140335794 cap-7-la-conservacion-de-la-energia-ejercicios-resueltos-resnick-halliday

- 179-
LA C ON9ERVA C ION
PR OBL E MAS CAP I T"LO l .
1. Demuestre que para l a misma velocidad i nici",l 't. 10:1
velocidad v de un proyecti l será 1" r-i sm" en todos l os
puntos a la mjsma elevación , cual qui era que sea el ~ n
gulo de proyecci6n.
Soluci6n:
Por el principio de la conser vaci6 n de la e r1t:rgia me-
cánica en ~os dimensiones tenemos:
y
1 2 1 , mgho =
~ v,- mv • ,mv •0, 0y v P
y -'1- -_
1 2 1 2 ' . .
• • mSh• ,mv ,mv ,, y ,
[n este caso h
°
• O. l uego : , ,
1 , 2 1 mC v
2 v 2)
C"~ m(v • v • , • • mgh
0, o , yy
pero:
2
• 2
• v
2 , • 2 2v v y v v • v
o, 0y o , y
Reemplazando estos valores en la ecuación (2) o~ten~
mos :
1 2 1 mv2
1 mvo = 2 + rngh
De donde o btenemos;
2 ,
v = 'lo - 2gh
{expresi6n que es independiente del ángulo de incl i -
nac ión de l proyeCtil}.
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- 180-
•2 . La D.JCrda de la figur a 1, e s de l¡ pi e s de largo . cuan ~
do se sue l t a la bola s i gue la trayect oria del ar co
punteado . ¿Qué vel oci dad tendrá a l pasar por el pu n-
t o má s bajo de su oscilac ión ?
Sol uci6 n:
Por el pr i ncipi o de la con
s ervac i ón de la energ i a me
cánica [ t e ndremos :
v - O
-f . -q>--.L..T
-
h I
_L .
,,
, ,'2 mV
2
~ mgh
2
. .. (})
Tomando lo, ejes coordenados x-y como
la figura. obt e nemos:
h, " L, VI ~ O Y h, ~
O
Reemplazando valores en <l) tendremos:
v = / 2 x 32 x l¡; 16 pies/seg.,
Re s puesta : ! v
2
= 16 pie s/ se g .[
..mues tra en
3 . El clavo de la r ig . 8-10 está localizado a una di s -
ta nc i a d a bajo del punt o de apoyo . Demostrar que d
debe ser por lo menos de e . 51 pa r a que l a bola pue -
da. dar una vuelta completa en un c irculo con cent r o
e n el clavo .
soluci6n:
Apl jcando e l Teor ema de la conser va c i6n de la pner -

-181-
g!~ entre los ~u n tos
(1) Y (2) indicados
en l~ figura adjun-
ta.
donde: E = energía m~
c.inica t otal.
(1) ....- -
•
ref.
Reemplazando por su equivalencia:
1 2
'r mV
1
Por condici6n del problema:
l J •
(2) d
,·'1·. .. .
:,~ /
, .', -
'al
o O (bola par te del reposo)
h
1
= 2d.l¡ del gráfico.
11
2
= O
v 2 " O
V
2 debe tener dicho valor; por lo menos; para que de
una vuelta pero en nuestro caso no~ dicen que debe
dar una vuelta, entonces el valor Dinimo de v2 ~ erá
un poco mayor al valor que calcularell".os.
[ntonces reemplazando los valores en (a):
O • mg{2d-l) o O • O
mg ( 2d-l) o O
2d-l o O
d
1o .,
con este valor de "d" la bola se quedará quieto en
(2) (figuro>, entonces para que ~e una vuelta.
d )o 1/2
(! )o 0.51

-181-
Id ' 0 . 61 1m1nimo .
•
S. a) Una barra r ígida liger a de longitud L t i ene una
masa m fija e n su extremo , formando un péndulo si~ -
pie, el cua l se inviel'te y despu~s se suelta. ¿Cuál
e s su velocidad v en el punto m!s bajo y c uál es la
tensi6n T en el soporte en ese instante? b) El mi smo
péndulo se pone de spués en posici6n hor izontal y se
sue lta libremente. ¿Para Qué 'ngulo con la vertical ,
la te nsi6n en el soporte será de igual magnitud que
el peso?
~: m: masa fija en el extremo del péndulo.
L : longitud de la barra .
Solución:
a) Por el principio de la conservación de la ener·g'í.a
mecánica tenemos:
m
T
h .2l
1
, ,

Fig. 1
-- - ¡. __.. -
rL
9,
hZ
L------ X
-,
.,
H g. 2
¡ ¡
mgh
1
1 , rr.gh
2
(l)
)' 11' 1 • ,
~
mV
2 • ,. ' -
Pepo en es t e caso:
v ¡
, O, h ¡
, n; h, , O
,ll'
~" ¡ " ecua c i ón (11 s ~ !'educc
"
>
X

-183-
La t ensi6n en 1" c uer da en e l p unto i nferior s'!t'á:
T - mg = ma
c
." ( 2 )
T = mg + ma
c
= mg f ~mg = 5mg.
el Aplicando el principio dE' la con servaci6n de l a tJ
nergia tenemo~:
I ,
= 2 mV
2
+ mg h
2
... (1)
En este c a~ o :
v1 = 0 , h
l : Oi h
2 : - Lcos9
~ mv~ = mg Lcos6
hgLcOS6
En el instante en que e l pé r.dulo hace
con la vertical , la ~ fue r za s que obr a
~asa del réncu lo son:
un Sngll l o &
sobr e 1a
T - mgcosO = ma
c
(2 ); donde:
: 2gcos6
T : mgcos6 • 2::-.g;co s 6 : 3mgcos':'
i:1 ángo.llo p;ira el c·ua} i : ::-.g :c;e:"d:

Respuesta:
- 184-
a } v2 = 2~; T = 5mg .
b) e :. 7 0.5°
6. Un péndulo s imple de longi~ud 1 , que llev~ suspend¡~
da una masa m, tiene una veloci'dad observada "'0 CU I!l!!.
~o la cuerda forma el Sngulo 8
0
con la vertxcal (O <
eo
< w/2 1, c omo s e ve en la tigura 8-11. En funci6n '
de ~ y de las cantidades que se han dado, detenninar
(a) l a e nergía mecinic a ~o~al del si6~ema, (b) la v~
locidad v
1
de la péndola cuando es~á en su posici6n
más baja ; ( c l el mínimo valor v 2 que podría ~ener V
o
para que la cuerda llegue a alcanzar una posici6n h~
rizon~al durante el movimiento , (dl la velocidad v 3
tal q ue si V
o
> v
3
el péndulo no oscilaría s ino que
~~guir í a moviéndose en un c írculo vertical.
Soluci6n:
" O
m
v
o
al La ene rgía mecáni ca total se
rá :
E:. _,1 mv 2 + mgh ... (1 )
o O
del gráfico:
:. lU _ cose 1 ... (1)
o
~eer.lplazand o (2) en (1):
r. = i mv¿ +mgll1-co::Bo)
Cál cu lo de VI ~n su posición más baja:

- 185-
•
h] :: O
hO :: l ( l -coseo l calc ula do a nteriormente,
r eemplazando v" l ore s :.
v :: .lv2
.. 2.1 111 o
c) Siguiendo pasos si1l'li'l aN':9 a l a s par t e s ( a ) y (b)
se obtiene :
'"
IgIO + 1cose
o
(O,
7 , Un objeto está fijo a un resorte vertical y se ba-
ja lentamente a su posici6n de equilibri o, El resor-
te queda estirado una cantidad d , si el objeto se
tija al mismo resorte vertical, pero se le deja caer
en vez de que baje lentamente. ¿Qué tanto estirará
al resorte?
S9h:ci6n :
[n el pr imer caso la fuerza que est i r ará al resorte
e~ igual a l peso de l objeto suspendido , o sea:
F :: n:g ( 1 ) ; pero : :: kx :: k d ( ley de Ilocke) ,
luego: k :: rIlg/d
I

- l B6~
En el segundo caso la pérdi da de la energ14 PQten -
cial del objeto e s igual a l a e ner gía potencia l asi
mi lada por el r esor t e , l uego t e ndr emos:
j ,
IIIg'" = r loe • . . (2 )
pero: k = IIlg/d
Reemplazando el va lor de k eS ( 2] obtenemos:
x = 2d
Respuesta: Ix:; 1d I
8. Un bloque de 2.0 kg . se deja caer desde una altura
de O.~O •. sobre un resorte cuya constante de fuerza
vale le = 1~60 nt/m. Encontrar la mixima dcformaci6n
que suf rirá e l resorte al comprimi r se (no se tome en
cuenta el rozami ento).
Soluci6n:
(1)0
í
(O)
•
Teniendo e n c ue nta que la ener-
gía potenc i al de un resor te es:
podemos pl a near la siguiente ~
c uaci6n :
El = Eo
1 ,
.,. mV
1
, 2
+ mgh
1
= ,. mv
o
II1gt'l " 1 "" 2
I o
,o "
/2111g h1
...,-

-181 ··
reempl a zando valores:
•
; / 2 x ~C' 8,-x,-:O~.24 , 0 . 09 1:1 .
:: 0.09 m.
9. En una monta1l" ruso!! , s i n r ozamient o , un ca r r·i t o de me.
sa 2!!...comienza. en el. punto A con un" ve locidad "0 ' :::c-
mo se muestr a en la rig. 8~ 1 2 . Supó ngase que e l carri
t o se pueda consider ar COIhO una par tícula sin dimen -
siones y que siempre quede en conta cto con la vía . al
¿Cuál será la velocidad del carrito en los ~untos B /
C7 (bl ¿Qué desaceleraci6n constan te se requiere ~ar3
que el carrito se det ~ng a en el punto E
se aplica" en el punto 01 (cl Su~ase
¿Cuánto tardará el c" rrito en llegar al
A
e
h
I D
si lo s f r t' n?S
que v
o
= O.
punt o 8?
,
l' --+- -+-- .-.,¡
Soluci6n:
al Cálculo de la velocidad en H:
1 2
? mv(-¡ .. mghA =

- 188-
reempl azando dic hos valor e s en (l ) :
~ mv¿ + mgh ,. t mv,; + mgh
Si ,npli f icando:
- C&l culo de l a velocidad e n c: V
c
, , ,
1 mVA • mgh
" 1 mv~ • mg (h,
1
Simplificando y reemplazando valores :
1 , • h 1 ,
1
,. g í " 'i'
v
o 'C
ve " Iv' • gh
o
b ) Primero c alculemos la veloc idad en D:
~ mv~ + mgh : ! rnv¿
Simplifi cando;
" Iv'o
+ 2gh .. ,(2 }
Por cond i c i 6n de l problema VE = O (detenid~ )
Ipli ca/ldo la siguiente f6rmula:
v;=v; ! 203e
para n'Jes tro ca so:

10.
- 189-
•
2 2
2••Y, • Y. ,
reemplazando va l o res ( punt os D y El
2
vE • v
2
o
. 2.l
V. • ,
2
2.LVD •
• •
2
vD
(31
'fL
(2 1 en (J ):
l·
,v • 2gh
o
• 2L
el Nunca llegara • B.
Un pequeño bloque d. masa m resbala e n un. vía s i n
fricci6n en forma de rizo; al Si parte del reposo en
P. ¿Cuál es la fuerza resul tAnte que obre sobre él
en Q1 b) ¿A qué altura sobre la parte inferior de l
riso debería soltarse el bloque para que la fuerza
que ejerce contra la vía en la parte superior del
rizo sea igual a su peso?
P v1"O
r v =,r ,--
1 -,

-190-
Soluci6n:
•
AplicAndO el pr incipio de la conser vaci6n de 1.1 e_
nergía tenerlOs:
L.uego :
L~ acelel"aci6n centr1peta es;
a
c
~ V~/R ~ 8gR/R =- 8!
La ~celeraci6n tangencial es:
a t
'" mgh. ~ g
La acelerac i6n resultante ser á:
a =- la? • a
2
=- Q =- g/65e t
La fuer~a resultante en este punto s erá:
f =- ma ,. mg/65
b ) Las fuer ~as que act úan en el bloque en este caso
son :
T • mg ~ ma
c
." ( l i
Pero T =- mg (da t o )
2 _
v
2
- 2gR
Por el pr i nci pi o de la conservaci6n de l a ener -
g!a tenemos :
En este ca so:

- l!H-
Luego: mgh
1
= j/2 m(2gR}; de donde hj = Rt
La altura desde la cual deberá tit'",rse e l b1 0 -
que s er.§. :
(ver figura. 2).
Respuesta : l al r = mglBS ; bl h = JR
11. La partícula ele masa m ele la Fig. 8- 11t se mueve en
un círculo vertical de radio R dentro de una vra.
No hay rozamiento. Cuando m se encuentra en su POS!
ci6n m~ s baja, lleva una velocidad v . {al ¿CuSl eso
el m!nimo vlllol' vm de va para que m de una vuelta
completa en el c~rcu lo sin despegars e de l a vía?
(bl Sup6ngase que V
o
e s de O.77S v
m
' La partícula
se moverá por la vía hasta un ci~rt:o plinto p. "!n el
cual se despegarS de la v!a y seg uir~ moviéndose s~
gún la trayec t oria marcada en forma aproxi mada por
la linea in terrumpiaa . Encontrar la posici6n .'IUSU -
lar e del punto P.
Sol uci6n:
h '
"
'"
Aplj~ ando el teor ema de
l a conservac i6n de l a !
ner gia entre l os punt os
<ll y ( 11.
[ 1 = ); 2

- 192- •
21 , • ~ghJ.! mv, • ' ,'f mV 2 • mgh? ...
Del g rSfico ;
h, • 'R
h, • O
v, • O ( ve r pro blema II
Reempla zando va lores e n l a )
1
mg{? R) :; '2
,mv
o
:; v = ¡¡¡-gRm
V
m
> /4 g R
v :; ;r;RgR
m1nimo
( al
,
b) Apl i c ando l os mismos criter ios de l a par te ( a ) :
r~, ,
" ,
l .
,
, _ v
• o
.•' ..cm.
E E
O
•p Q
1
mv' • mgh
p • 1 , • mgh
Q
,. p
,mV
Q
hp
, R • R sen6 , R U "sen6) ... ( bl
h
Q
, O
v , v
Q
, 0.77<:. v ( dato)
o m
v , v
p m
Reempla za ndo en (bl
O
1
<en ,
'i

-193-
•- 1
e :: sen Un)
12. Una parti c ula sin dimensiones , de masa m, comenzando
en repeso , va r esbalando por la superficie de una c~.
fera s61ida sin rozamiento , de radio r. como se mue~
tra en l a rig. 8~lS. Mídanse los ángulos a partir de
l a vert ical y la energía potenc ial a partir del pun-
to má s alto. Encontrar (a} el cambio de energía po-
tencialoo la masa con respecto al ángulo ; (b) La ener-
gía cinética en func i6n del ángulo; (c) l as acelera-
cione s tangencial y radial en funci6n d~l ángulo ;
(d) el ángulo para el cual l a mAsa se despega de la
esfera . (e ) Si hay rozamiento entre la masa y la es-
fera. ¿la masa se despega con un án&ulo mayor o con
un ángulo menor que en el inciso (d)1
Soluci6n:
a) Por conservaci6n de la
bl Ep = EQ
1 ,
2 rnvp + Vp = k + UQ
v = O
P
r = mgrU - cosa ) ... ( 3)
energia:
AU : UP - UQ . .. (1)
Ep " O
EQ : mgh :: mg(r-rcosS):
= mgr(1-cos&)
Reempla~ando en (1):
AU = - mgr(1-cos8)
k = energía c inética

el k "' t ,mv
-194-
• .• ( 4 l
I gualando 3 Y I¡
de ( ~);
mgr { l~eo&e ) ~ } mv
2
V
2
* 2gr( 1- eo s 61 ..• ( 51
a •
II ", 1.&E"p - cose l I 2g0 -cos8 1
r
es t o ~s l a ace ler aci6n rad i al ;
a
r
= a = 2 g<1~ cos e )
•
C&lculo de la ace ler a c ión tang e ncia l ~:
Del gr.if i co :
,
g
13. Un r e s orte i deal s in masa S se puede comprimir 1. U
m. mediante una f ue rza de 100 nt. Ese mismo reso r te
se c oloca en l a parte i nferior de un pla no inc l i~a~
do qu e f o rma un áng ul o e a 30° con r e specto a la
horizontal <vé a se la r ig . 8~l 6 } . Una masa M
kg . s e s ue l ta a parti r de l reposo e n la pa r te su pe .
rior del plano inc l i nado y queda e n reposo mome nt S.
neamente despu~ s de compr imir el r e s ort e 2.0 m. ( a l
¿Qu~ ~ i stanc ia resba 16 l a mal a a n t es de quedar en
reposo? (b l ¿Cu&l e s l a velocidad de l a masa cuando
es t~ a punt o de hace r cont ac t o con e l resorte?

Sol uci6n : •
Sa e mo~ que pa r a u n r esort e s e c umpl e :
r :: 10:
, [ ' 00 l on N~ ~
-,- ~
x m
,M ~ 1 0 kg.
•~
' O'
al Ini c ialmente comprime x ~
'm (elAtO)
,o.plicando l. conservdci 6n d, la e nergS:a de bajdcla
U.,.:Zl .
/ T ", , ",
d
"
1 , mghj
, , t 1 kx 2
d'
1 ;nv1 • ~ 1 mv,
1
1
U)
", ~
"
~
d,en' }
(2)
., 1 ~
v, ~ O
.. )«,)(2:: 100(10) 20
hj = 1 rng n1010.Sl:: 9."U" .•. (3)
Reempl a.~ando tJ) en (2);
el. 20 ::
~ 9.B.sen3Qo 4 .0a m.

b )
-196-
h, • (d ~21s e n JOo
h, • ('+ . OS.. ' l s e n 30o
" • 2 . 08 5€< 0 30· ..
.. ( 4 ).
T Por conservación
d. 14 e nergí a. :
rA • r.
, , mgh,a.;- mV
A • •
j
1 , • mgl'lS• 'i mv •
v, • O
hA • O
reemplazando estos valores en la ecuaci6n ante
J:'10r:
" h g O.OS>Sen300
"l¡.~1 m~
14. Ua r.ue rpo que se mueve en el eje de l55 x est§. sorne
t ido a una fuerza que lo repele del origen , dada
por f " kx. a) Encue ntre la funci6n de energía
potencial U( x) para el movimiento y escriba l a condl
c ión de conservación de energía. b) Lscr iba el movi
miento del sistema y demuestre que es la clase de
movimiento que podría esperarse cerca de un punto
de equilibri o i nestable.

