investigacion sobre longitud de una curva plana

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José De Sucre”
Barquisimeto-Estado Lara
Integrante:
Juan Carlos Agüero
C.I:22.269.603

2. La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una
curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal.
Vamos a determinar la longitud del arco de una curva con ecuación ,
comprendida entre los puntos , .
Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco en partes,
uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos.
Por ejemplo, el segmento tendrá como longitud
Luego, tendremos una aproximación de la longitud de la curva , mediante
la suma:
Si aumentamos indefinidamente el número de puntos de división, entonces las
longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que:

3. nos da el arco , siempre que el límite exista.
Para expresar el límite como una integral tenemos lo siguiente: supongamos
que la función con ecuación es continua y posee derivada continua en
cada punto de la curva, donde hasta . Luego, por el teorema
del valor medio para derivadas, existe un punto entre los
puntos y de la curva, donde la tangente es paralela a la cuerda , esto
es:
Luego
que por definición corresponde a la integral:
(hemos expresado como ).
Como la longitud de una curva no depende de la elección de los ejes
coordenados, si puede expresarse como función de , entonces la longitud
del arco está dada por

4. Ejemplos
En cada caso calcular la longitud del arco de curva que se indica.
Ejemplo 1: , desde hasta .
Solución:
Designemos con la longitud del arco.
Como , entonces
Luego:
Ejemplo 2: , desde hasta
Solución:
En este caso, tomemos como variable dependiente y obtengamos por
medio de derivación implícita: de donde
Luego, la longitud del arco está dada por:

5. Ejemplo 3: , desde hasta
Solución
Obtenemos de nuevo , pues

6. Ejemplo 4: , desde hasta
Solución
Obtengamos por medio de derivación implícita:
Luego: