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Polígonos

Este documento proporciona información sobre polígonos, incluyendo definiciones, clasificaciones y métodos de construcción. Se centra en triángulos, describiendo sus propiedades, puntos notables y diferentes formas de construirlos cuando se conocen ciertos lados, ángulos u otros elementos. También cubre cuadriláteros, polígonos regulares y sus características.

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POLÍGONOS DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO
Sumario Tema 2: Polígonos 2.0.1 Definición 2.0.2 Clasificación 2.1 Triángulos 2.1.1 Definición 2.1.2 Propiedades 2.1.3 Clasificación 2.1.4 Puntos notables del triángulo 2.1.5 Construcción de triángulos 2.2 Cuadriláteros 2.2.1 Definición 2.2.2 Propiedad fundamental 2.2.3 Clasificación 2.2.4 Construcción de cuadriláteros 2.3 Polígonos regulares 2.3.1 Definición 2.3.2 Propiedades 2.3.3 Construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia 2.3.4 Construcción de polígonos regulares conociendo el lado 2.3.5 Construcción de polígonos regulares conociendo su apotema 2.3.6 Polígonos regulares estrellados
Tema 2: Polígonos 2.0.1 Definición Un polígono es una figura plana cerrada limitada por segmentos rectilíneos. A cada segmento se le denomina lado. La suma de todos los lados es el perímetro del polígono. Los puntos de unión de dos lados consecutivos se denomina vértice. A B E vértice C lado D perímetro=AB+BC+CD+DE+EA
Tema 2: Polígonos 2.0.2 Clasificación de los polígonos Según sean sus ángulos interiores, podemos clasificar a los polígonos en dos tipos: 1.Convexos 2.Cóncavos
Tema 2: Polígonos 1.Polígonos convexos: Son aquellos cuyos ángulos interiores son todos convexos, es decir, menores de 180º. Se clasifican a su vez en: • Irregulares: Sus lados y sus ángulos no son todos iguales. • Regulares: Todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Todos los polígonos regulares son inscriptibles y circunscriptibles en una circunferencia. Polígono convexo irregular Polígono convexo regular
Tema 2: Polígonos 2.Polígonos cóncavos: Son aquellos que tienen algún ángulo interior cóncavo, es decir, mayor de 180º. Siempre son irregulares. >180º Polígono cóncavo
Tema 2: Polígonos 2.1 TRIÁNGULOS
Tema 2: Polígonos 2.1.1 Definición Un triángulo es una figura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Es el polígono de tres lados. Sus tres vértices los designaremos normalmente con letras en mayúsculas, empezando siempre A por el superior y siguiendo en sentido antihorario. ^ A Los tres lados serán segmentos de c extremos los vértices, los b llamaremos con la letra minúscula ^ B B correspondiente al vértice opuesto. ^ C a Sus tres ángulos los designaremos C igual que su vértice correspondiente.
Tema 2: Polígonos 2.1.2 Propiedades de los triángulos 1.Cualquier lado es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. a<b+c, a>b-c 2.A mayor lado se opone siempre mayor ángulo. ^ ^ ^ a>b,c → A>B,C 3.Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º. ^ ^ ^ A+B+C=180º A c b B a C
Tema 2: Polígonos 2.1.3 Clasificación de los triángulos Podemos clasificar a los triángulos utilizando dos criterios diferentes: 1.Según sean sus lados 2.Según sean sus ángulos
Tema 2: Polígonos 1.Clasificación de los triángulos según sus lados: • Equilátero: Sus tres lados y sus tres ángulos son iguales. Es el único triángulo que es polígono regular. • Isósceles: Tendrá dos lados y dos ángulos iguales, y uno desigual. • Escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos serán diferentes. A A A c b c b c b B C B C B C a a a Equilátero Isósceles Escaleno a=b=c a≠b=c a≠b≠c ^ ^ ^ A=B=C=60º ^ ^ ^ A≠B=C ^ ^ ^ A≠B≠C
Tema 2: Polígonos 2.Clasificación de los triángulos según sus ángulos: • Acutángulo: Sus tres ángulos son agudos, menores de 90º. • Rectángulo: Uno de sus ángulos es recto, mide 90º. Los dos lados de un triángulo rectángulo reciben nombres especiales: el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (a), y los dos lados que forman el ángulo recto, catetos (b y c). • Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º. NOTA: En los triángulos rectángulos y en los obtusángulos, siempre empezamos a nombrar los vértices a partir del ángulo recto y del ángulo obtuso respectivamente. A C C c b a a b b B C A c B A c B a Acutángulo Rectángulo Obtusángulo ^ ^ ^ ^ ^ A,B,C<90º A=90º A>90º
Tema 2: Polígonos 2.1.4 Puntos notables del triángulo Son cuatro: 1.Circuncentro 2.Incentro 3.Ortocentro 4.Baricentro
Tema 2: Polígonos 1.Circuncentro: Es el punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Se encontrará por tanto donde se corten las tres mediatrices de los lados. Será el centro de la circunferencia circunscrita. A b c mc mb O ma B a C EJERCICIO: Determina el circuncentro de un triángulo obtusángulo.
Tema 2: Polígonos 2.Incentro: Es el punto que equidista de los tres lados del triángulo. Se encontrará por tanto donde se corten las tres bisectrices de los ángulos. Será el centro de la circunferencia inscrita. A b ba c bb I bc B a C EJERCICIO: Determina el incentro de un triángulo rectángulo.
Tema 2: Polígonos 3.Ortocentro: Es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Altura de un triángulo es la perpendicular trazada a cada lado desde el vértice opuesto. A hc hb H b c ha B a C EJERCICIO: Determina el ortocentro de un triángulo isósceles acutángulo.
Tema 2: Polígonos 4.Baricentro: Es el punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Mediana de un triángulo es el segmento que une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo y se encuentra siempre a dos tercios a partir del vértice de la mediana A correspondiente. ma b c G mb mc B a C EJERCICIO: Determina el baricentro de un triángulo escaleno rectángulo.
