Métodos financieros: interés simple, capital e interés

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MÉTODOS FINANCIEROS
MATERIAL ELABORADO POR DOCENTE
ANDRÉS RUIZ RODRÍGUEZ
UNIVERSIDAD DE MAGALLANES
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓNY ECONOMÍA
PLAN COMÚN DE CIENCIAS EMPRESARIALES
MÓDULO I: Interés simple

Importancia de las matemáticas financieras
— Iniciaron desde que apareció el dinero.
— Herramienta para la toma de decisiones.
— Valorización del dinero en un período de tiempo determinado.
— Las economía de un país está basada en operaciones financieras.
— Fortalece la educación financiera.
— En general, el objetivo fundamental de las matemáticas financieras
es seleccionar la alternativa más conveniente desde un punto de
vista económico.

Valor del dinero en el tiempo
— Es un concepto muy importante en las matemáticas financieras.
— El dinero cambia de valor con el tiempo por el fenómeno de la
inflación y por la devaluación del dinero.
— Con $1.000 de hoy día, se adquirirá una cantidad menor de bienes y
servicios dentro de un año, puesto que el dinero pierde poder
adquisitivo.
— Este concepto del valor del dinero dio origen al interés.

Interés
— Es la cantidad pagada por el uso del dinero en préstamo o la
cantidad producida por la inversión de capital (Ayres, 1971).
— De esta definición, puede concluirse que el interés está directamente
relacionado con el uso del dinero, que está siempre produciendo
más dinero, en función del tipo de interés y del tiempo.
— En consecuencia, se puede decir que el interés es el valor que se
paga o se recibe por el uso del dinero.

Tasa de Interés
— La tasa de interés mide el valor de los intereses en un porcentaje o
proporción para un período de tiempo determinado.
— La tasa dependerá de la inflación, las políticas de gobierno, el
crecimiento económico, etc.
— Es un indicador muy importante en la economía de un país, porque
le supone un valor al dinero en el tiempo.

Tasa de Política Monetaria (TPM)
— Es el principal instrumento de la política monetaria del país.
— En la práctica, es la tasa a la cual el Banco Central le presta a los
bancos comerciales. Al mismo tiempo, incide directamente en todas
las tasas del sistema financiero.
— Dicha tasa es fijada por el Consejo del Banco Central, en reuniones
que se efectúan 8 veces en total al año.
— En la práctica, un cambio en la TPM modifica el costo de
endeudamiento de los bancos comerciales y, a través de ellos, el de
las personas y empresas. Ello provoca cambios en las decisiones de
consumo e inversión, lo que conlleva efectos sobre la actividad
económica y la inflación.
Hablemos un poquito de este importante indicador…

Tasa de interés
— Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:
Tasa de interés (i) = Interés (I)
— Como se dijo anteriormente, la tasa de interés esta expresada en
términos porcentuales, pero cuando se usa en cualquier ecuación
matemática, se hace necesario convertirla en un número decimal.
— La unidad de tiempo para expresar la tasa de interés puede ser
mensual, trimestral, bimestral, semestral, anual, etc.
Capital inicial (C)

Tasa de interés
Veamos un ejemplo:
— Una entidad financiera le presta a una persona una suma de $1.000.000
y al cabo de un año, paga $1.200.000.
— Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés pagada.
Solución:
• Lo primero sería identificar los componentes del enunciado:
Capital inicial: $1.000.000
Interés: Monto final o monto a pagar – Capital inicial
$1.200.000 - $1.000.000 = $200.000
Tasa de Interés = $200.000 = 0,2 (20% anual)
$1.000.000 0,0166 (1,66% mensual)

Interés simple
— Es aquel que se paga al final de cada período y por ende, el capital prestado o
invertido no varía, y por la misma razón la cantidad recibida siempre será la
misma, es decir, no hay capitalización de los intereses.
— Matemáticamente, el interés simple se expresa de la siguiente manera:
I = C * i * t
Donde:
I = Interés
C = Capital inicial
i = Tasa de interés
t = Tiempo

