El documento presenta los conceptos básicos de tasas de interés, incluyendo interés simple, interés compuesto, tasas nominales y efectivas. Explica la diferencia entre interés simple e interés compuesto, así como sus fórmulas de cálculo. También cubre conceptos como equivalencia y proporcionalidad de tasas de interés, y cómo calcular tasas equivalentes.

1. Matemática financiera
Módulo1 Tasas de interés
Brasília - 2015
Traducido del portugués al español - www.onlinedoctranslator.com

2. Fundación Escuela Nacional de Administración Pública
presidente
gleisson rubin
Director de Desarrollo Gerencial
paulo marques
Coordinador General de Educación a Distancia
Natalia Teles da Mota Teixeira
especialista en contenido
Ana Paula Cavalcanti (2013)
Layout realizado en el marco del convenio de Cooperación Técnica FUB/CDT/Latitude y Enap.

3. RESUMEN
Módulo 1 - Tasas de interés.................................................... ..... ............................................. ..................................................... 5
1.1 Momento y Período ............................................... .... ............................................... .................................................... 5
1.2 Tasa de interés .............................................. .... ............................................... .................................................................. ....... 6
1.2.1 Interés simple .............................................. ...... ............................................ ...................... ................................ ..........................6
1.2.2 Interés compuesto ............................................... ..... ............................................. ..................... ............................. ...................7
1.3 Interés Simple X Interés Compuesto ............................................... ........................................................ ......................... ........ 9
1.4 Equivalencia de Tasas de Interés ............................................... ........................................................ ........................ ....... 10
1.5 Proporcionalidad de Interés ............................................... ....... .................................................. ....................... .......... 12
1.6 Tasas Nominales y Efectivas ............................................... ... ............................................................. .................... ................... 12

4. Matemática financiera
Módulo 1 - TASAS DE INTERÉS
Después de completar esta unidad, se espera que usted sea capaz de:
• Reconocer el cambio en el valor del dinero con el tiempo.
• Distinguir el interés simple del interés compuesto, a partir de la explicación de su sistema de
capitalización.
• Calcular la capitalización de una cantidad, dada la tasa de interés.
• Distinguir equivalencia y proporcionalidad de tipos de interés.
• Calcular tasas de interés equivalentes.
• Distinguir tasa anual nominal (TNA) y tasa anual efectiva (TEA).
1.1 Momento y Período
Antes de comenzar el módulo, es importante distinguir entre momento y período.
• Momento es un instante en el tiempo.
• Período es un intervalo de tiempo que transcurre entre dos puntos o eventos en el proyecto.
Así, aunque los beneficios y costos de un
proyecto se generan en un período de tiempo,
ocurren en un momento dado. Por ejemplo, el
sueldo mensual de un trabajador del mes de
enero se gestiona durante todo ese mes
(período), y normalmente sólo se paga al final del
mes (momento).
Por lo tanto, al identificar los beneficios y costos de un
proyecto, se debe determinar cuándo ocurrieron. A
La importancia de este procedimiento radica en que el valor atribuido hoy a R$ 1,00 es mayor
que el valor atribuido a los mismos R$ 1,00 disponibles en el futuro.
Si bien hay muchas razones por las que la misma cantidad de dinero puede tener un valor
diferente en diferentes momentos, la más importante es la existencia de inversiones
alternativas para ese dinero. Un real recibido hoy vale más que R$ 1,00 a recibir en el futuro,
porque puede ser invertido durante el período de tiempo considerado.
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5. Para quienes deseen recordar el tema de los costos de oportunidad, se sugiere revisar este
contenido en el curso Microeconomía Aplicada a la Evaluación Socioeconómica de Proyectos.
1.2 Tasa de interés
El concepto de tasas de interés se considera esencial para el tema de evaluación de proyectos, ya que será
a través de él que pondremos precio al proyecto.
El rendimiento financiero generado al inversionista por un recurso (capital) invertido en una opción
de inversión, durante un cierto período de tiempo, se denomina interés.
La tasa de interés (i) proviene de la relación entre el interés (j) y el capital inicial (C).Veamos el
ejemplo.
Si el capital inicial es de $100,00 y el interés es de $30,00, ¿cuál es la tasa de interés (i)?
