Este documento contiene 31 problemas de geometría sobre triángulos, conjuntos convexos y sistemas de coordenadas. Los problemas incluyen calcular longitudes, medidas de ángulos y determinar valores de verdad de proposiciones geométricas. El documento proporciona información sobre conceptos básicos de geometría analítica necesarios para resolver los problemas planteados.

1. NOCIONES BÁSICAS
1. En una misma recta se consideran dos
sistemas de coordenadas igualmente
orientados. Los puntos P, Q y S son tales que
sus coordenadas son respectivamente.
En el primer sistema: x 2 y
En el segundo sistema: - 8 z 1
Si PQ = 5 y QS < PS, halle x + y + z.
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
2. Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Sea  luego  -(P1, P2, …Pn) es un
conjunto convexo.
II. La diferencia de dos conjuntos no
convexos es un conjunto convexo.
III. Si la intersección de dos conjuntos no es
un conjunto convexo, entonces al menos
un conjunto no es convexo.
A) VFV B) VVV C) FVF
D) VVF E) FFV
3. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Una recta  contenida en un plano S
determina 2 semiplanos S1 y S2, entonces
S1  S2 = 
II. El punto es un conjunto convexo.
III. Si la intersección de dos conjuntos no es
conjunto convexo, entonces ninguno de
los dos conjuntos es un conjunto
convexo.
IV. Un punto P que pertenece a una recta 
determina dos semirrectas 1 y 2,
entonces 1 2 0 {P}.
A) VVFV B) FVFF C) FFFF
D) FFVV E) VFVF
4. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Sea C – {P} es un conjunto convexo.
II. La intersección de 2 conjuntos no
convexos, es siempre un conjunto no
convexo.
III. El ángulo obtuso es un conjunto no
convexo.
IV. Sea  una región triangular ABC y M un
punto que pertenece a BC . Entonces 
- {M} es un conjunto convexo.
A) VFVF B) FFFV C) FFVF
D) VVFV E) FVFF
5. Indique el valor de las siguientes
proposiciones:
I. El interior de un polígono es un conjunto
convexo.
II. Sea C una circunferencia y C el círculo
que define C. Si el punto A pertenece a la
circunferencia C, entonces C – {A} es un
conjunto convexo.
III. Un segmento contenido en una recta
determina en la recta una partición de 3
elementos.
IV. Si una recta y un triángulo no se
intersectan, entonces la recta es paralele
al lado de mayor longitud del triángulo.
A) VVVF B) VVFF C) VFFF
D) FFFF E) FVVF
6. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. El ortocentro determina en la altura
relativa al lado de un triángulo una
partición de 3 elementos.
II. El baricentro determina en la mediana
relativa al lado de un triángulo, una
partición de 3 elementos.
III. El incentro determina en la bisectriz del
ángulo de un triángulo una partición de 3
elementos.
IV. El circuncentro determina en la mediatriz
del lado de un triángulo una partición de 3
elementos.
A) VVVF B) VVFV C) VFFV
D) FVVV E) FVVF
7. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Un polígono convexo es un conjunto
convexo.
II. El ángulo es un conjunto convexo.
III. Una región rectangular de la que se han
excluido dos lados opuestos, es un
conjunto convexo.
IV. Una región triangular de la cual se han
excluido tres puntos diferentes de un lado
es un conjunto convexo.
A) FVFF B) FVVF C) FFFV
D) VVVV E) FFVF
8. Indique el valor de verdad de la siguientes
proposiciones:
I. Los siguientes polígonos regulares son
conjuntos convexos.
II. El exterior de un ángulo es un conjunto
convexo.
III. El exterior de un plano es un conjunto no
convexo.
IV. El exterior de una semirrecta es un
conjunto convexo.
A) VVVF B) VVFF C) VFFF
D) FFFV EI FFVF
9. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:

2. I. Una recta y un ángulo contenido en un
mismo plano, determinan alguna partición
de 5 elementos.
II. El interior de un polígono regular es un
conjunto convexo.
III. Sea R una región cuadrada y C un
cuadrado, entonces R – C es siempre un
conjunto no convexo.
IV. Sea T un conjunto y R su región
triangular, entre R – T es un conjunto
convexo.
A) VVVF B) VVFV C) VFFF
D) FFFV E) VFFV
10. Indique el valor de las siguientes
proposiciones:
I. La diferencia de dos conjuntos no
convexos es siempre un conjunto no
convexo.
II. Dos planos paralelos determinan en el
espacio, una partición de 4 elementos.
III. Sea R un círculo y T un triángulo
entonces R – T es siempre un conjunto
no convexo.
IV. La intersección de dos conjuntos
convexos es un conjunto convexo.
A) VFFF B) VFVF C) VVVV
D) VVFF E) FFFV
11. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Una región poligonal equilátera es un
conjunto convexo.
II. Si la intersección de dos conjuntos A y B
es un conjunto convexo, entonces A y B
son conjuntos convexos.
III. Si A y B son dos conjuntos convexos y
disjuntos, entonces (A – B) es un
conjunto convexo.
A) VVF B) VFV C) VFF
D) FVF E) FFV
12. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones :
I. El exterior de un triángulo, es el conjunto
de todos los puntos que no están en el
triángulo ni en su interior.
II. A cada par de puntos diferentes le
corresponden un único número real
positivo, es el postulado de la regla.
III. Se dice que dos ángulos forman un par
lineal cuando son adyacentes y los lados
no comunes son opuestos.
A) VFF B) VVF C) VFV
D) VFF E) FFV
13. Diga el valor de verdad de las siguientes
proposiciones en un plano  se dibuja un
triángulo y una circunferencia, entonces:
I. El triángulo y la circunferencia determinan
en el plano una partición de 3 elementos.
II. El triángulo y la circunferencia determinan
en el plano una partición de 5 elementos.
III. El triángulo y la circunferencia determinan
en el plano una partición de 2 elementos.
A) VVV B) VFF C) FVV
D) FVF E) FVV
14. Sea T una región triangular y C un círculo,
ambos contenidos en el mismo plano. Dar el
valor de verdad de lo siguiente:
I. Si T y C se intersecan, entonces T 
C es un conjunto convexo.
II. Si T está contenido en C, entonces C -
T es un conjunto no convexo.
III. Si T y el perímetro de C tiene 3 puntos
comunes y T – C  , entonces T – C está
formado por la unión de tres conjuntos
convexos.
A) FFF B) VVF C) VVV
D) VFV E) FVF
15. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. La intersección de dos rectas paralelas es
un conjunto convexo.
II. La unión de dos conjuntos disjuntos no
convexos puede ser un conjunto convexo.
III. Alguna diferencia de dos conjuntos
convexos es un conjunto convexo.
A) FFV B) FVV C) VVF
D) FVF E) VVV
16. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. La figura geométrica formada por una
recta y un punto exterior a la recta de un
conjunto convexo.
II. La unión de dos segmentos colineales es
un conjunto convexo.
III. Una región triangular si su baricentro es
un conjunto no convexo.
A) VFV B) VVF C) FFV
D) FFF E) FVF
17. ¿Cuál o cuáles de las siguientes
proposiciones es verdadera?
I. Sean A y B dos conjuntos cuya
intersección es un conjunto convexo, y la
diferencia A – B un conjunto convexo,
entonces B es un conjunto convexo.
II. Sean A y B dos conjuntos convexos y C
su intersección, entonces el conjunto que
resulta de omitir un punto P a C es decir
C – {P} es un conjunto no convexo.
A) Solo I B) Solo II C) I y II
D) Ninguna E) No se puede predecir
18. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Algunos polígonos son conjuntos
convexos.
II. Una región triangular es un conjunto
convexo.

3. III. Alguna unión de dos conjuntos convexos
disjuntos, es un conjunto convexo.
A) VVV B) VFF C) VFV
D) FVV E) FFF
19. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Si M es una región interior de un ángulo y
C un círculo que es tangente de un lado
del ángulo, de manera que M y C están
en un mismo semiplano, entonces M  C
es siempre un conjunto convexo.
