numeros complejos uss

1. Curso: Álgebra y Álgebra Lineal
Clase 7: Números Complejos

2. Contenidos (Unidad 2)
Álgebra y Álgebra Lineal
N
I
V
E
L
A
C
I
Ó
N
Unidad 2 Trigonometría y
números complejos
Resultado de aprendizaje
Aplicar la trigonometría a la
resolución de problemas de tipo
espacial
3 sesiones
Clase 4
• Trigonometría en el triángulo
rectángulo.
• Identidades trigonométricas
fundamentales
Clase 5
• Teorema del seno
• Teorema del coseno
• Funciones Trigonométricas
Clase 7
• Números Complejos

3. Números complejos
¿Para qué sirven los números complejos ?
➢ Ejemplo Resolver la ecuación 𝒙 𝟐 +1 = 0
𝑥2 +1 = 0 → 𝑥2 = −1 → 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑟 𝑒𝑛 ℝ
→ 𝑥 = −1 ∉ ℝ
→ la ecuación dada no tiene solución en ℝ
➢ Vamos a ver que si tiene solución en el conjunto de los
números complejos; el cual se denota por ℂ.

4. Números Complejos
➢ En el conjunto ℂ se define la unidad imaginaria 𝒊 de la siguiente
manera: 𝒊 = −𝟏, lo cual implica que 𝒊 𝟐= −𝟏
➢ si volvemos a nuestro ejemplo, tenemos que: 𝒙 = −𝟏 = 𝒊 ∈ ℂ
➢ la ecuación 𝒙 𝟐 +1 = 0 tiene solución en los números complejos y su
solución es: 𝒙 = 𝒊
➢ Comprobación: 𝒙 𝟐 + 1 = 0 → 𝒊 𝟐+𝟏 = −𝟏 + 𝟏 = 𝟎 → 𝒊 es solución
Ejemplo
𝑥2 +1 = 0 → 𝑥2 = −1 → n𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑛 ℝ
→ 𝑥 = −1 ∉ ℝ
→ ∄ solución en ℝ

5. Potencias de 𝒊
𝑖0 = 1
𝑖7 = −𝑖
𝑖8
= 1
Los resultados se repiten
de cuatro en cuatro
𝒊 = −𝟏 → 𝒊 𝟐 = −𝟏 Ejemplos
➢ Calcular 𝑖23
𝑖23 = 𝑖4 5
∙ 𝑖3
= 15 ∙ 𝑖3 = −𝑖
➢ Calcular 𝑖32
𝑖32
= 𝑖4 8
= 1
➢ Calcular 𝑖37
𝑖37 = 𝑖4 9
∙ 𝑖 = 𝑖
➢ Calcular 𝑖39
𝑖37 = 𝑖4 9
∙ 𝑖2 = -1

6. Números Complejos
Definición (números complejos)
Los números complejos se denotan con la letra ℂ y se definen de la siguiente manera:
ℂ = Τ𝒛 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊; 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ , donde:
𝒂 = Re(z) → parte real de z y 𝒃 = Im(z) → parte imaginaria de z
➢ cuando 𝒂 = 0, al número z se le llama imaginario puro
➢ 𝒊 = −𝟏 = 0 + 1∙ 𝒊 → 𝒂 = Re(z) = 0 y 𝒃 = Im(z) = 𝒊 → imaginario puro
➢ 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 → forma canónica
ó binómica de 𝒛
➢ ത𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 → conjugado de 𝒛
➢ −𝒛 = −𝒂 − 𝒃𝒊 → opuesto de 𝒛
Sean 𝑧1 , 𝑧2 𝜖 ℂ;
𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 𝑦
𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 𝜖 ℂ
𝒛 𝟏 = 𝒛 𝟐 ↔ 𝒂 𝟏= 𝒂 𝟐 𝒚
𝒃 𝟏 = 𝒃 𝟐
Igualdad de números complejos

7. Plano Complejo
¿Cómo se representan gráficamente los números complejos?
➢ Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos X e Y.
➢ al eje X se le llama eje real y
➢ al eje Y se le llama eje imaginario.
Gráfico de 𝒛
𝐼𝑚(z)
Re(z)
Gráfico de 𝒛 y ത𝒛