Para resolver este problema, usaremos la ecuación i = j/C. Entonces i = 30/100 = 30% es la tasa de
interés. Pero cuando se menciona una tasa de interés, es necesario indicar el período al que se
refiere: por día (ad), quincena (aq), mes (y/m), trimestre (at), semestre (as) o año ( aa). En nuestro
caso, la tasa es del 30% anual, ya que el rendimiento de R$ 30,00 se obtiene despuésun año; si
fuera después de un semestre o de un mes, sería para el semestre o el mes, respectivamente.
Así, se observa que la unidad de tasa de interés está estrechamente relacionada con el período
en que se adquirió el interés.
1.2.1 Interés simple
Las cuotas de interés simple son siempre iguales, ya que, bajo el régimen de capitalización
simple, el interés de cada período resulta de la aplicación delTasa de interéssobre elcapital
inicial, y ambas variables no cambian con el tiempo.
Considere el ejemplo: Se invierte un capital prestado (C) de R$ 100,00 a una tasa de interés del 10%
anual, durante cinco años. El resultado es cinco cuotas iguales de R$ 10,00 y un valor, al final del
período, de R$ 150,00, resultante de la suma de los desembolsos al principal.
Resolviendo el ejemplo: en la capitalización simple, sólo se obtiene el rendimiento sobre el capital
inicial (C), o principal, y el tipo de interés cobrado en n periodos. Esto quiere decir que el interés se
obtiene como resultado del producto entre el capital inicial, el tipo de interés y el plazo. Considere la
fórmula j = C * i. Para el primer período (n = 1), tenemos j = R$ 100,00 * 0,1 = R$ 10,00; para el período
siguiente (n=2), tenemos j = C * i, y como el capital inicial es siempre R$ 100,00 y la tasa permanece
igual i = 0,1, el interés es el mismo j = R$ 100,00 * 0,1 = BRL 10,00. Eso
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6. siempre ocurre para cada período, en el régimen de capitalización simple. El interés total de la
solicitud es la suma de todos los períodos, es decir, 5*10,00 = 50,00. Podemos calcular el interés total
de la inversión usando la fórmula j = C * i * n, por lo tanto j = 100,00*0,1*5=50,00. La cantidad final (M)
viene dada por la ecuación M = C + j = 100,00 + 50,00 = 150,00. Esta fórmula también se puede
expresar como M = C * (1+ n * i).
En definitiva, para el régimen de capitalización simple, tenemos las siguientes fórmulas:
Donde “C” es el capital en BRL; “i” es la tasa de interés; y “n” es el período.
METRO = C+J
1.2.2 Interés compuesto
En el régimen de capitalización compuesta, los intereses del período anterior se incorporan al capital inicial, para
el cómputo de los intereses del período siguiente y, por lo tanto, comienzan a generarse nuevos intereses. En
otras palabras, en el sistema de interés compuesto
(capitalización compuesta), la tasa de interés se aplica
sobre el monto acumulado al final del período anterior -
capital inicial más intereses.
Habrá un mecanismo para cobrar interés sobre
interés.
Este es el caso de la tasa de interés que actualiza el
rendimiento de los depósitos de ahorro. Cabría imaginar
que dado que la tasa de ahorro es del 0,5% anual, la tasa
anual sería 6% aa (= 0,5% x 12), pero, como la capitalización es mensual, la tasa de interés de 0,5% aa,
al final del año llega a 6,17% aa ( =1,005^12=1,0617), ya que genera interés sobre interés, como
veremos a continuación.
En lenguaje Excel, el símbolo ^ significa la potencia, es decir 2^3 es lo mismo que 23 o 2*2*2
= 8.
Supongamos que alguien hizo un depósito de ahorro de $100.00 en el período de tiempo
igual a 0, es decir, hoy. Después de un mes, ganaría R$ 100 x tasa de interés de 0,5/100 = R$
0,50, lo que acumularía un saldo de R$ 100,50. Para el segundo mes, en este régimen de
capitalización, los intereses serán calculados sobre el capital inicial más los intereses
adquiridos en el mes anterior, o sea, R$ 100,00 + R$ 0,50 = R$ 100,50. Así, el individuo
tendría una renta de R$ 100,50 x tasa de interés de 0,5/100 = R$ 0,5025, acumulando un
saldo de R$ 101,0025. Después del tercer mes, ganaría $101,0025 * tasa de interés de 5/100
= $0,5050125, y así sucesivamente. Si sumamos el total, tendríamos R$ 100,00
+ 0,50 BRL + 0,5025 BRL + 0,5050125 BRL = 101,50751 BRL. Si usáramos interés simple,
simplemente usaríamos la fórmula M = C * (1+n *i) que, en este caso, generaría 100 * (1 + 3 *
0,5/100) = R$ 101,50.