II. Tres puntos cualesquiera determinan un
plano.
III. Un plano determina en el espacio, dos
semiespacios cada uno de los cuales es
un conjunto convexo.
A) FVV B) FVF C) VFV
D) VVV E) VFF
20. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Una región cuadrilátera ABCD no
convexa, se intersecta con otra región
cuadrilátera no convexa DEBF, entonces
dicha intersección es un conjunto
convexo.
II. La intersección de tres círculos es un
conjunto convexo.
III. La bisectriz de un ángulo y la recta
mediatriz de un segmento son conjuntos
convexos..
A) VVV B) FVV C) VFV
D) VVF E) VFF
21. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Si T es una región triangular y P un punto
de T entonces T – {P} puede ser un
conjunto no convexo.
II. Si R es un sector circular y Q un punto de
R entonces
III. Un sector circular es un conjunto
convexo.
A) VFF B) VVV C) VFV
D) FFF E) VVF
22. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Por un punto exterior a una recta, para
una y solamente una recta paralela a la
recta dada.
II. Una figura geométrica es un conjunto no
vacío de puntos del espacio.
III. Dos segmentos son congruentes si y solo
si tienen la misma longitud.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) FFV E) VVF
TRIÁNGULO
23. En un triángulo ABC, se traza la ceviana
BD . Si DC = 12cm y mABC =
32
DBCmBACm ∠
=
∠
entonces el
máximo valor entero de la longitud (en cm) de
AD es
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
24.En un triángulo isósceles ABC (BC = AC), se
traza la ceviana BD tal que AB = AD.
Calcule el menor valor entero de la medida del
ángulo ADB.
A) 42 B) 44 C) 45
D) 46 E) 50
25. En un triángulo ABC, mBAC = 2mACB, se
traza la ceviana BD tal que mDBC =
3mACB. Si AB = 18cm y BD = 15cm,
entonces la longitud (en cm) de CD es:
A) 30 B) 31 C) 32
D) 33 E) 35
26. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Todo punto que equidista de los lados de
un ángulo, pertenece a la bisectriz de
dicho ángulo.
II. Si ABC es un triángulo, BH es una
altura y AM es una mediana,
entonces BH  AM = .
III. Un triángulo ABC está determinado
cuando: Se conocen la medida del ángulo
BAC la longitud de AC y la longitud de
la altura BH .
IV. En un triángulo rectángulo la bisectriz y la
mediana relativa a la hipotenusa son
congruentes.
A) FVVF B) VFFF C) FFVF
D) VFFF E) VFVF
27. En un triángulo ABC, (mABC = 110). Si las
bisectrices de los ángulos exteriores
determinados en A y C se intersecan con
CB y AB en los puntos P y Q
respectivamente, calcule la medida del ángulo
agudo determinado por las bisectrices de los
ángulo APB y CQB.
A) 55.0 B) 70.0 C) 72,5
D) 75.0 E) 82.5
28. En un triángulo rectángulo ABC se traza la
altura BH ; en el triángulo BHC se traza la
ceviana HQ y en el triángulo AHB se traza
la bisectriz BM . Las prolongaciones de

4. BM y QH se intersecan en P. Si PM
= 5cm, HC = 15cm, mBAC = 72 y mBPQ =
81/2, halle la longitud (en cm).
A) 15.0 B) 17.5 C) 20.0
D) 22.5 E) 25.0
29. En la figura mostrada se cumple DC es
bisectriz del BDE, BE es la bisectriz del
DBC, CF es bisectriz del DCQ y EF es
la bisectriz del CAE = , calcule la mCFE.
