libro uno del sistema uno

1. 12
II. Organización de la clase
a) Apertura
Sesión 1
Énfasis en
Esta sesión tiene como propósitos que los alumnos:
examinen, con el análisis de algunas situaciones, la necesidad de modelar por medio
de ecuaciones problemas concretos.
revisen algunos modelos propuestos para resolver diversos tipos de problemas.
1. Para iniciar, exponga a los estudiantes el tema del proyecto del bimestre:
Construyo un reloj solar, páginas 6 y 7.
a) Plantee el objetivo del proyecto: valorar cómo influye en su vida cotidiana
el uso de mecanismos precisos para medir el tiempo, por ejemplo, relojes,
teléfonos, iPads o computadoras. Solicíteles que comenten algunas de las
implicaciones de utilizar un mecanismo antiquísimo, como el reloj solar,
y llevar a cabo actividades cotidianas actuales.
b) Lea y comente las páginas 6 y 7. Explore con el grupo los códigos QR
de la página 7.
c) Aclare los conceptos que desconozcan los alumnos.
d) Explique que, al concluir el proyecto, elaborarán gráficas que representen
la eficiencia del reloj solar.
2. Durante la sesión, los alumnos trabajarán con la situación inicial de la secuencia,
“El huerto de la señora Hernández”, y con la sección “Nuestro trabajo” de la página 8.
También resolverán el primer ejercicio de la sección UNO × UNO, página 14.
a) Lea las preguntas planteadas y repase con el grupo los conceptos matemáticos
involucrados: notación, variable, ecuación, incógnita, factorización, etcétera.
b) Pregunte cuál es el siguiente paso después de encontrar la solución de un
problema matemático. Guíelos para que se den cuenta de que es necesario
interpretar el resultado de la expresión matemática resuelta, para aplicarlo
a la situación planteada inicialmente.
c) Utilice el final de la sección “El huerto de la señora Hernández” para comparar las
diferencias entre las ecuaciones. Pregúnteles cuáles consideran fáciles de resolver
y por qué.
3. Para finalizar, revise con el grupo el ejercicio 2 de la sección UNO × UNO, página 14.
Aclare las dudas que surjan sobre la actividad y déjela para resolver de tarea.
p. 8
Recursos

2. 13
http://bit.ly/1n3qduL
En el siguiente enlace los alumnos
encontrarán una definición del
reloj solar.
http://bit.ly/1baGSBD
En el siguiente enlace los
estudiantes encontrarán
información acerca de la latitud
en que se ubica la ciudad
donde viven.
http://bit.ly/1n3qduL
D
Ecuaciones no linealesenacEc e no in a1
Bimestre1
Secuencia
El huerto de la señora Hernández
1. Reúnete con un compañero, lean la situación que se plantea y respondan en
sus hojas de cuaderno. Justifiquen sus respuestas.
La señora Hernández decidió hacer un huerto rectangular en su jardín y, aprovechan-
do los 50 m que tiene de malla de gallinero, quiere cercarlo. Quiere que el huerto
tenga un área de 144 m2
para poder plantar sus hortalizas, pero necesita saber cuáles
deben ser las dimensiones del rectángulo, es decir, su largo y su ancho de tal manera
que satisfagan ambas condiciones. Ayúdenle a resolver el problema.
Si llamamos x al largo del rectángulo yx y al ancho, ¿qué expresiones algebraicasy
permiten representar el perímetro y el área del huerto?
En la expresión para el perímetro, escriban el valor de y en términos dey x.
Si sustituyen la expresión anterior, ¿cuál es la expresión para el área del huerto?
Utilicen lo que saben para obtener una ecuación. ¿Cuál es la incógnita de la
ecuación?
¿Qué diferencia hay entre la ecuación que encontraron y las ecuaciones con las
que trabajaron en grados anteriores?
Utilizando la factorización, ¿es posible escribir la ecuación que encontraron
como (x – 9)(x x – 16) = 0?x
¿Qué se puede decir de los factores de un producto si se sabe que este es cero?
¿Cuánto deben medir el largo y el ancho del huerto de la señora Hernández?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas. En grupo comenten las dife-
rencias entre las ecuaciones 0 = –2x + 50 y (x x – 9)(x x – 16) = 0. Anoten los acuerx -rr
dos en sus hojas de cuaderno.