- 197-
u •
y
o x
x
- X
. , ,
'POOF • kx , <Ix
• • X ,
ric;. 1
Fiq. 2
Soluci 6 n :
al Sa bemos que: U(x ) - U(x
o
) :;rx~r(X)dX . .. (l )
donde X
o
: O y F(x) : kx
bl De la gráfica obse rv~os que e n x :; O, la ener-
gía potencial es máxima y l a pe ndiente de la
curva es cero , luego r :; - dU/dx : O.
Una particula en reposo en ese punto permanece-
rá en reposo.
• - r
Sin embargo si la partícula se mueve de este pu~
to , aunque sea una distancia muy peque~a, la
fuerza r :; - dV/dx , t~nder~ a alejarle más de la
posici6n de equilibrio (f :; O). rs decir que ese
punto de equilibrio es inestable.
15. Si ld fuerza entre una partícula de masa m
1
y '.ma
de masa rn
2
está dada por:
rn1rn 2
r:; k -r
x

- 198-
siendo k una con3'tante positiva y la diet"ancia x es
la que existe entre la. partlcula.; encontra r: al
La funci6n de energ1a potencial y bl El 'trabajo ne~
cesario para la separación de las masas de x = xl
a x = xl + d.
Soluci6n;
al La función de energla pot encial será;
U = u(x) - U(x
o
) " - W " - rx f<'x) •• , (1)
o
en este caso r • (km
l
rn
2)/x2
,
U(x
o
) r 2 lon
l la
2 P/xJXU (x) - , - (km
1
rn
2
dx)/x ,
X
o
X
o
U(-x) " U(x
o
) • km1
m
2
bl El trabajo será:
w = Jf(x)dx
Respuesta:
[l/x - l/xJ
)::mll:12d
xl ( Xl +a l
r--c--- -----,a) U{x)=U(x
o
) + Km1
rn
2
(1/ x- 1/x
o
)
b l W = ( km
1rn2dl / "1 (Xl + d)
16. La fuerza de a'tracci6n entre e l núcleo pos i t ivamen-
te cargado y el electr 6n negat ivament e car gado en
el ~tomo de hidr6geno , está dada por r " _ k e 2/r2;
siendo ~ la carga d.el electr6;!, k
y.!: la separaci6n entre el electron
una constante .
y e:l núcleo. Su
p6ngase que el núcleo está fijo , el electrón que i -
nicialmente Se está moviendo en un círculo de radio
R1 alrededor del núcJ.eo salta de repente a una 6rbi ta

-199-
circular de radio má s pequeno R
2
, a} Cal c fi les e el
c~~io de energía cinét ica del e l ectr6n, usando la
segunda ley de Newton. b} Aplicando la relaci6n en-
tre la fuerza y la t!nergía potencial , calcGlese la
disminuci6n de energla potencial del ~tomo. c} Cal-
cule qué tanto disminuye la
durante este proceso, (Esta
forma de radi4ci6n).
energía total del átomo
energia es emitida en
SoluciÓn:
a) El cambio de energía
cinética será:
6k = 1/2mv~-1/2mv~
... (1)
Apli~ando la segunda
ley de Newton tene -
mos:
La e cuaci6r. (2) se conviert e en:
1/2 rR = 1/2 mv2
pero: r = ke2/R2
Luego; 1/2 mv2 = _ 1/2 ke 2 /R
,
Para R R
1
; 1/2
2
lIH ke
2
/R
1
), mv! ,
R , , .
"2' 112 :nv~ , 112 (ke 2/ R
2
)
,
Reer.:.pla::ar,do es t os valor es e n (1) t endr emos!

- 200-
•b) La disrninuci6n de la ener gía pot encial es:
6U =
lIU = -
= _j ~( _ke2dR)fR2
",
= - ke 2 (1/R
2
- 1 /R
1
)
c ) La disminuci6n de la energla total del átomo se-
rá igual a l a disminuci 6n de e ne r gla cinética ,
es deci r i gua l 4:
1 /2 Cke 2 ) (1 /R
2
- 1/ R
1
)
puesto que es la única energ14 que se manifiesta
en forma exte nsa .
17. La e nergía potencial correspondiente a un c i e rto cam
po de fuerza bi dimensional est á dada por U{x , y) =
1 12k ( x 2 +y 2 ). (a) Oh tene r Fx y F
y
Y rle~c~ihj~ ~, ve~
tor de fuerza en c ada punto en funci6n de sus coor-
denad a s c artes ianas x e y. (b) Obtener Fr y Fa y
de~cribir el vector de fuerza en cada punto en fun-
ci6n de las coord enada s polares r y 9 del pu nto.(c)
¿Pue de uste d pensar en a lgún modelo físico de tal
fuerza?
Soluci6n:
1 2 2
= .,. k{x + y }
al Sabemos: r (rl o i .U j ." k .u
'x
- ay ,,-
donde: Fx o
.U
'"
F o
.U
y ay
r o
.u, E

-?O l -
tULx ) ~ ;0:
rx kx
fj = 1-1<.( 7y) ~ io:y
F ~ ky
Y
bi Cf'mo re ,~puntCll s i ~mpre raoia lf:lentc:
[(1') = k!'"
f(€,) = O
donde : r = Xl .jo yj
i6 . fl l lamado potencial de Yukawa
r O -1'11'
- U e o
r o
•
oa una descripci6n suficientemente exacta de la in-
t.erélcción entl"'e nucl eones (esto es I neutr ones y pr'2.
t ones. los constit uyentes de l núc l e o) . La constan t e
ro "ale aprOl:imadamente J.5 y. 10-
15
:n y l a cons t an-
te U
o
es apr oximadamente de !JO Me'.". ( al Encontr ar
l a expr esi6n cor l"'espo ndient e pa r a }-'I f uerza de a
t r a~c i ó n . ( b ) Para poner de ma nifie~to el cor t o a1-
CdJce de es ta f ue l'zB, cal cul a r 1;). l·e lación de 101
f uer za par a r
r'Jer :;:: a p=a r
Jio l ución:
él ) r =
~
~
2r
r
o
,.D
o '
4ro y 101'0 <..01, I"'l!s pecto a la
= 5U Hev .

19 .
-202-
•
der i vando:
~
-r/r r
-r/r Jr • o- v • o , Vol! oo r
r
- r /r
[;0 ~Jr • --"r vo' o
b) Rcempl ~ ...~ndo va l.ores en l. e ll pr esi6n ant:e r i ol' h~
lIada. o bt endremos para :
r • l r •o r • 1.4 , 10- 1
r • 4ro • r • 1. B , 10- 3
r • lOr •o
r • 6.6 x 10- 6
lna part 1c uh o ( e l nC.cleo de un átomo d. he lio) en
u n n("ü eo grand" , e s tá li g ..da p Dr un potencial co-
mo e l Que .e muestra en la rig. a) Constrúyase una
runc i6n de x Que tenga esta f orma general , con un
valor m.ínimo Uo para x = O Y un valor máximo para x
= Xl Y x = - Xl' b) Dete~ir.ar la fuer~a entre l a
partleula a y el núcleo en funci6n de x. c) Descr iba
l os mo vim i entos posibles.
u(x)
,
_~'
e
d) Di c ha curva se o btiene multiplicando las ecuacio
n~s:

-203-
, ,-.,e
•
en donde A y e se determinaran, de tal manera que
cur.tplan lds (':ondiciones impue s tas,
La ecuaci6n s era: ,Cle-ax
b ) ,. , dUJdx ,
, e
-.,, (_2AxJ(l - 2axe • 2Axa)
el Entre - "~y • " l . partícu l a oscila
para x > xl y x < Xl cae de la cr esta,
En U
o
el equi l ibrio es estable ( X :: O)
En Ul( - xl l y U1(x1 ) e l equilibrio es inestable,
21, Se encuentra que un cierto resorte e special no s~
gue la ley de Hooke , La fuerza, (en nemons) que e-
j erce c uando el resorte sufre una deformación x (en
metros) resulta tener una magnitud de 52,8x + 38.Qx 2
en sentido opuesto a la deformación. (a) Calcular
el trabajo total que se requiere para estirar e l re
sorte desde .x = O. se hasta x :: 1.00 1lI. (b) Es t ando
fijo uno de los extremos del resorte , se sujeta en
el otro extre~o , cuando el r esor te ha sufrido una
~eformaci6n x = 1,00 m" una partícula de masa 2.17
kg. si en estas condici ones se suelta la partícul a
a partir del ~unto de r eposo, calcular s u velocidad
en el instante en que el re sorte ha regresado a la
configuraci6n en la cua l la deformaci6n es x :: 0. 50
m. (c) La fue r za que ejerce el r esorte, ¿es conser -
vativa o no conser vativa ? Explicar por qué .

- 204-
$')lu.::::i6n: r:< ~1. 8x .. 32.4 x2
t} tI tl"al.ajo está ......'l.do por:
W :< f Y(x )ox '" r: rOl<
, o
w r'(<'1.8'X+37.4X
2
}(.X "
0.5
W ( h2 . 8 . 32. 11,
" 2 -,-'
., " 31 Joul es .
52.8
-,
•
1,) Siguiendo e l Dlaimo pl'Oc edilnient o que e l problema
1 3 o bt e nemos:
11 " 5 .33 mI:'!.
e ) Es conservativo , porque e l trabaj o que r ealiza
dUr'~nte u n c ic l o comp l l!! t o (dI! ida y v u e lta) e l!:
ce ~.
l' Mue s t r e que cuando ha y fr ioci 6n en un si ~t em4, que
s i no fue r a por e llC'. s e r1 a cc:ns.:'tvativo . l a rapi de z
(',m que se d i si. pa la e ne r gSa me c An i c a es i g ua l a l a
fu .. r za de I'r icoi 6n mul ti plicada por l a velocidad en
"'!:f' i ns t ante , o expre sado mate.:nat i camente :
d / dt ( k .. U) " - fv
:a1uc i 6n:
~ahemos que l a fri cci6n es una f ue r za di s ipadora
tr.o conser vat iva) , tTl e ste c a s o ;
pe r o:
Wf no cons e rvo = -t ~e
t¡,( K · ti) :: - f c. c

··2 0 ;
Dividi endo e ntre lit.
tr. ( k t Ul { f Ae }
.10(('" I ~ constant¡:~
-----.t •dt
6(k • U )
••1uego; ~
.t dt
En el lÍmite cuando
" t 1 e n .1.. , cero , tendrer.los:
c!( k + U¡
dt
dc
l' (ft : - fv
d
di'
{k+ ll-··fv
23. Un cuerpo :::le masa m (omie:lza a moverse a partir de
reposo, bajando un plano jnclinado de longitud L
que forma un Sngulo e con la horizontal. al T6rr.c::;.
como coeficiente de fri cci6n ~ y encuentre la velo·
cidad del cuerpo en el punto más baj o del plano . b
¿Qué distancia ..d.. recorrer! resbalando horizon t alme!
te en una superfic ie igual, después de llegar a
punto más bajo del plano inclinado? Resuelva el p~
blema utilizando los métodos de la enet'gia y resue:
valo también usando directamente las leves de ¡le,", .
ton .
Dat os;
U
k
= coeficient e de
f r l cc i6n c iné-
t l ca .
L ~ l ong i t ud de l
plar.o i nclinado
" ángu lo del p1<1.-
no incl i nado .
ü¡
v ~ O ( '/~locida d i.nicial)
o

-206 -
Soluci6n: •
a) Aplicando el principio de la conser vcci6n de la
energía, cuando obr~n fuerzas no conservativas
(fricción) tendremos:
w, • fL • O<1- Ko 1 • (U, Vo
)
, , , , + mgh
1
mgh
o• f m., 2 m. -o
pero:
• • O. h, • O. h • Lsen8 ; , • uk
rngcos8 -o e
u)c:mgcosSL
, , mgLsenO• ~
m.,
de donde:
b) En el plano horizontal te ndremos:
pero: ., • O. h, • h, • O; f • I.l)cmg
- fd •
,-;
,m., " . (3)
Reemplazando los valores de f y de v
1
obtenemos:
Método dé las leyes de t!eW1:on :
a) I fx = ma,
• O
rngsen S
-mgcosS .. N : O • . • (2)

