CÁLCULO PROPOSICIONAL Objetivos: 1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición. 2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición. 3. Identificar las distintas formas proposicionales. 4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional. 5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería. 6. Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional.

2. Proposición
Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser
calificado como "verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez.
Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.
1: Verdadero
0: Falso
Ejemplos: Los siguientes enunciados son proposiciones:
Táchira es un municipio de Lara (falso).
La semana tiene siete días (verdadero).
Los siguientes enunciados NO son proposiciones:
¿Qué hora es?.
¡Estudie!.
Notación: Las proposiciones se
notarán con letras minúsculas p, q,
r, s, t, ya que las letras mayúsculas
las usaremos para denotar los
conjuntos.

3. Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permiten
construir otras proposiciones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de
proposiciones dadas
Operaciones Veritativas
Conectivos lógicos: La negación
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que
se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por
la negación de dicha proposición.

4. La conjunción
La conjunción de p y q es la proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor
lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:
La disyunción inclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la
proposición p vq, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla
siguiente:
VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

5. La disyunción exclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la
proposición p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla.
En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q
son iguales.
El condicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y
consecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor
lógico está dado por la siguiente tabla:
Ejemplo
a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:
1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).

6. El Bicondicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q
a la proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y
suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
o en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)
La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa cuando
VL(p) ¹ VL(q)
Ejemplo Nº 1. Consideremos las siguientes proposiciones:
a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3
b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3

7. Leyes del Algebra de Proposiciones
Leyes
Idempotentes
Leyes Asociativas Leyes Conmutativas Leyes Distributivas
Leyes de Identidad Leyes de
Complementación
Leyes De Morgan
Otras Equivalencias Notables

8. Métodos de Demostración
•Demostración Directa:
En la demostración directa debemos probar una implicación:
P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una
secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones,
teoremas o propiedades demostradas previamente.
•Demostración Indirecta:
Dentro de este método veremos dos formas de demostración:
Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p® C
nos proporciona la Ley del contrarrecíproco: P → C = C → ~ P.
Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el
método del contra recíproco, según el cual, para demostrar que P C, se
prueba que ~ C ~ P.

9. Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p q es
tautológicamente equivalente a la proposición (p ^ ~ q) (r ^ ~ r) siendo r una
proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.
Circuitos Lógicos
Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una
forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un
circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional
correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos
simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función
que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:
Conexión en serie la cual se representa como p ^ q

10. Conexión en paralelo la cual se representa como p q
Estas representaciones nos servirán de base para la correspondencia entre los circuitos
y las proposiciones.
Ejemplo: Construir el circuito correspondiente a la siguiente expresión
• p (q r)