Interés simple
Veamos un ejemplo:
— Calcular el interés simple que gana un capital de $5.000 al 6% mensual
al cabo de 5 meses.
— Calcular el valor del interés mensual y al cabo de los 5 meses.
Solución:
• Lo primero sería identificar los componentes del enunciado:
Capital inicial: $5.000
Interés mensual = $5.000 * 0,06 * 1 = $300
Interés a los 5 meses = $5.000 * 0,06 * 5 = $1.500
Tasa de interés: 6% mensual
Tiempo: 5 meses

Variación de la tasa de interés en
función del tiempo
— Entre los períodos de tiempo de las tasas de interés más utilizadas están:
— Anual
— Semestral
— Cuatrimestral
— Trimestral
— Bimestral
— Mensual
— Quincenal
— Diaria

función del tiempo
— En los casos cuando la tasa de interés es fijada en un período de tiempo
determinado, la fórmula de interés simple es la siguiente:
I = C * i * t
Donde:
I = Interés
C = Capital inicial
i = Tasa de interés
t = Tiempo (expresado en días)
m = Número de días del período de tiempo
m

función del tiempo
— Se utiliza para el tiempo exacto 365 o 366 días o para tiempo
aproximado, 360 días.
Ejemplo:
— Calcular el interés que gana un capital invertido de $200.000 al 10%
anual, durante 180 días.
Tasa de interés anual
Interés año calendario:
I = $200.000 * 0,10 * 180 = 9.863,01
365
Interés año comercial:
I = $200.000 * 0,10 * 180 = 10.000
360

función del tiempo
— Se utiliza para el tiempo exacto 181 o 184 días, o para tiempo
Ejemplo:
— Calcular el interés que gana un capital invertido de $200.000 al 5%
semestral (primer semestre), durante 180 días.
Tasa de interés semestral
I = $200.000 * 0,05 * 180 = 9.944,75
181
I = $200.000 * 0,05 * 180 = 10.000
180

función del tiempo
— Se utiliza para el tiempo exacto 28, 30 o 31 días, o para tiempo
Ejemplo:
— Calcular el interés que gana un capital invertido de $200.000 al
0,833% mensual (mes de enero), durante 180 días.
Tasa de interés mensual
I = $200.000 * 0,00833 * 180 = 9.673,54
31
I = $200.000 * 0,00833 * 180 = 9.996
30

Conclusión:
La tasa de interés siempre deberá estar en función del tiempo. Es decir:
— Si la tasa de interés es anual, el tiempo estará dividido en 360 días.
— Si es semestral, por 180 días.
— Si es trimestral, por 90 días.
— Si es mensual, por 30 días.
función del tiempo

Cálculo del número de días
— El número de días de un año se puede expresar de la siguiente
manera:
— Año calendario: 365 días o 366 días (año bisiesto)
— Año comercial: 360 días
— Con esto, el cálculo de días para encontrar el interés puede realizarse
en forma aproximada o en forma exacta.

— Con el objeto de facilitar los cálculos de tiempo, se supone un año de
360 días, dividido en 12 meses de 30 días cada uno. Se denomina,
cálculo aproximado del tiempo.
— Por ejemplo: Calcular el número de días que hay entre el 15 de
febrero al 15 de mayo.
Forma aproximada
Año comercial
Febrero 15
Marzo 30
Abril 30
Mayo 15
Total 90

— Se toma como referencia el número de días del calendario, es decir,
meses de 30 o 31 días (28 o 29 días en el caso de febrero), año de
365 o 366 días, según corresponda. Se denomina, cálculo exacto del
tiempo.
— Por ejemplo: Calcular el número de días que hay entre el 15 de
febrero al 15 de mayo.
Forma exacta
Año normal Año bisiesto
Febrero 13 14
Marzo 31 31
Abril 30 30
Mayo 15 15
Total 89 90

Variación del cálculo del interés
— El cálculo del interés varía si tomamos el año de 360, 365 o 366 días
(según corresponda). Las dos formas que existen son las siguientes:
Forma exacta
— Interés año calendario:
Cuando se divide el tiempo para 365 o 366 días, si la tasa de interés es anual.
— Interés año comercial:
Cuando se divide el tiempo en 360 días, si la tasa de interés es anual.