- 20 J-
f k = U
k
N -.--- --- - -- - - - (3 )
de las ecui!l ci ones O) , (2) 'j (3) obtenemos:
al = g(sen a - u
k
cos al
~a velocidad vI se ~á :
2 ,
•
vI = V
o + 2al~ ----- --- - ( I¡ ) , pero v = O de donde:
o
v 1 ~ = 12g!.( sen a - U
k
e-osa
b) En el plano hor i ~ontal tenemos:
, f o
•• f o .a, ,,¡, ,
, f O
"Y
o 'g o O (1 )
f, o
"," ----( 3 )
De la s ecuaciones ( 1 ) , (2) , (3) obtenemos:
" ",
La di s tan cia d reco~rida po r el cu erpo s e rá:
pe ro v 2
Luego: ,
Respu e s ta:
,
"
O
•
,
,
0 _ _' _
",
al
o
"
. - ( ,, )
2gL(sen , - "k 00'
" !.( sen8-u kcos9)
2u
k
g " k
o 11g L(sen O u
k
cos O)
b) d = L( sen a - u
k
cos 8 1 /u
k
14. Una partícula d e sli~a por una via que t i e ne s u s e x t remo s
levantados y una par t e c ent ra l p l a na , co mo se mue st r a e n
la fi g . 8-1<) . La pa r t e plana t ie ne un a l o ng i t ud 1 ~ ) . ú
m. Las porc i o nes curvas de la v i a no tj ene n roz a mi en t o .
P3ra la pa r t e pldlld el coeficien t e de r o~ ami ento ci ~~t i co
"k
() . :?o . La particul a se su e lt a e n un pu n t o A 1U.,
se e~cuentr~ a una altura h = 1.0 m sob r e l a p a ~ t e pl a na
rep oso?

-208-
-lA-
J___';!!'_ :<a..-._~,.--_~B d
r---
L --- ---<o/
Aplj~~~"do la e~ua~i6" de la ~o"~ ervación de la energia en
tr. los puntos A-B.
2
,
."
EA ~ EB
mghA
, ,: "2 IIIv B • IIIghD
S ¡mplifjcanJo y reemplazan d o
datos
o ,
, ,] mv ~ ~ e / k mgd
rtc~p l~ zJ nd o e l v alo r de vB
7 2&11 = ell<t~ d
,.
o. :!
s.
La partlcula hac e Un recorr i do de i d a y vue l ta qu~ d andos~
P~. el medio Je la polI t e plJna.
:,',,) uro le~<H·te hori.:.on
r 1 i ,.. __ I.J . U 1:10
__ vo.. z v-O
'nd·,;¡l,rmrTTTT!fT7TTrrrnrrrr
Fi Q. 1
, ,

- 209-
•íent~ ' ¡lIétic o ~ rlt re el bl :lG'"" "! l ., ~""P"l ti,' ~ ~')rj;:ollt ,il
.e ~ d~ O )~. LCuSI erd Id velor J~d ocl bl ')-J~· en el ins
t~~tE ~ul cn~~ue?
1, o,
, " ",-, 1
, "
" .Ur
----- ~ l)
", " O ; , )
O
" U ,e
' r rk"
1 , , , k ,
,,0 ' o '' • ;, o
I' e l'o : f, " 'k"
, uklng • " O , " O
o
1
h
, 1 ;
LuegQ : ., ro . ", O
" j'2 ( Uk OS "
d. donde: •o rn
,., )
"J' (o,
• 1 . '2rn is eg
v o ~ 1 . '2 mIse..,
..... el c "t:le d e u n elev.:aoof' de P ~.J C 1,: ,jl"]" ji,; . ~-::"'''!E.
vienta cuando el elevador se
pT' irocr piso , d" IIl d n" ,'i! que
su fondo estaba a una a l tu
f'd d " 3.66 m s o bre un re-
sort" amortí ¡ ua dcr cuya
co nstante de r e:;o l t e e s
1', é 000 at/m . lb sis-
,1, l , 1 .,.~.

mo~¡mie"tc del ~Jcv d dor se opon~ ~~~ fu~rza ~e ro~am¡e~tc
co nSl antd de ~ " ~O nt. (a) [ncon t -J r la velocidad del ele-
~dd" r en e l momento en que va a :'I'(. J.r c alara el resol'te.
lb) tn eo ntrar la 4istancia que ~c Jd for mará el rc ~o rte.
(e) ¡:alcular la distancia que "rabot ar á" el elevador ha
~ja arriba en el pozo . (d) Apli~ando el pr incipio de l a
co n .er vaci6 n de la energla, cneolltra r la distancia total
que se mover~ e l elev a dor antes d~ quedar' en repos o .
Solud6n :
al Aplicando el te o r ema de la energia:
o,d
1
Z mv,¡
fd
1
,
1
m(mg - f.ld=
¡'eemplazando ~alores: o •
, d
,
"
w
g
'2 " 9 .8
17 000
(17 , 800 - 'I'. SO) " :'1.66
b) r klt
r
)t : k • 17800 - '''.50
1'<6000
27. Un cuerpo de 17.8 nr es empujad o ha c i a a rr ib a sobr e un p l!
no sin rozamiento. inclinado 30° y de 3.05 m de l on gitu d
mediante una fuerza horizontal r. (al Si la v el ocidad qu e
t e nia en el extremo inferior del plano era de 0.61 m/seg y
en el e"tremo superior alc a nzó 3.05 ~/,eg. ¿q u ~ can tid ad
de trabajo hizo la fuerza f? (b) Supónga se que el plano
tiene cierto rozamiento y que
r! esta misma fuerza?
el plano?
'" : !jO lb e -. 30"
~k : 0.15. ¿Qué trabajo ha·
dónde subirá el cue r po sob r e
L • 10 pies ~ 0.15

Soluci6n :
Las en~rg i 3$ ir.i c ial y
f i nal s .. r~n'
¡; ~ 1 /2 r,¡v
2
o ,
¡
2 IIIv 1 t
1 I ¡
¡
", f III¡;Ls <! n
- 21t-
el irI C I· ~ m .,nt o d, en~rgi~
e ::; Igua 1 .1 trabajo re .. l izado Jl" r
, 1 ;.
m¡t.sen 9, < , - <
•• ,
1 o ¡ 1
1
" )( 10) 2, <
¡ 31
,
"' • '" • O. ,
160 pie I lb
b) Cu~ndo h.y fri cci6n t endre"'os:
, , mgh 1 ) , 1 , lagh),- •• • - m. ,1 , o
,
do nde: eL .. " trabajo h~c h o p o .
h : O
o
, ,
'.,
,
_. 1 " ,,: . ,
, re•• ,
o
1 , "' ) ( :. )
- I 3:
< re - te
u • fue r z a .
Re e ~pla z an d o valo r es en (2 ) t e nem o s :
V : FL : 260 t 0 . 1 5 = ~o x cos 30° x
: 260 t 51 . 96 t 311.9 pie - lb
La eneri la ciné tica en el p ~ n to mA s alto es :
(.. ) w 2 26 0 pi e l b
(b) v a 311.9& pie-lb
- • • (1 )
,»
28. rn un .. _esa sin roloa_ iento se coloca una cadena de ta l tur
lila que la qui n t a parte de su longitud e $ t ~ co l&a n d o po r el
bo rd e de la mesa . Si la cadena tiene una longitud 1 y n n..
m ~ 9a 111, ¿qu~ c ant idad de tr .. bajo habra q Ut ha cer parl su -

