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INTERSECCIÓN DE CONO - CILINDRO

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I. INTRODUCCION.
De acuerdo a la dificultad de intercomunicación que existe entre regiones,
ciudades y pueblos de nuestra localidad, y la creciente demanda de desarrollo
integral, construimos una solución que consiste en facilitar la intercomunicación
vial a través de la intersección de cono-cilindro.
Por ello, en esta investigación se da una solución de manera detallada y
fundamentada la construcción del túnel a través de diferentes métodos
desarrollados.

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II. FORMULACION DEL PROBLEMA.
 Vemos que el intercambio de comunicación entre regiones es muy
limitado, por ello desarrollamos proyecto de construcción de túneles. A
través de la aplicación de las intersecciones de cono – cilindro.
III. OBJETIVO GENERAL.
 Desarrollar proyecto sostenible aplicado a la ingeniería civil en
construcción de túneles.
 Solucionar el problema de comunicación entre ciudades mediante la
aplicación de nuestro sistema cono - cilindro.
IV. HIPOTESIS.
 Desarrollo de la construcción de túneles para dos ciudades interpuestas por
una montaña.
 usando el sistema cono - cilindro, construir proyectos de desarrollo
sostenible.

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V. MARCO TEORICO
1. CILINDRO
En geometría, un cilindro está formado por el desplazamiento paralelo de
una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o
abierta, denominada directriz del cilindro.
Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie
obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos
sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido
encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es
llamado cilindro.
 cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases.
 cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases.
 cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360° grados.

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SUPERFICIE CILINDRICA
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas,
denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana,
denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el
giro de una recta alrededor de un eje.
Las superficies cilíndricas pueden ser:
 superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje,
paralelo a ella.
 superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las
generatrices.
Cilindro como superficie cuádrica
Las secciones cónicas son de tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas, que sirviendo
de directrices, originan tres tipos de superficies cuádricas cilíndricas:
Cilindro elíptico Cilindro parabólico Cilindro hiperbólico

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2. CONO
HISTORIA DEL CONO
Analizando la Historia de la humanidad principalmente la Historia del pensamiento en
la antigua Grecia, se observa cómo los matemáticos y pensadores se han ocupado de
analizar las formas óptimas en la geometría y en la naturaleza.
Quizá el descubrimiento más importante relacionado con uno de los grandes problemas
de la geometría griega sea el que realizó Menecmo, LAS CÓNICAS, curvas que se
obtienen como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos
distintos según el ángulo del vértice fuese agudo, recto u obtuso.
MENECMO descubre estas curvas como secciones de un cono circular recto por un
plano perpendicular a una generatriz.
Las secciones propuestas por Menecmo serían:
Secciones en un cono rectángulo, PRODUCEN UNA PARÁBOLA
CONO RECTÁNGULO:
El giro es del triángulo
rectángulo isósceles.
CONO ACUTÁNGULO:
El giro se da en el cateto
mayor de un triángulo
rectángulo.
CONO OBTUSÁNGULO:
El giro en torno al cateto
menor de un triángulo
rectángulo.

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Secciones en un cono acutángulo, PRODUCEN UNA ELIPSE
Secciones en un cono obtusángulo, PRODUCEN UNA RAMA DE HIPÉRBOLE
Fue Apolonio de Perga (262-190 a.C.) el primero en estudiarlas detalladamente y
encontrar la propiedad plana que las definía.
APOLONIO, demostró por primera vez:
 que no es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a
una generatriz del cono.
 que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin
más que variar la Inclinación del plano que corta al cono.
 que no es necesario sea el cono recto, es decir que el eje sea perpendicular al
plano de la base circular.

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 que puede sustituirse el cono de una hoja por el cono de dos hojas (par de conos
orientados en sentido opuesto, con vértices coincidentes y ejes sobre la misma
recta). Lo que le lleva a descubrir que la Hipérbola es una cónica con dos ramas.
Apolonio, dio el nombre a las curvas obtenidas mediante las secciones:
ELIPSE: Resulta al inclinar el plano, sin llegar a ser paralelo a ninguna de sus
generatrices y sin llegar al ángulo que forma la generatriz del cono.
PARÁBOLA: Resulta al cortar el cono con un plano paralelo a la generatriz del cono

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HIPÉRBOLA: Resulta, si el ángulo del plano es todavía mayor.
Apolonio demostró también que las curvas cónicas tienen muchas propiedades
interesantes, algunas de las cuales se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las
más interesantes y útiles que descubrió son las llamadas propiedades de reflexión de
las cónicas:
1ª.- Reflexión de la parábola: Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo
parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces
la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.
Existe la leyenda que dice: Arquímedes (287-212 a. de C.), ante el asedio de los
romanos a la ciudad de Siracusa, utilizó esta propiedad de reflexión parabólica, (ideó un
complejo sistema de espejos metálicos colocados en forma de parábola que
concentraban los rayos solares sobre la flota romana) para incendiar las naves romanas.
En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión,
espejos solares.

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PC-III PC-II
3. INTERSECCION DE CONO CON CILINDRO
3.1. TIPOS DE INTERSECCIONES
 PENETRACIÓN: cuando la introducción es total, formándose de ese modo dos
curvas separadas de intersección.
 MORDEDURA: cuando la introducción es parcial y la línea de intersección
resultante será curva continua.
Cono
Cilindro
PC-IV PC-I
Cilindro
Cono
PC-IV PC-III PC-II PC-I
Cilindro
Cono
PC-III PC-II
PC-I
Cilindro
Cono
PC-IV
PC-III
PC-II PC-I

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PC-I
PC-II
PC-III
3.2. INTERSECCION DESARROLLADO
1. INTERSECCION DE CONO CON CILINDRO EN EJES PARALELOS
Cuando el cilindro y el cono tengan sus ejes paralelos se introducen
planos cortantes de canto para establecer la Figura de intersección, de
dos modos diferentes.
PROBLEMA: Dada las vistas Horizontal y frontal de un cono y un cilindro,
cuyos ejes Verticales son paralelos y las superficies de sus bases son
circulare; se desea encontrar la intersección y visibilidad; para ello
tenemos dos métodos.
 METODO DEL PLANO CORTANTE HORIZONTAL: Una serie de planos
cortantes horizontales cortara al cilindro y al cono en una serie de círculos
concéntricos, y el cruce de estas determinaran los puntos de intersección
buscados. Como se observa en la fig.1.1
 METODO DE LOS PLANOS VERTICALES RADIALES: Una serie de planos
verticales radiales cortara al cilindro y al cono en una serie de puntos, que
localizados en la proyección vertical y el cruce de estas determinaran los
puntos de intersección buscados. Observe la figura 1.2
V
f
V
h
V
f
V
h
PC-I
b
f
b
h
a
h
a
f
1
1
2
2
PC-II
3
3
4
4
5
5
6
6
2
Fig 1.1
Fig 1.2

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2. METODO DE EJES NO PARALELAS
 METODO DEL PLANO AUXILIAR
Dada las vistas horizontal y frontal del cono recto y del cilindro, se desea
encontrar la intersección y visibilidad entre ellos.
PROCEDIMIENTO
 Proyectar de punta al eje del cilindro, utilizando un plano auxiliar.
 En el plano auxiliar, trazar los planos cortantes necesarios desde el vértice del cono
pasa una serie de planos cortantes, que corten a la directriz de la base del cilindro y se
prolongan sobre la línea base del cono, donde se designan con letras (a, b, c,…);
luego muestre estos elementos en la vista de planta y en la vista de elevación frontal.
 El plano PC-II en la proyección H1 corta al cilindro en los puntos 2, 6, 8, 12 de la curva
de intersección buscada, tanto en la proyección horizontal como en el frontal.
 Para determinar la proyección frontal de los puntos de intersección, se consigue
llevando las cotas L, o bajando las líneas referencia de la proyección horizontal por
ejemplo para el punto 2, necesitamos la generatriz vb que con el cruce de la línea de
referencia de la proyección horizontal del punto 2, determina la proyección frontal de
este punto.

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4. TUNELES:
Un túnel es una obra subterránea de carácter lineal que comunica dos puntos para
el transporte de personas o materiales. Normalmente es artificial.
Un túnel puede servir para peatones o ciclistas, aunque generalmente sirve para
dar paso al tráfico, para vehículos de motor, para ferrocarril o para un canal.
Algunos son acueductos, construidos para el transporte de agua (para consumo,
para aprovechamiento hidroeléctrico o para el saneamiento).
Los túneles se construyen excavando en el terreno, manualmente o con máquinas.
Los sistemas habituales de excavación subterránea son medios mecánicos,
voladuras y manual:
 Los medios mecánicos mediante minador puntual (rozadora), minador a
sección completa o TBM o tuneladora (Tunnel Boring Machine) o con
maquinaria convencional (martillo picador, excavadora...)
 Manual, método derivado de la minería clásica del carbón de las cuencas
asturianas, en el que los operarios pican con martillo neumático la sección a
excavar y otra partida de obreros desescombran manual o
semimanualmente.
 Perforación y voladura mediante explosivos.

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VI) METODOLOGIA
1). METODO DE INTERSECCIÓN DE CONO RECTO CON CILINDRO
INTERSECCION DE CONO-CILINDRO
METODO I METODO II
M.DE VISTA DE CANTO M. DE LOS PLANOS
CORTANTES

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METODO I
Dada las vistas horizontal y frontal del cono recto y del cilindro, se desea
encontrar la intersección y visibilidad entre ellos.
PROCEDIMIENTO
 Por disposición del cono y el cilindro, disponemos a trazar un plano auxiliar
donde el cilindro presente sus generatrices de punta.
 En esta vista disponemos una serie de planos cortantes, en el que quedan
contenidas las generatrices del cilindro, y círculos según las cuales son secantes
al cono.
 Estas generatrices y círculos así contenidos en los planos cortantes se
intersectan en una serie de puntos que pertenecen a la traza de intersección de
las superficies de revolución.
 Las líneas de referencia obtenidas en el plano frontal, se traslada hasta la vista
horizontal.
 Desde el vértice del cono, dadas en el plano horizontal se traza líneas
semicircunferencias de modo que se cruce con líneas de referencia.
F
1
PC-I
PC-II
PC-III
PC-IV
PC-V
PC-VI
PC-VII
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
1
212
311
10 4
59
6
7
8