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7. Entonces, en general, las fórmulas para el interés compuesto son las siguientes:
y como M = C + j, tenemos:
o sustituyendo tenemos:
Vea los ejemplos.
Ejemplo 1: El monto y el interés compuesto obtenidos en una inversión de capital C = R$
1.000,00, durante 4 años, a razón del 10% anual están dados por:
Así que cómo
o de otro modo
Ejemplo 2:Supongamos que una persona solicita un préstamo de R$ 1.000,00 de un banco que
cobra una tasa de interés del 4% semestral, durante tres semestres, en régimen de
capitalización compuesta, es decir, la tasa de interés se aplica sobre el monto acumulado al final
del período anterior.
El siguiente cuadro resume los intereses devengados, los cuales se capitalizan semestralmente, y el
monto a reembolsar al cabo de tres semestres:
Período deuda al principio
del semestre
interés semestral Deuda al final del semestre
1 BRL 1.000,00 BRL 40,00 BRL 1.040,00
dos BRL 1,40,00 BRL 41,60 BRL 1.081,60
3 BRL 1.081,60 BRL 43,26 BRL 1.124,86
Nótese que el interés semestral es creciente (40,00; 41,60; 43,26), ya que se calculó sobre el
capital inicial más los intereses capitalizados en el período anterior.
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8. El valor total a pagar al final de los tres semestres es de R$ 1.124,86 y se puede obtener
aplicando la siguiente fórmula:
Donde M es el monto total a pagar, C es el capital inicial y n es el
número de periodos que transcurren entre el momento en que
se recibe el préstamo y los plazos para su devolución con
intereses. En nuestro caso, n = 3.
Considerando el ejemplo utilizado para el régimen de capitalización simple, en el tema 1.2.1, ver,
en el cuadro a continuación, la evolución de los intereses en el régimen de capitalización
compuesta, para los mismos cinco períodos (n=5 años). El período utilizado en las fórmulas a
continuación podría ser días, meses o cualquier otro período. Sólo sería necesario que la tasa de
interés se expresara respectivamente para el mismo período, es decir, por día, o por mes, o
cualquier otro período.
Tenemos las siguientes fórmulas para el esquema de capitalización compuesta:
Tiempo Honorarios cantidad Fórmula
0 0 100.00 M=C
1 10 110.00 M=C(1+i)1
dos 11 121.00 M=C(1+i)dos
3 12.1 133.10 M=C(1+i)3
4 13.31 146.41 M=C(1+i)4
5 14.64 161.05 M=C(1+i)5
1.3 Interés simple x interés compuesto
Ya hemos visto que existen dos tipos diferentes de interés sobre el capital (interés simple e
interés compuesto). En la modalidad de interés simple, el interés nunca pasa a formar parte del
capital, y en el caso del interés compuesto, el interés pasa a formar parte del capital
periódicamente, y con ellos se empiezan a generar nuevos intereses, como podemos ver más
claramente en el siguientes figuras.
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9. Nótese que para periodos de capitalización menores a la unidad (1 mes), el interés generado por el
sistema de capitalización simple es mayor que el generado por el compuesto, entonces se invierte el
resultado.
Capital inicial = BRL 10.000,00 Tasa de interés = 10% mensual
Mes Interés simple acumulado Interés compuesto acumulado
t=5 días 166,67 BRL 160,12 reales brasileños
t=10 días BRL 333,33 BRL 322,80
t=15 BRL 500,00 488,09 reales brasileños
t=20 666,67 reales brasileños 656,02 reales brasileños
t=25 BRL 833,33 BRL 826,65
t=1 mes BRL 1.000,00 BRL 1.000,00
t=1,5 meses BRL 1.500,00 BRL 1.536,90
t=2 meses BRL 2.000,00 BRL 2.100,00
En nuestra vida cotidiana, siempre nos enfrentamos al régimen de capitalización
compuesta, como por ejemplo para una inversión en ahorro, CDB o en un préstamo
bancario común. El sistema de capitalización simple se aplica únicamente al sobregiro,
ya que la cuota es mensual y los clientes suelen utilizar el sobregiro por unos días, es
decir, por un período menor a un mes. Así, como podemos ver en el cuadro anterior, es
más ventajoso para los bancos utilizar el sistema de capitalización simple, ya que el
plazo será menor a un (1 mes).
