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EL CÁLCULO EN LA
ENSEÑANZA PRIMARIA.

   LA ADICIÓN Y LA
    SUSTRACIÓN.
INTRODUCCIÓN.
• En este capítulo y en el sig. analizaremos el
  papel de todos los tipos de cálculo,
  incluyendo por supuesto la calculadora,
  desde un punto de vista matemático y
  didáctico.
• También se pondrá mayor interés en los
  errores y dificultades más frecuentes que
  manifiestan los alumnos en el aprendizaje del
  cálculo, analizando su origen y su posible
  tratamiento.
OBJETIVOS.
• Ofrecer un marco general sobre la enseñanza
  del cálculo en la Edu. Primaria.
• Describir el significado de las operaciones de
  adicción y sustracción.
• Plantear distintos elementos de reflexión
  acerca del diseño de actividades para un
  correcto aprendizaje de las técnicas de
  cálculo adictivo y sustractivo.
Algunas consideraciones previas sobre
el trabajo del cálculo en la enseñanza
              elemental.
  Objetivo de la enseñanza elemental de la
 enseñanza es el de enseñar a resolver
 problemas.
  Se trata de enseñar las operaciones, no sólo
 el cálculo.
  Se debe enseñar los distintos tipos de
 cálculo: escrito, mental y con calculadora.
LOS PROBLEMAS ADITIVOS Y SUSTRACTIVOS.
 Para conseguir que el alumno aprenda las nociones de
 adición y sustracción es necesario         comenzar
 enfrentándolo a distintos problemas.
TIPOS DE PROBLEMAS ADITIVOS Y
         SUSTRACTIVOS
 Vergnaud: (1990) las situaciones que componen el
    concepto de adición y sustracción son las mismas.
   TIPO I: Composición de medidas.
   TIPO II: Transformación de medidas.
   TIPO III: Comparación de medidas.
   TIPO IV: Composición de transformaciones.
   TIPO V: Transformación sobre estados relativos.
   TIPO VI: Composición de estados relativos.
PROBLEMAS DE COMPOSICIÓN DE
      MEDIDAS (TIPO I)
 Son problemas en los que dos medidas se combinan
 para obtener una tercera.

Tenemos en una bolsa 13bcaramelos de fresa y 8 de limón.
            Tenemos por tanto 21 caramelos.
PROBLEMAS DE
 TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS
          (TIPO II)
 Se trata de fenómenos en los que se produce una
 modificación en el devenir cronológico de los estados
 de las medidas, pasando de un estado inicial (mi), a un
 estado final (mf), mediante una transformación.

Ejemplo:
 La caja de bombones tenía 28 bombones. Nos hemos
  comido 12. quedan 12.
4.1.3 Problemas de comparación
de medidas (TIPO III)
 Son aquellos en los que se establece una comparación,
 en términos aditivos, de dos cantidades. Por ejemplo:

 Tengo 15 niños y mi hermana 3 menos. Ella tiene 12
 años
4.1.4 Problemas de composición de
transformaciones (TIPO IV)
 Se trata de los problemas en los que dos
 transformaciones se componen en una tercera
 resultante de las otras dos. Por ejemplo:



 Pedro tiene un hucha con dinero. Esta mañana sacó 18
 euros para comprar un libro. Por la tarde metió 15 euros
 que le dio su tía. El balance final del día es una
 disminución de 3 euros en su hucha.
4.1.5 Problemas de transformación
sobre estados relativos (TIPO V)
 Una transformación actúa sobre un estado relativo
  para dar lugar a otro estado relativo.
 Por ejemplo:


 Antonio le debía 13 canicas a Juan. Le dio 6. Ahora le
  debe 7.
4.1.6 Problemas de composición de
los estados relativos (TIPO VI)
 Nos encontramos con dos estados relativos que se
  pueden componer, no se transforma uno en otro.
 Por ejemplo:


 Ignacio le debe 8 canicas a Manuel y éste 14 a Ignacio.
  Luego Manuel le debe 6 a Ignacio.
5
El cálculo mental
frente al cálculo
     escrito
 Los        dos    tipos     de     cálculos    son
complementarios. El cálculo mental es el primero
a utilizar cuando la situación lo requiera.
 Si lo que se busca es una mayor fiabilidad
llegará el turno del cálculo escrito (o calculadora),
que siempre debería ser supervisado por el
cálculo mental.
 Deben interactuar en multitud de situaciones,
si queremos asegurar un buen dominio del
cálculo.
Aspectos del cálculo mental
 El cálculo mental pone de manifiesto las
propiedades de las operaciones.
 El cálculo mental hace uso de la relación entre
las distintas operaciones.
 El cálculo mental provoca situaciones de
aproximación y estimación.
 El cálculo mental ayuda a movilizar y estructurar
resultados.
 El cálculo mental como problema abierto.
 El cálculo mental favorece la evolución
consciente de las estrategias de cálculo.
Exigencias del cálculo mental
     Giménez J. y Girondo L. (1993)
 De actitud y valor:
• Concentración y atención para no cometer errores.
•Hábito, para dominar reglas simples.
•Interés, que surge pronto ya que ayuda a escribir menos.
 De memoria numérica:
• Exige el conocimiento de las tablas de sumar y multiplicar hasta el
12 al menos.
• Aumenta en rapidez si se añaden otros conocimientos: cuadrados,
descomposiciones de las potencias de 10, etc.
• Es limitado en lo referente a la retención de datos.
• Hace necesaria una retención momentánea de resultados
intermedios.
 De memoria estructural:
• Pide claridad en el encadenamiento de las operaciones.
Tradicionalmente el aprendizaje del cálculo
   aditivo y sustractivo se realiza de manera
             demasiado separada.

Se considera la sustracción y a adición como
 dos operaciones independientes. Y esto no
           tiene algún beneficio.

Las primeras técnicas para obtener resultados
   de problemas aditivos y sustractivos son
   aquellas que están ligadas al conteo, sin
     embargo estas técnicas deberán ser
 sustituidas por otras mas propias del cálculo
Básicamente todas las técnicas de calculo tienen un
  esquema común, disponen de un repertorio de
               resultados previos.

  Así para realizar la adición 35 + 41 según nuestra
   técnica, se necesita conocer previamente los
             resultados 3+4=7 y 5+1=6

           35           30+5          30+5
            + 41          +40+1         + 40 +1
                                             70+6




                          3+4=7                 5+1=6
 Por lo que respecta al repertorio:
 No se debe limitar al clásico (tablas de
  sumar). Ya que genera mas dificultades al
  momento de realizar una sustracción, esto
  debido a la presentación de las tablas y la
  consiguiente memorización se realiza
  siempre en un sentido.
                    7+1=8
                    7+2=9
                   7+3=10
                   7+4=11
                   7+5=12
   Es importante que manejen que
    manejen tablas como las siguientes de
    manera que el repertorio sea movilizado
    en los dos sentidos facilitando, entre
    otras cosas, el automatismo de las
    técnicas de la sustracción.
              9               13

             1+8             1+12
             2+7             2+11
             3+6             3+10
             4+5             5+8
                             6+7
Es especialmente útil la adquisición del
     repertorio correspondiente a las
descomposiciones aditivas de 10 y 5. Al ser
 nuestro sistema de numeración decimal
conocer los complementos hasta 10 va a
  facilitar la obtención de determinados
                  resultados .

           8+7=8+2+5=10+5=15
Igualmente en el trabajo de complementos
  por centenas, decenas u otras unidades
completas permite automatizar un repertorio
             de gran utilidad.
               28 + 35 + 72 + 15


                   100 +50

                     150
Hay resultados que presentan mas facilidad
de recuerdo por parte de los niños: los dobles
y sus aproximaciones son algunos de ellos. Los
  cálculos que necesiten de este repertorio
     son susceptibles de generar técnicas
            informales del cálculo.

         8 + 9 = 8 + 8 + 1 = 16 + 1 = 17
   El aprendizaje de estas propiedades de
    cálculo se realizan naturalmente sobre las
    escrituras. Es importante entonces prever
    actividades que el alumno se familiarice
    con las escrituras aditivas y sustractivas.

