A
15.- Dar 5 ejemplos de:
a) Conjuntos unitarios b) Conjuntos nulos
c) Conjuntos infinitos d) Conjuntos finitos
16.- Se tiene los siguientes conjuntos:
A = {2; 3; 4; {5}} ; B = {3; 5}
Indicar cuantas son proposiciones falsas:
a) ∅ ⊂ A b) ∅ ⊂ B c) 5 ∈ A
d) 3 ∉ B e) B ∈ B f) A ⊂ A
A = {2x/x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 4}
B = {2x + 1/x ∈ N, 1 < x < 5}
Indicar cuantas proposiciones son falsas:
a) 2 ∈ A b) ∅ ∈ A c) 5 ∈ B
d) ∅ ∈ B e) 11 ∈ B f) 10 ∈ A
18.- Si:
A = {m+1; n-3} ; B = {6; 7}
Además: A = B; Hallar el menor valor de m x n
19.- Si: A = {m - 1; n - 2; p + 3; 6}
Además A es un conjunto unitario. Hallar: m + n + p
20.- Si: A = {m + n; m - n}; B = {8; 10}
Además: A = B; hallar al menor valor de m x n
21.- Si: A = {4; 6} ; B = {a; b}.
Hallar la suma de "a y b". Sabiendo que A = B
22

22.- Si:
A = {a + b; a - b}
B = {16; 12}
Además: A = B. Determinar el mayor valor de "a x b"
23
Capítulo 3

24

UNION DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B se llama unión de A y B al conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A o B.
A U B = { a / x ∈ A ó x ∈ B }
Representación de la Unión
25

INTERSECCION DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al
conjunto formado por los elementos que pertenece a A y a B.
Notación:
A intersección B ⇒ A ∩ B
Intersección de dos o más conjuntos significa obtener un nuevo
conjunto formado por todos los elementos comunes a los
conjuntos considerados.
A ∩ B = { x / x ∈ A y x ∈ B }
Gráficamente:
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Restar es sinónimo de quitar. El resultado de la sustracción se
llama diferencia. Si estos conceptos lo llevamos a nuestro estudio
de los conjuntos tenemos que:
Se llama diferencia entre un conjunto A y otro B, al conjunto
22formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Notación:
Diferencia entre A y B ⇒ A – B
26

A – B = { x / x ∈ A y x ∉ B }
DIFERENCIA SIMÉTRICA
“Toda la Unión , menos la intersección”
Notación: A  B ; “La diferencia simétrica de A y B”
A  B = { (A – B) U (B – A) }
Gráficamente:
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto “A”, el conjunto complemento de “A” es aquel
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al
universo pero no pertenecen al conjunto “A”.
27

A’ = { x / x ∈ U y x ∉ A }
Gráficamente:
Ejemplos:
01.- Durante todo el mes de octubre un alumno estuvo
preparándose en Aritmética y Algebra. Veinte días estudió
Aritmética y 16 días Algebra. Si el 1ero de octubre fue domingo y
todos los domingos descansó, ¿en cuantos días estudió ambos
cursos?
Solución
Domingos de octubre
1 ; 8 ; 15 ; 22 ; 29  5 domingos
Días que estudió: 31 – 5 = 26 días
Estudió sólo
Álgebra 6 días
Estudió ambos cursos 16 – 6 = 10 días
02.- Si en un aula de 60 alumnos, 20 aprobaron solo Literatura,
30 aprobaron Literatura y Matemática, ¿Cuántos alumnos
aprobaron sólo Matemática? (Todos los alumnos aprobaron al
menos de los cursos)
Solución
28

No hay elementos fuera de L ∪ M porque todos aprobaron al
menos un curso. La parte sombreada representa los que
aprobaron sólo Matemática y son: 60 – (20+30) = 10
03.- De un grupo de 100 personas se sabe que:
a) 60 no tienen hijos
b) 25 casadas tienen hijos
c) 10 son madres solteras
¿Cuántos hombres son padres solteros?
Solución
Total de personas = 100
29

De 100 personas, 60 no tienen hijos
 40 no tienen hijos
De las 40 con hijos, 25 son casadas
 15 son solteras
De las 15 solteras, 10 son mujeres
 5 son hombres: x = 5
Ejercicios
01.- Sean los conjuntos:
A = {1; 2; 3}
B = {2; 3; 4}
C = {4; 5};
D = {1; 2}
Hallar:
a) A∪B b) A ∩ D c) A - B d) B ∆ D e) C - B
A = {2; 3; 4}
B = {3; 5; 6]
C = {1; 3; 5}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Hallar:
a) A ∩ B b) A' c) B ∆ C
d) C' e) B - C f) (C - A)'
30