30. Dado un triángulo ABC en el que se cumple
mBAC - mACB = 14, se traza la bisectriz
exterior del ángulo B y desde C se traza CF
perpendicular a dicha bisectriz. Entonces,
mFCA es:
A) 80 B) 82 C) 83
D) 85 E) 89
31. ABC es un triángulo donde AC = 8m, E es un
punto exterior relativo a AC tal que mAEB
= mBEC, mEBC = mBCA - mBEC. Si
mBAC + mBEC = 90, entonces la longitud
(en m) de AB es
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
32. En el interior de un triángulo rectángulo
ABC, recto en B, se ubica un punto Q; AQ 
BC = {E}; CQ  AB = {F}. Si
AQ+QC=10cm y QE + QF = 4cm. ¿Cuántos
posibles valores para la longitud de la
hipotenusa AC existen?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
33. Dado un triángulo isósceles ABC ,
(AB=BC=10u); una recta secante intersecta a
los lados AB y BC en F y E
respectivamente y a la prolongación de AC
en D. Si mADF > mABC y AD=10u, y EF =
3u, entonces la menor longitud entera (en u)
del segmento DE es:
A) 6 B) 7 C) 8
D) 12 E) 14
34. En un triángulo ABC, AB < BC se traza una
perpendicular a la bisectriz del ángulo ABC y
tal que al intersectar a la recta AC determina
un ángulo agudo cuya medida es:
A)
2
CmAm ∠−∠
B)
2
AmCm ∠−∠
C) mA - mC D)
2
Am∠
E) mC - mA
35.En un triángulo equilátero ABC se construye
exteriormente el triángulo BCD. BD = 4cm y
CD = 3cm. Determine la máxima longitud
entera de AD (en cm).
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
36. En la figura adjunta, calcule “x”
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 22,5
37. En el triángulo ABC obtuso en B, se traza la
ceviana AD tal que CDAB ≅ . Si
mBAC = 60, mACD = 2mDAC, entonces
¿cuál es la medida del ángulo BAD?
A) 30 B) 40 C) 45
D) 50 E) 60
38. En un triángulo escaleno ABC. Si la medida
del ángulo B es mayor a 90, entonces la
mayor medida entera del menor ángulo agudo
del triángulo es:
A) 43 B) 44 C) 45
D) 46 E) 47
39. En un triángulo ABC se traza la ceviana
interior BF tal que mFBC = 3mBCA. Si
mBAC = 2mBCA y AB 0 4u, entonces ¿cuál
es la longitud entera (en u) de FC ?
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
40. En un triángulo ABC recto en B, se traza la
mediana CM y la altura BH . Si mBMC
= mACB y BH = 4cm, entonces la longitud
(en cm) de CM es:
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

5. 41. En un triángulo las longitudes de sus lados se
encuentran en progresión aritmética de razón
r. Si el perímetro del triángulo es 24u,
entonces ¿cuál es la mayor longitud entera
(en u) de la razón r?
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
42. Si las medidas de los ángulos de un triángulo
están en progresión aritmética, entonces la
medida de uno de sus ángulos es.
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
43. En un triángulo MNP recto en N MN<NP. Se
traza la altura NH y se elige Q en HP
tal que MH = HQ. Si del vértice P se traza la
perpendicular PS a NQ (S  NQ ),
entonces
QPSm
NPQm
∠
∠
es
A) 1/2 B) 1 C) 3/2
D) 2 E) 5/2
44.En un triángulo ABC, se ubican M y N en
AC y Q en BC tal que
NCQNMQBMAB ≅≅≅≅ . Entonces,
la menor medida entera del ángulo BMQ es.
A) 44 B) 46 C) 48
D) 52 E) 56
45.En un triángulo ABC; ma, mb y mc son las
longitudes de sus medianas y ha, hb, hc son
las longitudes de sus alturas. Si
k
mmm
hhh
cba
cba
<
++
++
, entonces el valor es:
A) 1/4 B) 1/2 C) 1
D) 2 E) 3/4
46. En un triángulo equilátero ABC se ubican los
puntos P, Q y R en los lados AB , BC y
AC , respectivamente, y el triángulo PQR es
equilátero. Si mQRC = . mPQB =  y
mRPA = , entonces ¿cuál de las relaciones
se verifica?