   Dar significado a escrituras como:
       a+b= c        a+b+c=d        a-b=c

   De manera que pueda suponer
    instrumentos para pensar y simbolizar la
    realidad.

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Enseñanza del cálculo aditivo y sustractivo en primaria

  • 1. EL CÁLCULO EN LA ENSEÑANZA PRIMARIA. LA ADICIÓN Y LA SUSTRACIÓN.
  • 2. INTRODUCCIÓN. • En este capítulo y en el sig. analizaremos el papel de todos los tipos de cálculo, incluyendo por supuesto la calculadora, desde un punto de vista matemático y didáctico. • También se pondrá mayor interés en los errores y dificultades más frecuentes que manifiestan los alumnos en el aprendizaje del cálculo, analizando su origen y su posible tratamiento.
  • 3. OBJETIVOS. • Ofrecer un marco general sobre la enseñanza del cálculo en la Edu. Primaria. • Describir el significado de las operaciones de adicción y sustracción. • Plantear distintos elementos de reflexión acerca del diseño de actividades para un correcto aprendizaje de las técnicas de cálculo adictivo y sustractivo.
  • 4. Algunas consideraciones previas sobre el trabajo del cálculo en la enseñanza elemental. Objetivo de la enseñanza elemental de la enseñanza es el de enseñar a resolver problemas. Se trata de enseñar las operaciones, no sólo el cálculo. Se debe enseñar los distintos tipos de cálculo: escrito, mental y con calculadora.
  • 5. LOS PROBLEMAS ADITIVOS Y SUSTRACTIVOS.
  • 6.  Para conseguir que el alumno aprenda las nociones de adición y sustracción es necesario comenzar enfrentándolo a distintos problemas.
  • 7. TIPOS DE PROBLEMAS ADITIVOS Y SUSTRACTIVOS  Vergnaud: (1990) las situaciones que componen el concepto de adición y sustracción son las mismas.  TIPO I: Composición de medidas.  TIPO II: Transformación de medidas.  TIPO III: Comparación de medidas.  TIPO IV: Composición de transformaciones.  TIPO V: Transformación sobre estados relativos.  TIPO VI: Composición de estados relativos.
  • 8. PROBLEMAS DE COMPOSICIÓN DE MEDIDAS (TIPO I)  Son problemas en los que dos medidas se combinan para obtener una tercera. Tenemos en una bolsa 13bcaramelos de fresa y 8 de limón. Tenemos por tanto 21 caramelos.
  • 9. PROBLEMAS DE TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS (TIPO II)  Se trata de fenómenos en los que se produce una modificación en el devenir cronológico de los estados de las medidas, pasando de un estado inicial (mi), a un estado final (mf), mediante una transformación. Ejemplo:  La caja de bombones tenía 28 bombones. Nos hemos comido 12. quedan 12.
  • 10. 4.1.3 Problemas de comparación de medidas (TIPO III)  Son aquellos en los que se establece una comparación, en términos aditivos, de dos cantidades. Por ejemplo:  Tengo 15 niños y mi hermana 3 menos. Ella tiene 12 años
  • 11. 4.1.4 Problemas de composición de transformaciones (TIPO IV)  Se trata de los problemas en los que dos transformaciones se componen en una tercera resultante de las otras dos. Por ejemplo:  Pedro tiene un hucha con dinero. Esta mañana sacó 18 euros para comprar un libro. Por la tarde metió 15 euros que le dio su tía. El balance final del día es una disminución de 3 euros en su hucha.
  • 12. 4.1.5 Problemas de transformación sobre estados relativos (TIPO V)  Una transformación actúa sobre un estado relativo para dar lugar a otro estado relativo.  Por ejemplo:  Antonio le debía 13 canicas a Juan. Le dio 6. Ahora le debe 7.
  • 13. 4.1.6 Problemas de composición de los estados relativos (TIPO VI)  Nos encontramos con dos estados relativos que se pueden componer, no se transforma uno en otro.  Por ejemplo:  Ignacio le debe 8 canicas a Manuel y éste 14 a Ignacio. Luego Manuel le debe 6 a Ignacio.
  • 14. 5 El cálculo mental frente al cálculo escrito
  • 15.