A = {1; 2; 3}
B = {2; 3; 4}
C = {3; 2; 1}
D = {3; 4}
U = {1;2;3;4;5}
Hallar:
a) A - B b) B ∩ C c) B – D
d) A ∆ D e) D’ f) A ∪ C
g) D – B h) (A – D)’
04.- ¿Qué operación representa cada una de las regiones
sombreadas?
A) B)
C) D)
E) F)
31

G) H)
05.- En cada gráfico sombree el conjunto que se indica.
A) (A ∩ B) U C B) (A U B ) ∩ C C) (A – B ) U C
D) (A ∩ C) – C E) (A – B ) – C F) A – (B – C )
G) (A ∩ C)C
H) AC
U CC
I) (A – B ) U (B – C )
32

06.- Si:
A = {x/x ∈ N, 1 < x < 4}
B = {2x/x ∈ N 1 ≤ x ≤ 8} Hallar:
a) A – B b) A ∩ B c) A∪B d) B – A e) A ∆ B
07.- Hallar la suma de los elementos de (A ∩ B) ∪ C, sabiendo
que:
A = {1; 2; 3; 4}, B = [2; 3; 5} y C = {1; 3; 5; 7}
a) 12 b) 14 c) 10 d) 9 e) 18
08.- Sean los conjuntos:
U = {1;2;3;4;5}
A = {1;2;3}
B = {2;3;4}
Efectuar:
a) A’- B b) B’ – A c) A’ – B
d) (A ∪ B’) e) A’ ∆ B’ f) A’∩ B’
A = {2; 3; 4}
B = {3; 4; 5}
C = {1; 3; 5}
U = {1;2;3;4;5;6}
A) E= (A'-B')∪C B) E = A'∪B' C) E=(C'∆B')-A'
A = {1; 2; 3}; B = {2; 3; 4}; C = {3; 5}
Hallar:
33

a) A∪B. b) A - C c) B - C
d) A ∆ C e) B ∩ C f) B - A
A = {2; 3; 4} B = {3; 4; 5} C = {4; 5}
D = {1;4} U={1;2;3;4;5;6;7}
Hallar:
a) A - B b) C ∩ D c) D ∆ B
d) B - A e) A ∪ B f) B’
A = {1; 2; 3; 4} B = { 2; 3; 4}
C = {3; 5} D = {2; 4}
Hallar:
a) A ∪ B b) A ∩ C c) A - B
d) B – A e) A - D f) C ∆ D
13.- A = {1; 2; 3) B = {2; 3; 4)
C = {3; 4; 5) U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Hallar:
a) A ∩ B b) A' c) B ∆ C
d) B' e) C - B f) (A ∪ B)'
14.- Designando:
A: el conjunto de todos los nacidos en el Perú.
B: el conjunto de todos los nacidos en la selva amazónica
peruana.
C: el conjunto de todos los nacidos en Iquitos.
34

El diagrama de Venn que se relaciona correctamente los tres
conjuntos es:
a) c)
b) d)
15.- Si:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
B = {5; 6; 7; 8; 9}
C = {4; 5 }
Entonces. ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte
achurada del diagrama:
a) 4, 5, 6
b) 4, 5, 6, 7
c) 4, 6, 7
d) 1,2,3
e) 6, 7
15.- Si: A = {1;2;3} ;B = {1;2;4} ; C = {2;3;4;5}
Entonces: ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte
achurada del diagrama?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 2, 4
e) 1, 2, 4
35

16.- La gráfica corresponde a:
a) [(AB)–C] ∩ [AUB∩C]
b) [(AB)–C] U [A∩B∩C]
c) [(AB)–C] ∩ [A∩B∩C]
d) [(A–B)–C] U [A∩B∩C]
e) [(A–B)–C] U [A∩B∩C]
11.- Dados: A = {1; 2; 4; 5}
B = {2; 4; 6; 8}
Hallar el cardinal de: [B – (A – B)] ∪ (A ∆ B)
a) 5 b) 6 c) 2 d) 3 e) 4
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE CONJUNTOS
01.- Se encuestó a 120 alumnas sobre sus preferencias por el
vóley o la natación; se obtuvo los siguientes resultados:
- A la cuarta parte no le gusta el vóley ni la natación
- A la mitad les gusta la natación
- A los 5/12 les gusta el vóley
Responder a las siguientes preguntas:
i) ¿A cuántas alumnas les gusta el vóley y la natación?
ii) ¿A cuántas alumnas les gusta solamente el vóley?
iii) ¿A cuántas alumnas les gusta solamente la natación?
Solución:
36