Así, observamos que el interés diario simple es mayor que el interés compuesto diario. Tenga en
cuenta también que la diferencia disminuye a medida que el período se acerca a 1 mes. Esto sucede
porque, en el régimen de capitalización compuesta, se incorporan los intereses del período anterior
para calcular el interés siguiente, que crece gradualmente, a diferencia del interés simple, que
representa una distribución uniforme de los intereses incorporados al capital a lo largo del período.
Solo después de completar el mes, el interés compuesto superará al interés simple.
Matemáticamente, se puede explicar de la siguiente manera: todo número que ha sido
descapitalizado con una potencia menor que uno tiende a crecer exponencialmente. Y, si se compara
con valores distribuidos linealmente a lo largo del mes, son menores hasta el final del mes.
1.4 Equivalencia de Tasas de Interés
Encontrar tasas de interés equivalentes es un procedimiento útil para evaluar proyectos. Esto se debe a que
es posible que deseemos comparar diferentes proyectos, por
ejemplo, uno que presenta una tasa de retorno mensual y otro
que presenta una tasa de retorno anual. Con la equivalencia de
tasas, podremos verificar qué proyecto será más ventajoso,
encontrando la tasa anual equivalente para el proyecto que
tiene una tasa de retorno mensual y comparándola con la tasa
de retorno anual del otro proyecto.
De modo que dos tasas de interés correspondientes a diferentes
son equivalentes entre sí, es necesario que su aplicación sobre el mismo capital inicial
(C) produzca el mismo monto final (M), en el mismo intervalo de tiempo (n) de la
inversión.
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10. Así, el 1% a/m, si se capitaliza mes a mes a interés compuesto, equivale a 12,6825% aa, y
el 1% a/m, a 12% aa, si se capitaliza mes a mes a interés simple.
La equivalencia entre las tasas se puede ver en los ejemplos de interés compuesto a continuación:
Una tasa semestral del 4%, aplicada al interés compuesto sobre el capital de R$
1.000,00, obtiene, en tres semestres, un valor total igual a:
La fórmula utiliza la tasa semestral del 4% y el número de semestres de duración de la operación igual
a tres.
La tasa trimestral de 1,9804% aplicada a R$ 1.000,00 genera, después de seis trimestres, el mismo período
de tres semestres, el mismo valor:
La fórmula considera una tasa trimestral de 1,9804% y seis trimestres de duración de la operación.
Esto implica que las tasas del 4% semestral y del 1,9804% trimestral son equivalentes.
Es importante tener en cuenta que las tasas son efectivas, lo que significa que son las tasas reales que paga
la persona que recibe el préstamo.
La fórmula general para transformar una tasa efectiva en una equivalente es la siguiente:
Donde: i1 es la tasa expresada en un período asociado a n1,
e i2 es la tasa equivalente expresada en otro período,
asociada a n2. Es importante que los períodos n1 y n2 sean
iguales, solo que escritos de manera diferente.
Resolviendo tendremos
El cálculo de la tasa efectiva semestral (is), equivalente a una tasa efectiva bimestral (ib), se puede realizar de la
siguiente manera:
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11. La siguiente tabla relaciona la Tasa Efectiva Anual (TEA) con otras tasas efectivas expresadas en
diferentes períodos:
Fórmula Tasa Período numero de veces
1+ia = (1+isem)dos isem semestre dos
1+ia = (1+icuadrado)3 iquad cuarto 3
1+ia = (1+itrim)4 itrim cuarto 4
1+ia = (1+veces)12 imes mes 12
1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quincena 24
1+ia = (1+isemana)52 semana semana 52
1+ia = (1+ideas)365 ideas día 365
Y la siguiente tabla presenta un ejemplo con 4 tasas equivalentes al interés compuesto:
C = BRL 100,00 y n = 1 año
capital Tasa Término Honorarios
BRL 100,00 0.1% anuncio 360 dias 143 BRL
BRL 100,00 3,04% m 12 meses 143 BRL
BRL 100,00 19,71% como 2 semestres 143 BRL
BRL 100,00 43,31% anual 1 año 143 BRL
1.5 Proporcionalidad de Interés
Además del concepto de interés equivalente, existe el concepto de interés proporcional.
Consideramos que dos tasas son proporcionales cuando están en la misma proporción con
respecto al período de tiempo. Por ejemplo: una tasa de
el interés del 12% anual es proporcional a una tasa del 1%
mensual, ya que 12 es a 1 en la misma proporción que 1 año
(12 meses) es a 1 mes.