— Calcular el interés que genera un capital de $30.000 al 9% anual,
desde el 10 de mayo al 15 de septiembre, según forma aproximada y
exacta:
Veamos un ejemplo:
Año calendario Año comercial
Mayo 21 20
Junio 30 30
Julio 31 30
Agosto 31 30
Septiembre 15 15
Total 128 125
Solución:
• Lo primero sería calcular el número de días según cada tipo de calendario:

— Calcular el interés que genera un capital de $30.000 al 9% anual,
desde el 10 de mayo al 15 de septiembre, según forma aproximada y
exacta:
Veamos un ejemplo:
Solución:
• Lo segundo, calcular el interés de acuerdo al número de días calculados y
el tipo de calendario que se va a ocupar:
Interés año calendario, con tiempo exacto:
I = $30.000 * 0,09 * 128 = 946,84
365
Interés año comercial, con tiempo aproximado:
I = $30.000 * 0,09 * 125 = 937,5
360

Cálculo del Capital
— Para el cálculo del capital inicial (C), se toma como base la fórmula del
interés simple ( I = C * i * t ), y se despeja C:
C = I
— Tanto la tasa de interés, como el tiempo, deberán estar en función de lo
mismo, por ejemplo:
i * t
Cuando i es anual Cuando i es semestral Cuando i es mensual
m

Cálculo del Capital
Veamos un ejemplo:
— Calcular el capital inicial que generó un interés de $20.000 a una tasa
de interés mensual del 2,5% en 90 días.
Solución:
• Identificamos los componentes y aplicamos la fórmula de capital, y se
obtiene lo siguiente:
C = 20.000 =
0,025 * 90
30
C = $266.666,66
Interés (I): $20.000
Tasa de interés (i): 2,5% mensual
Tiempo (t): 90 días = 3 meses

Cálculo de la tasa de interés
— Para el cálculo de la tasa de interés (i), se toma como base la fórmula
del interés simple ( I = C * i * t ), y se despeja i:
i = I
mismo, por ejemplo:
C * t
Cuando i es anual Cuando i es semestral Cuando i es mensual
m

Cálculo de la tasa de interés
Veamos un ejemplo:
— ¿A qué tasa de interés semestral se coloca un capital de $250.000 para
que produzca $30.000 en 120 días?
Solución:
• Identificamos los componentes y aplicamos la fórmula de tasa de
interés, y se obtiene lo siguiente:
i = 30.000 =
250.000 * 120
180
i = 0,18 = 18% semestral
Capital inicial (C): $250.000
Tiempo (t): 120 días = 4 meses

Cálculo del tiempo
— Para el cálculo del tiempo (t), se toma como base la fórmula del interés
simple ( I = C * i * t ), y se despeja t:
t = I * m
mismo, por ejemplo:
C * i
Cuando t es anual Cuando t es semestral Cuando t es mensual
En todas las fórmulas el tiempo estará expresado en días

Cálculo del tiempo
Veamos un ejemplo:
— ¿En cuánto tiempo un capital inicial de $120.000 ganará un interés de
$3.500 al 2% mensual?
Solución:
t = 3.500 * 30 =
120.000 * 0,02
t = 43,75 días
Tasa de interés (i): 2% mensual

Cálculo del monto a interés simple
— El monto a interés simple es la suma del capital inicial más los intereses
generados en el transcurso del tiempo. Se representa con la letra M. Lo
que sería algo así:
M = C + I
— La fórmula de interés simple (I) es: I = C * i * t
— Si reemplazamos interés en la fórmula anterior obtenemos:
M = C + C * i * t
— Finalmente, al obtener factor común resulta la siguiente fórmula:
M = C ( 1 + i * t )
m
m
m

Cálculo del monto a interés simple
Veamos un ejemplo:
— Calcular el monto de un capital inicial de $450.000 al 3% trimestral
durante 140 días.
Solución:
M = 450.000 (1 + 0,03 * 140 )
90
M = $471.000
Tasa de interés (i): 3% trimestral
Tiempo (t): 140 días

Cálculo del valor actual a interés simple
— Valor actual o valor presente de una deuda o de un capital invertido,
corresponde al valor del capital en una fecha anterior a la del
vencimiento original. Se representa con la letra C.
— A partir de la formula del monto a interés simple, M = C ( 1 + i * t ), de
la cual se despeja C:
C = M
— El valor actual puede calcularse con tasa de interés anual, semestral,
mensual, etc., y con el tiempo expresado en días, meses o años.
1 + i * t
m
m

Cálculo del valor actual a interés simple
Veamos un ejemplo:
— Calcular el valor actual de una deuda de $600.000, con vencimiento en
300 días, 100 días antes de su vencimiento, considerando una tasa de
interés de 9% semestral.
Solución:
• Identificamos los componentes y aplicamos la fórmula de valor actual a
interés simple, y se obtiene lo siguiente:
C = 600.000
1 + 0,09 * 100
180
C = $571.428,57
Monto (M): $600.000
Tasa de interés (i): 9% semestral
Tiempo (t): 300 días, 100 días antes.

Gráficas de tiempos y valores
— Calcular el valor actual, al día de hoy, de una deuda de $250.000, que
vence en 210 días de plazo, considerando una tasa de interés del 4%
trimestral.
Veamos un ejemplo:
C = 250.000
1 + 0,04 * 210
90
C = $228.658,53
Monto (M): $250.000
Tasa de interés (i): 4% trimestral
Tiempo (t): 210 días

Ecuaciones de valor
— Se utilizan para la resolución de problemas de matemáticas financieras
en las cuales se reemplaza un conjunto de obligaciones, con diferentes
fechas de vencimiento, por uno o varios valores, con otras fechas de
referencia, previo acuerdo entre acreedor y deudor.
— Las aplicaciones de las ecuaciones de valor son principalmente:
— Reemplazo de un conjunto de obligaciones o deudas por un solo pago.
— Comparación de ofertas para comprar o vender.
— Cálculo del monto de una serie de depósitos sucesivos de corto plazo.
— Cálculo del valor actual de una serie de pagos sucesivos de corto plazo.

Ecuaciones de valor
Veamos un ejemplo:
— Una empresa tiene las siguientes obligaciones de corto plazo:
— D1: $50.000 a 60 días de plazo
— D2: $70.000 a 120 días de plazo
— D3: $100.000 a 240 días de plazo
— D4: $120.000 a 300 días de plazo
— La empresa desea reemplazar sus obligaciones por un solo pago a 180
días de plazo, considerando una tasa de interés del 14% anual. Calcular
el pago único.

Ecuaciones de valor
Veamos un ejemplo:
— Una empresa tiene las siguientes obligaciones de corto plazo:
— D1: $50.000 a 60 días de plazo
— D2: $70.000 a 120 días de plazo
— D3: $100.000 a 240 días de plazo
— D4: $120.000 a 300 días de plazo
X D3 D4
0 30 300
150 180 210 240 270
60 90 120
D1 D2
Fecha focal
— Lo primero, es dibujar el gráfico de tiempos y valores:

Ecuaciones de valor
Veamos un ejemplo:
— Según se aprecia en el gráfico, se ha tomado como fecha focal los 180
días, que es la fecha en que se consolidan las deudas.
— La D1 y D2 ya han vencido, por tanto, deben calcularse como monto. La
D3 y D4, aún se encuentran vigentes, por lo que se pagaran por
anticipado, por lo que deben calcularse como valor actual.
— Lo siguiente, es calcular la cantidad de días de todas las deudas, según
la fecha focal:
— D1: 180 – 60 = 120
— D2: 120 – 60 = 60
— D3: 240 – 180 = -60
— D4: 300 – 180 = -120

Ecuaciones de valor
Veamos un ejemplo:
— Finalmente, se aplican las fórmulas correspondientes indicadas en la
lamina anterior:
— x = 50.000 * (1 + 0,14 * 120/360) + 70.000 * (1 + 0,14 * 60/360) + 100.000 / (1
+ 0,14 * 60/360) + 120.000 / (1 + 0,14 * 120/360)
— x = 52.333,33 + 71.633,33 + 97.719,87 + 114.649,68
— x = 336.336,21

