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Números Racionales Todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero 3/4= 0.75 1/3 = 0.333333…
Razón y Proporción RAZÓN Se llama razón al resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Por diferencia, hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas (   6 – 4 = 2 ). 2.  Por cociente, hallando  cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas (  8/4  = 2 ).
Razón y Proporción PROPORCIÓN Es el resultado de igualar dos razones. Dados cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. TIPOS DE PROPORCIONES   Hay dos clases de proporciones: 1. Proporción aritmética.  a - b  =  c - d 2. Proporción geométrica.  a / b = c / d
Proporción En la proporción  a / b  =  c / d hay cuatro términos;  a  y  d  se llaman  extremos ,  c  y  b  se llaman  medios. La propiedad fundamental de las proporciones es:  En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.
Propiedad fundamental de la proporción (geométrica) Vamos a ver si es cierto: a / b = c / d a d = c b (1) a d / c b = 1 Esto es cierto si  (a d) es _______  a (c d)
Regla de 3, magnitudes directamente proporcionales a  b a’  b’ En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? Se verifica la proporción:  50  x 1300  5200 (50) (5200) X =  = 200 1300 Litros de agua 50 x Gramos de sal 1300 5200 Magnitud 1ª a b c d Magnitud 2ª a’ b’ c’ d’
Magnitudes inversamente proporcionales Si dos magnitudes son tales que a  doble, triple... cantidad de la primera corresponde la  mitad , la  tercera parte ... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son  inversamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla: son  inversamente proporcionales  si se verifica que: a.a’ = b.b’ = c.c’  Magnitud 1ª a b c Magnitud 2ª a’ b’ c’
Magnitudes inversamente proporcionales Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las  magnitudes  son  inversamente proporcionales .   Formamos la tabla: Vemos que los productos (3) (24) = (6) (12) =72 Por tanto (18)(x)=72 O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo Hombres 3 6 … 18 Días 24 12 … X
Ejercicios Para alimentar a 8 ovejas se necesitan 44 kg. de pasto. ¿A cuántas ovejas se podrá alimentar con 110kg. de pasto al día? En un aeropuerto aterrizan 3 aviones cada 20 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan cada 60 minutos? Si unos zapatos me cuestan 780 $ pero recibo un descuento del 30%. ¿Cuánto habré pagado en realidad? Cuatro chicos en un campamento de 10 días han gastado en comer 25000 $. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante un campamento de 15 días?
Potenciación y Radicación Se define como la multiplicación abreviada de factores iguales. La operación inversa a esta se le denomina radicación.
Leyes de los exponentes a m  a n  = a m+n Porque a 3  a 2  = (a a a) (a a) = a a a a a = a 5   (a m ) n  = a mn  Porque (a 3 ) 2  = (a 3 ) (a 3 ) = (a a a) (a a a) = a 6 (ab) n  = a n b n  Porque ( ab) 3  = (ab) (ab) (ab) = (a a a) (b b b) = a 3 b 3  (a/b) n  = a n  / a n   ,  b ≠ 0 Porque (a / b) 4  = ( a a a a) / (b b b b) = a 4  / b 4  1 2 3 4
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Multiplicación VS Potenciación Magnitud (x) (2) 0 0 1 2 2 4 4 8 8 16 16 32 Magnitud X^2 0 0 1 1 2 4 4 16 8 64 16 256

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Exposicion 2 NúMeros Racionales, Razones Y Proporciones

  • 1. Números Racionales Todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero 3/4= 0.75 1/3 = 0.333333…
  • 2. Razón y Proporción RAZÓN Se llama razón al resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Por diferencia, hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas ( 6 – 4 = 2 ). 2. Por cociente, hallando  cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas ( 8/4 = 2 ).
  • 3. Razón y Proporción PROPORCIÓN Es el resultado de igualar dos razones. Dados cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. TIPOS DE PROPORCIONES  Hay dos clases de proporciones: 1. Proporción aritmética. a - b = c - d 2. Proporción geométrica. a / b = c / d
  • 4. Proporción En la proporción a / b = c / d hay cuatro términos; a y d se llaman extremos , c y b se llaman medios. La propiedad fundamental de las proporciones es: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.
  • 5. Propiedad fundamental de la proporción (geométrica) Vamos a ver si es cierto: a / b = c / d a d = c b (1) a d / c b = 1 Esto es cierto si (a d) es _______ a (c d)
  • 6. Regla de 3, magnitudes directamente proporcionales a b a’ b’ En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? Se verifica la proporción: 50 x 1300 5200 (50) (5200) X = = 200 1300 Litros de agua 50 x Gramos de sal 1300 5200 Magnitud 1ª a b c d Magnitud 2ª a’ b’ c’ d’
  • 7. Magnitudes inversamente proporcionales Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad , la tercera parte ... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla: son inversamente proporcionales si se verifica que: a.a’ = b.b’ = c.c’ Magnitud 1ª a b c Magnitud 2ª a’ b’ c’
  • 8. Magnitudes inversamente proporcionales Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales .   Formamos la tabla: Vemos que los productos (3) (24) = (6) (12) =72 Por tanto (18)(x)=72 O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo Hombres 3 6 … 18 Días 24 12 … X
  • 9. Ejercicios Para alimentar a 8 ovejas se necesitan 44 kg. de pasto. ¿A cuántas ovejas se podrá alimentar con 110kg. de pasto al día? En un aeropuerto aterrizan 3 aviones cada 20 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan cada 60 minutos? Si unos zapatos me cuestan 780 $ pero recibo un descuento del 30%. ¿Cuánto habré pagado en realidad? Cuatro chicos en un campamento de 10 días han gastado en comer 25000 $. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante un campamento de 15 días?
  • 10. Potenciación y Radicación Se define como la multiplicación abreviada de factores iguales. La operación inversa a esta se le denomina radicación.
  • 11. Leyes de los exponentes a m a n = a m+n Porque a 3 a 2 = (a a a) (a a) = a a a a a = a 5 (a m ) n = a mn Porque (a 3 ) 2 = (a 3 ) (a 3 ) = (a a a) (a a a) = a 6 (ab) n = a n b n Porque ( ab) 3 = (ab) (ab) (ab) = (a a a) (b b b) = a 3 b 3 (a/b) n = a n / a n , b ≠ 0 Porque (a / b) 4 = ( a a a a) / (b b b b) = a 4 / b 4 1 2 3 4
  • 12. Leyes de los exponentes a n / a m = a n-m Porque a 5 / a 3 = (a a a a a) / (a a a) = a a = a 2 a -n = 1 / a n Porque a -2 = a 2-4 = (a a) / (a a a a) = 1 / a 2 a 0 = 1 , a ≠ 0 Porque a 0 = a 3-3 = a 3 / a 3 = ( a a a ) / (a a a) = 1 a m/n = n √a m Porque (a 3/2 ) 2 = (a 3/2 ) (a 3/2 ) = (a 6/2 ) = (a 3 ) Si √ (a 3/2 ) 2 = 2 √a 3 (a 3/2 ) = 2 √a 3 5 6 7 8
  • 13. Multiplicación VS Potenciación Magnitud (x) (2) 0 0 1 2 2 4 4 8 8 16 16 32 Magnitud X^2 0 0 1 1 2 4 4 16 8 64 16 256