Tema 2: Polígonos 2.1.5 Construcción de triángulos
Tema 2: Polígonos 1. Conocidos los tres lados. a=70 b=40 c=55
Tema 2: Polígonos 1. Conocidos los tres lados. a=70 b=40 c=55 A c b B C a
Tema 2: Polígonos 2. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. a=65 b=60 ^ C=30º
Tema 2: Polígonos 2. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. a=65 b=60 ^ C=30º A c b B C a
Tema 2: Polígonos 3. Conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes al mismo. a=55 ^ B=45º ^ C=30º
Tema 2: Polígonos 3. Conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes al mismo. a=55 ^ B=45º ^ C=30º A c b B a C
Tema 2: Polígonos 4. Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. a=40 ^ ^ A B
Tema 2: Polígonos 4. Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. a=40 ^ ^ A B A ^ A c b ^ B ^ ^ ^^ ^ B C=180º-A-B A B a C
Tema 2: Polígonos 5. Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a=30 b=55 ^ A=30º
Tema 2: Polígonos 5. Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a=30 b=55 ^ A=30º A c’ b c B’ a’ C a B Primer método
Tema 2: Polígonos 5. Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a=30 b=55 ^ A=30º A A A’ c’ c b b O c B’ c’ a’ C B ^ C a A B Primer método Segundo método
Tema 2: Polígonos 6. Equilátero conocido el lado. a=60
Tema 2: Polígonos 6. Equilátero conocido el lado. a=60 A c b B a C
Tema 2: Polígonos 7. Equilátero conocida la altura. h=55
Tema 2: Polígonos 7. Equilátero conocida la altura. h=55 A c h b 1 B C 2 a 3
Tema 2: Polígonos 8. Determinar el ortocentro de un triángulo obtusángulo. a=50 ^ B=22º 30’ ^ C=120º
Tema 2: Polígonos 8. Determinar el ortocentro de un triángulo obtusángulo. a=50 ^ A B=22º 30’ ^ C=120º c b B a C hc ha hb H
Tema 2: Polígonos 9. Isósceles conociendo el valor de sus lados y sus ángulos iguales. b=c=45 ^ ^ B=C
Tema 2: Polígonos 9. Isósceles conociendo el valor de sus lados y sus ángulos iguales. b=c=45 ^ ^ B=C A c b ^ B B a C
Tema 2: Polígonos 10. Isósceles conocida su base y el ángulo opuesto a la misma. a=35 ^ A
Tema 2: Polígonos 10. Isósceles conocida su base y el ángulo opuesto a la misma. a=35 ^ A A ^ A b c ^ ^ ^ B C A B a C ^ ^ ^ 180º-A B=C= 2
Tema 2: Polígonos 10. Isósceles conocida su base y el ángulo opuesto a la misma. a=35 ^ A A A ^ A b c c b O ^ ^ ^ B C A B a C B ^ a C ^ ^ ^ 180º-A A B=C= 2
Tema 2: Polígonos 11. Triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y un cateto. a=75 b=40
Tema 2: Polígonos 11. Triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y un cateto. a=75 b=40 A c b B a C
Tema 2: Polígonos 12. Triángulo rectángulo conocido un cateto y la mediana correspondiente al otro cateto. b=50 mc=55
Tema 2: Polígonos 12. Triángulo rectángulo conocido un cateto y la mediana correspondiente al otro cateto. b=50 mc=55 C a b mc A M B c
Tema 2: Polígonos 13. Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los dos catetos. b+c=80 a=60
Tema 2: Polígonos 13. Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los dos catetos. b+c=80 a=60 C’ b’ a’ C a 45º b c A c B b+c
Tema 2: Polígonos 14. Triángulo isósceles conocido el semiperímetro y la altura. p=100 h=60
Tema 2: Polígonos 14. Triángulo isósceles conocido el semiperímetro y la altura. p=100 h=60 A c b h O p B a C
Tema 2: Polígonos 2.2 CUADRILÁTEROS
Tema 2: Polígonos 2.2.1 Definición Un cuadrilátero es una figura plana limitada por cuatro rectas que se cortan dos a dos. Es el polígono de cuatro lados. Los puntos de intersección de las A rectas son los vértices, que designaremos normalmente con letras en mayúsculas. D B Los segmentos que unen dos vértices consecutivos serán los lados. (AB, BC, CD y DA) Los segmentos que unen dos vértices opuestos son las C diagonales. Un cuadrilátero tiene dos diagonales. (AC y BD)
Tema 2: Polígonos 2.2.2 Propiedad fundamental de los cuadriláteros Los ángulos interiores de un cuadrilátero siempre suman 360º. ^ ^ ^ ^ A+B+C+D=360º Si trazamos una diagonal, el cuadrilátero queda descompuesto en dos triángulos, por lo que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero será igual a la suma de los ángulos de los dos triángulos: 180º+180º=360º A D B C
Tema 2: Polígonos 2.2.3 Clasificación de los cuadriláteros Según sea el paralelismo entre sus lados, los cuadriláteros convexos se clasifican en: 1. Paralelogramos •Cuadrado •Rectángulo •Rombo •Romboide 2. Trapecios •Trapecio escaleno •Trapecio rectángulo •Trapecio isósceles 3. Trapezoides •Trapezoide bisósceles
Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios.
Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios. Cuadrado A D • Sus cuatro lados son iguales. • Sus ángulos también son iguales y rectos. • Es el polígono regular de cuatro lados. • Sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí. B C • El punto de intersección de sus diagonales es el centro de las circunferencias inscrita y circunscrita.
Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios. Rectángulo A D • Sus lados son iguales dos a dos. • Sus cuatro ángulos son iguales y rectos. • Sus diagonales son iguales y oblicuas entre sí. B C • El punto de intersección de sus diagonales es el centro de la circunferencia circunscrita.
Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios. Rombo A • Sus cuatro lados son iguales. • Sus ángulos son iguales dos a dos, dos agudos y dos obtusos. B D • Sus diagonales son diferentes y perpendiculares entre sí. • El punto de intersección de sus C diagonales es el centro de la circunferencia inscrita.
Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios. Romboide • Sus lados son iguales dos a dos. A D • Sus ángulos son iguales dos a dos, dos agudos y dos obtusos. • Sus diagonales son diferentes y oblicuas entre sí. B C
Tema 2: Polígonos 2.Trapecios: Tienen dos lados paralelos y otros dos oblicuos. A sus lados paralelos se les llama bases.