Ecuaciones de valor
Veamos un segundo ejemplo:
— Calcular el valor de la deuda de una empresa al día de hoy, que tiene las
siguientes deudas:
— D1: $200.000 a 90 días de plazo
— D2: $250.000 a 120 días de plazo
— D3: $350.000 a 200 días de plazo
— La empresa desea reemplazar las 3 deudas por una sola, con vencimiento al
día de hoy, con una tasa de interés trimestral del 7,2%.
X D3
0 200
90 120
D1 D2
Fecha focal

Ecuaciones de valor
Veamos un segundo ejemplo:
— La fecha focal es el día de hoy, que es la fecha en la que se desea
conocer el valor actual de las 3 deudas.
— Todas las deudas, al estar en una fecha posterior a la fecha focal, se
deben calcular como valor actual.
— Se aplican las fórmulas correspondientes:
— x = 200.000 / (1 + 0,072 * 90/90) + 250.000 / (1 + 0,072 * 120/90) + 350.000 /
(1 + 0,072 * 200/90)
— x = 186.567,16 + 228.102,18 + 301.724,13
— x = 716.393,47

Comparación de ofertas para comprar
y vender
— Para seleccionar una mejor oferta, ya sea para comprar o vender, se
toma como fecha focal, el tiempo 0 o valor actual de todas las ofertas.
— El propietario de una vivienda, recibe 3 ofertas:
1. $150.000 al contado, al día de hoy, y $150.000 a un año de plazo.
2. $100.000 al contado, al día de hoy, y dos cuotas de $100.000 cada una, a 6
y 8 meses de plazo, respectivamente.
3. $50.000 al contado, al día de hoy, $100.000 a 6 meses de plazo y $150.000
a 12 meses de plazo.
— ¿Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar, si se considera una tasa de
interés mensual de un 1,4%?
Veamos un ejemplo:

y vender
1. $150.000 al contado y $150.000 a un año de plazo.
Primera oferta:
0 12
meses
$150.000 $150.000
— x = 150.000 + 150.000 / (1 + 0,014 * 360/30)
— x = 150.000 + 128.424,65 = 278.424,65

y vender
2. $100.000 al contado y dos cuotas de $100.000 cada una, a 6 y 8 meses de
plazo, respectivamente.
Segunda oferta:
0 8
meses
$100.000 $100.000
— x = 100.000 + 100.000 / (1 + 0,014 * 180/30) + 100.000 / (1 + 0,014 * 240/30)
— x = 100.000 + 92.250,92 + 89.928,05 = 282.178,97
6
meses
$100.000

y vender
3. $50.000 al contado, $100.000 a 6 meses de plazo y $150.000 a 12 meses
de plazo.
Tercera oferta:
0 12
meses
$50.000 $150.000
— x = 50.000 + 100.000 / (1 + 0,014 * 180/30) + 150.000 / (1 + 0,014 * 360/30)
— x = 50.000 + 92.250,92 + 128.424,65 = 270.675,57
6
meses
$100.000

Intereses en cuentas de ahorro
— Para calcular los intereses que genera una cuenta de ahorro, se utiliza la
fórmula de cálculo de interés simple, aplicada a los saldos.
— Para este caso, los saldos de cada movimiento se consideran el “capital”. En
cuanto al tiempo, este se calcula entre fecha y fecha.
— Por ejemplo, si tenemos un saldo de $1.000.000 al 1 de enero y abonamos el
día 20 de enero $200.000, los intereses se calculan de la siguiente manera:
— Del 1 al 20 de enero, se aplican los intereses al $1.000.000 durante 20 días.
— De 21 al 31 de enero, se aplican los intereses al $1.200.000 durante 11 días.
— En el caso del abono, si bien el movimiento se realiza el día 20 de enero, el
movimiento en la cuenta de ahorro se aplica desde el día siguiente.
Fecha inicial Abonos (+) Giros (-) Saldo Fecha final Tiempo (días) Intereses ($)

— Una persona tiene una cuenta de ahorro con un saldo de $1.500.000 al
1 de enero de 2023, con una tasa de interés anual del 16%. El detalle de
los giros y abonos se detalla a continuación:
Veamos un ejemplo:
Giros (-) Abonos (+)
29 de enero: $400.000 8 de enero: $450.000
11 de marzo: $700.000 24 de febrero: $900.000
28 de mayo: $250.000 5 de abril: $520.000
1 de agosto: $720.000 7 de octubre: $900.000
9 de noviembre: $1.050.000 9 de diciembre: $1.150.000
Se pide:
1. Intereses generados al 31 de diciembre, según año calendario.
2. Intereses generados al 31 de diciembre, según año comercial.