A)  =  =  B)  =    C) 
D)  =  -  E)  =  + 
47.En un triángulo ABC recto en B, D es un punto
en la prolongación de AB tal que DB =
2DA, Si AC = 5u, entonces la menor longitud
entera (en u) del segmento DC es:
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
48.En un triángulo ABC se trazan las cevianas
CEyAD . Si AD = 5 y CE = 4, entonces la
mayor longitud entera de (AE + CD) es:
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
49. En un triángulo ABC se ubica D en su interior
tal que CDADAB ≅≅ y 7mABC =
2mDAC = mBCD entonces mADC es
A) 90 B) 100 C) 120
D) 140 E) 150
50. En un triángulo ABC recto en B se traza la
altura BH y se prolonga hasta el punto D tal
que ACBD ≅ . Si mADB = 2mBAC,
entonces mBCD es:
A) 100 B) 120 C) 135
D) 140 E) 150
51. Dado el triángulo ABC recto en B, se traza la
altura BH y la bisectriz interior AF, BH 
AF = {R}. Entonces se cumple.
A) BR = BF B) BR =
2
3
BF
C) BR =
3
2
BF D) BR =
2
1
BF
E) BR = 2BF
52.En un triángulo ABC, los puntos P y Q
pertenecen a AB y BC respectivamente.
Si AQ = 10u, CP = 13u y AC = 15u, entonces
la mayor longitud entera (en u) de PQ es:
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
En un triángulo ABC, se traza / D)
Puede ser agudo o recto
E) Puede ser recto u obtuso
53. En un triángulo ABC, se trazan la ceviana
BD . Luego en el triángulo BDC se traza la
ceviana DE . mBAC = mBDE = 30,
mDBC = 75 y AB = CD, entonces la mABD
es:
A) 36 B) 40 C) 45
D) 50 E) 52
54. En un triángulo ABC recto en B se traza la
altura BH . Las bisectrices AD y CE
interceptan a la altura en los puntos N y M,

6. respectivamente, (M  BN ). Demuestre la
siguiente relación: MN = BD – BE.
55. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
BD . Si mBAC = 2mACB y 2BC = 5AD =
10a entonces la longitud de AB es:
A) 2a B)
2
3a
C) 3a
D)
2
5a
E)
5
6a
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS Y
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
56. En un triángulo ABC, mABC = 2mBAC y
ceviana CF es tal que BC = AF. Demuestre
que ACF  BAC.
57. En un triángulo equilátero ABC se ubica M
punto medio de AC . Se construyen los
triángulos equiláteros AQM y MRC
exteriores al triángulo ABC. Si mABQ = α y
mBCR = , entonces la mQBR es.
A)  +  B)  -  C) 30
D) 45 E) 90 -
2
β+α
58. En un triángulo ABC se traza la ceviana BF
tal que FCAB ≅ . Si mABF = mBFC - α.
mFBC = 2α, entonces. ¿Cuál es la medida
del ángulo BCF?
A) 30 B) 40 C) 36
D) 45 E) 60
59. Dado el triángulo ABC , m ABC = 80, R
 AC , las mediatrices de AR y BC
se intersecan en Q. Si RCAB ≅ y
mBCA = 3mACQ. Entonces mACQ es:
A) 10 B) 16 C) 20
D) 25 E) 30
60. Dado el triángulo ABC, se traza la ceviana BP.
Si AB = CP, mBAC = 21 y la mACB = 10,5,
halle la mPBC.
A) 10 B) 10,5 C) 12
D) 14 E) 21
61. En un triángulo ABC se traza la ceviana
BF tal que AF  BC . Si
BFAB ≅ , mBAC = 30 + α y mBCA = 2α,
entonces ¿Cuál es la medida del ángulo
BCA?
A) 20 B) 28 C) 30
D) 37 E) 45
62. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se
traza la ceviana AF tal que ACBF ≅ .
Si mABC = 20. Entonces ¿Cuál es la medida
del ángulo BAF?
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 30
63. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. La bisectriz en un triángulo es un rayo.
II. La mediatriz en un triángulo es una
ceviana.
III. Todos los triángulos equiláteros son
congruentes
A) VFVF B) VVFF C) FFFV
D) FFFF E) II, III
64. En un triángulo ABC isósceles, mABC = 90
se considera Q punto interior a dicho triángulo
mBAQ = mQBC = mQCA. Halle mBCQ.
