Manzano 2015 ingenieria_economica

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONÓMICAS Y DE
NEGOCIOS
Ingeniería Económica
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INGENIERÍA ECONÓMICA

NEGOCIOS
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UNIDAD I: CONCEPTOS BASICOS DE LA MATEMÁTICA FINANCIERA
1. INTERÉS SIMPLE:
Es el que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura
una inversión se deben únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés
simple, los intereses son función únicamente del interés principal, el número de
periodos y la tasa de interés. Los intereses no se capitalizan.
El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la
retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto
del interés es calculado sobre la misma base.
Los intereses no generan más intereses sino que se liquidan sobre el capital
inicialmente invertido.
Su fórmula está dada por:
Para hallar el valor futuro a interés simple necesitamos de la siguiente fórmula:
Dónde:
El tipo de interés (ip) y el tiempo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo
(si el tipo de interés es anual, el n debe ser anual, si el tipo de interés es mensual,
el tiempo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o
viceversa.
Ejemplo:

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1. Calcular en cuánto se convierten 2.500.000 colocados durante 8 meses a una
tasa de interés simple del 8% mensual?
Lo que interesa en este caso es calcular el VF y tenemos entonces:
VP= 2.500.000
ip= 8% = 0.08
n= 8 meses
VF= 4.100.000
2. El día de hoy obtenemos un préstamo por $5.000.000 y después de un año
pagamos $5,900.000 Determinar la tasa de interés mensual.
En este caso debemos calcular la tasa de interés, es decir ip para lo cual
debemos despejamos de la fórmula de VF
VF= 5.900.000
VP= 5.000.000
n= 12
ip = 0.015 = 1.5% mensual

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2. INTERÉS COMPUESTO “Intereses sobre los intereses”:
La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto
con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados,
entran a formar parte del capital y para próximos periodos generarán a su vez
intereses.
Es el rendimiento de un capital tomado a préstamo, cuando al principal inicial van
acumulándose los intereses generados sucesivamente, en un proceso de
retroalimentación que ensancha, momento a momento, la base del capital.
Valor Futuro a interés compuesto:
Dónde:
Ejemplo
1. Supongamos que el señor Álvaro Romero invierte en el Banco
Bogotá $2.000.000 en un CDT a 6 meses, con una tasa del 2%
mensual de interés compuesto. ¿Cuánto dinero recibirá el señor
Romero al cabo de 6 meses?
VP= 2.000.000
n= 6 meses
ip= 2% = 0.02
2. La señora María Teresa Vargas necesita $3.000.000 dentro de 10
meses ¿Cuánto debe invertir hoy si le ofrecen una tasa del 1.5%
bimestral compuesto para lograr su objetivo?
En este caso no es el valor futuro el que debemos calcular, sino el
Valor Presente, para lo cual se hace necesario despejar VP de la
fórmula

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El tipo de interés (ip) y el tiempo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo
(si el tipo de interés es anual, el n debe ser anual, si el tipo de interés es mensual,
el tiempo irá en meses, etc.). En este caso para no hacer aún conversión de tasas,
es necesario adecuar el tiempo a la tasa que nos estén dando.
3.EQUIVALENCIA DE TASAS
Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán
equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.
Tasa de Interés Nominal
Es una tasa cuyo uso está muy generalizado en nuestro medio y aunque tiene una
cobertura de un año no se liquida anualmente sino que se fracciona para periodos
menores a un año. Por ejemplo:
24% anual liquidable mes vencido. Esto significa que el 24% se debe fraccionar
para periodos mensuales, ósea que en realidad se liquidará el 2% sobre saldos
vencidos.
ip= 0.24/12 =0.02 =2% mensual.
Tasa efectiva anual de interés (ia)
Corresponde a la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre
y cuando los rendimientos generados periódicamente se reinviertan a la tasa
de interés periódica pactada inicialmente. Representa el rendimiento real obtenido
sobre una inversión.

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Observaciones a tener muy presentes:
La tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador, porque es
una función exponencial.
Tasas nominales equivalentes entre sí, siempre tendrán la misma tasa de interés
efectiva anual. La tasa efectiva anual, por lo tanto se constituye en un criterio para
tomar decisiones, para invertir lógicamente escoger aquella entidad que ofrezca la
más alta (sin consideraciones por ahora del riesgo) y para endeudarse elegir
aquella tasa que en términos efectivos sea la menor.
Es decir una tasa del 36% anual liquidable trimestralmente sería:
Equivalencia de Tasas:
1. De una tasa nominal anual a una tasa efectiva anual
Ejemplo: La señora María Castro está realizando una inversión a una tasa nominal
del 38% anual capitalizable semestralmente. ¿La señora María Castro desea
saber cuál es la tasa efectiva anual.
(Número de liquidaciones en un año)

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2. Dada una tasa efectiva anual, hallar una tasa periódica.
Ejemplo. Dada una tasa anual efectiva del 24%, hallar la tasa mensual
equivalente.
m= Número de liquidaciones en un año
3. Dada una tasa nominal anual, hallar otra tasa nominal
anual equivalente pero con diferente periodicidad.
Siempre que se desee hallar la equivalencia entre tasas nominales, lo más
expedito será hallar la tasa efectiva equivalente a la nominal dada y luego
se determina la nominal equivalente a esa efectiva encontrada.
Ejemplo: Dada una tasa del 24% nominal mes vencida, hallar la tasa nominal
trimestre vencida equivalente. Como se mencionó, se encuentra la tasa efectiva
equivalente al 24% nominal mes vencida:
Luego se establece la tasa nominal equivalente a esta efectiva:
Nominal con capitalización trimestral vencida.