Cálculos previos:
ni vóley, ni natación =
1
4
. 120 = 30
natación =
1
2
. 120 = 60
Vóley =
5
12
. 120 = 50
Sea: x = # de alumnas que les gusta ambos deportes.
Del gráfico: (50-x) + x + (60-x) + 30 = 120
 140 - x = 120
 x = 20
Finalmente:
i) # de alumnas que les gusta el vóley y la natación = 20
ii) # de alumnas que les gusta solamente vóley = 50 - 20 = 30
iii) # de alumnas que les gusta solamente natación = 60 - 20 = 40
02.- A una reunión asistieron 68 turistas, de los cuales:
20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen
Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el número
de los que conocen Tacna es igual al número de los que no
conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen sólo
Arequipa?
Solución:
Sea:
37

# turistas que conocen sólo Tacna = x
# turistas que conocen Tacna = x+20
# turistas que conocen Arequipa = 2x
# turistas que conocen sólo Arequipa = 2x – 20 = ?
Del gráfico: x + 20 + 2x – 20 + x + 20 = 68
4x + 20 = 68
x = 12
Conocen sólo Arequipa = 2(12) – 20 = 4
Rpta: 4 turistas conocen sólo Arequipa
PROBLEMAS
01.- Se tiene el siguiente diagrama:
Indicar el número de elementos en cada caso:
a) Sólo Inca Kola e) Inca Kola o Coca Cola
b) Só1o Coca Cola F) Sólo una gaseosa
c) Inca Kola y Coca Cola G) Inca Kola
d) No Inca Kola H) No Coca Cola
02.- Se tiene el siguiente diagrama:
38

Indicar el número de elementos si:
a) Sólo A e) no B
b) A y B f) ni A ni B
c) A o B g) A pero no B
d) no A h) A
03.- A un campamento concurren 48 alumnos: 22 no saben
cocinar; 32 no saben armar carpas y 12 no saben ni cocinar, ni
armar carpas. ¿Cuántos alumnos realizan las dos actividades?
a) 4 b) 8 c) 6 d) 5 e) 3
04.- A una reunión asistieron 68 turistas, de los cuales:
20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen
Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el numero
de los que conocen Tacna es igual al numero de los que no
conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen solo
Arequipa?
a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 24
05.- A un certamen de belleza se presentaron 250 señoritas. Se
sabe que:
- Hubieron 180 rubias de las cuales 80 usaban anteojos.
- El número de candidatas que no eran rubias y que tampoco
usaban anteojos eran los 2/5 de las que solamente usaban
anteojos.
i) ¿Cuántas usaban anteojos?
ii) ¿Cuántas usaban anteojos pero no eran rubias?
39

iii) ¿Cuántas no eran ni rubias ni usaban anteojos?
06.- En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los
cursos de Aritmética y Biología, se obtuvieron los siguientes
resultados:
60 prefieren Aritmética
50 prefieren Biología
20 no prefieren ninguno de estos cursos
¿Cuántos prefieren sólo uno de estos cursos?
a) 35 b) 29 c) 40 d) 21 e) NA
07.- De un grupo de 200 pacientes examinados en una clínica se
encontró que 100 no tenían cáncer, 80 no tenían diabetes y 25 no
tenían ninguna de estas enfermedades. ¿Cuántos tenían ambos?
a) 20 b) 45 c) 50 d) 55 e) 75
08.- En el mes de Marzo, Gerardo comió en el desayuno pan con
hot-dog (19 días) o con chicharrón (15 días), si durante 4 días
dicho mes Gerardo estuvo en ayuna. ¿Cuántos días comió pan
con chicharrón solamente?
a) 19 b) 15 c) 8 d) 7 e) 12
09.- En un cesto hay manzanas, peras y naranjas. Un grupo de
80 niños comieron las frutas de la siguiente manera: 32 niños
comieron manzanas, 33 niños comieron peras y 20 niños
comieron naranjas; 4 niños comieron manzanas y peras; 7 niños
comieron peras y naranjas y 5 niños comieron naranjas y
manzanas. ¿Cuántos niños comieron los tres tipos de frutas
diferentes?
a) 15 b) 10 c) 12 d) 13 e) 11
40