Tema 2: Polígonos 2.Trapecios: Tienen dos lados paralelos y otros dos oblicuos. A sus lados paralelos se les llama bases. Trapecio escaleno A D • Sus ángulos y sus lados son todos diferentes. B C
Tema 2: Polígonos 2.Trapecios: Tienen dos lados paralelos y otros dos oblicuos. A sus lados paralelos se les llama bases. Trapecio rectángulo A D • Tiene dos ángulos rectos, por tanto los otros dos serán suplementarios. ^ ^ A=B=90º ^ ^ C+D=180º B C
Tema 2: Polígonos 2.Trapecios: Tienen dos lados paralelos y otros dos oblicuos. A sus lados paralelos se les llama bases. Trapecio isósceles • Los lados oblicuos son iguales. A D AB =CD • Sus ángulos son iguales dos a dos. ^ ^ ^ ^ A=B, C=D • Tiene un eje de simetría. B C
Tema 2: Polígonos 3.Trapezoides: Ninguno de sus lados es paralelo.
Tema 2: Polígonos 3.Trapezoides: Ninguno de sus lados es paralelo. A Trapezoide D • No tiene ningún eje de simetría. B C
Tema 2: Polígonos 3.Trapezoides: Ninguno de sus lados es paralelo. Trapezoide bisósceles A • Está formado por dos triángulos isósceles unidos por sus bases. • Sus lados serán iguales dos a dos. B D AB =BC, CD=DA • Tiene dos ángulos opuestos iguales. ^ ^ A=C • Sus diagonales son perpendiculares y C una es mediatriz de la otra. • Tiene un eje de simetría.
Tema 2: Polígonos 2.2.4 Construcción de cuadriláteros
Tema 2: Polígonos 1. Cuadrado conocido el lado. l=65
Tema 2: Polígonos 1. Cuadrado conocido el lado. l=65 A D 4 l 2 3 B 1 C
Tema 2: Polígonos 2. Cuadrado conocida la diagonal. d=75
Tema 2: Polígonos 2. Cuadrado conocida la diagonal. d=75 A B d D C
Tema 2: Polígonos 3. Cuadrado conocido el radio de la circunferencia inscrita. r=30
Tema 2: Polígonos 3. Cuadrado conocido el radio de la circunferencia inscrita. r=30 A T D T O r T B C T
Tema 2: Polígonos 4. Cuadrado conocida la suma de la diagonal y el lado. d+l=95
Tema 2: Polígonos 4. Cuadrado conocida la suma de la diagonal y el lado. d+l=95 22º 30’ l 135º 45º d 22º 30’
Tema 2: Polígonos 4. Cuadrado conocida la suma de la diagonal y el lado. d+l=95 22º 30’ l A 135º 45º d 22º 30’ D l d B E 45º 22º 30’ C
Tema 2: Polígonos 5. Rectángulo conocidos sus lados. a=40 b=55
Tema 2: Polígonos 5. Rectángulo conocidos sus lados. a=40 b=55 4 D A 2 3 B 1 C
Tema 2: Polígonos 6. Rectángulo conocido un lado y su diagonal. l=60 d=70
Tema 2: Polígonos 6. Rectángulo conocido un lado y su diagonal. l=60 d=70 A D d l B C
Tema 2: Polígonos 7. Rectángulo conocida su diagonal y la suma de los dos lados desiguales. d=60 a+b=75
Tema 2: Polígonos 7. Rectángulo conocida su diagonal y la suma de los dos lados desiguales. d=60 a+b=75 A’ D’ d A D d 45º a+b C B B’
Tema 2: Polígonos 8. Rombo conocidas las dos diagonales. d1=55 d2=85
Tema 2: Polígonos 8. Rombo conocidas las dos diagonales. d1=55 d2=85 A d1 B d2 D C
Tema 2: Polígonos 9. Rombo conocida una diagonal y el lado. d1=40 l=55
Tema 2: Polígonos 9. Rombo conocida una diagonal y el lado. d1=40 l=55 A d1 B D C
Tema 2: Polígonos 10. Rombo conocido el lado y uno de sus ángulos. l=45 α
Tema 2: Polígonos 10. Rombo conocido el lado y uno de sus ángulos. l=45 α l D A l l α B C l
Tema 2: Polígonos 11. Romboide conocidos sus dos lados y una de sus diagonales. l1=60 l2=30 d1=75
Tema 2: Polígonos 11. Romboide conocidos sus dos lados y una de sus diagonales. l1=60 l2=30 d1=75 A l1 D d1 l2 l2 B l1 C
Tema 2: Polígonos 12. Romboide conocidas las dos diagonales y la altura. d1=80 d2=50 h=30
Tema 2: Polígonos 12. Romboide conocidas las dos diagonales y la altura. d1=80 d2=50 h=30 A A’ D d2 d1 M h d2 B C’ C
Tema 2: Polígonos 13. Trapecio rectángulo conocidas una base, una diagonal y la altura. 70 B C h=30 60 C A
Tema 2: Polígonos 13. Trapecio rectángulo conocidas una base, una diagonal y la altura. 70 B C h=30 60 C A A D h B C
Tema 2: Polígonos 14. Trapecio rectángulo conocidas una base, un ángulo y la altura. 70 B C h=40 ^ A=135º
Tema 2: Polígonos 14. Trapecio rectángulo conocidas una base, un ángulo y la altura. 70 B C h=40 ^ A=135º A D ^ A ^ A ^ Suplementario de A B C
Tema 2: Polígonos 15. Trapecio isósceles conocidas sus bases y su altura. B 85 C A 55 D h=45
Tema 2: Polígonos 15. Trapecio isósceles conocidas sus bases y su altura. B 85 C A 55 D h=45 A D h B C
Tema 2: Polígonos 16. Trapecio isósceles conocida una base, la diagonal y la altura. B 70 C h=35 d=65
Tema 2: Polígonos 16. Trapecio isósceles conocida una base, la diagonal y la altura. B 70 C h=35 d=65 A D d d h B C
Tema 2: Polígonos 17. Trapecio conocidos sus cuatro lados. B 80 C 40 D A A 45 B 50 C D
Tema 2: Polígonos 17. Trapecio conocidos sus cuatro lados. B 80 C 40 D A A 45 B 50 C D A D = AB = AD C B
Tema 2: Polígonos 17. Trapecio conocidos sus cuatro lados. B 80 C 40 D A A 45 B 50 C D A D A = AB = AD C B D AB B AD C
Tema 2: Polígonos 18. Trapecio conocidas sus bases y los ángulos adyacentes a una de ellas. B 75 C A 40 D ^ ^ B C
Tema 2: Polígonos 18. Trapecio conocidas sus bases y los ángulos adyacentes a una de ellas. B 75 C A 40 D A D ^ ^ B C = AB= ^ ^ B AD B B C
Tema 2: Polígonos 18. Trapecio conocidas sus bases y los ángulos adyacentes a una de ellas. B 75 C A 40 D A D ^ ^ B C = AB= ^ ^ B AD B B C A D ^ ^ ^ B B C B C
Tema 2: Polígonos 19. Trapezoide conocidos sus cuatro lados y una diagonal. 85 C B 35 C D D 60 A A 50 B B 80 D
Tema 2: Polígonos 19. Trapezoide conocidos sus cuatro lados y una diagonal. 85 C B 35 C D D 60 A A 50 B B 80 D A D B C
Tema 2: Polígonos 20. Trapezoide bisósceles conocido un lado y sus ángulos adyacentes. 30 C B ^ B=120º ^ C=75º
Tema 2: Polígonos 20. Trapezoide bisósceles conocido un lado y sus ángulos adyacentes. 30 C B ^ B=120º ^ C=75º A D B C
Tema 2: Polígonos 2.3 POLÍGONOS REGULARES
Tema 2: Polígonos 2.3.1 Definición Figura plana limitada por una línea quebraba, cerrada y plana. Todos sus lados y todos sus ángulos son iguales, y pueden inscribirse en una circunferencia. Líneas notables de un polígono: Radio (r): Une el centro con un vértice. d Apotema (a): Distancia desde el D centro del polígono a la mitad de un o lado. Diagonal (d): Segmento que une r dos vértices no consecutivos. a Diagonal mayor (D): La que une dos vértices opuestos en polígonos con número par de lados.