Nótese que la tasa de interés proporcional es igual a la
tasa equivalente solo para el régimen de capitalización
simple, donde 1% a/m equivale a 12% aa, ya que generan
la misma cantidad en el mismo período de tiempo, si
usamos interés simple . Sin embargo, esto no es válido.
para el régimen de capitalización compuesta, ya que ya hemos visto en ejemplos anteriores que la
tasa anual equivalente al interés compuesto del 1% aa es ((1+0.01)^12 -1 ) = 12.6825% aa
1.6 Tasas Nominales y Efectivas
Otro concepto importante es la tasa de interés nominal. El tipo nominal es el tipo de interés al que la
unidad de referencia de su tiempo no coincide con la unidad de tiempo de los períodos de
capitalización. La tasa nominal generalmente se da en términos anuales (Tasa Nominal Anual - TNA), y
los períodos de capitalización pueden ser semestrales, trimestrales, mensuales, diarios, etc.
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12. Ejemplos de tarifas nominales son:
• 12% pa con capitalización mensual.
• 12% pa con capitalización trimestral.
• 12% pa con capitalización semestral.
• 15% pa con capitalización trimestral.
La tasa nominal, aunque ampliamente utilizada en el
mercado, no representa una tasa efectiva y, por lo tanto,
no debe utilizarse en los cálculos financieros en el régimen
de interés compuesto.
Toda tasa nominal tiene en su declaración una tasa
efectiva implícita o asociada, que es la tasa de
interés a aplicar en cada periodo de capitalización.
Esta tasa efectiva implícita siempre se calcula a
prorrata.
Cuando hablamos de cuál será la tasa efectiva implícita que
equivalente a la tasa del 12% anual capitalizable mes a mes, estamos hablando de una tasa diferente
a la tasa equivalente a la tasa del 12% anual capitalizable trimestralmente, que a su vez es diferente a
la tasa del 12% anual año, capitalizable semestralmente. En el primer caso, la tasa de interés del 12%
anual, capitalizable mes a mes, significa que debemos dividir el 12% entre 12 meses (concepto
proporcional) para obtener la tasa efectiva implícita en la tasa nominal, es decir, la tasa que se
aplicará realmente a la transacción financiera cada mes, en este caso, 1% por mes. En el segundo
- 12% anual, capitalizable trimestralmente - debemos entender que la tasa por trimestre es igual a
12% dividido por 4 (número de trimestres en 1 año), que es 3%, es decir, 3% por trimestre. Y, en el
tercer caso, dividir el 12% entre 2, obteniendo una tasa del 6% por semestre.
Como vemos, la tasa efectiva implícita de una tasa nominal anual siempre se obtiene
proporcionalmente al periodo de capitalización de la tasa nominal. La tasa efectiva anual
equivalente (TEA) a esta tasa efectiva implícita es siempre mayor que la tasa nominal que le dio
origen, ya que esta equivalencia se realiza siempre bajo el sistema de interés compuesto. La TEA
asociada a la TNA será mayor cuanto mayor sea el número de períodos de capitalización de la
tasa nominal.
En los ejemplos anteriores tenemos TNA = 12% aa, con capitalización mensual que está asociada a la tasa
efectiva implícita de 1% aa, y por tanto, para obtener la TEA, basta calcular la tasa anual equivalente a la
tasa de 1% anual Pronto:
En el segundo ejemplo, tenemos TNA = 12% aa, con capitalización trimestral que está asociada a la
tasa efectiva implícita de 3% a, y por tanto, para obtener la TEA, basta calcular la tasa anual
equivalente a la tasa de 3% en. En ese caso:
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13. Finalmente, en el último ejemplo tenemos TNA = 12% aa, con capitalización semestral que está asociada a
la tasa efectiva implícita del 6% como, y por tanto, para obtener la TEA, basta calcular la tasa anual
equivalente a la tasa del 6% como. Pronto:
El siguiente cuadro muestra un resumen comparativo entre la tasa nominal y la tasa efectiva:
Artículo Tasa nominal Tasa efectiva
Símbolo Inom i
Definición Plazo no coincide con
plazo de capitalización
La fecha límite coincide
o es equivalente
Ejemplo 6,00% per cápita mensual 10% anual
Producto SFH, Ahorros CDB, Préstamos
Observación No pagues ni cobres
lo que anuncia
Aparentemente pagado o
cobran lo que anuncian
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