-2 1 2~
~ .
l un~i t ud d e l a c a a ~ na
H' m.Js .l d e 1 .. c,~ de n a.
H.~ ,,"'ll:o:; el (! :i d
•. ,",U"" el e1 ""1'
1¡~" " d~ 1..., pa r·t e j ,
i3 ~ ,'" n~ '¡', e c u e l &a.
~, . .• p li ca ! u ~ a fuer ~ ... .
r ( r.-. & x)/1. ~--- ---- ( 1 )
JU:1:!,· "' g/ L e s ,,1 PC ¡;';:' ;:'0 1' " " id a ": de l or.!; i tOl~ .
'-.¡ t ,·"h d jo :>e l'¿; :
L/ S
,r n f, xd>.
o '
[
, ] LI SmO x
L 2 )
•
,
r~ F~ c 4 1~ •• m e ~l~ i c a v a d e un p i so a ~ t rO 4UO es tá a 7 . 62
el ,1': i 1; ., . !. d es c a l el' il ti e ne 1 2.7 In <.1 .. l a r g o y s e mu e v e e n
. ! le cc i 6 n de 5U l o ngi t ud co n un a v e l oc idad de 0 . 6 1 m/ se r.
'Q u ~ pctel'c i d d ebe t ~ I .~r ~ u mo t o r p ar a t r a n s po rt ar un
,~ , , ~ ~ d~ 1 00 ~~ r son a s ~Ol' minu t o, cd da una C C~ ~n 3 ma s a me
1 ¡ .) d I' 71 . '~ ~,,,., ( tI u,¡ h omb r e de 7 1 2 "t c~m i na por l ~ e &ca
J pl' j ~ l ~ ~ uh e e n 10 ~eg . ¿Qué c anti d ad d ~ t raba jo h a c e so
,,¡ 1loto r ? (c) S i ~ ¡ ¡, omb r~ a la mi¡ a d de l a es c a l e
. •' n' 8 , 'eSilld v c am ¡ u,ll"<1 hac iJ aL iI ) o d f.i n d e co nseI'V<1I' S~
, 1 I"ic;mo ni">! l " n el <! :;paci() , ¿ h a !' í ~ el mo t Ol' t l'il bajo s o b re
,~. ,
¡q 'l ~ pote nc.ic le a pli c a r i ~ j.a rj ~ G tc f i n ?

-211-
(1I) (01110 ti! ··C!""~ ¡¡Iitd de la
esc lll~r it CL ~~Ils t ante,
t- ién 1<.; e:l:
,
se rá:
~
Ir.gh
,
, ,,
:'!Ju , OvO
~
,.pie-lhb , ~.,G.6r,b
'"
,
~cu&ci6n en la ~u41. ~ h e:; la '1eloc': !.¡d :, n i""'" '/
., P >;;).1 " eloeid...¿ ::e l a c :;c ... !e.·"
De dicha e c uaci ón cb t~nemos: '1h ~ : p i e siseg
El espacio que I·e c orre él ?Or ~ u s p r op ¡ o~ medi o~ en les 10
seg es "h t .• 2 x 10 : 10 pie s = e/2.
El trabajo que r eal iza serA:
W = mgh/J - 2 , 000 pie/lib.
(e) 110, porque el hOMbre p" r m"nec" en .. 1 "islII ") pU h tC' (e.." I -
sidere la definición de trabajo).
La pote ncia ~u e r"lJ i~ a ~ implemente s ir'" pnra co ntr a r r eS-
tar el trabajo q ~ f" I ·e a li z~ e l hombre
r.sta potencia se r d:
d ':l b¡, j ,u ' .

JO.
Flp t a'
- 214-
l a' P : 6666 . 66 p ie - I b/ se g
(b ) W " 2 . 000 p i e- l b
(el Ho . 1 : 320 p ie - l b /s e g .
(d 1 It o
•
,Oe mos trar que me t iene dime n s ion es d e en ergla.
So l uc i ón :
,De.~s tr ar emos q ue ae t ie ne dim ens i ones de energla
(1)
dond e: m " aa sa e n kg.
e v e locida d de l a l u ~ e n mIs
re'llllpla za nd o .n (t ) :
Ade...ss:
(. ) .n
Jo ule:
,
E k g •---, ----- ---- - (2)
•
, He v ton
• o ,g .,.(2 ) ,
"
,
•E o -,.-,
a /s S
E: " N.a " J o ule
Uni d ad de e ne r g la.
-- - ----- (a)
) 1. Un elec t rÓn (lI a s a e n r e poso 'Ll " 10-
31
kg l s e !ll u ev e co n
una ve locidad de 0 . 99 c. (a) ¿Cuál e s su e ne r g í a to t a l ?
lb ) E: ncont r ar la relación de l a e ne r gl a c i nét i c a n e wt o ni a -
na co n ' res pec t o a l a e nerg la c i né t i c a r e l at i vis t a en es te
ca s o .
So lu c ión :
v '" 0.99 c
•o
'" 9.1 x 10-
3 1
kg .
Por el pr inc i p io de la c o nse rv ac i ó n de .., e ne r g 'í a tene mo s :
r( a e
2
+ El '" co ns ta nte
o o
(1 )

-lI S-
donde:
,t moc e~ l~ e" erela tot~}
[ [ e s la en.. rgla total de todas
En e s te caso:
, c '2 ~o(1, , • .., •
1
, lII
o
C
2
[(1 ,').,•
Reemplazand o
: '" C
o
,
va 10'-"5
'"
,') ,
"oJ.
. IJ ,: o n Q(;
(1) te nem 05
, .1'
, • '. 1, , 10- 31 (3 , 1 0 3) 2
• ' . 1 , 10- 31 0 , 1 (
8
)':1 [ 1 .
r ,
Cb )
"
0 .99'2)2 , 1]
• 0.8 1 9 , 10 -13 ". 9 8 , 1 e- 1 3
• 5. 79 • 10
· 13
L. energla ne wtoni3n a es :
K 1/2
, 1/2 '.1 10-
31
(O . 9 'l c ) '• •• • , ,
• ". OS" • 10
- 1"
joules
r . hci6n q", ex .l ste ent r e 1! 113 s se rd :
11 .05" x 1 0-
111
5.79 x 1 0-
13
o.ce
Rpt a: ( a ) [t : 5.79 x 10- ' " joul e s
(b) KIt: o. "e,
joul O! s
32. Cal c ula r cuAl e s la Veloc idad d e un ele c tró n q ~e tiene una
energla ciné t ica de (a) lOO 00 0 ev.
Soluc jón:_
(b) 1 000 000 e v .
Po r la ecu3éión de la energii c inéti c a t enemos?
'1 2 r ., -"2
K: 6mc moc U - (v /el")
Despe ja ndo la velocidad y o bt ~n ~m os :
• •
(t •
,
,., )
o
., ," , ,o
--- •• _ _ • (1 )