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4. Dada una tasa periódica, hallar otra tasa periódica
equivalente
Ejemplo: Convertir el 3% mensual en una tasa semestral equivalente
ip1= 0.03 m1=12
ip2= ¿ m2= 2
ip2= (1+0.03)12/2
-1
ip2= 0.1940 = 19.40% semestral
5. Dada una tasa periódica anticipada, hallar una tasa
periódica vencida
ipv= ipa/(1- ipa)
Con esta fórmula se convierte una tasa periódica anticipada a una tasa periódica
vencida
Ejemplo: Convertir el 3.5% mensual anticipado en una tasa mensual vencida.
ipv= 0.035/(1- 0.035) = 0.03627 =3.63% mensual vencido

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UNIDADAD 2: ANÁLISIS DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
1. ECUACIONES DE VALOR O ECUACIONES DE EQUIVALENCIA1
Ocurre con alguna frecuencia que por razones de liquidez las deudas no siempre
se pueden cancelar en las fechas estipuladas inicialmente, siendo por tanto
necesario acordar una nueva forma de pago.
Para resolver esta situación se ha recurrido al uso de las llamadas ecuaciones de
Valor o equivalencia, las cuales permiten cambiar el conjunto inicial de
obligaciones por un nuevo conjunto equivalente.
Para efectuar dicho cambio y establecer la equivalencia, se escoge una fecha que
los autores llaman fecha focal (ff) y se plantea la ecuación:
O sea que se traslada todo a la fecha focal y se igualan los resultados.
Estas transacciones se pueden realizar a interés simple o a interés compuesto.
Ejemplo:
La señora Mariela Patiño debe al Banco Caja Social los siguientes pagarés:
200.000 con vencimiento a 6 meses
Acuerda con el Banco pagar 380.000 a los 3 meses, y dos pagos iguales con
vencimiento de 15 y 21 meses respectivamente. La señora desea saber el valor
de dichos pagos sabiendo que para el cambio se pactó una tasa del 29% anual de
interés simple.
Tomamos como fecha focal el punto 0.
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CARDONA, Francisco José. Matemática Financiera asistida por computador. Universidad de
Manizales

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0 3 6 9 12 15 18 21
X X
380.000
200.000
350.000
420.000
El valor de los pagos es de 286.657
Nota: (Como la tasa es anual y el n es mensual, se necesita convertir los meses a
años por lo tanto se divide en 12. Si en el ejercicio todo está en meses no es
necesario dividir)
Ahora vamos a cambiar la fecha focal y tomamos 12 meses como fecha focal

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0 3 6 9 12 15 18 21
X X
380.000
200.000
350.000
420.000
Ejemplo:
Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de tres meses, $1.500.000 dentro de
diez meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona desea efectuar un solo
pago de $4.500.000 para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de interés es
del 18% anual nominal liquidada mensualmente, hallar la fecha en que debe
efectuarse el pago.

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La tasa de periódica es:
Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso:
Tomemos como fecha focal el instante cero:
Dentro de 9,24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Si
reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0,24 x 30 =
7,2 días, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de nueve
meses y siete días.
n
3
1.000.000
10
1.500.000
4.500.000
12
2.000.000
0

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2. SERIES UNIFORMES
Las series uniformes son conjuntos de pagos o cuotas iguales efectuados a
Intervalos iguales de tiempo. Las series uniformes deben tener dos condiciones
necesarias: pagos o cuotas iguales, efectuados con la misma periodicidad.
Valor presente, VP: El valor presente de una serie uniforme equivale a un pago
único ahora, el cual es equivalente a N cuotas o pagos de valor C cada uno
efectuado al principio o al final de cada intervalo de pago. Si los pagos ocurren al
final de cada intervalo de pago se llama serie uniforme ordinaria o vencida y si
ocurren al principio de cada intervalo, serie uniforme anticipada o debida.
Tasa de interés periódica, ip: A cada intervalo de pago le corresponde una tasa
de interés. Es la misma tasa periódica de interés a la cual nos hemos referido
en los temas anteriores.
Valor de los pagos o cuotas iguales, C: La característica de las series uniformes
es la ocurrencia de los pagos iguales en cada intervalo de pago.
Numero de cuotas o pagos iguales durante el plazo o término de la serie
uniforme, N: En el esquema de los pagos únicos de valor presente y valor
futuro, N se refiere a los periodos de conversión. En las series uniformes, hace
alusión al número de pagos o cuotas iguales.
Valor futuro, VF: Constituye un pago único futuro al final del plazo de la serie y el
cual es equivalente a las N cuotas o pagos que ocurren en cada intervalo de
pago.

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Valor Presente de una serie uniforme
Amortizaciones. Es una anualidad cuyos pagos tienen como objeto cancelar un
capital. Las amortizaciones pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo de si
se realizan al final o al comienzo del periodo.
Valor Presente anualidad Vencida
Ejemplo.
Supongamos un préstamo por valor de 10.000.000, contratado a una tasa
nominal del 24% mes vencida, para ser amortizado en cuotas mensuales
iguales vencidas y durante un plazo de 15 años. Determinar el valor de las
cuotas mensuales iguales:
Despejamos el valor de la cuota de la ecuación para hallar el valor
presente:
En Excel:

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Ejemplo.
VP=750.000. Crédito: plazo 8 meses, tasa interés 2.5%. Qué cuota mensual debe
pagar el cliente si compra a crédito.
Un computador cuyo precio de contado es de 1´500.000 se adquirió dando una
cuota inicial de 600.000. El resto se financió mediante el pago de 12 cuotas
mensuales vencidas con un interés vencido del 1.8% mensual. Determinar el valor
de la cuota.

