El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Se resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. La solución muestra que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.

1. Crecimiento Logístico.
Presentado por:
Jose Dagoberto Rojas Castellanos.

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN.
EJEMPLO 1.
Crecimiento logístico.
Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe
y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes.
Si se supone que la razón con que se propaga el virus es
proporcional no solo a la cantidad X de estudiantes
infectados si no también a la cantidad de estudiantes no
infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados
después de 6 días si además se observa que después de
cuatro días x (4)=50.

3. SOLUCIÓN.
Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la
enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales.
dy = k y x
dt
y = # de estudiantes contagiados
x = # de estudiantes no contagiados
k = constante de proporcionalidad
pero tenemos que
x + y = 1000---------------> x = 1000 - y

4. SOLUCIÓN.
Variables separables.
dy = k dt
y (1000 – y)
Lo hacemos por fracciones parciales.
A + B =1
y 1000 – y
Solución Parcial.
1000A – Ay + By = 1 B=A= 1
-A + B = 0 1000
1000A = 1 B= 1
A= 1 1000
1000

5. Identificando A= 1B= 1
1000 1000
1 ∫1 + 1 ∫ dy = ∫ k dt
1000 dy 1000 1000 - y
1 ln/y/ - 1 ln/100-y/ = k t + ln/c/
1000 1000
1 ln / y / = k t + ln/c/
1000 100-y

6. ln / y / = 1000 k t
c(1000-y)
y = e1000kt
C(1000-y)
y = c (1000-y) e1000kt ECUACIÓN 1

7. Aplicando condiciones iniciales y reemplazando
t=0 y=1
1=e1000kt c(1000-1)
1=999c
c= 1
999
Reemplazamos c en la ECUACIÓN 1
y=e1000kt (1000-y)
999

8. Utilizando las siguientes condiciones iniciales
tenemos:
t=4 y=50
50=e4000k (1000-50)
999
50=950e4000k
999
49950=950e4000k
49950=e4000k
950

9. ln/52,57/=4000k
Ln/52,57/=k=9,9x10-4
4000
Reemplazando k en la ECUACIÓN 1.
y=e0,99t (1000-y)
999
999y=1000e0,99t - ye0,99t
999y+ye0,99t =1000e0,99t
y(999+e0,99t)=1000e0,99t
y=1000e0,99t ECUACIÓN 2.
999+e0,99t

10. Luego para saber cuantos estudiantes
infectados hay en 6 días, reemplazamos el
tiempo en la ECUACIÓN 2.
y=1000e0,99(6)
999+e0,99(6)
y=1000e5,94
999+e5,94
y=275,52 estudiantes.

11. El numero de estudiantes infectados x(t)
tiende a 1000 conforme pasa el tiempo t.
T (DIAS) X (NUMERO DE INFECTADOS)
0 1
4 50 (OBSERVADOS)
5 124
6 276
7 507
8 735
9 882
10 953