matematicas

2. DEFINICION
 Sea K un cuerpo (podemos imaginar K como el
cuerpo de los reales o de los complejos) y una matriz
cuadrada A n-dimensional sobre K. El polinomio
característico de A, denotado por pA(t), es el
polinomio definido por:
pA(t)=det (A-tI)
donde I denota la matriz identidad n-por-n.

3. En álgebra lineal, se asocia un polinomio a cada matriz cuadrada
llamado polinomio característico. Dicho polinomio contiene una gran
cantidad de información sobre la matriz, los más significativos son los
valores propios, su determinante y su traza.

5. PROPIEDADES
 El polinomio pA(t) es de grado n y su coeficiente principal es .
 los valores propios de A son precisamente las raíces de pA(t).
 El coeficiente constante pA(0) es igual a (−1)n veces el
determinante de A, y el coeficiente de t n − 1 es igual a (-1)n-1tr(A), la
traza de A.
 Todos los polinomios reales de grado impar tienen al menos un
número real como raíz, así que para todo n impar, toda matriz real
tiene al menos un valor propio real.
 El teorema de Cayley-Hamilton dice que si reemplazamos t por A
en la expresión de pA(t) obtenemos la matriz nula: pA(A) = 0. Es
decir, toda matriz satisface su propio polinomio característico.
Como consecuencia de este hecho, se puede demostrar que el
polinomio mínimo de A divide el polinomio característico de A.
 Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico.
El recíproco no es cierto en general: dos matrices con el mismo
polinomio característico no tienen porque ser semejantes.
 La matriz A y su traspuesta tienen el mismo polinomio
característico.

6. TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON
Este teorema asegura que todo endomorfismo de un espacio
vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su
propio polinomio característico. En términos matriciales, eso
significa que :
 si A es una matriz cuadrada de orden n y si
es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X),
entonces al sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio,
el resultado es la matriz nula:
El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices
cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.
 Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma
que el polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su
polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene
los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.