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Valor Presente anualidad Anticipada
Ejemplo.
Un carro usado se ofrece en venta con el siguiente plan de crédito. 36 cuotas
mensuales anticipadas de 500.000 y un interés mensual sobre saldos del 3%.
Determinar el valor de contado.
En Excel:

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Valor futuro de una serie uniforme
Imposiciones. Es una anualidad cuyos pagos tienen como objeto acumular un
capital. Las imposiciones pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo de si se
realizan al final o al comienzo del periodo.
Valor Futuro Anualidad Vencida
Valor Cuota Imposición vencida
Valor Futuro Anualidad Anticipada
Valor Cuota imposición Anticipada
Ejemplo: Ramón Molina al principio de cada mes ha depositado $250.000 durante
los últimos tres años. En una entidad que abona el 2,1% mensual sobre el saldo.
Ramón desea saber ¿Cuál es el capital que ha acumulado a los tres años?

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En Excel:

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Ejemplo: Cuánto debe depositar María López al principio de cada mes en el
Banco Bogotá, el cual abona el 2,25% mensual para acumular 3.000.000 en un
período de 2 años.
En Excel:
a. ANUALIDADES DIFERIDAS
En muchas situaciones de la vida real se presentan casos en los cuales la primera
cuota de la anualidad ocurre después de transcurrido un determinado número de
periodos. Este lapso de tiempo en el cual no se presentan cuotas recibe el nombre
de PERIODO DIFERIDO. Cuando se trata de amortización de créditos se le llama
PERIODO DE GRACIA.

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Las anualidades diferidas pueden ser también vencidas o anticipadas.
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
Cuando se habla de un periodo de gracia, esto no significa que durante este
tiempo el crédito esté exento de intereses; simplemente durante este periodo no
se pagan cuotas.
CÁLCULOS BÁSICOS
En este tipo de anualidades nos interesa básicamente calcular el valor del
préstamo o el valor de la cuota que permite amortizar dicho préstamo.

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Valor Presente Anualidad diferida Vencida
Valor Presente Anualidad Diferida anticipada
Cuota vencida
Cuota anticipada
Ejercicio:
Al nacer Julián Rodríguez su padre deposita cierta cantidad de dinero en
una entidad financiera, con el propósito de asegurarle su educación
universitaria. Si éste ingresa a la Universidad a la edad de 18 años y su
carrera dura 6 años, determinar la cantidad depositada por el padre,
teniendo en cuenta que el costo del semestre para esa época, se estima
será de $4'500.000 y que la entidad le pagará en promedio durante todo
este tiempo, un 8% semestral vencido.

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Como no se especificó, asumimos aquí que las cuotas son vencidas. Por lo tanto,
se trata de calcular el valor presente de una anualidad vencida.
Series infinitas
Las series infinitas constituyen unos conjuntos de pagos o cuotas que tienden a
infinito, también denominadas rentas perpetuas. La mayor aplicación de estas
series se encuentra en los fondos de pensiones, seguros de vida y modelos
en valoración de empresas, entre otras. Las series uniformes y series gradientes
puede ser infinitas, nuestro propósito es lustrarlas a continuación.
El valor presente P de esta renta perpetua, lo compone un pago único ahora
equivalente a la serie infinita de cuotas iguales.

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Ejemplo.
Supongamos que queremos establecer un fondo de pensiones, de tal manera que
atienda a perpetuidad los retiros por cada $1.000.000 mensuales para alguien
que desea obtener su pensión de jubilación. Este fondo reconoce una tasa de
interés efectiva anual del 18%. De la ecuación de valor presente de esta serie:
C es el valor del retiro mensual de $1.000.000. La tasa de
interés está referida para el periodo anual, por lo tanto se debe establecer
la tasa de interés periódica mensual.
Este valor constituye el valor del fondo que permite a perpetuidad, retirar la
suma de $1.000.000 para atender la pensión. Realmente es un pago único
ahora equivalente a la serie infinita de cuotas de valor C cada una.
Naturalmente, al plan diseñado debemos de involucrarle crecimiento, el cual
permita contrarrestar la pérdida del poder adquisitivo del dinero.
3. GRADIENTES
En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos
periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta
cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El
monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:
Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago
aumenta o disminuye en $250 mensuales sin importar su monto).
Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente
anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye
en 3.8% mensual)

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Gradiente geométrico
Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en
periodos consecutivos de pagos. En la progresión geométrica cada término es el
anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión.
Valor Futuro Gradiente Geométrico
Valor Presente Gradiente Geométrico
Ejemplo: Calcular el valor presente y el valor futuro de la siguiente serie de pagos
de un crédito emitido por el banco Colombia con un tasas periódica del 25% y
comparar con el de Davivienda que tiene una tasa periódica del 27%.
Banco Colombia

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Davivienda

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Gradiente aritmético o lineal
Se presenta cuando los pagos en una serie aumentan o disminuyen de una
cantidad constante. Si la constante es positiva, la serie es creciente, si es negativa
la serie es decreciente.
Valor Presente Gradiente Aritmético
Valor Futuro Gradiente Aritmético
Ejemplo: Necesito acumular un capital durante 15 meses. Tengo el siguiente plan
de ahorro pero necesito saber si es suficiente. El primer mes 60000 el segundo
65000 y así sucesivamente hasta el mes 15, a una tasa 20% anual liquidable mes
vencido.

