3. Ejercicio Nº 18 Trazar una elipse dados los ejes AB y CD por haces proyectivos
4. Se construye un rectángulo tal como se ve en la figura de lados los ejes dados, se divide el semieje OA en un numero de partes iguales a continuación dividimos también la mitad el lado menor AE en el mismo numero de partes.
5. Se une el extremo D del eje menor con las divisiones del semieje mayor 1,2,3,4 . Unimos el otro extremo del eje menor C con las divisiones del lado AE 1,2,3,4 .Donde se cortan las rectas anteriores con las otras son puntos de la elipse.
6. Se repite el procedimiento y determinamos los otros puntos de la elipse buscada
7. Ejercicio Nº 19 Construcción de una elipse por envolventes Dados los ejes y los focos Trazamos los ejes y determinamos los focos F y F’.
8. La construcción se fundamenta en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes. Es decir las envolventes son las tangentes a la elipse.
9. Tomamos un punto cualquiera E de la circunferencia principal se une con F' y se traza la perpendicular t por L a LF ', la recta t es tangente a la elipse.
10. Se repite una serie de veces en cada cuadrante y trazamos la elipse como se ve en la figura.
11. Ejercicio Nº 20 Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b . Dados los ejes
12. Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.
13. Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores. Se traza por T' una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la elipse.
14. Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise
15. Los puntos de la elipse se determinan trazando triángulos semejantes al OD 1 D' como el RSP, cuyos lados son paralelos a los del triángulo OD 1 D' Es decir trazamos por un punto cualquiera R una paralela al diámetro C 1 D 1 que corta en S a la Cp, por S la paralela D 1 -D’ y por R trazamos la paralela a C’D’ que corta a la anterior en el punto P que es un punto de la elipse buscada
16. Se repite el procedimiento anterior las veces que se consideren necesarias y a continuación se traza la elipse
17. Ejercicio Nº 24 Circunferencia principal Tenemos una elipse dada por sus ejes y sus focos, una tangente t y los simétricos de F y F' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal F 1 y F' 1 Observamos que en el triángulo FF' 1 F', N es el punto medio del lado FF 1 y O lo es del FF', en consecuencia OM será la paralela media y su longitud valdrá de FF' FF'= k = AA'; OM'= FF 1 ' implica OM'= k =1/2AA'= OA Siendo además FM perpendicular a la tangente por lo que; Los pies de las perpendiculares, trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual a denominada Circunferencia principal (Cp) La Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse
18. Ejercicio Nº 27 Construcción de la hipérbola por haces proyectivos. Datos el eje mayor A–B y los focos F y F’
19. Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.
21. Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el punto B del eje mayor dado y con el foco F’ de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.
22. Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de MP los simétricos de 1 , 2 , 3 , 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la Fig..
23. Se unen los puntos anteriores y tenemos la hipérbola buscada
24. Ejercicio Nº 29 Trazar una hipérbola por envolventes Tenemos una hipérbola definida por los vértices A y B y los focos F y F' .
25. Se traza la Cp de centro O y radio a = OA = OB .
26. Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB , trazamos un arco de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M por el que pasa la asíntota t' , la otra asíntota t es simétrica AM = AN
27. Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas t‘y t
28. Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F’ y trazamos la perpendicular a 1F’ por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.
29. Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación
30. Ejercicio Nº 33 Trazar una parábola por envolventes Tenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F .
31. Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la circunferencia focal de la parábola Cf.
32. Se traza la tangente t v en el vértice V , que sabemos que es perpendicular al eje y es así mismo la circunferencia principal Cp
33. Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y trazamos una perpendicular por T.
34. Repetimos la operación con otros puntos, y la parábola es la tangente a las perpendiculares.
35. Ejercicio Nº 34 Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la curva