10.- De 40 alumnos de un aula el número de los que estudian
Matemática y Lenguaje es la mitad de los que no estudian para
nada esos cursos. Además, 8 estudian sólo Matemática y 2 sólo
Lenguaje. ¿Cuántos estudian Matemática?
a) 12 b) 18 c) 22 d) 28 e) 10
11.- De un grupo de 65 alumnos:
30 prefieren Lenguaje;
40 prefieren Matemática;
5 prefieren otros cursos.
¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?
a) 8 b) 10 c) 5 d) 15 e) 12
12.- De 50 estudiantes encuestados:
20 practican sólo fútbol;
12 practican fútbol y natación;
10 no practican ninguno de estos deportes.
¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación?
a) 32 y 20 b) 12 y 8 c) 8 y 4 d) 20 y 8 e) 30 y 12
13.- En un salón de 100 alumnos: 65 aprobaron Raz. Matemático;
25 aprobaron Raz. Matemático y Raz. Verbal;
15 aprobaron solamente Raz. Verbal.
¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados?
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
14.- En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen
solamente la revista "Gente"; 60 leen solamente la revista
"Caretas"; 12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos leen
ambas revistas?
a) 8 b) 68 c) 48 d) 20 e) 38
41

15.- De 38 estudiantes que desfilaron en un batallón:
18 usaban anteojos
9 usaban anteojos y saco
19 llevaban saco
7 usaban saco y corbata
20 usaban corbata
7 usaban anteojos y corbata ¿Cuántos estudiantes usaban
anteojos, saco y corbata?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
16.- En una encuesta realizada a 129 televidentes:
37 ven el canal 4
17 ven los canales 5 y 2
34 ven el canal 5
52 ven el canal 2
40 ven otros canales.
¿Cuántos televidentes ven los canales 4; 5 y 2?
a) 15 b) 17 c) 8 d) 20 e) 10
42

Departamento de Publicaciones
43
Capítulo 4

44

RAZÓN
Es la comparación que se puede establecer entre dos cantidades.
Ejemplo: Se tiene 2 hermanos: Miguel de 15 años y Luis de 5
años; se puede decir que Miguel es 10 años mayor que Luis o
que la edad de Miguel contiene 3 veces la edad de Luis; de estas
se desprende que las clases de razones son:
RAZÓN ARITMÉTICA
Es la comparación de dos cantidades mediante una sustracción.
45

En general para dos cantidades A y B se tiene:
A – B = r
RAZON GEOMÉTRICA
Es la comparación de dos cantidades mediante una división.
Para nuestro modelo anterior.
En general para dos cantidades A y B se tiene:
A
K
B
=
Elementos de una razón
• Antecedente : 15 ; A
• Consecuente : 5 ; B
46

• Valor de la razón aritmética : 10 ; r
• Valor de la razón geométrica : 3 ; K
Conceptos Importantes
 Cuando se tiene los enunciados como: “la razón de….” ; “la
relación de….” ; “son entre sí …..” ; “son proporcionales ….” ; en
cualquiera de los casos se refiere a una razón geométrica.
 Cuando se tiene la relación:
A
B
se lee: “A es a B”
 Cuando se tiene la razón geométrica:
A 4
B 5
= 
A 4k
B 5k
=
=
 Cuando se tiene la razón geométrica:
A 2
B 7
= 
Cantidad Mayor B
Cantidad Menor A
=
=
 Cuando se tiene la razón geométrica
A B
4 5
= 
A 4k
B 5k
=
=
 Propiedad:
Cuando se tiene:
A B
5.n 7.n
= 
A 5k
B 7k
=
=
47

Ejemplo:
Si:
A B
50 32
= 
A B
5 2 4 2
= 
A B
5 4
=
PRÁCTICA DIRIGIDA
01.- Dos números son entre sí como 7 es a 4, además la suma de
los números es 220, hallar el número mayor.
02.- La relación de dos números es de 5 a 3, si la diferencia es
40, hallar el número menor.
03.- El dinero de Juan es al dinero de Pedro como 7 a 3; si, Juan
gasta S/.200, le queda aún S/.150. ¿Cuánto dinero tiene Pedro?.
04.- La razón de dos números es de 4 a 5; si el producto de
dichos números es 180; cual es el valor del número mayor.
05.- Si se sabe que:
a b
5 4
= ; además: a2
- b2
= 36; Hallar el valor
de "a+b".
48