Año calendario:
01-01-2023 - - 1.500.000 08-01-2023 8 5.260,27
09-01-2023 450.000 1.950.000 29-01-2023 21 17.950,68
30-01-2023 400.000 1.550.000 31-01-2023 2 1.358,90
Total enero 31 24.569,85
01-02-2023 1.550.000 24-02-2023 24 16.306,84
25-02-2023 900.000 2.450.000 28-02-2023 4 4.295,89
Total febrero 28 20.602,73
01-03-2023 - - 2.450.000 11-03-2023 11 11.813,69
12-03-2023 - 700.000 1.750.000 31-03-2023 20 15.555,55
Total marzo 31 27.369,24
Completar el resto de meses

Año comercial:
01-01-2022 - - 1.500.000 08-01-2022 8 5.333,33
09-01-2022 450.000 1.950.000 29-01-2022 21 18.200
30-01-2022 400.000 1.550.000 30-01-2022 1 688,88
Total enero 30 24.222,21
01-02-2022 1.550.000 24-02-2022 24 16.533,33
25-02-2022 900.000 2.450.000 30-02-2022 6 6.533,33
Total febrero 30 23.066,66
01-03-2023 - - 2.450.000 11-03-2023 11 11.977,77
12-03-2023 - 700.000 1.750.000 30-03-2023 19 14.777,77
Total marzo 31 26.755,54

— Una empresa tiene una cuenta de ahorro con un saldo de $12.000.000
al 30 de junio de 2023, con una tasa de interés trimestral del 2,8%. El
detalle de los giros y abonos se detalla a continuación:
Veamos otro ejemplo:
Giros (-) Abonos (+)
29 de julio: $1.400.000 14 de agosto: $980.000
1 de septiembre: $1.000.000 19 de septiembre: $400.000
4 de noviembre: $450.000 29 de noviembre: $750.000
4 de diciembre: $120.000 22 de diciembre: $670.000
Se pide:
1. Intereses generados al 31 de diciembre, según año calendario.
2. Intereses generados al 31 de diciembre, según año comercial.

Año calendario:
01-07-2023 - - 12.000.000 29-07-2023 29 108.266,66
30-07-2023 - 1.400.000 10.600.000 30-07-2023 1 3.297,77
Total julio 30 111.564,43
01-08-2023 - - 10.600.000 14-08-2023 14 46.168,88
15-08-2023 980.000 - 11.580.000 30-08-2023 16 57.642,66
Total agosto 30 103.811,54
01-09-2023 - - 11.580.000 01-09-2023 1 3.602,66
02-09-2023 - 1.000.000 10.580.000 19-09-2023 18 59.248
20-09-2023 400.000 - 10.980.000 30-09-2023 11 37.576
Total septiembre 30 100.426,66
Trimestre 3: agosto, septiembre y octubre = 92 días
Trimestre 4: octubre, noviembre y diciembre = 92 días

Año comercial:
01-07-2023 - - 12.000.000 29-07-2023 29 105.913,04
30-07-2023 - 1.400.000 10.600.000 31-07-2023 2 6.452,17
Total julio 31 112.365,21
01-08-2023 - - 10.600.000 14-08-2023 14 45.165,21
15-08-2023 980.000 - 11.580.000 31-08-2023 17 59.913,91
Total agosto 31 105.079,12
01-09-2023 - - 11.580.000 01-09-2023 1 3.524,34
02-09-2023 - 1.000.000 10.580.000 19-09-2023 18 57.960
20-09-2023 400.000 - 10.980.000 30-09-2023 11 36.759,13
Total septiembre 30 98.243,47
Trimestre 3: agosto, septiembre y octubre = 90 días
Trimestre 4: octubre, noviembre y diciembre = 90 días

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