1.
Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Dinámica
y
Energía
en
bucles
La
velocidad
de
un
cuerpo
en
un
bucle
es,
en
todos
sus
puntos,
tangente
a
la
superficie.
Como
la
normal
será
siempre
igual
a
la
fuerza
que
haga
el
móvil
sobre
la
superficie:
𝑁 = 𝐹! + 𝑃!
Cuando
la
normal
se
anule
𝑁 = 0 𝑁,
el
cuerpo
dejará
de
estar
en
contacto
con
la
superficie,
impidiendo
de
esta
manera
que
pueda
completar
el
giro
completo.
No
obstante,
podemos
diferenciar
dos
zonas
dentro
del
bucle
en
función
del
ángulo
en
el
que
se
encuentre
el
móvil.
MITAD
INFERIOR
Imagen
1
La
ecuación
que
rige
la
dinámica
del
cuerpo
en
esta
mitad
es
𝑁 = 𝐹! + 𝑃! ,
en
la
cual
𝑃! ≥ 0:
• El
ángulo
𝜙
estará
comprendido
entre
0o
y
90o,
o
bien
entre
270o
y
360o.
• En
estos
intervalos
siempre
se
cumple:
cos 𝜙 ≥ 0.
• Como
𝑃! = 𝑚𝑔 cos 𝜙 ⟹ 𝑃! ≥ 0.
Por
lo
tanto,
en
este
tramo,
la
normal
jamás
se
anulará
y
el
cuerpo
no
puede
salir
despedido.
(Imagen
1)
MITAD
SUPERIOR
Aquí
la
ecuación
que
rige
la
dinámica
del
cuerpo
es
𝑁 = 𝐹! + 𝑃! ,
pero
𝑃! ≤ 0:
• El
ángulo
𝜙
estará
comprendido
entre
90o
y
270o.
• En
estos
intervalos
siempre
se
cumple:
cos 𝜙 ≤ 0.
• Como
𝑃! = 𝑚𝑔 cos 𝜙 ⟹ 𝑃! ≤ 0.
En
este
caso
sí
puede
anularse
la
normal,
provocando
que
el
móvil
salga
volando
(Imagen
2).
Imagen
2
Camino
de
la
Piedad,
8
-­‐
C.P.
40002
-­‐
Segovia
-­‐
Tlfns.
921
43
67
61
-­‐
Fax:
921
44
34
47
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fuencisla@maristascompostela.org

2.
Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Para
cualquiera
de
los
dos
casos
encontramos
la
misma
expresión.
Sustituimos
las
expresiones
de
la
fuerza
centrífuga
y
de
la
componente
perpendicular
del
peso:
𝑣!
𝑁= 𝑚 + 𝑚𝑔 cos 𝜙
𝑅
Si
queremos
que
el
cuerpo
complete
el
bucle,
la
condición
mínima
es
que
𝑁! ≥ 0 𝑁.
Es
decir,
que
la
normal
se
anule
en
el
punto
más
alto
del
bucle.
(Imagen
3).
Para
ello,
la
velocidad
mínima
que
tiene
que
llevar
en
ese
punto
será:
!
𝑣!"#
𝑚 = −𝑚𝑔 cos 180°
𝑅
!
𝑣!"#
𝑅
= 𝑔 ⟹ 𝒗 𝒎𝒊𝒏 = 𝒈 · 𝑹
Por
otro
lado,
aplicamos
el
principio
de
conservación
de
la
energía
para
comparar
las
velocidades
entre
el
punto
más
alto
y
el
punto
más
bajo
del
bucle:
𝐸! = 𝐸!
𝐸!" = 𝐸!" + 𝐸!"
1 !
1 !
𝑚𝑣! = 𝑚𝑣! + 𝑚𝑔ℎ
2 2
Simplificando
la
masa,
multiplicando
por
dos
a
toda
la
ecuación
y
sustituyendo
𝑣! = 𝑣!"#
y
ℎ = 2𝑅
obtenemos:
! !
𝑣! = 𝑣!"# + 2 · 𝑔 · 2𝑅
!
𝑣! = 𝑔𝑅 + 4𝑔𝑅 = 5𝑔𝑅
Imagen
3
TODO
ESTO
SIN
TENER
EN
CUENTA
EL
ROZAMIENTO.
PODRÍA
PARECER
SENCILLO
INCORPORARLO
A
NUESTRO
PROBLEMA:
𝒗𝟐
𝑭 𝑹 = 𝝁 · 𝑵 ⟹ 𝑭 𝑹 = 𝝁𝒎 · − 𝒈
𝑹
SIN
EMBARGO
ES
BASTANTE
MÁS
COMPLICADO,
YA
QUE
EL
ROZAMIENTO
AFECTARÍA
AL
PROBLEMA
DE
ESTE
MODO:
1. El
rozamiento
disminuye
la
velocidad.
2. El
descenso
de
velocidad
disminuye
la
fuerza
centrípeta.
3. Como
disminuye
la
fuerza
centrípeta
también
disminuye
la
normal.
4. Al
disminuir
la
normal,
disminuye
la
fuerza
de
rozamiento.
Camino
de
la
Piedad,
8
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C.P.
40002
-­‐
Segovia
-­‐
Tlfns.
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