Tema 2: Polígonos 2.3.2 Propiedades fundamentales de los polígonos regulares 1. El ángulo central de un polígono es el que tiene su vértice en el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor para un polígono de n lados es: 360 α= n Por ejemplo, en un octógono, su ángulo central valdría: 360 α= = 45º α 8
Tema 2: Polígonos 2.3.2 Propiedades fundamentales de los polígonos regulares 2. El ángulo interior de un polígono es el que forman dos lados consecutivos. Su valor para un polígono de n lados es: 180 · (n-2) α= n Por ejemplo, en un pentágono, su ángulo interior valdría: 180 · (5-2) 540 α α= = = 108º 5 5
Tema 2: Polígonos 2.3.2 Propiedades fundamentales de los polígonos regulares 3. El número de diagonales que tiene un polígono de n lados es: (n-3) · n D= 2 Por ejemplo, en un hexágono, su número de diagonales sería: (6-3) · 6 18 D= = =9 2 2
Tema 2: Polígonos 2.3.3 Construcción de polígonos regulares inscritos en un circunferencia
Tema 2: Polígonos 1. Triángulo equilátero (3), hexágono (6) y dodecágono (12). 3 A O 1 2 B
Tema 2: Polígonos 1. Triángulo equilátero (3), hexágono (6) y dodecágono (12). 3 A 4 6 O 1 2 5B
Tema 2: Polígonos 1. Triángulo equilátero (3), hexágono (6) y dodecágono (12). 3 A 7 12 4 6 C O D 8 11 1 2 9 10 5B
2. Cuadrado (4) y octógono (8). 1 O 2 4 3
2. Cuadrado (4) y octógono (8). 1 5 8 O 2 4 6 7 3
3. Pentágono (5) y decágono (10). 1A 2 5 C N O M D 3 4 B
3. Pentágono (5) y decágono (10). 1A 10 6 2 5 C N O M D 9 7 3 4 B 8
4. Héptágono (7). 1 2 7 O 6 3 M B C 4 5 A
5. Eneágono (9). 1 A 2 9 C 3 8 G F O E 4 D 7 5 6 B
6. Método general para construir un polígono de cualquier número de lados inscrito en una circunferencia. (Ejemplo: Undecágono (11 lados)) 1A 2 1 11 2 3 2 3 4 10 5 6 4 7 D 8 O C 6 4 9 9 10 11 8 8 5 10 6 B 7
Tema 2: Polígonos 2.3.4 Construcción de polígonos regulares conociendo el lado.
Método general por semejanza. (Ejemplo: Heptágono (7 lados)) 40 A B 1 = A 7 2 = = = B O 3 6 4 5
Tema 2: Polígonos 2.3.5 Construcción de polígonos regulares conociendo su apotema.
Método general. (Ejemplo: Pentágono (5 lados)) a=35 1’ 1 2’ 2 5’ 5 O a 4 3 3’ 4’
Tema 2: Polígonos 2.3.6 Polígonos regulares estrellados.
•Son los que se obtienen uniendo los vértices de un polígono regular de dos en dos, tres en tres, etc. •Es condición imprescindible para construir un polígono regular que partiendo de un vértice cualquiera, recorramos todos los vértices y volvamos al de partida. •Un polígono regular puede tener cero estrellados, uno o varios. •Si tiene varios estrellados el que construyamos con el menor número de vértices alternos será el de primer orden o de primera especie, el siguiente será de segundo orden o de segunda especie, etc.
Triángulo: No tiene estrellados.
Cuadrado: No tiene estrellados.
Pentágono: Tiene 1 estrellado.
Hexágono: No tiene estrellados.
Heptágono: Tiene 2 estrellados. Primera especie Segunda especie
Octógono: Tiene un estrellado.
Eneágono: Tiene 2 estrellados. Primera especie Segunda especie
Decágono: Tiene un estrellado.
F, MOHEDANO DIBUJO TÉCNICO 1º BACH. IES LOS MANANTIALES (TORREMOLINOS)

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Polígonos

  • 1.
  • 2.
    Sumario Tema 2: Polígonos 2.0.1 Definición 2.0.2 Clasificación 2.1 Triángulos 2.1.1 Definición 2.1.2 Propiedades 2.1.3 Clasificación 2.1.4 Puntos notables del triángulo 2.1.5 Construcción de triángulos 2.2 Cuadriláteros 2.2.1 Definición 2.2.2 Propiedad fundamental 2.2.3 Clasificación 2.2.4 Construcción de cuadriláteros 2.3 Polígonos regulares 2.3.1 Definición 2.3.2 Propiedades 2.3.3 Construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia 2.3.4 Construcción de polígonos regulares conociendo el lado 2.3.5 Construcción de polígonos regulares conociendo su apotema 2.3.6 Polígonos regulares estrellados
  • 3.
    Tema 2: Polígonos 2.0.1Definición Un polígono es una figura plana cerrada limitada por segmentos rectilíneos. A cada segmento se le denomina lado. La suma de todos los lados es el perímetro del polígono. Los puntos de unión de dos lados consecutivos se denomina vértice. A B E vértice C lado D perímetro=AB+BC+CD+DE+EA
  • 4.
    Tema 2: Polígonos 2.0.2Clasificación de los polígonos Según sean sus ángulos interiores, podemos clasificar a los polígonos en dos tipos: 1.Convexos 2.Cóncavos
  • 5.
    Tema 2: Polígonos 1.Polígonosconvexos: Son aquellos cuyos ángulos interiores son todos convexos, es decir, menores de 180º. Se clasifican a su vez en: • Irregulares: Sus lados y sus ángulos no son todos iguales. • Regulares: Todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Todos los polígonos regulares son inscriptibles y circunscriptibles en una circunferencia. Polígono convexo irregular Polígono convexo regular
  • 6.
    Tema 2: Polígonos 2.Polígonoscóncavos: Son aquellos que tienen algún ángulo interior cóncavo, es decir, mayor de 180º. Siempre son irregulares. >180º Polígono cóncavo
  • 7.
  • 8.
    Tema 2: Polígonos 2.1.1Definición Un triángulo es una figura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Es el polígono de tres lados. Sus tres vértices los designaremos normalmente con letras en mayúsculas, empezando siempre A por el superior y siguiendo en sentido antihorario. ^ A Los tres lados serán segmentos de c extremos los vértices, los b llamaremos con la letra minúscula ^ B B correspondiente al vértice opuesto. ^ C a Sus tres ángulos los designaremos C igual que su vértice correspondiente.
  • 9.
    Tema 2: Polígonos 2.1.2Propiedades de los triángulos 1.Cualquier lado es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. a<b+c, a>b-c 2.A mayor lado se opone siempre mayor ángulo. ^ ^ ^ a>b,c → A>B,C 3.Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º. ^ ^ ^ A+B+C=180º A c b B a C
  • 10.
    Tema 2: Polígonos 2.1.3Clasificación de los triángulos Podemos clasificar a los triángulos utilizando dos criterios diferentes: 1.Según sean sus lados 2.Según sean sus ángulos
  • 11.
    Tema 2: Polígonos 1.Clasificaciónde los triángulos según sus lados: • Equilátero: Sus tres lados y sus tres ángulos son iguales. Es el único triángulo que es polígono regular. • Isósceles: Tendrá dos lados y dos ángulos iguales, y uno desigual. • Escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos serán diferentes. A A A c b c b c b B C B C B C a a a Equilátero Isósceles Escaleno a=b=c a≠b=c a≠b≠c ^ ^ ^ A=B=C=60º ^ ^ ^ A≠B=C ^ ^ ^ A≠B≠C
  • 12.
    Tema 2: Polígonos 2.Clasificaciónde los triángulos según sus ángulos: • Acutángulo: Sus tres ángulos son agudos, menores de 90º. • Rectángulo: Uno de sus ángulos es recto, mide 90º. Los dos lados de un triángulo rectángulo reciben nombres especiales: el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (a), y los dos lados que forman el ángulo recto, catetos (b y c). • Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º. NOTA: En los triángulos rectángulos y en los obtusángulos, siempre empezamos a nombrar los vértices a partir del ángulo recto y del ángulo obtuso respectivamente. A C C c b a a b b B C A c B A c B a Acutángulo Rectángulo Obtusángulo ^ ^ ^ ^ ^ A,B,C<90º A=90º A>90º
  • 13.
    Tema 2: Polígonos 2.1.4Puntos notables del triángulo Son cuatro: 1.Circuncentro 2.Incentro 3.Ortocentro 4.Baricentro
  • 14.
    Tema 2: Polígonos 1.Circuncentro: Esel punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Se encontrará por tanto donde se corten las tres mediatrices de los lados. Será el centro de la circunferencia circunscrita. A b c mc mb O ma B a C EJERCICIO: Determina el circuncentro de un triángulo obtusángulo.
  • 15.
    Tema 2: Polígonos 2.Incentro: Esel punto que equidista de los tres lados del triángulo. Se encontrará por tanto donde se corten las tres bisectrices de los ángulos. Será el centro de la circunferencia inscrita. A b ba c bb I bc B a C EJERCICIO: Determina el incentro de un triángulo rectángulo.
  • 16.
    Tema 2: Polígonos 3.Ortocentro: Esel punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Altura de un triángulo es la perpendicular trazada a cada lado desde el vértice opuesto. A hc hb H b c ha B a C EJERCICIO: Determina el ortocentro de un triángulo isósceles acutángulo.
  • 17.
    Tema 2: Polígonos 4.Baricentro: Esel punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Mediana de un triángulo es el segmento que une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo y se encuentra siempre a dos tercios a partir del vértice de la mediana A correspondiente. ma b c G mb mc B a C EJERCICIO: Determina el baricentro de un triángulo escaleno rectángulo.
  • 18.
    Tema 2: Polígonos 2.1.5Construcción de triángulos
  • 19.
    Tema 2: Polígonos 1.Conocidos los tres lados. a=70 b=40 c=55
  • 20.
    Tema 2: Polígonos 1.Conocidos los tres lados. a=70 b=40 c=55 A c b B C a
  • 21.
    Tema 2: Polígonos 2.Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. a=65 b=60 ^ C=30º
  • 22.
    Tema 2: Polígonos 2.Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. a=65 b=60 ^ C=30º A c b B C a
  • 23.
    Tema 2: Polígonos 3.Conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes al mismo. a=55 ^ B=45º ^ C=30º
  • 24.
    Tema 2: Polígonos 3.Conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes al mismo. a=55 ^ B=45º ^ C=30º A c b B a C
  • 25.
    Tema 2: Polígonos 4.Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. a=40 ^ ^ A B
  • 26.
    Tema 2: Polígonos 4.Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. a=40 ^ ^ A B A ^ A c b ^ B ^ ^ ^^ ^ B C=180º-A-B A B a C
  • 27.
    Tema 2: Polígonos 5.Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a=30 b=55 ^ A=30º
  • 28.
    Tema 2: Polígonos 5.Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a=30 b=55 ^ A=30º A c’ b c B’ a’ C a B Primer método
  • 29.
    Tema 2: Polígonos 5.Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a=30 b=55 ^ A=30º A A A’ c’ c b b O c B’ c’ a’ C B ^ C a A B Primer método Segundo método
  • 30.
    Tema 2: Polígonos 6.Equilátero conocido el lado. a=60
  • 31.
    Tema 2: Polígonos 6.Equilátero conocido el lado. a=60 A c b B a C
  • 32.
    Tema 2: Polígonos 7.Equilátero conocida la altura. h=55
  • 33.
    Tema 2: Polígonos 7.Equilátero conocida la altura. h=55 A c h b 1 B C 2 a 3
  • 34.
    Tema 2: Polígonos 8.Determinar el ortocentro de un triángulo obtusángulo. a=50 ^ B=22º 30’ ^ C=120º
  • 35.
    Tema 2: Polígonos 8.Determinar el ortocentro de un triángulo obtusángulo. a=50 ^ A B=22º 30’ ^ C=120º c b B a C hc ha hb H
  • 36.
    Tema 2: Polígonos 9.Isósceles conociendo el valor de sus lados y sus ángulos iguales. b=c=45 ^ ^ B=C
  • 37.
    Tema 2: Polígonos 9.Isósceles conociendo el valor de sus lados y sus ángulos iguales. b=c=45 ^ ^ B=C A c b ^ B B a C
  • 38.
    Tema 2: Polígonos 10.Isósceles conocida su base y el ángulo opuesto a la misma. a=35 ^ A
  • 39.
    Tema 2: Polígonos 10.Isósceles conocida su base y el ángulo opuesto a la misma. a=35 ^ A A ^ A b c ^ ^ ^ B C A B a C ^ ^ ^ 180º-A B=C= 2
  • 40.
    Tema 2: Polígonos 10.Isósceles conocida su base y el ángulo opuesto a la misma. a=35 ^ A A A ^ A b c c b O ^ ^ ^ B C A B a C B ^ a C ^ ^ ^ 180º-A A B=C= 2
  • 41.
    Tema 2: Polígonos 11.Triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y un cateto. a=75 b=40
  • 42.
    Tema 2: Polígonos 11.Triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y un cateto. a=75 b=40 A c b B a C
  • 43.
    Tema 2: Polígonos 12.Triángulo rectángulo conocido un cateto y la mediana correspondiente al otro cateto. b=50 mc=55
  • 44.
    Tema 2: Polígonos 12.Triángulo rectángulo conocido un cateto y la mediana correspondiente al otro cateto. b=50 mc=55 C a b mc A M B c
  • 45.
    Tema 2: Polígonos 13.Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los dos catetos. b+c=80 a=60
  • 46.
    Tema 2: Polígonos 13.Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los dos catetos. b+c=80 a=60 C’ b’ a’ C a 45º b c A c B b+c
  • 47.
    Tema 2: Polígonos 14.Triángulo isósceles conocido el semiperímetro y la altura. p=100 h=60
  • 48.
    Tema 2: Polígonos 14.Triángulo isósceles conocido el semiperímetro y la altura. p=100 h=60 A c b h O p B a C
  • 49.
    Tema 2: Polígonos 2.2CUADRILÁTEROS
  • 50.
    Tema 2: Polígonos 2.2.1Definición Un cuadrilátero es una figura plana limitada por cuatro rectas que se cortan dos a dos. Es el polígono de cuatro lados. Los puntos de intersección de las A rectas son los vértices, que designaremos normalmente con letras en mayúsculas. D B Los segmentos que unen dos vértices consecutivos serán los lados. (AB, BC, CD y DA) Los segmentos que unen dos vértices opuestos son las C diagonales. Un cuadrilátero tiene dos diagonales. (AC y BD)
  • 51.
    Tema 2: Polígonos 2.2.2Propiedad fundamental de los cuadriláteros Los ángulos interiores de un cuadrilátero siempre suman 360º. ^ ^ ^ ^ A+B+C+D=360º Si trazamos una diagonal, el cuadrilátero queda descompuesto en dos triángulos, por lo que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero será igual a la suma de los ángulos de los dos triángulos: 180º+180º=360º A D B C
  • 52.
    Tema 2: Polígonos 2.2.3Clasificación de los cuadriláteros Según sea el paralelismo entre sus lados, los cuadriláteros convexos se clasifican en: 1. Paralelogramos •Cuadrado •Rectángulo •Rombo •Romboide 2. Trapecios •Trapecio escaleno •Trapecio rectángulo •Trapecio isósceles 3. Trapezoides •Trapezoide bisósceles
  • 53.
    Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios.
  • 54.
    Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios. Cuadrado A D • Sus cuatro lados son iguales. • Sus ángulos también son iguales y rectos. • Es el polígono regular de cuatro lados. • Sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí. B C • El punto de intersección de sus diagonales es el centro de las circunferencias inscrita y circunscrita.
  • 55.
    Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios. Rectángulo A D • Sus lados son iguales dos a dos. • Sus cuatro ángulos son iguales y rectos. • Sus diagonales son iguales y oblicuas entre sí. B C • El punto de intersección de sus diagonales es el centro de la circunferencia circunscrita.
  • 56.
    Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios. Rombo A • Sus cuatro lados son iguales. • Sus ángulos son iguales dos a dos, dos agudos y dos obtusos. B D • Sus diagonales son diferentes y perpendiculares entre sí. • El punto de intersección de sus C diagonales es el centro de la circunferencia inscrita.
  • 57.
    Tema 2: Polígonos 1.Paralelogramos: Tienen sus lados paralelos dos a dos. Sus diagonales se cortan siempre en sus puntos medios. Romboide • Sus lados son iguales dos a dos. A D • Sus ángulos son iguales dos a dos, dos agudos y dos obtusos. • Sus diagonales son diferentes y oblicuas entre sí. B C
  • 58.
    Tema 2: Polígonos 2.Trapecios: Tienen dos lados paralelos y otros dos oblicuos. A sus lados paralelos se les llama bases.
  • 59.
    Tema 2: Polígonos 2.Trapecios: Tienen dos lados paralelos y otros dos oblicuos. A sus lados paralelos se les llama bases. Trapecio escaleno A D • Sus ángulos y sus lados son todos diferentes. B C
  • 60.
    Tema 2: Polígonos 2.Trapecios: Tienen dos lados paralelos y otros dos oblicuos. A sus lados paralelos se les llama bases. Trapecio rectángulo A D • Tiene dos ángulos rectos, por tanto los otros dos serán suplementarios. ^ ^ A=B=90º ^ ^ C+D=180º B C
  • 61.
