1. Factorización y productos notables.
La factorización es un procedimiento por el cual se deshace la multiplicación, y su importancia es
grande ya que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones y
en general, dentro del proceso de solución de problemas de diferentes temas de la matemática,
ayuda sistemáticamente, a encontrar la solución buscada.
La factorización es una operación que consiste: dado un polinomio P(x) hallar dos o más
polinomios de menos grados llamados factores de P(x) dados que multiplicados entre sí de
P(x).
Hallar el producto y descomponer en factores son dos operaciones inversas, es decir:
Multiplicación
5(X + 1)(X - 3) 5x2 - 10x - 15
Factorización
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN.
Existen varios métodos de factorización completa de un polinomio, la utilización de los mismos
esta en relación de la naturaleza del polinomio.
FACTOR COMÚN.
Cuando todos los términos del polinomio dado tienen un factor común o varios en virtud de la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma se puede sacar factor común.
Conmutando dicha igualdad se tiene la distributividad aplicada en sentido inverso:
ab + ac + ad = a ( b + c + d )
Para sacar el factor común a un polinomio se dividen todos los términos del polinomio por el
factor común escribiendo los cocientes parciales entre paréntesis, indicando el producto del
polinomio cociente por el factor común.
Ejemplo: Factorizar
3x3y - 24 x2y + 6xy = 3xy ( x2 - 8x + 2 )
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.
Para factorizar un polinomio por este criterio se agrupa aquellos términos que tengan un factor
común y se aplica la regla anterior. El polinomio necesita tener como mínimo cuatro términos
para formar 2 grupos de dos elementos.
Ejemplo: Factorizar
a2x - ax2 - 2a2 y + 2axy + x3 - 2x2y
= ( a2 x - 2 a2 y ) - ( ax2 - 2axy ) + ( x3 - 2 x2 y )
= a2 ( x - 2y ) - ax ( x - 2y ) + x2 ( x - 2y )
= (x - 2y ) ( a2 - ax + x2 )
Con los seis términos del polinomio anterior se pueden formar tres grupos de dos términos o dos
grupos de tres resultando el mismo producto.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
2. Este método solo puede utilizarse en trinomios que cumplan con ciertas condiciones:
a) Los signos de los términos son iguales o alternos.
b) El primer y el tercer términos son cuadrados perfectos.
c) El segundo término es el doble producto de las raíces de los términos primero y
tercero.
Al trinomio que cumpla las condiciones anteriores se denomina trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplos: Factorizar
a) 1 / 25 x4 + 2 x2 y + 25 y2
1 / 5 x2 5y
2 ( 1/ 5 x2 ) ( 5 y ) = 2 x2 y
Después de verificar si el polinomio en cuestión es trinomio cuadrado perfecto se escriben las
raíces cuadradas del primer y tercer término separadas por el signo del segundo término dentro de
un paréntesis que deberá elevarse al cuadrado.
1 / 25 x4 + 2 x2 y + 25 y2 = ( 1 /5 x2 + 5y)2
b) 25 x2 + 10 x -1
c) a2 - ab + b2
Los ejemplos b y c no son trinomios cuadrados perfectos por no cumplir con todas las
condiciones mencionadas.
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c.
El método para factorizar trinomios de este tipo, de segundo grado o reducibles a segundo grado,
consiste en abrir dos paréntesis los cuales tendrán como primer término la raíz cuadrada del
primer término del trinomio. Después del primer término, en el primer factor se escribe el signo
del segundo término del trinomio y en el segundo factor se escribe el signo que resulta de la ley
de los signos de la multiplicación del segundo y tercer término del trinomio. Por último, se
buscan dos números que como producto tengan al tercer término y como suma, al segundo
término del trinomio. El mayor de éstos se coloca en el primer factor y el menor en el segundo.
Ejemplos: Factorizar
a) x2 + 30 x - 400
solución: x2 + 30x - 400 = ( x + 40) ( x - 10)
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c.
Cuando el polinomio tiene como coeficiente del término de mayor exponente un número distinto
a la unidad se procede de la siguiente forma: se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del
término cuadrático y se divide por el mismo. Se hacen los arreglos correspondientes con el objeto
de expresar el polinomio de la forma x2 + bx + c y factorizar de la forma anterior.
