1. INTERSECCION DE PLANOS CON POLIEROS Y SUPERICIES
El presente capitulo se estudiaran las diversas curvas o polígonos que se producen al seccionar un
determinado solido mediante un plano cortante.
Las secciones planas a estudiarse serán aquellas realizadas sobre los siguientes solidos:
a) PRISMA
b) CILINDRO CIRCULATORIO
c) CONO CIRCULAR RECTO
d) ESFERA
Siendo el caso del cono el más interesante pues en él se analizaran los casos en que se obtengan
como secciones planas: un circulo, una elipse, una parábola o una hipérbola.
En el caso de que la sección sea una hipérbola se analizaran además sus respectivas asíntotas.
1. SECCION PLANA DE UN PRISMA:
Para obtener la sección plana se produce en un prisma a ser cortado por un plano, basta
determinar la intersección de cada una de las aristas del prisma con dicho plano.
Uniendo estos puntos se tendrá un polígono que nos representa la sección plana buscada.
Para tener la verdadera firma de este polígono, se tendrá que tomar la verdadera
magnitud del plano cortante.
2. SECCION PLANA DE UNA PIRAMIDE:
Para obtener la sección plana de una pirámide se sigue el mismo método indicando para el
caso del prisma, es decir, se intersecta cada una de las aristas de la pirámide con el plano
cortante y así se obtiene la sección plana buscada.
3. SECCION PLANA DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO:
La sección plana puede ser un circulo una elipse. Para determinarla se toma un cierto de
generatrices y cada una de ellas se intersecta con el plano cortante. Uniendo estos puntos
se tendrá la curva que representa la sección plana del cilindro.
Para una solución más exacta, el número de generatrices tomada deberá ser mayor.
En la figura se muestra la sección plana originada por un plano normal ABC. Se han
tomado doce generatrices.

2. 4. SECCIONES PLANAS DE UN CONO CIRCULAR RECTO:
A las secciones realizadas por un plano cortante sobre un cono se les conoce como
secciones cónicas y puede ser:
a) UN CIRCULO
b) UNA ELIPSE
c) UNA PARABOLA
d) UNA HIPERBOLA
Estas secciones cónicas se producen de acuerdo a la posición del plano cortante con
respecto al cono. En un cono circular recto se tiene que:
a) EL CIRCULO:
Se produce cuando el plano cortante es perpendicular al eje. (fig. a)
b) LA ELIPSE:
Se produce cuando el plano cortante es inclinado con respecto al eje y hace un ángulo
con generatriz, mayor que el ángulo de abertura del cono (α> β). (fig. b)
c) LA PARABOLA:
Se produce si el plano cortante es paralelo una generatriz del cono (α= β). (fig.
c)
d) LA HIPERBOLA:
Se produce cuando el plano cortante es inclinado y determina un ángulo con la
generatriz del cono, menor que el ángulo de la abertura del cono (α< β). (fig. d)
Al igual que las secciones planas de los acápites anteriores, las secciones concas se
determinan intersectando las generatrices con el plano cortante.
5. TRAZAR UNA RECTA TANGENTE A UNA SECCION CONICA:
Para trazar por un punto determinado X, una recta tangente a una sección cónica,
se sigue el siguiente método:
a) Trazar por X un plano tangente al cono.
b) Intersectar el plano tangente T trazado con l plano cortante Q, obteniéndose la
recta AB que es la tangente a la sección cónica.
6. DETERMINACION DEL TIPO DE CURVA QUE SERA LA SECCION CONICA:
Si se requiere conocer el tipo de curva que se obtendrá al cortar un cono, se sigue
el siguiente método:
a) Poner el vértice V del cono se traza un plano paralelo al plano cortante.
b) Se intersecta el plano trazado con la base del cono, obteniéndose una recta.
c) Se verifica lo siguiente:
1. Si a recta de intersección no corta a la directriz, la sección cónica es una
elipse (recta L1 en la figura).
2. Si la recta de intersección es tangente a la directriz, la sección cónica es una
parábola (recta 21 en la figura).
3. Si la recta de intersección corta a la directriz en dos puntos, la sección
cónica será hipérbola recta L3 en la figura).

3. 7. DETERMINACION DE LAS ASINTOTAS DE HIPERBOLA:
Sabemos por definición que las asíntotas de una curva son tangentes trazadas por
puntos de dicha curva que están situados en el infinito.
Tratándose de una hipérbola, e la figura se observa que si por el vértice V se traza
un plano paralelo al plano cortante, este cortara a la directriz en dos puntos y
determinara sobre el cono dos generatrices g y g’, las cuales son cortadas en el
infinito por el plano Q, ya que son paralelas a él.
Luego, es posible establecer que los puntos permanecientes a la hipérbola que
están situados en el infinito, se encontraran sobre las generatrices g y g’.
Por l tanto, para obtener las asíntotas de la hipérbola, se trazan dos rectas
tangentes por puntos de la curva situados en el infinito, de acuerdo al método
estudia anteriormente. Para ello se hace lo siguiente:
a) Se trazan los planos T y S tangentes al cono y que contienen alas generatrices g
y g’. estos planos contienen también a los puntos en el infinito de la hipérbola.
b) Intersectando los planos T y S con Q se tendrán las tangentes en el infinito a la
hipérbola, es decir, se tendrán sus asíntotas (rectas “a” y “a’” en la figura).
8. SECCION PLANA DE LA ESFERA:
La sección plana que se obtiene al cortar una esfera mediante un plano cualquiera,
en todos casos, es una circunferencia. Si el plano cortante pasara por el centro de la
esfera sección plana será la circunferencia mayor.
PRIMER METODO: para obtener la proyección horizontal de la sección plana, se
pone al plano de canto en la vista 1 y en ella se determinan los ejes mayor y menor
de la elipse que se proyecta en la vista horizontal. Teniendo estos dos ejes se
construye la elipse de acuerdo al método explicado en el apéndice.
La vista frontal se determina similarmente con el auxilio de la vista 2. (Ver figura)
SEGUNDO METODO: la sección plana puede ser determinada por medio de planos
cortantes auxiliares frontales y horizontales, estos cortaran a la esfera en
circunferencias y al plano en rectas, que intersectarse entre ellas determinan puntos
de la sección plana (dos puntos por cada plano tomado).