8. Ejemplo de representación gráfica de un número complejo
conjugado→opuesto ←

9. Módulo de un número complejo
Definición (Módulo de un número complejo)
Sea 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ∈ ℂ , se llama módulo de 𝒛,
el cual se denota por 𝑧 , al número real
𝒛 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
➢ Gráficamente 𝑧 representa la
distancia desde el origen (ver gráfico) al punto (a, b)
➢ En un contexto grafico, al módulo de z, también se le llama radio y se
escribe r; es decir 𝒛 = 𝒓
r=
Módulo de z

10. Forma trigonométrica de un número complejo
➢ 𝑧 = 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 → 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 (ó 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜)𝑑𝑒 𝑧
➢ 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → forma canónica de 𝑧
➢ 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
Forma trigonométrica
de un número complejo

11. Pasar de forma binómica a trigonométrica
Obtención ángulo 𝜽 (𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟗𝟎°)
𝒕𝒈𝜽 =
𝒃
𝒂
→ 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕g
𝒃
𝒂
Ejemplo:
Pasar z = 1 + 𝟑 𝒊 a forma trig.
➢ 𝒓 = 𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
= 𝟒 = 2
➢ 𝜽 = arctg
𝟑
𝟏
= 60°
z = 2(cos60° + 𝒊 sen60°) →
➢ 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → forma canónica
➢ 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 → forma trigonométrica
forma trigonométrica

12. Raíces de un número complejo
Suponga que un número complejo z , viene dado por z = 𝒘 𝒏,
entonces la raíz enésima de z viene definida de la siguiente manera:
𝒘 = 𝒏
𝒛 = 𝒏
𝒓 𝒄𝒐𝒔
𝜽+𝒌∙𝟑𝟔𝟎°
𝒏
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜽+𝒌∙𝟑𝟔𝟎°
𝒏
; 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … 𝒏 − 𝟏
↓
n raíces
•
Aplicaciones
➢ Corriente alterna
➢ Física subatómica
➢ Otras (ver diapositiva 14)

13. Raíces de un número complejo
𝒘 = 𝒏
𝒛 = 𝒏
𝒓 𝒄𝒐𝒔
𝜽+𝒌∙𝟑𝟔𝟎°
𝒏
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜽+𝒌∙𝟑𝟔𝟎°
𝒏
; 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … 𝒏 − 𝟏 → n raíces
Ejemplo
Encontrar las raíces cúbicas de : z = 1 + 𝟑𝐢
➢ Desarrollo (n = 3 → k =0, 1, 2)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
3
1
= 60° y r = 12 + ( 3)
2
= 𝟐 →
𝟑
𝟐
• Aplicando la fórmula tenemos:
➢ k = 0 → 𝒘 𝟎 =
𝟑
𝟐 𝒄𝒐𝒔
𝟔𝟎°
𝟑
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝟔𝟎°
𝟑
=
𝟑
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎°
➢ k = 1 → 𝒘 𝟏 =
𝟑
𝟐 𝒄𝒐𝒔
𝟒𝟐𝟎°
𝟑
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝟒𝟐𝟎°
𝟑
=
𝟑
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟒𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟏𝟒𝟎°
➢ k = 2 → 𝒘 𝟐 =
𝟑
𝟐 𝒄𝒐𝒔
𝟕𝟖𝟎°
𝟑
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝟕𝟖𝟎°
𝟑
=
𝟑
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟐𝟔𝟎°
Observación: Encontrar las raíces cúbicas de z = 1 + 𝟑𝐢 , es equivalente a resolver
la ecuación 𝒘 𝟑
= 𝒛 → 𝟑
𝒛 = w → raíces cúbicas de z

14. Áreas de aplicación de los números complejos

15. Resumen
¿Qué hemos visto hoy?
Los números complejos
➢Unidad imaginaria
➢Forma canónica
➢Forma trigonométrica
➢Plano complejo
➢Raíces complejas
Resuelven ecuaciones
que no tienen solución
en los números reales
Corriente alterna
Física subatómica
Otras

16. Bibliografía
Fuentes Bibliográficas
➢ Libros
• Zill, D. G. (2000). Algebra y Trigonometría. (2ª Ed). Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
➢ Sitios web
• http://www.vitutor.com/di/c/a_5.html
• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Complejos_binomica_polar_operac
iones/Complejos_1.htm
• http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/complejos/nivel3/teoria/complejos41.htm
• http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-imaginarios.html