Ejemplos: Factorizar
a) 3 x2 - 5 x - 2
3. 3(3 x 2 − 5 x − 2)
solución: 3x 2 − 5x − 2 =
3
(3x ) − 5(3 x) − 6
2
=
3
(3x − 6)(3 x + 1)
=
3
3( x − 2)(3 x + 1)
=
3
= (x – 2) (3x + 1)
b) 27ab - 9b2 -20a2
solución: se ordena y se puede reducir el procedimiento
(20a ) 2 − 27b(20a ) + (180)b 2
− (20a 2 − 27 ab + 9b 2 ) = −
20
(20a − 15b)(20a − 12b)
=−
20
5(4a − 3b)4(5a − 3b)
=−
20
= −(4a − 3b)(5a − 3b)
DIFERENCIA DE CUADRADOS.
Diferencia de cuadrados perfectos se le llama al binomio cuyos términos tengan raíz cuadrada
exacta. Para factorizarlo se saca la raíz cuadrada a cada uno de los términos que serán colocadas
en dos binomios factores que deberán tener signos alternados en cada factor respectivamente.
a2 – b2 = ( a – b ) (a + b ) el orden de los factores no altera el producto
a b
Ejemplos: Factorizar
a)225x8 – 256y2z6
solución: 225x8 – 256y2z6 = (15x4 + 16yz3 ) (15x4 - 16yz3 )
b)(x2y2 – 4y2) – (9x2 – 36)
solución: (x2y2 – 4y2) – (9x2 – 36) = y2 (x2 –4) – 9(x2 – 4)
= (y2 – 9) (x2 – 4)
= (y + 3)(y –3)(x + 2)(x – 2)
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.
La suma o diferencia de cubos se descompone en dos factores donde el primero está compuesto
por la suma o diferencia de las raíces cúbicas del binomio a factorizar y el segundo por un
trinomio cuyo primer término es el producto de la primera raíz elevada al cuadrado por la
segunda raíz elevada a la cero, el segundo termino se obtiene restando uno y sumando uno a los
exponentes de los factores del término anterior respectivamente y multiplicando las dos
potencias, y el tercer término, al igual que el segundo se resta uno y se suma uno a los exponentes
de los factores del término anterior respectivamente multiplicando dichas potencias. En caso de
que el primer factor sea una suma, los signos de los términos en el segundo factor estarán
4. alternados; en caso de que en el primer factor sea una diferencia, los signos de los términos en el
segundo factor serán positivos.
positivo Signos alternados
a + b = ( a + b) (a b - a1 b1 + a0 b2)
33 2 0
3
a b
a + b = ( a + b )( a2 – ab + b2 )
3 3
negativo positivos
a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 )
Ejemplos: Factorizar
a) a12 + b12
[
solución: a12 + b12 = (a4 + b4) ( a 4 ) ( b 4 ) − ( a 4 ) ( b 4 ) + ( a 4 ) ( b 4 )
2 0 1 1 0 2
]
= (a4 + b4 ) (a8 – a4 b4 + b8 )
1 3– 3
b) x 8y
8
1 3 1 1 2 1
1
1
0
x – 8y = ( x – 2y) x ( 2 y ) + x ( 2 y ) + x ( 2 y )
3 0 1 2
solución :
8 2 2
2 2
1 1
= ( 2 x – 2y ) ( 4 x2 + x y + 4y2 )
SUMA O DIFERENCIA DE BASES CON EXPONENTES IMPARES IGUALES.
Cuando el binomio no es una suma o diferencia de cubos se procede a factorizar exactamente de
la misma forma; se le saca la raíz enésima a cada término colocándolas en el primer factor
separadas del signo del segundo término del polinomio a factorizar. En el segundo factor se
escribe la primera raíz elevada al exponente menos uno del binomio a factorizar seguida de la
segunda raíz elevada a la cero, el segundo término se obtiene sumando uno y restando uno a los
exponentes del primer término respectivamente; de la misma manera se encuentran todos los
términos del segundo factor hasta que los exponentes queden invertidos al primer término.