A) 37/2 B) 53/2 C) 30
D) 37 E) 45
65.En la figura CDAB ≅ , calcule la medida
del ángulo CBD.
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 30
66. En una recta  se ubican los puntos
consecutivos A, C y E. En uno de los
semiplanos determinados por  se ubica B y
D de modo que ABC y CDE son triángulos
equiláteros ADBE ∩ = {P}. Calcule la
mAPC.
A) 30 B) 45 C) 60
D) 75 E) 90
67. En un triángulo ABC, se traza la mediana
BN . Si mABN = mBAC + mBCA y
BC = 10cm, entonces ¿cuál es la mayor
longitud entera (en cm) de AB ?.
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 30
68. Dado el triángulo ABC, mABC = 150 y
mSCB = 10. Si la distancia del vértice C a la

7. bisectriz del ángulo BAC es 5cm, entonces AB
(en cm) es
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 30
69. En un triángulo ABC, mBAC = 75 y BH es
perpendicular a AC . Si BH =
2
AC
,
entonces la mACB es.
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
70. En un triángulo ABC se traza la mediana
BM . Se ubica el punto F tal que B – M – F
y CMF. Entonces, se afirma como
verdadero:
I. FCAB ≅
II. ABMCFM
III. 2(BM) < AB + BC
A) I B) I, II C) I, II, III
D) I, II E) II, III
71. En un triángulo ABC, AB = BC, D es un punto
exterior y relativo a AC tal que mBCA=45-
, mBDC = 90 - , mACD = 45, entonces
mADB es:
A) 30 B) 45 C) 55
D) 60 E) 75
72. En un triángulo ABC recto en B la mediatriz
AC y la bisectriz del ángulo exterior B se
intersectan en F. Se traza FQ  BC (Q 
BC ). SI BQ = 3cm y QC = 7cm, calcule la
longitud (en cm) de AB .
A) 2 B) 3 C) 4
D) 3 2 E) 6 2
73. En un triángulo acutángulo ABC, mA = 60.
Exteriormente se construye el triángulo
equilátero BFC. Si la distancia de C a AB
mide 6cm, calcule la distancia (en cm) de F a
AC .
A) 3 B) 3 3 C) 6
D) 6 2 E) 6 3
74. En un triángulo ABC, por B se traza una recta
 paralela al lado AC . Si se ubica F en .
¿Qué condición(es) ubica F en I. ¿Qué
condición (es) son suficientes (s) para que
ABC  CFA.
I. FC = AC
II. BAC  FCA
III. BF = BA
A) Solo I B) Solo II C) I y II
D) Solo III E) I y III
75. En un triángulo ABC, D es un punto en la
prolongación de AB tal que AB = BD = a. H
es punto medio de AC , AC = 2a,
mDHC = 90, entonces mBCA es:
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
76. En el triángulo ABC de excentro E relativo al
lado BC , se traza la altura BH. Si CPBE
(P  BE ), mBCA = 2x y EP = BH, entonces
la mBCA es.
A) 24 B) 30 C) 36
D) 45 E) 60
77.En un triángulo isósceles ABC de base AB ,
se traza la altura BQ , tal que AB = 2QC.
Entonces ¿cuál es la medida del ángulo BAC?
A) 25 B) 30 C) 40
D) 45 E) 60
78. En un triángulo MNP recto en N, Q es un
punto de la región exterior relativa a NP tal
que mNMQ = mQMP = 2, mQPN =
mNPM =  y QP =  unidades, entonces la
longitud (en unidades) de MN es
A)
4
3
B)
3
2
C)
4

D)
3

E)
2
2
79. En un triángulo ABC se traza la mediana
BM . Si mBAC = 2mACB = 30, entonces
¿cuál es la medida del ángulo MBC?
A) 15 B) 22,5 C) 25
D) 30 E) 45
80.En un triángulo rectángulo ABC se construye
el triángulo equilátero BMC exteriormente
siendo AM = 8cm. Si P es punto medio de
BM y Q punto medio de AC, calcule (en
cm) PQ.