06.- La edad de un Padre es a la de su hijo como 7 es a 2;
además entre las dos edades suman 72. Hallar ¿qué edad tenía
el hijo hace 2 años?
10.- En una fiesta por cada 5 mujeres hay 4 varones, si hay 20
mujeres más que varones; Hallar cuantas personas hay en total.
11.- En una granja hay pollos y gallinas, si el número de pollos es
al total de aves como 4 a 7; además la diferencia entre gallinas y
pollo es 15, hallar el número de pollos.
12.- La base y la altura de un rectángulo están en la relación de 4
a 3, si su área es 48. Hallar el valor de la altura.
TAREA DOMICILIARIA
01.- La relación de dos números es como 3 a 5, si la suma es
160. Hallar el número menor?
A) 60 B) 80 C) 70 D) 20 E) 10
02.- Dos números son entre sí, como 3 a 7, si la diferencia de
ambos números es 60. Hallar el número mayor?
A) 15 B) 45 C) 105 D) 60 E) 65
03.- El dinero de Rosa esta en relación con el dinero de María
como 3 a 5; respectivamente si entre las dos tienen 720; Hallar
cuánto dinero tiene María?
A) 270 B) 90 C) 450 D) 360 E) 290
49

04.- En una reunión hay 4 varones por cada 7 damas, si la
diferencia entre las damas y los varones es 45. Hallar el total de
personas?
A) 15 B) 165 C) 81 D) 120 E) 110
05.- En una granja el número de gallinas es al número de pollos
como 5 a 2; Además entre pollos y gallinas suman 140. Hallar el
número de gallinas?
A) 20 B) 40 C) 100 D) 120 E) 110
06.- Si se cumple:
a b
5 6
= ; además: a + b = 220, hallar el valor de
"a".
A) 40 B) 20 C) 120 D) 100 E) 60
07.- Si se cumple que:
a b c
3 4 6
= = . Además: b+c-a = 56, hallar "b".
A) 8 B) 32 C) 24 D) 48 E) 10
08.- Se cumple que:
a b c
6 3 4
= = ; además: a.b – b.c = 54; hallar el
valor de "c".
A) 3 B) 18 C) 9 D) 12 E) 10
09.- Si:
a b c
4 3 5
= = ; además: 2a – b = 35; hallar: "2c".
A) 7 B) 35 C) 70 D) 14 E) 19
50

10.- La edad de un padre y la de su hijo están el la relación de 7 a
4; si hace 5 años el padre tenia 37 años ¿Cuántos años tendrá el
hijo dentro de 10 años?
A) 32 B) 6 C) 46 D) 40 E) 20
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES (SRGE)
Se llama así al conjunto de 2 o más razones geométricas, las
cuales tienen una misma razón:
8 6 4 10
2
4 3 2 5
= = = =
En general:
a c e g
k
b d f h
= = = =
*
a
k
b
=  a = b.k *
c
k
d
=  c = d.k
51

*
e
k
f
=  e = f.k *
g
k
h
=  g = h.k
PROPIEDADES.
 En una serie de razones geométricas equivalentes se cumple
que:
"La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes
y esto igual a la misma razón de la serie".
Si:
a c e g
k
b d f h
= = = = 
a c e g
k
b d f h
+ + +
=
+ + +
Ejemplo:
6 9 12
3
2 3 4
= = = 
6 9 12 27
3
2 3 4 9
+ +
= =
+ +
 "El producto de los antecedentes es al producto de los
consecuentes y esto es igual a la razón elevado al número de
razones que se consideran".
Si:
a c e g
k
b d f h
= = = = 
4a c e g
k
b d f h
× × ×
=
× × ×
Ejemplo:
Si:
8 6
2
4 3
= = 
28 6 48
4 2
4 3 12
×
= = =
×
Ejemplo:
52

Si:
6 4 10
2
3 2 5
= = = 
36 4 10
2
3 2 5
× ×
=
× ×
 “La suma de cada antecedente elevando a un exponente
determinado es a la suma de cada consecuente elevado a dicho
exponente e igual a la razón elevado al mismo exponente”
Si:
a c e g
k
b d f h
= = = = 
n n n n
n
n n n n
a c e g
k
b d f h
× × ×
=
× × ×
Además:
Serie de Regiones Equivalente CONTINUAS
Se llama así cuando el consecuente de la primera razón es
antecedente de la segunda razón y así sucesivamente.
PRÁCTICA DIRIGIDA
01.- Se tiene S.R.G.E. :
a b c
4 5 6
= = donde la suma de los
antecedentes es 30; Hallar el segundo antecedente.
02.- Se tiene la S.R.G.E.:
a b c d
4 5 6 3
= = = ; en la cual la suma de
los tres primeros antecedentes es 60; Hallar el último
antecedente.
53