  • 16.  Los dos tipos de cálculos son complementarios. El cálculo mental es el primero a utilizar cuando la situación lo requiera.  Si lo que se busca es una mayor fiabilidad llegará el turno del cálculo escrito (o calculadora), que siempre debería ser supervisado por el cálculo mental.  Deben interactuar en multitud de situaciones, si queremos asegurar un buen dominio del cálculo.
  • 17. Aspectos del cálculo mental  El cálculo mental pone de manifiesto las propiedades de las operaciones.  El cálculo mental hace uso de la relación entre las distintas operaciones.  El cálculo mental provoca situaciones de aproximación y estimación.  El cálculo mental ayuda a movilizar y estructurar resultados.  El cálculo mental como problema abierto.  El cálculo mental favorece la evolución consciente de las estrategias de cálculo.
  • 18. Exigencias del cálculo mental Giménez J. y Girondo L. (1993)  De actitud y valor: • Concentración y atención para no cometer errores. •Hábito, para dominar reglas simples. •Interés, que surge pronto ya que ayuda a escribir menos.  De memoria numérica: • Exige el conocimiento de las tablas de sumar y multiplicar hasta el 12 al menos. • Aumenta en rapidez si se añaden otros conocimientos: cuadrados, descomposiciones de las potencias de 10, etc. • Es limitado en lo referente a la retención de datos. • Hace necesaria una retención momentánea de resultados intermedios.  De memoria estructural: • Pide claridad en el encadenamiento de las operaciones.
  • 19.
  • 20. Tradicionalmente el aprendizaje del cálculo aditivo y sustractivo se realiza de manera demasiado separada. Se considera la sustracción y a adición como dos operaciones independientes. Y esto no tiene algún beneficio. Las primeras técnicas para obtener resultados de problemas aditivos y sustractivos son aquellas que están ligadas al conteo, sin embargo estas técnicas deberán ser sustituidas por otras mas propias del cálculo
  • 21. Básicamente todas las técnicas de calculo tienen un esquema común, disponen de un repertorio de resultados previos. Así para realizar la adición 35 + 41 según nuestra técnica, se necesita conocer previamente los resultados 3+4=7 y 5+1=6 35 30+5 30+5 + 41 +40+1 + 40 +1 70+6 3+4=7 5+1=6
  • 22.  Por lo que respecta al repertorio:  No se debe limitar al clásico (tablas de sumar). Ya que genera mas dificultades al momento de realizar una sustracción, esto debido a la presentación de las tablas y la consiguiente memorización se realiza siempre en un sentido.  7+1=8  7+2=9  7+3=10  7+4=11  7+5=12
  • 23. Es importante que manejen que manejen tablas como las siguientes de manera que el repertorio sea movilizado en los dos sentidos facilitando, entre otras cosas, el automatismo de las técnicas de la sustracción. 9 13  1+8 1+12 2+7 2+11 3+6 3+10 4+5 5+8 6+7
  • 24. Es especialmente útil la adquisición del repertorio correspondiente a las descomposiciones aditivas de 10 y 5. Al ser nuestro sistema de numeración decimal conocer los complementos hasta 10 va a facilitar la obtención de determinados resultados . 8+7=8+2+5=10+5=15
  • 25. Igualmente en el trabajo de complementos por centenas, decenas u otras unidades completas permite automatizar un repertorio de gran utilidad. 28 + 35 + 72 + 15 100 +50 150
  • 26. Hay resultados que presentan mas facilidad de recuerdo por parte de los niños: los dobles y sus aproximaciones son algunos de ellos. Los cálculos que necesiten de este repertorio son susceptibles de generar técnicas informales del cálculo. 8 + 9 = 8 + 8 + 1 = 16 + 1 = 17
  • 27. El aprendizaje de estas propiedades de cálculo se realizan naturalmente sobre las escrituras. Es importante entonces prever actividades que el alumno se familiarice con las escrituras aditivas y sustractivas.  Dar significado a escrituras como:  a+b= c a+b+c=d a-b=c  De manera que pueda suponer instrumentos para pensar y simbolizar la realidad.