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4. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN
Sistema de amortización cuota fija
Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican al cubrir los
interesen y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor el proceso
conviene elaborar mejor una tabla de amortización que muestre lo que sucede con
los pagos, los intereses, la deuda, la amortización y el saldo.
Ejemplo 1:
Sergio campo contrae hoy una deuda de 95.000.000 a 18% convertible
Semestralmente que amortizara mediante 6 pagos semestrales iguales.
TABLA DE AMORTIZACION
Periodo Cuota Interés % Amortización Saldo
1 21177379,41 8550000 12627379,41 82372620,59
2 21177379,42 7413535,853 13763843,57 68608777,02
3 21177379,42 6174789,932 15002589,49 53606187,54
4 21177379,42 4824556,878 16352822,54 37253364,99
5 21177379,42 3352802,849 17824576,57 19428788,42
6 21177379,42 1748590,958 19428788,46 0

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Ejemplo 2: Fernando Lemus solicita a la Caja Agraria un crédito por $3.500.000
para mejorar los equipos de trabajo de su microempresa. Esta entidad tiene una
línea de crédito para microempresarios con las siguientes condiciones: interés del
2.3% Mes Vencido; amortización mensual, plazo 12 meses. ¿Cuánto debe pagar
Fernando mensualmente?
Copie y pegue hasta la cuota 12 y obtendrá el siguiente cuadro de amortización:
VP IP N CUOTA
3500000 0.023 12 $ 337,086.38
PERIODO CUOTA FIJA INTERESES TOTAL AMORTIZADO SALDO
1 $ 337,086.38 $ 80,500.00 $ 256,586.38 $ 3,243,413.62
2 $ 337,086.38 $ 74,598.51 $ 262,487.87 $ 2,980,925.75
3 $ 337,086.38 $ 68,561.29 $ 268,525.09 $ 2,712,400.66
4 $ 337,086.38 $ 62,385.22 $ 274,701.17 $ 2,437,699.49
5 $ 337,086.38 $ 56,067.09 $ 281,019.29 $ 2,156,680.20
6 $ 337,086.38 $ 49,603.64 $ 287,482.74 $ 1,869,197.46
7 $ 337,086.38 $ 42,991.54 $ 294,094.84 $ 1,575,102.62
8 $ 337,086.38 $ 36,227.36 $ 300,859.02 $ 1,274,243.60
9 $ 337,086.38 $ 29,307.60 $ 307,778.78 $ 966,464.82

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10 $ 337,086.38 $ 22,228.69 $ 314,857.69 $ 651,607.12
11 $ 337,086.38 $ 14,986.96 $ 322,099.42 $ 329,507.71
12 $ 337,086.38 $ 7,578.68 $ 329,507.71 $ -0.00
Sistema de Cuota creciente linealmente.
En este sistema los créditos se amortizan mediante cuotas periódicas, las cuales
se van incrementando en una cantidad constante. Por lo general en este tipo de
crédito las cuotas en los primeros años no alcanzan a cubrir los intereses
causados en cada uno de los periodos, razón por la cual la duda empieza a
incrementarse hasta alcanzar un tope máximo; momento en el cual comenzara a
decrecer debido a que el valor de la cuota ha superado el valor de los intereses.
Teniendo todas las especificaciones del préstamo, se procede a calcular la
primera cuota; la cual podemos despejar de la expresión:
Las demás cuotas se obtienen sumándole a la anterior el incremento
correspondiente.
Ejercicios:

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1. Un ahorrador solicito un préstamo por $500.000 a 15 años de plazo, si la
tasa efectiva anual es del 36.71% y el incremento mensual de $230, desea
saber cuál es el valor de las cuotas mensuales que debe pagar.
El resto de las cuotas se obtienen sumando $230 que representan el incremento
mensual a la cuota anterior:
Pero si necesitamos calcular la cuota 180 por ejemplo, podemos utilizar la
siguiente fórmula:
2. El señor Pedro Quintero solicita un préstamo al banco Agrario por $5.000.000
los cuales pagará en cuotas mensuales con un gradiente de $20.0000 a un
interés del 36% anual liquidable mes vencido, calcular el valor de la primera
cuota que se pagara.

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Sistema de cuota creciente geométricamente
En este sistema los créditos se amortizan mediante cuotas periódicas, las cuales
se van incrementando en un porcentaje. El problema básico consiste entonces en
calcular la primera cuota. Las demás se obtendrán incrementando la anterior por
el porcentaje dado.
Ejemplo
1. El Señor José Feliciano expide una solicitud al Banco de Bogotá para un
préstamo por valor de $3.000.000 a 10 años de plazo, con un interés del
32.3% efectivo anual, se debe amortizar mediante cuotas mensuales
vencidas las cuales se incrementaran en un 0.5% mensual. Determinar el
valor de la primera cuota.

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Sistema de anualidades creciente geométricamente
En este sistema los créditos se amortizan mediante cuotas periódicas vencidas,
las cuales se incrementan cada año en un porcentaje dado. En este caso también
debemos calcular el valor de la primera cuota; sólo que esta cuota es para todo el
primer año. El resto de las cuotas para los demás años se obtendrán
incrementando las del año anterior en el porcentaje dado, teniendo en cuenta que
la segunda cuota será para todo el segundo año, la tercera para todo el tercer año
y así sucesivamente.
Para el cálculo de la cuota para el primer año, utilizaremos la fórmula:
Para ip≠G
VP= Valor del Préstamo
C1= Cuota para el primer año
ip= Tasa periódica
ia= Tasa anual efectiva
n= número de años que dura el préstamo
m= Número de cuotas en un año
G= incremento porcentual
Ejemplo:
Un préstamo por $5.000.000 se obtuvo con un interés del 40.49% efectivo anual y
un plazo de 15 años para amortizar el crédito mediante cuotas mensuales
vencidas. Determinar el valor de las cuotas para los 3 primeros años y para los
tres últimos años, sabiendo que estas se incrementan cada año en un 12%.