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METODO II
Dadas las vistas frontal y horizontal del cono-cilindro, se desea encontrar la intersección
y la visibilidad entre ellos.
PROCEDIMIENTO
 Por punto “o” de la intersección de los ejes del cilindro y el cono disponemos
una serie de superficies de radios: r1, r2……..rn ; tales que r1<r2…………<rn
 Estas esferas cortaran a cada una de las superficies según una circunferencia,
que en los verticales(de canto en H)
 En la intersección de estos círculos de diámetros aa1 y bb1, obtendremos en el
plano H los puntos de intersección H1 y H2 cuyas proyecciones en el plano F
las encontramos intersectando las circunferencias contenidas en el cono, con
sus generatrices.
 Cambiando de radio de esfera ubicamos otros puntos que unidos nos darán una
curva alabeada, es la curva o traza de intersecciones.

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2) METODO DE CONSTRUCCION DE UN TUNEL
Los túneles se construyen excavando en el terreno, manualmente o con máquinas. Los
sistemas habituales de excavación subterránea son medios mecánicos, voladuras y manual:
 Los medios mecánicos mediante minador puntual (rozadora), minador a sección
completa o TBM o tuneladora (Tunnel Boring Machine) o con maquinaria convencional
(martillo picador, excavadora...)
 Manual, método derivado de la minería clásica del carbón de las cuencas asturianas,
en el que los operarios pican con martillo neumático la sección a excavar y otra partida
de obreros desescombran manual o semimanualmente.
 Perforación y voladura mediante explosivos.
Métodos que se utilizan:
1. CUT AND COVER:
El método cut and cover, que significaría "cortar y cubrir" en español, es un método
de construcción para túneles superficiales, donde se excava desde la superficie la
totalidad o parte del hueco que ocupa el túnel, se construye el túnel dentro del
hueco a cielo abierto y se cubre una vez terminado. Requiere un sistema de
sostenimiento fuerte para soportar las cargas del material que cubre el túnel.
Existen dos formas de realizar el cut and cover:
1.1. Método 'bottom up': se excava a cielo abierto la totalidad del hueco ocupado por
el túnel y se construye en el interior. El túnel puede ser de hormigón in situ, hormigón
pretensado, arcos pretensados, arcos con acero corrugado y también con ladrillo, que
se solía usar al principio.

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1.2 Método 'top down': este método se encuentra en auge para la construcción
de túneles en el interior de las ciudades. Requiere poca maquinaria especializada,
apenas más de la utilizada en la construcción convencional de sótanos. En la
superficie, desde la calle, se ejecutan las paredes del túnel cavando una zanja que
se origina para formar muros pantalla o una hilera de pilotes. Cuando las paredes
están terminadas se ejecuta la losa superior, que se apoya en las paredes,
excavando solo el hueco que ocupa la losa y apoyándola durante su construcción
contra el terreno. Cuando la losa y las paredes están terminadas, puede
reconstruirse la superficie mientras continúan los trabajos en el interior del túnel. La
tierra del interior del túnel no se extrae hasta esta fase, en la que como los
elementos portantes del túnel están ya construidos se puede excavar
con retroexcavadoras. Cuando se ha excavado hasta el nivel adecuado se ejecuta
la contra bóveda, losa generalmente de hormigón que hace de suelo del túnel. Se
pueden crear losas intermedias para realizar túneles de varias plantas.
2. TUNELADORA:
Las máquinas tuneladoras y los sistemas asociados de retroceso y avance hacen el
proceso de excavación más automatizado. Existe una gran variedad de tuneladoras en
función de las condiciones de puesta en obra, desde roca densa a suelo disgregado y
saturado de agua. Algunos tipos de tuneladoras son los escudos, topos, dobles escudos.
3. EMPUJE DE TUBOS O HINCA DE TUBERÍA:
En inglés llamado Pipe jacking. El método consiste en empujar el tubo
mediante gatos hidráulicos hacia el terreno.
Se usa cuando existen estructuras por encima que no se quieren dañar
como vías de tren o carreteras.

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VII) APLICACIÓN
 Este tipo de construcciones se usa en estructuras arquitectónicas, con la
finalidad de optimizar y garantizar el desarrollo sostenible de nuevas
infraestructuras civiles.
 Se desarrolla en la construcción de carreteras, redes ferroviarias, etc.
VIII) RESULTADOS
 Obtenemos a través de la teoría-método, darle solución a nuestro
problema planteada.
IX) CONCLUSIONES
 Con la intersección obtenida se da solución a la intercomunicación vial,
mediante la creación de un túnel. Siendo este un proyecto sostenible aplicable
en la ingeniería civil.