    Tema 2: Polígonos 2.Trapecios: Tienen dos lados paralelos y otros dos oblicuos. A sus lados paralelos se les llama bases. Trapecio isósceles • Los lados oblicuos son iguales. A D AB =CD • Sus ángulos son iguales dos a dos. ^ ^ ^ ^ A=B, C=D • Tiene un eje de simetría. B C
  • 62.
    Tema 2: Polígonos 3.Trapezoides: Ninguno de sus lados es paralelo.
  • 63.
    Tema 2: Polígonos 3.Trapezoides: Ninguno de sus lados es paralelo. A Trapezoide D • No tiene ningún eje de simetría. B C
  • 64.
    Tema 2: Polígonos 3.Trapezoides: Ninguno de sus lados es paralelo. Trapezoide bisósceles A • Está formado por dos triángulos isósceles unidos por sus bases. • Sus lados serán iguales dos a dos. B D AB =BC, CD=DA • Tiene dos ángulos opuestos iguales. ^ ^ A=C • Sus diagonales son perpendiculares y C una es mediatriz de la otra. • Tiene un eje de simetría.
  • 65.
    Tema 2: Polígonos 2.2.4Construcción de cuadriláteros
  • 66.
    Tema 2: Polígonos 1.Cuadrado conocido el lado. l=65
  • 67.
    Tema 2: Polígonos 1.Cuadrado conocido el lado. l=65 A D 4 l 2 3 B 1 C
  • 68.
    Tema 2: Polígonos 2.Cuadrado conocida la diagonal. d=75
  • 69.
    Tema 2: Polígonos 2.Cuadrado conocida la diagonal. d=75 A B d D C
  • 70.
    Tema 2: Polígonos 3.Cuadrado conocido el radio de la circunferencia inscrita. r=30
  • 71.
    Tema 2: Polígonos 3.Cuadrado conocido el radio de la circunferencia inscrita. r=30 A T D T O r T B C T
  • 72.
    Tema 2: Polígonos 4.Cuadrado conocida la suma de la diagonal y el lado. d+l=95
  • 73.
    Tema 2: Polígonos 4.Cuadrado conocida la suma de la diagonal y el lado. d+l=95 22º 30’ l 135º 45º d 22º 30’
  • 74.
    Tema 2: Polígonos 4.Cuadrado conocida la suma de la diagonal y el lado. d+l=95 22º 30’ l A 135º 45º d 22º 30’ D l d B E 45º 22º 30’ C
  • 75.
    Tema 2: Polígonos 5.Rectángulo conocidos sus lados. a=40 b=55
  • 76.
    Tema 2: Polígonos 5.Rectángulo conocidos sus lados. a=40 b=55 4 D A 2 3 B 1 C
  • 77.
    Tema 2: Polígonos 6.Rectángulo conocido un lado y su diagonal. l=60 d=70
  • 78.
    Tema 2: Polígonos 6.Rectángulo conocido un lado y su diagonal. l=60 d=70 A D d l B C
  • 79.
    Tema 2: Polígonos 7.Rectángulo conocida su diagonal y la suma de los dos lados desiguales. d=60 a+b=75
  • 80.
    Tema 2: Polígonos 7.Rectángulo conocida su diagonal y la suma de los dos lados desiguales. d=60 a+b=75 A’ D’ d A D d 45º a+b C B B’
  • 81.
    Tema 2: Polígonos 8.Rombo conocidas las dos diagonales. d1=55 d2=85
  • 82.
    Tema 2: Polígonos 8.Rombo conocidas las dos diagonales. d1=55 d2=85 A d1 B d2 D C
  • 83.
    Tema 2: Polígonos 9.Rombo conocida una diagonal y el lado. d1=40 l=55
  • 84.
    Tema 2: Polígonos 9.Rombo conocida una diagonal y el lado. d1=40 l=55 A d1 B D C
  • 85.
    Tema 2: Polígonos 10.Rombo conocido el lado y uno de sus ángulos. l=45 α
  • 86.
    Tema 2: Polígonos 10.Rombo conocido el lado y uno de sus ángulos. l=45 α l D A l l α B C l
  • 87.
    Tema 2: Polígonos 11.Romboide conocidos sus dos lados y una de sus diagonales. l1=60 l2=30 d1=75
  • 88.
    Tema 2: Polígonos 11.Romboide conocidos sus dos lados y una de sus diagonales. l1=60 l2=30 d1=75 A l1 D d1 l2 l2 B l1 C
  • 89.
    Tema 2: Polígonos 12.Romboide conocidas las dos diagonales y la altura. d1=80 d2=50 h=30
  • 90.
    Tema 2: Polígonos 12.Romboide conocidas las dos diagonales y la altura. d1=80 d2=50 h=30 A A’ D d2 d1 M h d2 B C’ C
  • 91.
    Tema 2: Polígonos 13.Trapecio rectángulo conocidas una base, una diagonal y la altura. 70 B C h=30 60 C A
  • 92.
    Tema 2: Polígonos 13.Trapecio rectángulo conocidas una base, una diagonal y la altura. 70 B C h=30 60 C A A D h B C
  • 93.
    Tema 2: Polígonos 14.Trapecio rectángulo conocidas una base, un ángulo y la altura. 70 B C h=40 ^ A=135º
  • 94.
    Tema 2: Polígonos 14.Trapecio rectángulo conocidas una base, un ángulo y la altura. 70 B C h=40 ^ A=135º A D ^ A ^ A ^ Suplementario de A B C
  • 95.
    Tema 2: Polígonos 15.Trapecio isósceles conocidas sus bases y su altura. B 85 C A 55 D h=45
  • 96.
    Tema 2: Polígonos 15.Trapecio isósceles conocidas sus bases y su altura. B 85 C A 55 D h=45 A D h B C
  • 97.
    Tema 2: Polígonos 16.Trapecio isósceles conocida una base, la diagonal y la altura. B 70 C h=35 d=65
  • 98.
    Tema 2: Polígonos 16.Trapecio isósceles conocida una base, la diagonal y la altura. B 70 C h=35 d=65 A D d d h B C
  • 99.
    Tema 2: Polígonos 17.Trapecio conocidos sus cuatro lados. B 80 C 40 D A A 45 B 50 C D
  • 100.
    Tema 2: Polígonos 17.Trapecio conocidos sus cuatro lados. B 80 C 40 D A A 45 B 50 C D A D = AB = AD C B
  • 101.