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UNIDAD 3: APLICACIONES DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA A LA GESTIÓN
DE PROYECTOS
CRITERIOS DE EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN
Cuando se evalúan proyectos de inversión y alternativas operacionales,
efectivamente se está realizando la aplicación de los conceptos y ecuaciones de
los temas anteriores de matemáticas financieras. En los temas precedentes se
enfatizaba en la relación prestamista-prestatario, ahora se destaca la relación
entre el inversionista y el proyecto de inversión. Realmente cuando se evalúan los
proyectos de inversión, se calculan las bondades que obtiene el inversionista de
prestar su dinero al proyecto y no en otra alternativa análoga, como sería prestarle
o invertir en una entidad financiera, naturalmente considerando riesgos de
inversión similares.
En un proyecto de inversión se tienen que identificar 3 indicadores
fundamentalmente, los cuales permiten evaluarlo.
 Los ingresos de los proyectos: Al evaluar el proyecto se realiza el análisis de
la velocidad de generar dinero ahora y en el futuro (Horizonte de evaluación
del proyecto).
La inversión en el proyecto: Se debe de estimar los desembolsos a realizar en
el proyecto. La inversión son todos los recursos atascados o atorados en el
proyecto y mientras no salgan del proyecto no se generaran ingresos.
 Los gastos de operación del proyecto: Son todos los desembolsos que se
deben de efectuar, con la intención de convertir la inversión en los ingresos
del proyecto.
Intuitivamente, en la administración del proyecto se deberá aumentar la velocidad
de generar dinero en el proyecto a través del horizonte de evaluación, disminuir
los desembolsos en inversión y si esto ocurre por norma casi general, los gastos
de operación también disminuirán. El criterio de impacto y mejora global al evaluar
proyectos debe focalizarse en estos indicadores.
1. Costo Anual Presente Equivalente
Muchas alternativas prestan el mismo servicio, en esta categoría ubicamos todas
aquellas situaciones en las cuales los beneficios generados son iguales para todas

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las alternativas que se estén analizando. Por lo general. Estos beneficios no se
cuantifican en términos de dinero; el primer lugar, por no existir diferencia entre
ellos y en segundo lugar, porque la mayoría de los casos es casi imposible su
estimación. En razón de lo anterior, este tipo de alternativas se evalúan en
términos de sus costos.
Como estas alternativas se avalúan en función de sus costos, en los diagramas de
flujo de efectivo sólo aparecerán egresos, los cuales incluirán una inversión inicial
y unos costos anuales. En aquellas alternativas donde haya valor de recuperación
(valor de mercado, valor de salvamento). Aparecerá un único ingreso al final de la
vida útil de la alternativa.
Para evaluar este tipo de alternativa; utilizaremos los índices:
-Costo presente equivalente (CPE).
-Costo anual equivalente (CAE).
Ejemplo 1.
Una compañía productora de artefactos nucleares planea adquirir un reactor con
el fin de mejorar sus procesos de producción. Actualmente están analizando las
siguientes dos posibilidades:
Reactor A Reactor B
Inversión Inicial $150’000.000 $200’000.000
Costos anuales de operación
y mantenimiento. $ 25’000.000 $ 15’000.000
Valor del Mercado $ 30’000.000 $ 60’000.000
Vida Útil 6 años 6 Años
Tasa de interés de oportunidad de la compañía: 18% anual efectivo.
Solución.
Reactor A

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36
Calculamos primero el CPE.
Este valor representa (en dinero de hoy) el costo total de la adquisición del reactor
A. También podríamos decir que es su costo actual.
Calculemos ahora el CAE.
Esta cantidad representa lo que le cuesta anualmente a la entidad adquirir el
reactor A.
Reactor B
Calculemos CPE

NEGOCIOS
37
Esto le costara a la empresa (en dinero de hoy), la adquisición del reactor B.
Calculemos ahora el CAE
Esto es lo que le costaría anualmente a la entidad adquirir el reactor B
Los resultados anteriores nos muestran entonces que es más económico adquirir
el reactor A. Pues tiene menor costo.
Ejemplo 2.
Una compañía está en plan de adquirir un torno nuevo para lo cual se le han
presentado las siguientes alternativas: un torno de fabricación americana cuyo
precio de contado es 55 mil dólares instalado. Los costos anuales de operación
incluyendo mantenimiento y mano de obra ascienden a 30.000 dólares. La
segunda alternativa es un torno de fabricación alemana, cuyo precio de contado
es de 70 mil dólares instalado, y los costos anuales de operación serian solo de
25.000 dólares. Se espera que ambas maquinas tengan una vida útil de 10 años al
cabo de los cuales podrán venderse por 8 mil dólares el primero y 10 el segundo.
Si la tasa de interés de oportunidad de la empresa es del 30% anual efectivo,
determinar cuál de los tornos se debe comprar.
Solución.
Torno alemán