Ejemplos: a) a7 – b7
Solución: a7 – b7 = (a – b )( a6 b0 + a5 b1 + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 +a0b6)
= (a – b )( a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + ab5 + b6 )
b) 32 x5 + y10
Solución: 32x5 + y10 =
[ ][ 0 1 2 3
]
( 2x)5 + ( y2)5 = 2 x + y 2 ( 2 x ) 4 ( y 2 ) − ( 2 x ) 3 ( y 2 ) + ( 2 x ) 2 ( y 2 ) − ( 2 x )1 ( y 2 ) + ( 2 x ) 0 ( y 2 )
4
= ( 2x + y2 ) ( 16x4 – 8x3 y2 + 4x2 y4 – 2x y6 + y8 )
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO POR EL MÉTODO DE EVALUACIÓN.
Este método de factorización es aplicado para polinomios que tienen cuatro o más términos. El
método utilizado es por le regla de Ruffini con el objetivo de encontrar un cociente (factor ) que
5. al multiplicarse por el divisor (factor) dé, cómo producto, el dividendo (polinomio a factorizar).
Para cumplir con lo anterior es necesario observar que el residuo debe ser cero, o sea:
Teorema del factor.-
Un polinomio P(x) tiene como factor a (x-a) si y solo si para x = a , P(a) = 0
Condición necesaria de divisibilidad.-
Para que un polinomio P(x) sea divisible por (x-a) es condición necesaria pero no suficiente
que el término independiente del dividendo sea divisible entre a.
Método de evaluación.-
Este esquema está diseñado para factorizar completamente un polinomio entero en x, para él
utilizamos, el teorema del factor y la división sintética o regla de Ruffini.
Ejemplos: 1) Factorizar por evaluación x4 + 3x3 – 23x2 – 75x – 50
Solución: Se buscan los divisores de 50:
a = ± 1,±2,±5,±10,±25,±50
hay que verificar con cada uno de los divisores hasta encontrar P(a) = 0
P(1) = (1) 4 + 3(1) 3 − 23(1) 2 − 75(1) − 50 = -144
P(-1) = ( − 1) 4 + 3( − 1) 3 − 23( − 1) 2 − 75( − 1) − 50 = 0 éste es un factor
Por Ruffini:
1 3 -23 -75 -50
-1 -1 -2 25 50
1 2 -25 -50 0
quedando los factores:
(x3 + 2x2 –25x –50) (x + 1)
Para factorizar completamente hay que factorizar cada uno de los factores si es posible. El
primero de los factores anteriores no está completamente factorizado por lo que hay que hacerlo
nuevamente por Ruffini o por cualquier otro método, en este caso trataremos nuevamente por
Ruffini.
1 2 -25 -50 Siguiendo los pasos anteriores
-2 -2 0 50 se separan en factores
1 0 -25 0
quedando :
x3 + 2x2 – 25x – 50 = (x2 – 25)(x + 2)
juntando todos los factores del polinomio inicial:
(x + 1)(x2 – 25)(x + 2)
observando el factor de en medio puede verse que aún falta por factorizar por lo que el resultado
de la factorización completa es:
6. (x + 1) (x + 5) (x – 5) (x + 2).
Es recomendable utilizar como último recurso el método de evaluación pues es un procedimiento
más largo que los anteriormente vistos.
RESUMIENDO:
Para factorizar una expresión algebraica es necesario reconocerla en alguna de las siguientes:
Expresión algebraica de dos términos
Expresión algebraica de tres términos
Expresión algebraica de cuatro o mas términos
Después de identificarla factorizar siguiendo el orden correspondiente.
Expresión de dos términos:
1.- Factor común
2.- Diferencia de cuadrados perfectos
3.- Suma o diferencia de cubos
4.- Suma o diferencia de bases con exponentes impares iguales.
Expresión de tres términos:
1.- Factor común
2.- Trinomio cuadrado perfecto
3- Trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c
4.- agrupación de términos
Expresión de 4 o más términos:
1.- Factor común
2.- Factor común por agrupación del mismo número de términos
3.- Factor común por agrupación de diferente número de términos
4.- Método de evaluación