    Tema 2: Polígonos 17.Trapecio conocidos sus cuatro lados. B 80 C 40 D A A 45 B 50 C D A D A = AB = AD C B D AB B AD C
  • 102.
    Tema 2: Polígonos 18.Trapecio conocidas sus bases y los ángulos adyacentes a una de ellas. B 75 C A 40 D ^ ^ B C
  • 103.
    Tema 2: Polígonos 18.Trapecio conocidas sus bases y los ángulos adyacentes a una de ellas. B 75 C A 40 D A D ^ ^ B C = AB= ^ ^ B AD B B C
  • 104.
    Tema 2: Polígonos 18.Trapecio conocidas sus bases y los ángulos adyacentes a una de ellas. B 75 C A 40 D A D ^ ^ B C = AB= ^ ^ B AD B B C A D ^ ^ ^ B B C B C
  • 105.
    Tema 2: Polígonos 19.Trapezoide conocidos sus cuatro lados y una diagonal. 85 C B 35 C D D 60 A A 50 B B 80 D
  • 106.
    Tema 2: Polígonos 19.Trapezoide conocidos sus cuatro lados y una diagonal. 85 C B 35 C D D 60 A A 50 B B 80 D A D B C
  • 107.
    Tema 2: Polígonos 20.Trapezoide bisósceles conocido un lado y sus ángulos adyacentes. 30 C B ^ B=120º ^ C=75º
  • 108.
    Tema 2: Polígonos 20.Trapezoide bisósceles conocido un lado y sus ángulos adyacentes. 30 C B ^ B=120º ^ C=75º A D B C
  • 109.
    Tema 2: Polígonos 2.3POLÍGONOS REGULARES
  • 110.
    Tema 2: Polígonos 2.3.1Definición Figura plana limitada por una línea quebraba, cerrada y plana. Todos sus lados y todos sus ángulos son iguales, y pueden inscribirse en una circunferencia. Líneas notables de un polígono: Radio (r): Une el centro con un vértice. d Apotema (a): Distancia desde el D centro del polígono a la mitad de un o lado. Diagonal (d): Segmento que une r dos vértices no consecutivos. a Diagonal mayor (D): La que une dos vértices opuestos en polígonos con número par de lados.
  • 111.
    Tema 2: Polígonos 2.3.2Propiedades fundamentales de los polígonos regulares 1. El ángulo central de un polígono es el que tiene su vértice en el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor para un polígono de n lados es: 360 α= n Por ejemplo, en un octógono, su ángulo central valdría: 360 α= = 45º α 8
  • 112.
    Tema 2: Polígonos 2.3.2Propiedades fundamentales de los polígonos regulares 2. El ángulo interior de un polígono es el que forman dos lados consecutivos. Su valor para un polígono de n lados es: 180 · (n-2) α= n Por ejemplo, en un pentágono, su ángulo interior valdría: 180 · (5-2) 540 α α= = = 108º 5 5
  • 113.
    Tema 2: Polígonos 2.3.2Propiedades fundamentales de los polígonos regulares 3. El número de diagonales que tiene un polígono de n lados es: (n-3) · n D= 2 Por ejemplo, en un hexágono, su número de diagonales sería: (6-3) · 6 18 D= = =9 2 2
  • 114.
    Tema 2: Polígonos 2.3.3Construcción de polígonos regulares inscritos en un circunferencia
  • 115.
    Tema 2: Polígonos 1.Triángulo equilátero (3), hexágono (6) y dodecágono (12). 3 A O 1 2 B
  • 116.
    Tema 2: Polígonos 1.Triángulo equilátero (3), hexágono (6) y dodecágono (12). 3 A 4 6 O 1 2 5B
  • 117.
    Tema 2: Polígonos 1.Triángulo equilátero (3), hexágono (6) y dodecágono (12). 3 A 7 12 4 6 C O D 8 11 1 2 9 10 5B
  • 118.
    2. Cuadrado (4)y octógono (8). 1 O 2 4 3
  • 119.
    2. Cuadrado (4)y octógono (8). 1 5 8 O 2 4 6 7 3
  • 120.
    3. Pentágono (5)y decágono (10). 1A 2 5 C N O M D 3 4 B
  • 121.
    3. Pentágono (5)y decágono (10). 1A 10 6 2 5 C N O M D 9 7 3 4 B 8
  • 122.
    4. Héptágono (7). 1 2 7 O 6 3 M B C 4 5 A
  • 123.
    5. Eneágono (9). 1 A 2 9 C 3 8 G F O E 4 D 7 5 6 B
  • 124.
    6. Método generalpara construir un polígono de cualquier número de lados inscrito en una circunferencia. (Ejemplo: Undecágono (11 lados)) 1A 2 1 11 2 3 2 3 4 10 5 6 4 7 D 8 O C 6 4 9 9 10 11 8 8 5 10 6 B 7
  • 125.
    Tema 2: Polígonos 2.3.4Construcción de polígonos regulares conociendo el lado.
  • 126.
    Método general porsemejanza. (Ejemplo: Heptágono (7 lados)) 40 A B 1 = A 7 2 = = = B O 3 6 4 5
  • 127.
    Tema 2: Polígonos 2.3.5Construcción de polígonos regulares conociendo su apotema.
  • 128.
    Método general. (Ejemplo:Pentágono (5 lados)) a=35 1’ 1 2’ 2 5’ 5 O a 4 3 3’ 4’
  • 129.
    Tema 2: Polígonos 2.3.6Polígonos regulares estrellados.
  • 130.
    •Son los quese obtienen uniendo los vértices de un polígono regular de dos en dos, tres en tres, etc. •Es condición imprescindible para construir un polígono regular que partiendo de un vértice cualquiera, recorramos todos los vértices y volvamos al de partida. •Un polígono regular puede tener cero estrellados, uno o varios. •Si tiene varios estrellados el que construyamos con el menor número de vértices alternos será el de primer orden o de primera especie, el siguiente será de segundo orden o de segunda especie, etc.
  • 131.
  • 132.
    Cuadrado: No tieneestrellados.
  • 133.
  • 134.
    Hexágono: No tieneestrellados.
  • 135.
    Heptágono: Tiene 2estrellados. Primera especie Segunda especie
  • 136.
  • 137.
    Eneágono: Tiene 2estrellados. Primera especie Segunda especie
  • 138.
  • 139.
    F, MOHEDANO DIBUJO TÉCNICO 1º BACH. IES LOS MANANTIALES (TORREMOLINOS)

Notas del editor