NEGOCIOS
38
Calculemos el CPE
Calculamos ahora el CAE
Torno americano

NEGOCIOS
39
Se recomienda adquirir el torno alemán por tener un menor costo
2. Método del valor presente neto (VPN)
Este método es muy utilizado primero, porque es de muy fácil aplicación y
segundo, porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a pesos de
hoy y así puede verse, fácilmente, si los ingresos son mayores que los egresos, el
VPN es considerado como uno de los índices más adecuados y en cierta forma el
más seguro de los existentes.
El valor presente neto es la utilidad (si es positivo) o perdida (si es negativo) a
pesos de hoy, que proviene por invertir en el proyecto y no invertir al interés de
oportunidad. Este es un concepto de marginalidad, es la riqueza adicional
que se obtiene y corresponde exactamente al valor presente de los valores
económicos agregados durante el horizonte de evaluación del proyecto.
Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una perdida a una cierta tasa
de interés.
Cuando el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia.
Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente.
En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa
de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a
rechazarlo o aceptarlo según sea el caso.
Al evaluar proyectos con el VPN se recomienda que se calcule con una tasa de
interés superior a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), con el fin de tener un
margen de seguridad para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos
inflacionarios o desviaciones que no se tengan previstas.
Para su cálculo utilizamos la siguiente relación:

NEGOCIOS
40
Ejemplo 1.
Antonio desea realizar un proyecto con una inversión inicial de $20’000.000, el
cual produce $8’000.000 de utilidades durante los próximos 5 años, al final del
cual lo vende en 10’000.000. Si la tasa de interés de oportunidad de esta persona
es del 20% anual efectivo, determine qué tan pertinente es invertir en ese
proyecto.
Solución.
Traemos al día de hoy todas las ganancias y pérdidas futuras del proyecto, en
este caso tenemos unos ingresos de 8.000.000 cada año durante 5 años lo que lo
convierte en una anualidad (cuota) entonces lo traemos con al día de hoy con la
siguiente fórmula:
VP = C 1- ( 1 + ip)-n
ip
Otro ingreso que es necesario traer hasta al año 0 son los 10.000.000, pero estos
no son una anualidad porque solo se reciben una vez dentro de 5 años y por eso
se emplea la fórmula
VP= VF/(1 + ip)n
Los 20.000.000 de la inversión inicial no es necesario emplear ninguna fórmula
porque ya están en el año 0.
VPN(ip) = Ingresos actualizados – Egresos actualizados

NEGOCIOS
41
Ingresos Actualizados:
8’000.000
 





 

2.0
2.011
5
+
 5
2.01
000.000.10

Egresos Actualizados: 20.000.000
Como el Valor Presente Neto calculado es mayor que cero, podemos considerar
que es rentable.
CALCULO EN EXCEL:
Esto nos da un valor de 27943672.84 que es el valor presente de los Ingresos,
entonces:

NEGOCIOS
42
VPN= 27943672.84 – 20000000
VPN= 7.943.672
Ejemplo 2.
Calcular el VPN del proyecto anterior considerando que la tasa de interés de
oportunidad de Antonio es del 40% anual efectivo.
Solución.
En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa
de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a ser
negativo como en este caso.
Ejemplo 3
Calcular el VPN del siguiente flujo de efectivo de un proyecto (ip=15%)
En este caso como los valores periódicos son diferentes, es decir, no es una
anualidad, es necesario traer al periodo 0 cada valor con la siguiente fórmula:
VP= VF/(1 + ip)n
De esta forma tendríamos:
VPN= Ingresos actualizados – Egresos actualizados

NEGOCIOS
43
VPN= 200/(1+0.15)1
+ 300/(1+0.15)2
+300/(1+0.15)3
+ 200/(1+0.15)4
+500/(1+0.15)5
-
1000
VPN= -39
El proyecto no es favorable para el inversionista pues el VPN es negativo, es decir
genera pérdidas.
Ejemplo 4.
Se presenta la oportunidad de montar una fábrica que requerirá una inversión
inicial de $4.000.000 y luego inversiones adicionales de $1.000.000 mensuales
desde el final del tercer mes, hasta el final del noveno mes. Se esperan obtener
utilidades mensuales a partir del doceavo mes en forma indefinida, de $2.000.000
Si se supone una tasa de interés de 6% efectivo mensual, ¿Se debe realizar el
proyecto?
Solución.
La primera instancia se dibuja la línea de tiempo para visualizar los egresos y los
ingresos.
A) Se calcula el VPN para ingresos de $2.000.000.

NEGOCIOS
44
3. Método de la tasa interna de retorno (TIR)
Este método consiste en encontrar una tasa de interés en la cual se cumplen las
condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de
inversión. Tiene como ventaja frente a otras metodologías como la del Valor
Presente Neto (VPN) o el Valor Presente Neto Incremental (VPNI) porque en este
se elimina el cálculo de la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), esto le da una
característica favorable en su utilización por parte de los administradores
financieros.
La TIR es una tasa que hace el Valor Presente Neto igual a cero. Esta tasa
representa el rendimiento obtenido por los dineros que permanecen invertidos en
un proyecto.
La Tasa Interna de Retorno o Tasa Interna de Rentabilidad es aquélla tasa que
está ganando un interés sobre el saldo no recuperado de la inversión en cualquier
momento de la duración del proyecto. En la medida de las condiciones y alcance
del proyecto estos deben evaluarse de acuerdo a sus características, con unos
sencillos ejemplos se expondrán sus fundamentos.
La TIR es una herramienta de toma de decisiones de inversión utilizada para
comparar la factibilidad de diferentes opciones de inversión. Generalmente, la
opción de inversión con la TIR más alta es la preferida.
 Es la tasa de interés por la cual se recupera la inversión.
 Es la tasa de interés máxima que se puede endeudar para no perder.
 Es la tasa de interés a la cual el inversionista le presta su dinero al
proyecto y es característica del proyecto, independientemente de quien
evalué.
Ilustremos el concepto y el cálculo de la TIR con un sencillo ejercicio:
Flujo de caja del proyecto:

NEGOCIOS
45
La TIR es la tasa que hace al VPN igual a cero
Hacemos un primer cálculo del VPN con una tasa estimada la cual calculamos con
la siguiente relación
En este primer ensayo hemos encontrado que el VPN es mayor que cero, lo que
nos indica que la TIR es mayor del 34%.