- 2 16-
(~) P~r~ K : 100 00 0 ev
-11;
1.6 ~ 10 jv ~l e ~
. I -1 " 2
cV(I.&xIO ) I
-31 B 'l -l~
2 x 9. 1)110 ( 3)1 1 0) 1.6)1 1 0., _31 B '1
J.l)1 1 0 (3)1 1 0 )
'J: 0.5'. c
(o) procediendo igualment~ para el ~aso en el que la ener
gid cs'
ot.lencmos;
1 ,000.000 ev
v : 0 . 93 c
-": 1.6 )1 10 joule s
Rpta: (a) v: 0.511 c
(b) v: 0.93 e
3. (d) La mdsa de un cu erpo en reposo es de 0.010 kg. ¿Cu~l
~s s u mas a cua nd o se mueve con un3 v e locidad de 3.0 x 10
7
m/seg con relaci~n al o bservado r ? ¿C ual e s , si la velocj
8
dad es de ~.7 )1 1 0 m/seg? (b) Compa rar las energl as cin!
ticas cl~sica y relativista para estos casos. (e) ¿C61:1o
ser ían la s cosas si el observador , o el apar ato de medi
c16n , e stuvieran mo ntados s obre e l cuerpo?
Oa t os: m
o
: 0.01 kg , v I :
,3 )1 10
" 2 2 .7 x 1 0 m/seg.
So lucion: (a) La s ma s a s se rin .
J,
mo
- (
"
J
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C omp~randD l as energias c l~sic ' y relat i vist3 ten emo s :
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3.695 JI 10
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14
11 .7 l< 10
= O. 3
(e) En es t e caso seg ún l a f i s i ca cl ~ s i cd l a en e r gl a ciné ti
c a ser Ia nula, pu e s t o Que v
p
~ O, pe r ~ según l a fts iea
relativista la energl . cinEtica s e r.i:
K = lime
,
3". De acuerdo con el B r i t~ n i ca Ye arbook lo s Es t ado s Un i do s
consumieron 563 x 10
12
vatt-h de energ l a elé c t r ica e n 1956
¿Cuan t o s kilog r amOs de mat e r i a l tendr I an q ue dest r uirs e
por co~pleto para prod ucir e sa energla?
Soluci6n: Como el proceso es reversible pued~ oc u rri r
una materia l i~aci6n de l a masa a p arti r d e l a
energla o viceve r sa.
,=""2,
----- (1)
P J
5631110 ·watt-hxl.6xlO jQulesjwa t t - h =
(3 1( 1 0
6
)2
Rpta: !lIm = 22.S~ ~S.
22.52 kg.

-218-
]~. S~ lrel que el ~ol obtiene su energIa po~ un pro~eso d~ f!
s i ór, .." el cu.. ':' cuatro átolJlos de hid r ógen o se tl·;¡nsfor..a"
el. "'/1 a to,",,, de helio con e.. isi ó n de energI a en -divel"sas
Si un At o.o de hidr ógeno t iene un a
~~Sd en repol~ de 1. 008 1 unidades de masa a t6~lca (viase
. J [j o 7J Y un !t~IJI O de h.lio posee una ~asa en rep oso de
~ .0039 vni rlad es de mas a atómica , calcular la en e rgta d es -
Frend id~ en c a da pr oceso d. fusión.
~ : ~H ~ 1.0081 , "He ~ ~.00J9
Sol uc1 6n: La lIIaSd to tal da los" AtolDos de H será
.. x 1. 008 1 • " .032"
be .a s ~ q ue se ha trans f ol"mado en energl a será:
11 - .. ni!! - "'He ~ ".032" - ".00393 0.028$ u de ma sa ató-
n. i c a.
-21
.. • O.O]iI ~ u de 111 a t ó..i c a x "¡-O-' ;;6!6-;'i;""O;-"..;k~If;-,
1 u. de 11 at611llce.
La energla despren dida en cada p r oceso de fus ión.
, .
- 2 7 8 '1
[ ~ (0. 0 28$ x 1.66 x 10 )(3 x 10 )
." ~ 26. $ Jot ..v .
36. !XI diodo al vacío a:nsist.e de m Anodo c1l!R1rioo que encierra tri cato
-16-
en c1l!nd:rioo. U"l electrón, Oln r.na. ene%91a potend.al de 4.8 x 10
joJ.les ccrr rel;w::i(:r¡ al ánodo, aale de la ~fid.e del c!tQ:b cx:n una
velocidad inicial cero . ~ase que el electr6n no d10CiI ClOrltra ni.n-
gula rroléc:u.la del aire y que la fuerza 9ravitacicnal es insiqnificante
(a) ¿()Jé crercfla cinética tendrS el eler:t.t"6n cuanio da¡ue a:nua el !
- 31 -
no:Io? lb) 'l'alIardo c::aro 9. 1 x 10 kq la nasa del electr6n. cnc:mua:r
su veloc1~ final. (e) ¿Se justifica usar las rellloCiones c:U.sicas de
energía cinética y de mas". en lu:¡ar de las relativistas?
-16
(a) La energid cin it ica s era " .8 x 1 0 j oul e s puls la e-

-2 19-
nerg l a ¡lote r. ;:i" l ~" r e l a t iva al ' !lod o 'i .. l llega? d e s t e
s e tra nS f Ol'I' d en . ,, ~r gla ci n ética.
b ) La velo e id~d fj' ,al
e ) S i, por4.U ~ la v elocid " d n o se 3 prox ima a l a d e la lu ~
7 / •v /e ~ &.b x 10 . 3 x 10 ; O. '} }
y : O.?:i e
p~, t a : .) , ,.., 10 - 16
joul es
b)
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