AASDASD

1. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
1
nnnnnUNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del
trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo,
como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más
patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de
los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como
Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se
encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término
imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en
desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más
abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799,
redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más
formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Los algebristas de los siglos XV y XVI, al buscar una solución para algunas ecuaciones de
segundo grado, por ejemplo 𝒙 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 , se encontraron con 𝒙 = ±√−𝟏.
Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún número real cuyo
cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de "definir"
nuevos números de la forma: 𝒂 + 𝒃. 𝒊 donde 𝒂 y 𝒃 son números reales e 𝒊 es √−𝟏 , que
permitieran resolver cualquier ecuación de segundo grado. Estos nuevos números se
llaman números complejos (ℂ).
Ejemplo:
La ecuación de segundo grado: 𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝟒 = 𝟎 tiene como solución: 𝒙 =
( 𝟔±√−𝟏𝟎𝟎)
𝟐
Que expresaremos como: 𝒙 =
𝟔±𝟏𝟎.𝒊
𝟐
= 𝟑 ± 𝟓. 𝒊
Se llama número complejo a toda expresión de la forma 𝒛 = 𝒂 + 𝒃. 𝒊 donde 𝑎 y 𝑏 son
números reales; i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones: 𝒊 = √−𝟏 o
𝒊 𝟐 = −𝟏; a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo.
Si a = 0, el número complejo 0 + b.i = b.i, es un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene
el número real
a + 0.i = a
Dos números complejos son iguales si: (a + b.i) = (c + d.i)  a = c; b = d es decir, si son
iguales sus partes reales e imaginarias por separado.
Un número complejo es igual a cero si: a + b.i = 0  a = 0; b =0

2. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
2
Ejercicios 1.1
1)
𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝒂𝒇𝒊𝒋𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒐
𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐
𝟐
=
𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐
𝟐
+ 𝒊
𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐
𝟐
𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒂𝒇𝒊𝒋𝒐
𝒅𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒐 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐
∙ 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑨𝒛 𝟏 + 𝝁𝒛 𝟐 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂
𝝀𝒛 𝟏 + 𝝁𝒛 𝟐 = ( 𝟏 − 𝝁) 𝒛 𝟏 + 𝝁𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟏 + 𝝁( 𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏)
𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓, 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒛 𝟏 𝒚 𝒄𝒖𝒚𝒐 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏
2)
𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟏
𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏
=
|𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟏|𝒆𝒊𝒂𝒓𝒈(𝒛 𝟑−𝒛 𝟏)
|𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏|𝒆𝒊𝒂𝒓𝒈(𝒛 𝟑−𝒛 𝟏)
= 𝒆
𝝅
𝟑 𝒊⁄
𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟐
𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟐
=
|𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟐|𝒆𝒊𝒂𝒓𝒈(𝒛 𝟏−𝒛 𝟐)
|𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟐|𝒆𝒊𝒂𝒓𝒈(𝒛 𝟑−𝒛 𝟏)
= 𝒆
𝝅
𝟑 𝒊⁄
Ya que
𝒂𝒓𝒈( 𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟏) = 𝒂𝒓𝒈( 𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏) +
𝝅
𝟑
𝒂𝒓𝒈( 𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟐) +
𝝅
𝟑
= 𝒂𝒓𝒈(𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟐)

3. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
3
Por lo tanto
𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟏
𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏
=
𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟐
𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟐
→ 𝒛 𝟑 𝟐 − 𝒛 𝟏 𝒛 𝟑 − 𝒛 𝟐 𝒛 𝟑 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟏 = 𝒛 𝟐 𝟐 − 𝒛 𝟏 𝟐 + 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 →
→ 𝒛 𝟏 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝟐 + 𝒛 𝟑 𝟐 = 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟏 𝒛 𝟑 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟑
3)
Los angulos que forman 2 lados de un triangulo quilatero son de
𝝅
𝟑
radianes,
luego hay quie avanzar
𝝅
𝟐
+
𝝅
𝟑
=
𝟐𝝅
𝟑
. Por lo tanto, como uno de los 2 vertices es
𝒛 𝟏 = 𝟏 = 𝒆 𝟐𝝅𝒊
, se tiene que
𝒛 𝟐 = 𝒆 𝟐𝝅𝒊
𝒆
𝟐𝝅𝒊
𝟑⁄
= 𝒆
𝟐𝝅𝒊
𝟑⁄
= 𝒄𝒐𝒔
𝟐𝝅
𝟑
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝟐𝝅
𝟑
=
−𝟏
𝟐
+
√ 𝟑
𝟐
𝒊
𝒛 𝟑 = 𝒆 𝟐𝝅𝒊
𝒆
𝟐𝝅𝒊
𝟑⁄
𝒆
𝟐𝝅𝒊
𝟑⁄
= 𝒆
𝟒𝝅𝒊
𝟑⁄
= 𝒄𝒐𝒔
𝟒𝝅
𝟑
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝟒𝝅
𝟑
=
−𝟏
𝟐
+
√ 𝟑
𝟐
𝒊
Son los otros dos. En forma binomica
( 𝟏, 𝟎) (−𝟏
𝟐⁄ ,
√ 𝟑
𝟐
) , (−𝟏
𝟐⁄ , −
√ 𝟑
𝟐
)

4. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
4
1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS.
ADICCIÓN
Dados los complejos
Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)
SUSTRACCIÓN
Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo:
Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)
MULTIPLICACIÓN
Dados los complejos
Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)
POTENCIACIÓN
La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una
multiplicación reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2…… (a ; b)n asociado de a dos
pares los pares ordenados.
FORMABIÓNOMICA
La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi
OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMABINOMICA:
La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales
entre si y partes imaginarias entre si.
 +(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
 -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i
MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS

5. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
5
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd)
+ (ad + bc) i
DIVISIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es,
multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.
𝒂 + 𝒃𝒊
𝒄 + 𝒅𝒊
=
( 𝒂 + 𝒃𝒊)( 𝒄 − 𝒅𝒊)
( 𝒄 + 𝒅𝒊)( 𝒄 − 𝒅𝒊)
=
(𝒂𝒄 + 𝒃𝒅)( 𝒃𝒄 − 𝒂𝒅) 𝒊
𝒄 𝟐 + 𝒅 𝟐 =
𝒂𝒄 + 𝒃𝒅
𝒄 𝟐 + 𝒅 𝟐 +
𝒃𝒅 − 𝒂𝒅𝒊
𝒄 𝟐 + 𝒅 𝟐
( 𝟑 + 𝟐𝒊) + 𝟖 − 𝟕 − 𝒊) = (𝟑 − 𝟕) + (𝟐𝒊 − 𝒊) = −𝟒 + 𝒊
= ( 𝟓 + 𝟑𝒊)+ {(−𝟏+ 𝟐𝒊)+ ( 𝟕 − 𝟓𝒊)}
= ( 𝟓 + 𝟑𝒊)+ {(−𝟏+ 𝟕) + ( 𝟐𝒊 − 𝟓𝒊)}
= ( 𝟓 + 𝟑𝒊) + ( 𝟔 − 𝟑𝒊)
= ( 𝟓 + 𝟔) + ( 𝟑𝒊 − 𝟑𝒊)
= 𝟏𝟏
Ejercicios:
1)
( 𝟑 + 𝟐𝒊)∙ ( 𝟏 + 𝟐𝒊)
( 𝟏 − 𝟐𝒊)∙ ( 𝟏 + 𝟐𝒊)
=
𝟑 + 𝟔𝒊 + 𝟐𝒊 + 𝟒𝒊 𝟐
𝟏 − (𝟐𝒊) 𝟐 =
=
𝟑 + 𝟖𝒊 − 𝟒
𝟏 + 𝟒
= −
𝟏
𝟓
+
𝟖
𝟓
𝒊

6. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
6
2)
= ( 𝟐 + 𝟑𝒊)( 𝟐− 𝟐𝒊) = ( 𝟐 + 𝟑𝒊) 𝟐 + ( 𝟐 + 𝟑𝒊)(−𝟐𝒊)
= 𝟒 + 𝟔𝒊 − 𝟒𝒊 + 𝟔𝒊 𝟐
Agrupando los mismos términos y aplicando la propiedad 𝒊 𝟐 = −𝟏 obtenemos,
= 𝟒 + 𝟔𝒊 − 𝟒𝒊 + 𝟔
= 𝟏𝟎 + 𝟐𝒊
3)
= [(𝟖 + 𝟒𝒊) ÷ (𝟏 − 𝒊)]
= [(𝟖 + 𝟒𝒊)(𝟏 + 𝒊)] ÷ [(𝟏 − 𝒊)(𝟏+ 𝒊)]
= [ 𝟖 + 𝟒𝒊 + 𝟖𝒊 + 𝟒𝒊 𝟐] ÷ [ 𝟏 − 𝒊 + 𝒊 − 𝒊 𝟐]
= +( 𝟒 + 𝟏𝟐𝒊)÷ ( 𝟐)
= 𝟐 + 𝟔𝒊

7. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
7
1.3 POTENCIASDE“I”, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DEUN NÚMERO COMPLEJO.
PO T ENCIAS DE LA UNIDAD IM AG INARIA
𝒊 𝟎
= 𝟏
𝒊 𝟏
= 𝒊
𝒊 𝟐
= −𝟏
𝒊 𝟑
= −𝒊
𝒊 𝟒
= 𝟏
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso,para saber cuánto vale una determinada
potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia
equivalente a la dada.
Ejemplo
𝒊 𝟐𝟐
𝒊 𝟐𝟐
= (𝒊 𝟒
) 𝟓
∗ 𝒊 𝟐
= − 𝟏
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente
expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de
Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea
desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z|
= r. Podemos comprobarcon facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto
para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w)
= |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede
hablar de límites y continuidad. La suma,la resta, la multiplicación y la división de complejos
son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica
usada en los números complejos.
|𝒛| = √ 𝒛𝒛 = √ 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐

8. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
8
Ejercicios 1.3
1)
𝒊 𝟐𝟐
= (𝒊 𝟒
) 𝟓
∙ 𝒊 𝟐
= 𝒊 𝟐
= −𝟏
𝒊 𝟐𝟐=−𝟏
2)
𝒊 𝟐𝟕
= (𝒊 𝟒
) 𝟔
∙ 𝒊 𝟑
= 𝒊 𝟑
= −𝟏
𝒊 𝟐𝟕
= −𝒊
3)
𝒛 𝟏 = 𝟓 + 𝟓𝒊 𝒔𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝟏 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆
| 𝒛 𝟏| = √ 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 = √ 𝟓𝟎 = √ 𝟐
𝟓
𝒂 = 𝒂𝒓𝒈 𝒕𝒈
𝟓
𝟓
= 𝟒𝟓°
𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝟒𝒊 ( 𝒔𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝟒 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆)
| 𝒛 𝟐| = √ 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔 = √ 𝟑𝟐 = √ 𝟐
𝟒
𝒂 = 𝒂𝒓𝒈 𝒕𝒈
𝟒
𝟒
= 𝟒𝟓° = 𝟑𝟏𝟓°

9. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
9
𝒛
𝟑=(−
𝟏
𝟐
+
√𝟑
𝟐
𝒊) (𝒔𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝟐 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 )
| 𝒛 𝟑| = √
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟒
= √ 𝟏 = 𝟏
𝒂 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈(
√ 𝟑
𝟐
:
𝟏
𝟐
) = 𝟔𝟎° → 𝟏𝟐𝟎°
𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒛 =
(𝒛 𝟏)−𝟔
∙ (𝒛 𝟐) 𝟏𝟓
(𝒛 𝟑) 𝟑
| 𝒛| =
(√ 𝟐
𝟓
)−𝟔
∙ (√ 𝟐
𝟒
) 𝟏𝟓
(𝟏) 𝟑
=
(𝟓)−𝟔
(√ 𝟐)−𝟔
∙ (𝟒) 𝟏𝟓
∙ (√ 𝟐) 𝟏𝟓
𝟏
=
𝟒 𝟏𝟓
(√ 𝟐) 𝟗
𝟓 𝟔
=
𝟐 𝟑𝟒
√ 𝟐
𝟓 𝟔
Por propiedad del argumento
𝒂𝒓𝒈 𝒛 = −𝟔. 𝟒𝟓° + 𝟏𝟓. 𝟑𝟏𝟓° − 𝟑. 𝟏𝟐𝟎°
𝒂𝒓𝒈 𝒛 = 𝟒𝟎𝟗𝟓°; 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟏𝟏 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 𝒚 𝟏𝟑𝟓°
𝒛 =
𝟐 𝟑𝟒
√ 𝟐
𝟓 𝟔
∙ ( 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟑𝟓° + 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓°𝒊) =
𝟐 𝟑𝟒
√ 𝟐
𝟓 𝟔
∙ (−
√ 𝟐
𝟐
+
√ 𝟐
𝟐
𝒊)
= −
𝟐 𝟑𝟒
𝟓 𝟔
+
𝟐 𝟑𝟒
𝟓 𝟔
𝒊

10. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
10
1.4 FORMAPOLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO.
FORMAPOLAR
El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el
producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos
números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos
y la diferencia de sus argumentos.
ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se
designa por arg( z ).
𝒂 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈
𝒃
𝒂
{
+𝒃
−𝒂
=
+𝒃
+𝒂
= 𝒂
𝟏𝟖𝟎° − 𝒂
−𝒃
−𝒂
= 𝟏𝟖𝟎° + 𝒂
−𝒃
+𝒂
= 𝟑𝟔𝟎° − 𝒂

11. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
11
FORMAEXPONENCIAL
A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonométrica en vez de
con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra
experesarse de las siguientes maneras:
𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝝆( 𝒄𝒐𝒔𝜽) = 𝝆 ∙ 𝒆𝒊𝜽
Forma Forma Forma
Binomica trigonometrica exponencial
Donde {𝒙 = {
𝒙 = 𝒑 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒚 = 𝒑 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜽
Y 𝝆 = | 𝒛| = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 → √(𝝆𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝟐 + (𝝆𝒔𝒆𝒏𝜽) 𝟐 =
√𝝆 𝟐( 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽+𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽)
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽+𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽−𝟏
= 𝝆
Y 𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝒚
𝒙
Ejercicios 1.4
1)
𝒔𝒆𝒂 𝒛 𝟏 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟏 +
𝒆𝒊𝒙 + 𝒆−𝒊𝒙
𝟐
+ 𝒊
𝒆𝒊𝒙 − 𝒆−𝒊𝒙
𝟐𝒊
=
= 𝟏 +
𝒆 𝟐𝒊𝒙 + 𝟏
𝟐𝒆𝒊𝒙 +
𝒆 𝟐𝒊𝒙 − 𝟏
𝟐𝒆𝒊𝒙 = 𝟏 + 𝒆𝒊𝒙
𝒛 𝟏 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟏 +
𝒆𝒊𝒙 + 𝒆−𝒊𝒙
𝟐
− 𝒊
𝒆𝒊𝒙 − 𝒆−𝒊𝒙
𝟐𝒊
=
= 𝟏 +
𝒆 𝟐𝒊𝒙 + 𝟏
𝟐𝒆𝒊𝒙 −
𝒆 𝟐𝒊𝒙 − 𝟏
𝟐𝒆𝒊𝒙 = 𝟏 + 𝒆−𝒊𝒙
𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒛 = (
𝒛 𝟏
𝒛 𝟏
) 𝒏 = (
𝟏+ 𝒆𝒊𝒙
𝟏 + 𝒆−𝒊𝒙
) 𝒏 = (
𝒆𝒊𝒙( 𝟏+ 𝒆−𝒊𝒙)
( 𝒆𝒊𝒙 + 𝟏)
) 𝒏 = 𝒆𝒊𝒏𝒙

12. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
12
2)
𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆
𝒛 +
𝟏
𝟐
= 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒕 → 𝒛 𝟐 + 𝟏 = 𝟐𝒛 𝒄𝒐𝒔𝒕 → 𝟐 𝟐 − ( 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒕) 𝒛+ 𝟏 = 𝟎 →
→ 𝒛 =
𝟏
𝟐
(𝟐𝒄𝒐𝒔± √ 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒕 − 𝟒 = 𝒄𝒐𝒔𝒕± √ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒕− 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 ± 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒛 𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒕± 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒕. 𝒑𝒐𝒓 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐,
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝒕 ± 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒕
=
𝒄𝒐𝒔𝒕∓ 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒕+ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒕
= 𝒄𝒐𝒔 ∓ 𝒔𝒆𝒏𝒕 →
𝟏
𝒛 𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕𝒏 ∓ 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒏
𝑳𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐𝒔 𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒔𝒆𝒓𝒂
𝒛 𝒏 +
𝟏
𝒛 𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒕± 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒕+ 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒕∓ 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒕 → 𝒛 𝒏 +
𝟏
𝒛 𝒏 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒕
3)
𝟏 + 𝒊 = {
𝒎 = √𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 = √ 𝟐
𝝋 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝟏 =
𝝅
𝟒
} = √ 𝟐 𝝅
𝟒

13. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
13
1.5 TEOREMA DE DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN
NÚMERO COMPLEJO.
TEOREMADE DEMOIVRE Y POTENCIAS
Representación polar de un número complejo
Donde la formula se usa cuando
𝒛 = 𝒘 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝝋 + 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝝋)
En este caso
𝒛 𝟐 = 𝒓 𝟐( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝝋+ 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝋),y
𝒛 𝟑 = 𝒛 ∙ 𝒛 𝟐.
=𝒓(𝒄𝒐𝒔𝝋+ 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝋)∙ 𝒓 𝟐(𝐜𝐨𝐬𝟐𝝋 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟐𝝋).
=𝒓 𝟑(𝒄𝒐𝒔𝟑𝝋+ 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟑𝝋)
En general, para cualquier otro prositivo k.
𝒛 𝒌 = 𝒓 𝒌(𝒄𝒐𝒔𝒌𝝋+ 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒌𝝋).
a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de
números complejos
RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dado un número complejo que se define tal que i2
=-1. Utilizando esta notación podemos
pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2
)2
=i2
=-1,

14. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
14
así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales,
decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número
real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
√−𝒙 = √−𝟏√ 𝒙 = 𝒊√ 𝒙
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es
debido a que 𝒊 𝟐 = −𝟏, por lo que entonces:
(𝒊√ 𝒙) 𝟐 = 𝒊 𝟐√ 𝒙 𝟐 = (−𝟏) 𝒙 = −𝒙
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad
√±𝒊𝒙 = √
𝒙
𝟐
± 𝒊√
𝒙
𝟐
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema:
para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.
Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales
que w2
=Z . Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:
√ 𝒊 =
√ 𝟐
𝟐
( 𝟏 + 𝒊) y.
−√ 𝒊 = −
√ 𝟐
𝟐
( 𝟏 + 𝒊).
La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφ es
representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:
√ 𝒛 = √ 𝒓 𝒆
𝒊∅
𝟐
Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números
reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para
√1 + 𝑥 sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.
En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:
√𝒙 + 𝒊𝒚 =
√| 𝒙 + 𝒊𝒚| + 𝒙
𝟐
±
√| 𝒙 + 𝒊𝒚| − 𝒙
𝟐
Donde
| 𝒙 + 𝒊𝒚| = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte
imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando.

15. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
15
Ejercicios 1.5
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑢 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑦 𝑠𝑢 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑟 = | 𝑧| = √1 + 3 = 2
∅ = arg( 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
−√3
1
= −
𝜋
3
𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛
𝑧 𝑘 = √2
6
−
𝑧
3
+2𝑘𝑟
6
𝑘 = 0,1,2,3,4,5
𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑛 − 𝑒𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:
𝑧 𝑘 = 𝑒 𝑖
2𝑘𝜋
𝑛 𝑘 = 0,1,…. , 𝑛 − 1
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
∑ 𝑧 𝑘 = ∑ 𝑒 𝑖
2𝑘𝜋
𝑛 = 1 + 𝑒 𝑖
2𝜋
𝑛 + 𝑒 𝑖
4𝜋
𝑛 + ⋯+ 𝑒 𝑖2
𝑛−1
𝑛
𝜋
𝑛−1
𝑘=0
𝑛−1
𝑘=0
Esta es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de
razón 𝑒
2𝜋
𝑛
𝑖
y primer término 1, es decir,
∑ 𝑧 𝑘 =
1 − 𝑒2𝜋𝑖
1 − 𝑒
2𝜋
𝑛
𝑖
= 0
𝑛−1
𝑘=0

16. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
16
3)
Considerando ahora el producto
∏ 𝑧 𝑘 = 1 ∗ 𝑒𝑖
2𝜋
𝑛 ∗ 𝑒𝑖
4𝜋
𝑛 …∗ 𝑒 𝑖2
𝑛−1
𝑛
𝜋
= 𝑒
(0+𝑖
2𝜋
𝑛
+𝑖
4𝜋
𝑛
+⋯+𝑖2
𝑛−1
𝑛
𝜋)
= 𝑒
2𝜋
𝑛
𝑖 ∑ 𝑘𝑛−1
𝑘=0
𝑛−1
𝑘=0
𝑐𝑜𝑚𝑜, ∑ 𝑘 =
𝑛( 𝑛 − 1)
2
𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
𝑛−1
𝑘=0
∏ 𝑧 𝑘 =
𝑛−1
𝑘=0
𝑒(𝑛+1)𝜋𝑖
= {
−1 𝑠𝑖 𝑛 𝑝𝑎𝑟
1 𝑠𝑖 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

17. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
17
1.6 ECUACIONES POLINÓMICAS.
Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las
ecuaciones polinómicas de tipo
𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 +∙∙∙ +𝒂 𝟏 𝒙+ 𝒂 𝒂 = 𝟎
Dados los valores apropiados de los coeficientes 𝑎𝑛 a 𝑎0 , esta ecuación tendrá n
soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:
( 𝒙 − 𝒔 𝒏)( 𝒙− 𝒔 𝒏−𝟏)∙∙∙ ( 𝒙 − 𝒔 𝟏) = 𝟎
Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que
su solución, que teóricamente vendría dada por
𝒙 𝟏,𝟐 = ±√−𝟏
que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para
argumentos negativos.
Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número",
definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación
anterior sí tendría dos soluciones, que serían 𝒙𝟏 = 𝒊 𝒚 𝒙𝟐 = − 𝒊.
La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del
álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n
soluciones complejas.
De esta manera, se define genéricamente un número complejo comoun número compuesto
por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: 𝒛 =
𝒂 + 𝒃𝒊.
Por ejemplo, 𝟐 − 𝟑𝒊.𝟒 + 𝟖𝒊,𝟑 − 𝝅𝒊. 𝒆𝒕𝒄.
Con los números complejos se opera comose operaría con productos de sumas ordinarios,
teniendo en cuenta siempre que:
𝒊𝟐 = −𝟏:( 𝒂 + 𝒃𝒊)( 𝒄 + 𝒅𝒊) = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅𝒊 + 𝒃𝒄𝒊 + 𝒃𝒅𝒊𝟐 = ( 𝒂𝒄 − 𝒃𝒅) + ( 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄) 𝒊.
La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad
imaginaria del de nominador de la fracción:
𝒂 + 𝒃𝒊
𝒄 + 𝒅𝒊
=
(𝒂 + 𝒃𝒊)(𝒄 − 𝒅𝒊)
(𝒄 + 𝒅𝒊)(𝒄 − 𝒅𝒊)
=
( 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅) + ( 𝒃𝒄 − 𝒂𝒅) 𝒊
𝒄 𝟐 + 𝒅 𝟐 =
𝒂𝒄 + 𝒃𝒅
𝒄 𝟐 + 𝒅 𝟐 +
𝒃𝒄 − 𝒂𝒅𝒊
𝒄 𝟐 + 𝒅 𝟐

18. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
18
Ejercicios polinómicos:
1.
𝑠𝑒𝑎 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑎 𝑦 𝑏 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒:
(𝑎 + 𝑏𝑖)2
+ 2(𝑎 − 𝑏𝑖)2
+ ( 𝑎 + 𝑏𝑖) − ( 𝑎 − 𝑏𝑖) + 9 = 0 ↔
↔ 𝑎2
− 𝑏2
+ 2𝑎𝑏𝑖 + 2𝑎2
− 2𝑏2
− 4𝑎𝑏𝑖 + 2𝑏𝑖 + 9 = 0 ↔
(3𝑎2
− 3𝑏2
+ 9) + 𝑖(−2𝑎𝑏 + 2𝑏) = 0 ↔ {3𝑎2
− 3𝑏2
+ 9 = 0
−2𝑎𝑏+ 2𝑏 = 0
𝑏 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = +1, 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
−3𝑏2
− 12 → 𝑏 = ±2
𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛:
𝑧1 = +1 + 2𝑖 𝑧2 = +1 − 2𝑖
2.
𝑎)𝑠𝑒𝑎 𝐹( 𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑧+ ⋯+ 𝑎 𝑛 𝑧 𝑛
𝑎 𝑛 ≠ 0,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐹( 𝑧) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + ⋯+ 𝑎 𝑛 𝑧 𝑛
= ( 𝑎0 + 𝑎1 𝑧+ ⋯ 𝑎 𝑛 𝑧 𝑛) = 𝐹( 𝑧) 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜,
𝐹(2 − 3𝑖) = 𝐹(2 − 3𝑖) = 1 − 𝑖 = 1 + 𝑖

19. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
19
𝑏) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐹( 𝑧) 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐹( 𝑎
− 𝑏𝑖) 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐹( 𝑎 + 𝑏𝑖). 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝐹( 𝑧) = 1𝑧2
𝐹(2 + 3𝑖) = 𝑖(2 + 3𝑖)2
= 𝑖(4 + 12𝑖 − 9) = 𝑖(−5 + 12𝑖) = −12 − 5𝑖
𝐹(2 − 3𝑖) = 𝑖(2 − 3𝑖)2
= 𝑖(4 − 12𝑖 − 9) = 𝑖(−5 − 12𝑖) = 12 − 5𝑖
3.
𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑧1, 𝑧2 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠. 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑎𝑛
𝑧1 = 𝜌1 𝑒 𝜃𝑖
𝑧2 = 𝜌2 𝑒 𝜃𝑖
Como
( 𝑧 − 𝑧1)( 𝑧 − 𝑧2) = 𝑧2
− ( 𝑧1 + 𝑧2) 𝑧 + 𝑧1 𝑧2 = 𝑧2
+ ( 𝑎 + 𝑏𝑖) 𝑧 + ( 𝑐 + 𝑑𝑖)
Se cumple que
𝑧1 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑦 𝑧1 + 𝑧2 = −( 𝑎 + 𝑏𝑖). 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 → 𝜌1 + 𝜌2 𝑒2𝜃𝑖
= 𝑐 + 𝑑𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = ( 𝜌1 + 𝜌2) 𝑒 𝜃𝑖
𝑧1 + 𝑧2 − ( 𝑎 + 𝑏𝑖)
{ → ( 𝜌1 + 𝜌2) 𝑒 𝜃𝑖
= −𝑎 − 𝑏𝑖
Luego,
{
𝜌1 𝜌2 cos 2𝜃 = 𝑐
𝜌1 𝜌2 cos 2𝜃 = 𝑑
(𝜌1+𝜌2) cos 𝜃 = −𝑎
(𝜌1+𝜌2)sen 𝜃 = −𝑏
De donde,

20. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
20
𝑡𝑔2𝜃 =
𝑑
𝑐
𝑡𝑔𝜃 =
𝑏
𝑎
De relacionar la tangente delangulo doble conlatangente se encontrara
la rerlacion entre los coeficientes como
𝑡𝑔2𝜃 =
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃
=
2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃
=
2𝑡𝑔𝜃
1 − 𝑡𝑔 2 𝜃
Entonces
𝑑
𝑐
= 2
𝑏
𝑎
1 − 𝑏2
𝑎2⁄
= 2
𝑎𝑏
𝑎2 − 𝑏2
La relación buscada es
𝑑
𝑐
= 2
𝑎𝑏
𝑎2 − 𝑏2
𝑠𝑖 𝑎2
≠ 𝑏2

21. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
21
Ejercicios
1) 𝑧 = 1 + √3𝑖
| 𝑧| = √12 + (√3)2 = 2
𝑎 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
+√3
+1
= 60°
𝑧 = 260
2) División
𝑧1 = 12135° 𝑧2 = 345°
𝑧1
𝑧2
=
12135°
345°
= (
12
3
).135°−45° = 490°
3) Raices

22. ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
22
√8,30°
3
→
{
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 → 𝑟 = √8
3
→ 𝑟 = √23 = 2
3
𝐴𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 → 𝑎 =
30° + 360° ∙ 𝑘
3
→
{
𝑘 = 0 → 𝑎0 =
30° + 360° ∙ 0
3
= 10°
𝑘 = 1 → 𝑎1 =
30° + 360° ∙ 1
3
= 130°
𝑘 = 2 → 𝑎2 =
30° + 360° ∙ 2
3
= 250°
𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 → 𝑧0= 210°
, 𝑧1 = 2130° , 𝑧2 = 2250°