BALANCE TÉRMICO-MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA.pptx
Clase 9-3
1. MATEMÁTICA III
𝑴𝒈. 𝑳𝒂𝒖𝒓𝒂 𝑳𝒖𝒄𝒊𝒍𝒂 𝑨𝒓𝒃𝒖𝒍ú 𝑩𝒂𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂𝒏𝒐
Sesión 9: Integrales Triples
2022 - 0
Programa de Ingeniería
Civil
2. LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante habrá
comprendido la definición de integrales triples y su
aplicación para el cálculo de volúmenes de sólidos.
𝒇: 𝑹 ⊆ ℝ𝟑 → ℝ, 𝒘 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛
න න න
𝑹
𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = න
𝒂
𝒃
න
𝒈𝟏 𝒙
𝒈𝟐 𝒙
න
𝒉𝟏 𝒙,𝒚
𝒉𝟐 𝒙,𝒚
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒚𝒅𝒙
4. Al igual que las integrales simples y dobles, se
definen las integrales triples para funciones de
tres variables
SABERES PREVIOS
𝒘 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛
Partiremos del caso más simple, es decir cuando la
función es definida sobre la caja rectangular:
𝑩 = 𝒂, 𝒃 × 𝒄, 𝒅 × 𝒓, 𝒔 ⊆ ℝ3
5. Cajas y subcajas
𝐵 = 𝑎, 𝑏 × 𝑐, 𝑑 × 𝑟, 𝑠
𝑓: 𝐵 → ℝ, 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬
El primer paso es dividir la caja rectangular 𝐵 en sub
cajas. Para esto dividimos el intervalo 𝑎, 𝑏 en 𝑙 sub
intervalos de igual ancho Δ𝑥, igualmente dividimos los
intervalos 𝑐, 𝑑 y 𝑟, 𝑠 en 𝑚 y 𝑛 subintervalos de igual
ancho.
6. Suma de Riemann
𝐵𝑖𝑗𝑘 = 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 × 𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗 × 𝑧𝑘−1, 𝑧𝑘
𝒙𝒊𝒋𝒌
∗
, 𝒚𝒊𝒋𝒌
∗
, 𝒛𝒊𝒋𝒌
∗
∈ 𝑩𝒊𝒋𝒌 ⟹
𝒊=𝟏
𝒍
𝒋=𝟏
𝒎
𝒌=𝟏
𝒏
𝒇 𝒙𝒊𝒋𝒌
∗
, 𝒚𝒊𝒋𝒌
∗
, 𝒛𝒊𝒋𝒌
∗
𝜟𝑽 ,
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬
Cada subcaja tiene volumen
Δ𝑉 = Δ𝑥 Δ𝑦 Δ𝑧
Entonces se forma la triple
suma de Riemann
7. INTEGRAL TRIPLE
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬
La Integral triple de 𝑓 sobre la caja 𝐵 es
න න න
𝑩
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒍𝒊𝒎
𝒍,𝒎,𝒏→∞
𝒊=𝟏
𝒍
𝒋=𝟏
𝒎
𝒌=𝟏
𝒏
𝒇 𝒙𝒊𝒋𝒌
∗
, 𝒚𝒊𝒋𝒌
∗
, 𝒛𝒊𝒋𝒌
∗
𝜟𝑽
siempre que el límite de la derecha exista. Por ejemplo, si
𝑓 es continua entonces el límite existe.
40. APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬
En el caso unidimensional, si 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈
𝑎, 𝑏 , entonces la integral simple 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 representa el
área bajo la curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Ahora bien, si 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0,
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷, entonces 𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 representa el
volumen bajo la superficie 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , arriba de 𝐷.
En el caso tridimensional, la interpretación de la integral
triple 𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 donde 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0, seria el
hipervolumen de un objeto tetradimensional.
41. APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬
No obstante, la integral triple
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 se puede
interpretar de varias maneras en diferentes situaciones
físicas, lo que depende de las interpretaciones físicas de las
variables 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 .
Caso especial: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1, para todos los puntos en un
entorno 𝐸, entonces la integral triple representa el
volumen de 𝐸:
𝑉 𝐸 = න න න
𝐸
𝑑𝑉
42. APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬
No obstante, la integral triple
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 se puede
interpretar de varias maneras en diferentes situaciones
físicas, lo que depende de las interpretaciones físicas de las
variables 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 .
Caso especial: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1, para todos los puntos en un
entorno 𝐸, entonces la integral triple representa el
volumen de 𝐸:
𝑉 𝐸 = න න න
𝐸
𝑑𝑉