03.- Si:
a b c
4 5 6
= = ; además el producto de los dos primeros
antecedentes es 80; Hallar el tercer antecedente.
04.- Si:
a b c d
2 3 4 6
= = = además se cumple: (b + d) - (a + c) = 15;
Hallar "b + c"
05.- Si:
a b c
5 3 2
= = ; además: 2a - 3c = 60. Hallar el valor de "b".
06.- Si:
a b c
3
m n p
= = = ; Hallar el valor de M, sí:
a b c a.b
M
m n p m.n
+ +
= +
+ +
07.- Si:
a b c
5
m n p
= = = , Hallar el valor de "E" si:
E =
2 2
2 2
a.b a c a b
m.n m p m n
+ +
− −
+ +
08.- Se tiene:
a b c d
5 6 7 8
= = = ; cuya suma de las cuatro razones
es 28, Hallar la suma de los antecedentes.
09.- Los ángulos de un triángulo están en la relación de 2; 3 y 4.
Calcular el ángulo mayor.
10.- Se tiene:
a b c d
4 9 5 8
= = = ; si se cumple que:
(b+d) - (a+c) = 32. Hallar el último antecedente.
54

11.- Si:
a b c d
k
n m p q
= = = =
Además:
a b c b c d
20
n m p m p q
+ + + +
+ =
+ + + +
Hallar k2
12.- Se tiene la siguiente S.R.G.E.
a b c d
k
n m p q
= = = = ; además
a.b c d
20
n.m p q
+
+ =
+
; hallar el valor de 5k.
TAREA DOMICILIARIA
01.- Se tiene la serie de razones geométricas equivalentes:
a b c
4 3 5
= = ; además la suma de los antecedentes es 240, Hallar
el mayor antecedente.
a) 80 b) 60 c) 90 d) 10 e) 104
55

a b c
7 5 4
= = ;
además: (a + b) - (b + c) = 60. Hallar "b".
a) 20 b) 40 c) 50 d) 80 e) 100
a b c
8 6 3
= = ; si el producto de los dos
últimos antecedentes es 72; Calcular el primer antecedente.
a) 4 b) 32 c) 2 d) 18 e) 16
04.- Se tiene la siguiente S.R.G.E.:
a b c
9 8 3
= = ; si la suma de las
tres razones es 6. Hallar la suma de los antecedentes.
a) 30 b) 18 c) 22 d) 40 e) 25
05.- Se tiene la siguiente S.R.G.E. :
a b c d
3 5 2 6
= = = ; la suma de
las tres primeras razones es 12; Hallar el último antecedente.
a) 18 b) 20 c) 23 d) 24 e) 12
06.- Si:
a b c
7 4 6
= = ; además la suma del primer y ultimo
antecedente es 130, determinar el segundo antecedente.
a) 10 b) 40 c) 70 d) 60 e) 50
07.- Si:
a c e
3
b d f
= = = ; Hallar el valor de E.
E =
a c c.e a c e
b d d.f b d f
+ + +
+ +
+ + +
56

a) 3 b) 6 c) 9 d) 15 e) 20
08.- Si:
a b c d
4
m n p q
= = = = ; Hallar el valor de M si:
2 2
2 2
a c a.b.c a b c d
M
m n m.n.p m n p q
+ + + +
= + +
+ + + +
09.- Si:
a b c
k
m n p
= = = ; además:
2 2
2 2
a c b.c
32
m p n.p.
+
+ =
+
Hallar “3k”
a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 18
10. Si se cumple que:
a b c d
m n p q
= = = ; Además
a b c b c d a b c d
24
m n p m p q m n p q
+ + + + + + +
+ + =
+ + + + + + +
a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) 0
57
Capítulo 5

58

1. CONCEPTO
Es la comparación de dos razones iguales, pueden ser:
1.1. PROPORCION ARITMETICA.
59

Es cuando se comparan (dos rezones aritm6ticas iguales).
18 – 12 = 10 - 4
En general. a - b = c - d
1.2. PROPORCIÓN GEOMETRICA.
Se llama así cuando se comparan dos razones geométricas
iguales.
18 12
3 2
=
En general:
a c
b d
=
2. ELEMENTOS DE UNA PROPORCIÓN.
2.1. LOS ANTECEDENTES : a y c
2.2. LOS CONSECUENTES : b y d
2.3. LOS TERMINOS EXTREMOS : a y d
2.4. LOS TERMINOS MEDIOS : b y c
3. ORDEN DE TERMINOS DE UNA PROPORCION
3.1. En una proporción aritmética
1er
T. – 2do
T. = 3er
T. – 4to
T.
3.2. En una proporción geométrica
er er
do to
1 T 3 T
2 T 4 T
=
60