NEGOCIOS
46
Segundo ensayo:
Calculemos ahora el VPN con una tasa mayor: 40%, por ejemplo:
Como el VPN es menor que cero, significa que la TIR es menor que 40%.
Por lo tanto la tasa que estamos buscando se encuentra entre 34% y 40%.
Interpolemos entre estas dos tasas:
De esta forma hemos obtenido una TIR=34%+3.255% = 37.255%.
Si se desea saber qué tan buen negocio es éste para la persona, se debe
comparar esta tasa con su tasa de interés de oportunidad, o sea con la
rentabilidad que normalmente obtiene en sus negocios.
Para tomar la decisión con la TIR la debemos comparar con la rentabilidad
obtenida en otras alternativas análogas, como por ejemplo, con los mismos
niveles de riesgo. Esta rentabilidad de invertir en oportunidades similares es

NEGOCIOS
47
la tasa de interés de oportunidad o el costo de capital promedio ponderado
(CCPP).
En resumen, cuando:
TIR>CCPP Aceptar el proyecto.
TIR<CCPP Rechazar el proyecto.
TIR=CCPP El proyecto es indiferente.
CALCULO EXCEL
El cálculo de la TIR en forma manual es algo complicado por lo cual es mejor
emplear Excel pues se calcula de forma sencilla de la siguiente manera:

NEGOCIOS
48
TIR=37.1%
4. Razón Costo Beneficio y Periodo de recuperación
Si bien este método se utiliza en la evaluación financiera, su uso es más
generalizado en la evaluación de proyectos de interés social o proyectos públicos
cuando los fondos para la financiación provienen de organismos internacionales.
Para obtener la relación beneficio/costo se realiza el cociente entre la sumatoria
de los valores actualizados de los ingresos y la Sumatoria de los valores
actualizados de los egresos.
De otro modo, de lo que se trata es de calcular el valor presente de los ingresos y
de los egresos del proyecto con base en la tasa de oportunidad y hacer la
correspondiente división. Los valores resultantes de la relación B/C deben ser
interpretados como sigue:
R B/C > 1 El proyecto es viable, dado que el VP de los ingresos es mayor que el
VP de los egresos

NEGOCIOS
49
R B/C < 1 El proyecto no es atractivo, dado que el VP de los ingresos es inferior al
VP de los egresos
R B/C = 1 Teóricamente es indiferente realizar o no el proyecto. En este caso la
TIR y la tasa de oportunidad son iguales. El VP de los ingresos es igual al VP de
los egresos.
Ejemplo: Calculemos la RCB del siguiente flujo de efectivo
Ingresos Actualizados:
= 8’000.000
 





 

2.0
2.011
5
+
 5
2.01
000.000.10

= 23’924.897 + 4’018.775,7= 27.943.672.7
Egresos Actualizados: 20.000.000
RCB =27.943.672.7/20.000.000
RCB= 1.4

NEGOCIOS
50
El proyecto es viable, por cada peso invertido en el proyecto este nos recupera 1.4
pesos.
5. Periodo de recuperación (PRI):
El periodo de recuperación de la inversión - PRI - es uno de los métodos que en el
corto plazo puede tener el favoritismo de algunas personas a la hora de evaluar
sus proyectos de inversión. Por su facilidad de cálculo y aplicación, el Periodo de
Recuperación de la Inversión es considerado un indicador que mide tanto la
liquidez del proyecto como también el riesgo relativo pues permite anticipar los
eventos en el corto plazo.
Es importante anotar que este indicador es un instrumento financiero que al igual
que el Valor Presente Neto y la Tasa Interna de Retorno, permite optimizar el
proceso de toma de decisiones.
¿En qué consiste el PRI? Es un instrumento que permite medir el plazo de
tiempo que se requiere para que los flujos netos de efectivo de una inversión
CALCULO DEL PRI
Supóngase que se tienen dos proyectos que requieren un mismo valor de
inversión inicial equivalente a $1.000.00. El proyecto (A) presenta los siguientes
Flujo Neto de Efectivo (FNE) datos en miles:
CALCULO PRI (A): Uno a uno se van acumulando los flujos netos de efectivo
hasta llegar a cubrir el monto de la inversión. Para el proyecto A el periodo de
recuperación de la inversión se logra en el periodo 4: (200+300+300+200=1.000).
Ahora se tiene al proyecto (B) con los siguientes FNE:

NEGOCIOS
51
CALCULO PRI (B): Al ir acumulando los FNE se tiene que, hasta el periodo 3, su
sumatoria es de 600+300+300=1.200, valor mayor al monto de la inversión inicial,
$1.000. Quiere esto decir que el periodo de recuperación se encuentra entre los
periodos 2 y 3.
Para determinarlo con mayor exactitud siga el siguiente proceso:
 Se toma el periodo anterior a la recuperación total (2)
 Calcule el costo no recuperado al principio del año dos: 1.000 - 900 = 100.
Recuerde que los FNE del periodo 1 y 2 suman $900 y que la inversión
inicial asciende a $1.000
 Divida el costo no recuperado (100) entre el FNE del año siguiente (3), 300:
100÷300 = 0.33
 Sume al periodo anterior al de la recuperación total (2) el valor calculado en
el paso anterior (0.33)
 El periodo de recuperación de la inversión, para este proyecto y de acuerdo
a sus flujos netos de efectivo, es de 2.33 períodos.
ANÁLISIS: Como se puede apreciar, el proyecto (A) se recupera en el periodo 4
mientras que el proyecto (B) se recupera en el 2.33 periodo. Lo anterior deja ver
que entre más corto sea el periodo de recuperación mejor será para los
inversionistas, por tal razón si los proyectos fueran mutuamente excluyentes la
mejor decisión sería el proyecto (B).
También es posible calcular el PRI descontado. Se sigue el mismo procedimiento
tomando como base los flujos netos de efectivo descontados a sus tasa de
oportunidad o costo de capital del proyecto. Es decir, se tiene en cuenta la tasa
de financiación del proyecto.
Las principales desventajas que presenta este indicador son las siguientes: Ignora
los flujos netos de efectivo más allá del periodo de recuperación; sesga los
proyectos a largo plazo que pueden ser más rentables que los proyectos a corto
plazo; ignora el valor del dinero en el tiempo cuando no se aplica una tasa de
descuento o costo de capital. Estas desventajas pueden inducir a los
inversionistas a tomar decisiones equivocadas.

NEGOCIOS
52
Tasa interna de retorno versus Valor presente neto:2
Vamos a efectuar una afirmación, la cual demostraremos en el sentido de
que la TIR solamente es un criterio que evalúa impactos locales y por lo tanto
no permite optimizar el uso del dinero. El criterio del VPN, es un indicador
de impacto global y con este tendremos que seguir evaluando para explotar y
elevar la restricción, este criterio coincide con el valor económico agregado
EVA. En conclusión hemos establecido el objetivo de los proyectos, el cual es
agregar más valor a la empresa ahora y en el futuro (aumentar la velocidad
de generar dinero) y también determinamos la brújula o el indicador, el VPN, que
nos permita comprobar si nos acercamos o alejamos de nuestro objetivo.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/Lecciones/Cap%2
09/9-1-4.htm
Alternativas mutuamente excluyentes
Cuando se trate de escoger una alternativa entre varias opciones, es decir
que una excluye a las demás, lo más sensato es evaluar la decisión para cada
caso.
Considere los dos proyectos de inversión, con los flujos que se muestran en el
cuadro, el cual incluye el cálculo de los valores presentes netos y las tasas
internas de retorno para cada proyecto y para la alternativa incremental.
Año Proyecto A Proyecto B B-A
0
1
2
3
4
5
6
-300000
160000
164800
169744
174836
180081
185484
-300000
140000
151200
163296
176360
190468
205706
0
-20000
-13600
-6448
1523
10387
20222
2
NAVARRO, Castaño Diego. Matemáticas Financiera. Universidad Nacional de Colombia.

NEGOCIOS
53
7
8
9
10
191048
196780
202683
208764
222162
239935
259130
279861
31114
43156
56447
71097
TIO 0.25
VPN 322326 332625 10299
TIR 55% 53% 31%
Cuál sería su recomendación sobre el proyecto a escoger, si fueran mutuamente
excluyentes y la tasa de interés de oportunidad fuera del 25%.
Se escogería el proyecto con el mayor valor presente neto, que es el proyecto
B, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto A es mayor. Se recalca
que en caso de alternativas mutuamente excluyentes, el valor presente neto
siempre conduce al ordenamiento correcto de alternativas; no así la tasa interna
de retorno aplicada directamente.
La alternativa incremental (B – A) tiene un valor presente neto positivo, para una
tasa de oportunidad de interés de oportunidad del 25%. La tasa interna de retorno
de la alternativa incremental 31% es superior a la tasa de oportunidad mostrando
a su vez que el proyecto B se prefiere al proyecto A.

NEGOCIOS
54
Referencias
AYRES, Frank Jr./ Matemáticas Financieras.- - Mc Graw Hill, 1976.
CANADÁ, J.R. y WHITE, Jr JA/Capital Investment Decision Analysis for
Managment and Engineering.- - Prentice Hall mc, Englewood Cliffs, NJ, 1980.
CARDONA, Alberto Matemáticas financieras. -- Editorial Interamericana SA.,
1986.
CARDONA, Francisco José. Matemática Financiera asistida por computador.
Universidad de Manizales
CORREDORES ASOCIADOS Manual para el cálculo de rentabilidades.- - Semi-
flash, 1998.
CRUZ, Juan Sergio Lógicas y dialécticas en las decisiones de inversión.
3R Editores, 2001.
EVANS, James R., OLSON, David! Introduction lo Simulation and Risk Analysis.- -
Prentice Hall, 1998.
FAMA, Eugene F. Short terms, interest rates as predictors of Inflation.- - merican
Economic Review. Junio, 1995.
NAVARRO, Castaño Diego. Matemáticas Financiera. Universidad Nacional de
Colombia. Recuperado de:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/index.html
VÉLEZ P., Ignacio Decisiones de inversión enfocado a la valoración de
empresas. CEJA, 2001.

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