A) 1 B) 2 C) 4
D) 6 E) 8
81. En un triángulo ABC, en el lado AC se
ubica el punto M con la condición
MCAMAB ≡≡ . Luego se traza la
mediana AQ del triángulo ABC y la
mediana QS del triángulo AQM. Si mBAC
= 56, entonces ¿cuál es la medida del ángulo
SQM?

8. A) 14 B) 18 C) 28
D) 45 E) 56
82. En un triángulo, ABC, AB < BC; sea P un
punto del lado BC ; las mediatrices de
BA y PC se intersecan en un punto F
del lado AC . Si BP = FC y mBAC = ,
calcule la mFBC.
A) 120-
3
β
B) 60-
3
β
C) 60-
3
2β
D)
4
β
E)
3
β
83.En un triángulo isósceles ABC, (AB = BC) se
traza la bisectriz interior AF ; luego en el
triángulo AFC, se trazan las bisectrices interior
y exterior del ángulo AFC, interceptando en J
y L a AC . Si AF = b, calcule JL.
A) b B) b 2 C) b 3
D)
2
3
b E) 2b
84.En un triángulo ABC recto en B se traza
BH y las bisectrices de los ángulos BAH y
CBH que se interceptan en O. Si M es el
punto medio de BC , AB = 7u y AC = 13u,
entonces ¿cuál es la longitud (en u) de
OM ?
A) 2,5 B) 2,75 C) 3
D) 3,5 E) 3,75
85. En un triángulo ABC se traza la mediana
BM . Si mBAC = 105 y mBCA = 30,
entonces ¿cuál es la medida ABM?
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
86.Dado un ángulo AOB y un punto P exterior; se
trazan PE y PF perpendicular a los
lados del ángulo, demuestre que la recta que
pasa por los puntos medios de OP y
EF , es perpendicular a EF .
87.En el triángulo ABC, exteriormente a AB y
BC se construyen triángulos rectángulos
isósceles rectos en B, ABQ y CBP. Calcule la
medida del ángulo que determinan al
interceptarse QC y AP .
A) 30 B) 45 C) 55
D) 90 E) 95
88.En un triángulo ABC recto en B se traza la
altura BH . Si HB 0 6cm, entonces la
longitud (en cm) del segmento que une los
pies de las perpendiculares trazadas desde el
punto H a las bisectrices de los ángulos ABH
y HBC es:
A) 2 2 B) 8 2 C) 2 3
D) 3 3 E) 4
89. En un triángulo ABC recto en B, se traza la
bisectriz interior BD . Por el punto D se
traza una perpendicular al lado de AC ,
dicha perpendicular intercepta a la
prolongación del lado AB en el punto P. Si
mBCA = , entonces ¿cuál es la medida del
ángulo DPC?
A) 30 B)  C) 2
D) 45 E) 90-2
POLÍGONOS
90. En un polígono convexo den n lados 20
diagonales se han trazado desde (n – 2)
vértices consecutivos. Halle n
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
91. En un polígono regular, al disminuir en 10 a la
medida de un ángulo interno, resulta otro
polígono regular cuyo número de lados es 2/3
del número de lados del polígono original,
Halle el número de lados de dicho polígono.
A) 12 B) 16 C) 18
D) 24 E) 36
92. Los ángulos interior y exterior de un polígono
regular miden  y k respectivamente. Si k es
el menor entero, ¿cuál es el número de
diagonales medias del polígono?
A) 3 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
93. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. En un icoságono regular sus ángulos
externos miden 1/5 de la medida de un
ángulo recto.
II. El mínimo número de ángulos externos
agudos que pueden tener todo polígono
convexo de n lados es (n – 3)
III. El máximo número de ángulos externos
obtusos que puede tener todo polígono
convexo de n lados es 3
IV. Un polígono convexo no puede tener más
de tres ángulos agudos.
A) VFVF B) FVVV C) VVFF
D) VVVF E) FVFF

9. 94. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Ningún polígono tiene 3 vértices
colineales.
II. Dos lados de un polígono pueden ser
colineales.
III. Todo polígono equilátero es un polígono
regular.
