AVC2017

2. Clase 6
 Principio del Máximo
 Desigualdad de Harnack y
Teorema de Liouville
Funciones armónicas en el plano

3. Principio del máximo
Funciones armónicas en el plano

4. Máximo
 Ω dominio plano
 𝑢: Ω → ℝ
Diremos que 𝒖 asume su máximo en 𝛀 si y sólo si
existen al menos un punto 𝜻 ∈ 𝛀 y un número real 𝒄
tales que 𝒖 𝜻 = 𝒄 y, además,
𝒖 𝒛 ≤ 𝒄 para todo 𝒛 ∈ 𝛀.

5. Ejemplos
 𝑢 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2
máximo en ℝ2
⇝ 𝑥, 𝑦 = 0, 0

6. Ejemplos
 𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑥
No asume su máximo en ℝ2

7. Principio fuerte del máximo
Una función armónica no constante
en un dominio Ω
no asume su máximo o su mínimo en Ω.

8.  Ω un dominio acotado ⇒ Ω = Ω ∪ 𝜕Ω es compacto
Si 𝑢 es continua en el conjunto compacto Ω,
entonces 𝑢 asume su máximo y mínimo
en alguna parte de Ω.

9. Principio débil del máximo
Sea Ω un dominio limitado con 𝑢 continua sobre Ω
y armónica en Ω.
Entonces 𝑢 es constante en Ω y
𝑢 asume sus valores máximo y mínimo sólo sobre 𝜕Ω.

10. Ejemplo
 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑦
asume sus valores máximo y mínimo
en la frontera 𝐶 0; 1
del disco unitario cerrado 𝐷 0; 1
𝟎, 𝟏 𝟎, −𝟏

11. Clase 6
 Principio del Máximo
 Desigualdad de Harnack y
Teorema de Liouville
Funciones armónicas en el plano

12. Desigualdad de Harnack y
Teorema de Liouville
Funciones armónicas en el plano

13. Principio débil del máximo
 Ω “pequeño”
 𝑢 armónica en Ω y
continua en Ω
 entonces el conjunto
de valores 𝑢 𝑧 , 𝑧 ∈ Ω,
también “pequeño”

14. caso Ω = ℝ2,
de modo que Ω sea
lo más no acotado posible

15. Función entera
Una función armónica 𝒖 se dice entera
si su dominio de definición es ℝ 𝟐
.

16. Desigualdad de Harnack
Sean 𝐷 = 𝐷 𝑧0; 𝑅 un disco abierto
y 𝑢 armónica en 𝐷 tal que 𝑢 𝑧 ≥ 0 para todo 𝑧 ∈ 𝐷.
Entonces para todo 𝑧 ∈ 𝐷 tenemos
0 ≤ 𝑢 𝑧 ≤
𝑅
𝑅 − 𝑧 − 𝑧0
2
𝑢 𝑧0 .

17. Teorema fuerte de Liouville
Si 𝑢 es armónica entera
y está acotada superior o inferiormente,
entonces 𝑢 es una función constante.