4. NOTACIÓN DE UNA PROPORCIÓN
4.1. PROPORCIÓN ARITMETICA
a.b:c.d
4.2. PROPORCIÓN GEOMETRICA
a.b::c:d
5. PROPORCIÓN CONTINUA
Se llama así a la proposición cuyas términos medios son iguales.
5.1. PROPORCIÓN ARITMETICA CONTINUA (P.A.C.)
Un ejemplo numérico seria el siguiente:
8 – 5 = 5 – 2
En general:
a - b = b - c
Donde:
c  tercera diferencial
b  Media diferencial o Media Aritmética
5.2. PROPORCION GEOMETRICA CONTINUA (P.G.C.)
Un ejemplo numérico seria el siguiente:
61

18 6
6 2
=
En general:
a b
b c
=
Donde:
c  Tercera proporcional
b  Media proporcional o Media geométrica
6. PROPORCION DISCRETA
Se llama así cuando (los cuatro términos son diferentes).
6.1. PROPORCION ARITMETICA DISCRETA (P.A.D.)
Un ejemplo numérico seria: 12 – 4 = 17 - 9
En general:
a - b = c - d
Donde:
d  cuarta diferencial.
6.2. PROPORCION GEOMETRICA DISCRETA (P.G.D.)
Un ejemplo numérico seria:
18 6
9 3
=
En general:
a c
b d
=
Donde:
d  cuarta proporcional
62

7. PROPIEDADES
7.1. En toda proporción aritmética se cumple que: "La suma de los
términos extremos es igual a la suma de los términos medios".
* 10 – 8 = 6 – 4  10 + 4 = 8 + 6
En general:
a – b = c - d  a + d = b + c
7.2. En toda proporción geométrica se cumple que: "El producto de
los términos extremos es igual al producto de los términos medios".
*
16 4
8 2
=  (16).(2) = (8)(4)
En general:
a c
b d
=  a . d = b . c
7.3. Si se tiene una proporción geométrica:
a b c d
...( )
b d
a c
b d
a b c d
...( )
b d
+ +
= α
= ⇒
− −
= β
de (α) se obtiene:
63

a b b
...( )
c d d
+
= γ
+
de (β) se obtiene:
a b b
...( )
c d d
−
= θ
−
de (θ) y (Y)se obtiene:
a b a b
...( )
c d c d
+ −
= ϕ
+ −
de (θ) y (Y)se obtiene:
a b a b
c d c d
+ +
=
− −
PRÁCTICA DIRIGIDA
01.- Hallar el valor de "x" en cada una de las proporciones
aritméticas siguientes.
a) 7 – x = 4 - 3 d) 9 – 6 = x – 1
b) 6 – 1 = 9 - x e) 12 – 6 = 7 – x
c) x – 1 = 6 – 3 f) x – 4 = 11 – 9
64

02.- Hallar la incógnita en cada proposición geométrica que se
muestra a continuación:
a)
6 4
x 2
= b)
2 x
6 9
= c)
2 x
12 6
=
d)
x 4
9 6
= e)
4 8
9 x
= f)
1 6
x 12
=
03.- Hallar la cuarta diferencial de:
a) 12; 8 y 7 g) 6; 4 y 10
b) 9; 6 y 4 h) 4; 2 y 5
c) 10; 7 y 6 f) 8; 7 y 12
d) 21; 7 y 16 I) 7; 3 y 10
e) 14; 4 y 21 j) 13; 6 y 9
04.- Hallar la cuarta proporcional de:
a) 10; 5 y 4 f) 10; 4 y 20 z
b) 3; 8 y 6 g) 16; 4 y 8
c) 4; 6 y 2 h) 12; 9 y 4
d) 9; 3 y 6 I) 6; 9 y 2
e) 4; 2 y 6 j) 8; 12 y 2
05.- Hallar la tercera diferencial:
a) 12 y 7 b) 4 y 3 c) 9 y 6 d) 10 y 8 e) 11 y 6
f) 9 y 7 g) 14 y 10 h) 12 y 8 i) 13 y 7 j) 8 y 5
65

06.- Hallar la tercera proporcional:
a) 5 y 10 b) 4 y 12 c) 9 y 6 d) 4 y 2 e) 12 y 6
f) 20 y 10 g) 5 y 20 h) 4 y 8 i) 27 y 9 j) 25 y 10
07.- Hallar la media diferencial de:
a) 9 y 7 b) 4 y 2 c) 12 y 2 d) 21 y 9
e) 17 y 3 f)13 y 1 g)14 y 2 h) 22 y 12
08.- Hallar la media proporcional de:
a) 4 y 9 b) 25 y 4 c) 20 y 5 d) 3 y 27 e) 2 y 8
f) 16 y 4 g) 1 y 16 h) 80 y 20 i) 102
y 106
j) 37
y 33
TAREA DOMICILIARIA
01.- Hallar "x” en cada proporción:
a) 12 – x = 6 – 4 c) x – 3 = 4 – 2
b) 9 – 6 = x -1 d) 10 – 4 = 12 - x
02.- Hallar "x" en cada proporción:
a)
6 4
x 12
= c)
x 4
3 2
=
66