IV. Todo polígono convexo y equilátero es un
polígono regular.
A) FFFF B) VVVF C) VVFF
D) FVFF E) FFVF
95. Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Existen polígono que son equiláteros y
equiángulos a la vez
II. Un polígono regular si es un polígono
equilátero y polígono equiángulo.
III. El número de ángulos rectos a que
equivale la suma de las medidas de sus
ángulos interiores de un polígono
convexo de n lados (2(n – 2)
IV. El mínimo número de ángulos obtusos de
un polígono convexo de n lados es (n – 3)
A) VVVF B) VVFV C) VFVV
D) VFVF E) VFFV
96. indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
I. Todo polígono equilátero es equiángulo.
II. Todo polígono equiángulo es equilátero.
III. Todo polígono regular es convexo y
equiángulo.
IV. Todo polígono regular es convexo y
equiángulo.
A) VVVF B) FVVF C) FFVF
D) FFFF E) FVFF
97. Si un polígono convexo de n lados tiene N
diagonales y tiene M diagonales medias. Halle
M – N
A)
2
n
+ 2 B)
2
n
+ 4 C) n - 1
D) n E) n + 1
98. Halle el número de lados de un polígono
convexo, si al duplicar el número de lados, la
suma de los ángulos internos se cuadruplica.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
99. En un polígono equiángulo ABCDEF GH…, de
n lados las prolongaciones de GFyAB
se intersecan en el punto M. Si mBMF = 105,
entonces ¿cuál es el valor de n?
A) 16 B) 18 C) 20
D) 24 E) 32
100.En un polígono regular la diferencia entre la
suma de las medidas de los ángulos interiores
y la medida de un ángulo exterior es igual a la
medida de un ángulo interior. Halle la medida
del ángulo central del polígono.
A) 90 B) 100 C) 110
D) 120 E) 130
101. Se tiene un polígono convexo de n lados
(n5), se prolonga sus lados en ambos
sentidos. Halle la suma de las medidas de los
ángulos determinados al prolongar los lados
del polígono en ambos sentidos.
A) 90(n-3) B) 90(n-4) C) 180(n-4)
D) 180(n-3) E) 180(n-2)
102.En un polígono convexo de n lados halle el
máximo número de ángulos agudos interiores
que puede tener?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
103.En el polígono convexo de n lados siendo n
un número par, calcule el número de
diagonales trazadas desde los vértices
impares.
A) n2
– 2n - 2 B) n2
– 3n – 3
C)
4
n
(3n-11) D)
8
n
(3n – 10)
E)
4
n
(2n-7)
104. ABCDEF es un hexágono regular,
interiormente se dibuja el pentágono regular
APQRF. Calcule la mPFB.
A) 6 B) 8 C) 9
D) 12 E) 15
105. En el pentágono PQRST se cumple que
mQ = mS = 120, mR = 90; QT es
bisectriz del ángulo Q. SP es perpendicular
a PQ , si PQ = 3u y OT = 6u, y O es punto
de intersección de PS y QT , halle QR
(en u)
A) 3 B) 6 C) 8
D) 11 E) 14
106.Determine el número de lados de aquel
polígono en el cual desde 5 vértices
consecutivos se pueden trazar 19 diagonales.
A) 4 B) 5 C) 8
D) 11 E) 14
107.La medida de los ángulos interiores de dos
polígonos regulares difieren en 10 y uno de
ellos tiene 6 lados menos que el otro. Halle el
número de lados del polígono mayor de lados.

10. A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 20
108.Halle la medida del ángulo interior de un
polígono regular sabiendo que de 4 vértices
consecutivos se han trazado todas las
diagonales posibles, las cuales suman 17.
A) 120 B) 135 C) 140
D) 144 E) 150
109.Si el número de lados de un polígono se
duplica, su número de diagonales aumenta en
234. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
A) 11 B) 13 C) 15
D) 17 E) 19
110.En un polígono de n lados desde (n – 5)
vértices consecutivos se trazan (2n – 2)
diagonales. Halle el número de diagonales del
polígono
A) 9 B) 12 C) 16
D) 18 E) 20