b)
x 6
4 8
= d)
9 36
4 x
=
03.- Hallar la cuarta diferencial de:
a) 9; 7 y 5 c) 20; 17 y 15
b) 12; 10 y 7 d) 19; 16 y 10
04.- Hallar la tercera diferencial de:
a) 12 y 10 b) 11 y 7 c) 20 y 16 d) 12 y 8
05.- Hallar la media diferencial de:
a) 14 y 2 b)11 y 9 c) 18 y 10 d) 12 y 8
06.- Hallar la cuarta proporcional de:
a) 8; 4 y 6 c) 4; 5 y 8
b) 12; 16 y 3 d) 2; 7 y 6
07.- Hallar la tercera proporcional de:
a) 6 y 12 c) 27 y 9
b) 9 y 6 d) 2 y 4
08.- Hallar la media proporcional de:
a) 2 y 32 c) 27 y 3
b) 3 y 48 d) 18 y 2
PRACTICA DIRIGIDA
01.- Se tiene una P.A.D. cuya suma de los cuatro términos es 42;
Hallar la suma del primer antecedente y el último consecuente.
02.- Si: 2a; a; 4b y b; forman una P.A.D. si: a + b = 8; Hallar la suma
de los cuatro términos.
03.- Se tiene una P.A.C. cuya suma de sus términos es 32. Hallar la
media diferencial.
67

04.- Se tiene una proporción geométrica continua cuyos productos
de los términos extremos es 81. Hallar la media proporcional.
05.- En una proporción geométrica continua se cumple que la suma
de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cual es su
media proporcional?
06.- Si: "A" es la media proporcional de 16 y 4; "B" es la tercera
diferencial de 20 y 18; Hallar A + B.
07.- Dos números están en la relación de 2 a 5, si se aumenta cada
uno de los términos en 9 unidades, entonces la nueva razón es de
7:13 ; Hallar el mayor de los números.
08.- Si: "M" es la media diferencial de 18 y 12; "N" es la tercera
diferencial de 16 y 14; Hallar el valor de: "M + N".
09.- Se tiene una proporción aritmética continua, cuya suma de los
cuatro términos es 64; Hallar la media diferencial.
10.- Las edades de Juan y Pedro son 40 y 30 años respectivamente,
dentro de ¿Cuantos años la razón será de 5 a 4?
TAREA DOMICILIARIA
01.- Hallar la suma de los términos medios de una proporción
aritmética discreta, si la suma de los términos de la proporción es 64.
a) 12 b) 41 c) 32 d) 16 e) 34
02.- Se tiene una proporción aritmética continua, cuya suma de sus
términos es 80; Hallar la media diferencial.
a) 20 b) 30 c) 25 d) 45 8)29
68

03.- Se tiene una proporción geométrica continua, cuyo producto de
términos extremos es 144; Hallar la media proporcional.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 13
04.- En una proporción geométrica continua se tiene que la
suma de los términos extremos es 30 y su diferencia es 24;
Hallar la media diferencial.
a) 12 b) 9 c) 8 d) 3 e) 6
05.- Si "Q" es la tercera proporcional de 27 y 9 ; "R" es la media
proporcional de 32 y 2; "S" es la cuarta proporcional de 6; 5 y
12; Hallar el valor de: Q + R + S.
a) 21 b) 30 c) 18 d) 16 e) 23
06.- Si; "A" es la media diferencial de 17 y 7 "B" es la tercera
diferencial de 12 y 10; "C" es la cuarta diferencial de 14; 13 y 10;
Hallar A + B + C.
a) 17 b) 29 c) 28 d) 27 e) 18
07.- Si: a; 2a; 4a y 8a; son los términos de una proporción
geométrica discreta; donde la suma de los términos de dicha
proporción es 30; Hallar la suma de los términos extremos de la
proporción.
a) 9 b) 18 c) 20 d) 12 e) 25
08.- Se tiene una proporción aritmética, cuya suma de términos
es 24, si la diferencia de los términos medios es 2; Hallar el
producto de los términos medios.
a) 14 b) 2 c) 35 d) 42 e) 31
69

Aritmetica

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Aritmetica

Similar a Aritmetica (20)

Último

Último (20)

Aritmetica