A lo largo de las actividades, encontrarán formas de resolver ecuaciones como
la anterior. Antes, lean la información del proyecto que realizarán durante la
secuencia.
Contenido
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedi-
mientos personales u operaciones inversas.
En equipo de tres integrantes diseñarán y armarán tres cajas, sin tapa.
Las cajas serán elaboradas con cartón o cartulina pintadas de distinto color.
Deberán indicar la medida de ancho, largo, altura, área de la base y volumen.
Decidirán para qué podrían utilizarse según sus dimensiones, por ejemplo,
para lápices en el escritorio, pañuelos desechables, cuadernos, etcétera.
Al terminarlas, realizarán una exposición dentro del salón de clases.
Más adelante encontrarán indicaciones adicionales para elaborar su proyecto.
Nuestro trabajo
icnce
1
ueccu n
io
aaS
aa ne
tr
S
8
PlaneaciónInicio
2) A = x(25 − x)
A = 25x − x2
3) Respuesta Modelo (R. M.)
Que alguno o los dos factores
son igual a cero.
4) R. M. Largo = 16 m,
ancho = 9 m
1) 2x + 2y = 50,
y =
(50 – 2x)
2
= 25 − x
1)
2)
3)
4)
Perímetro: 2x + 2y. Área: xy
25x − x2
= 144; La incógnita de la ecuación es el largo del rectángulo.
R. L. (Respuesta Libre)
Sí
14
Ecuaciones de segundo grado
1 Observa la figura y completa las oraciones.
La figura representa un terreno de forma cuadrangular de m2
de
Los lados del terreno se determinan la que se
emplea para encontrar de un cuadrado: A =
En la figura anterior, la longitud de los lados está representada por la literal
y para hallar su valor numérico debe escribirse la fórmula para el
área del cuadrado en términos de esta literal:
Si sustituimos los datos del terreno, se obtiene la ecuación ,
que es una
2 Encierra las ecuaciones que tienen solo dos soluciones.
x4
= −8
x3
10
= 10
x =x x2
− 6
2
x = 6
(x + 1)x
x3
= 5 x + 4x = −4
x2
− 8 = 10 + 7 x2
−18 = x −18
A partir de la actividad anterior, responde.
¿Qué ecuaciones son polinómicas de primer grado?
¿Cuáles son ecuaciones polinómicas de segundo grado?
¿Cuáles son las dos ecuaciones no polinómicas?
x
x
16 m2
16
área.
despejando
ecuación cuadrática.
x + 4 = –4
Las ecuaciones x = x2
– 6, x2
– 8 = 10 + 7, y x2
– 18 = x – 18
(x + 1)
x3
= 5; 2
x
= 6
el área
x
A = x2
x2
= 16
L L
fórmula
R. M.
Proyyyecctoo
Connnsttruuyooo uun rrreellooj
solaaar
En la actualidad, es casi imposible hallar un lugar sin aparatos
que nos permitan saber el transcurso exacto del tiempo. ¿Te has
percatado de que todas nuestras actividades, en algún momento del
día, dependen de la hora en que nos encontramos?
¿Cómo te sentirías si no tuvieras relojes u otros dispositivos para
saber el momento en que debes desempeñar tus actividades?
¿Qué tan consciente serías del transcurso del tiempo si no pudieras
medirlo con exactitud?
¿Qué tan complicados te parecen los aparatos que ahora llevamos con
nosotros para saber la hora exacta (relojes de pulsera y celulares, por
ejemplo)? ¿Y los fijos (como los relojes de pared)?
Este bimestre te invitamos a construir un reloj solar del tipo ecuatorial.
Luego de hacerlo y practicar con él, registrarás si te fue útil para
desarrollar tus actividades o si te ocasionó inconvenientes.
Para terminar, elaborarás una o varias gráficas, utilizando una hoja
de cálculo, para mostrar tus resultados a tus compañeros.
6
oPrP o
7
LasLaas clavclavavclaves deses des del plel proyeroyeroyeroyectoctotctoctoto
ObsObservObsbservbservObservObservrvvaaaaa los elos elos elos eeeelosloos sspaspacioaciospa os librs librs libribres dees dees des de tu esctu esctu etu e uela,uela,a, casacasaccasa y demásdeemásmás lulugarugarl res donees ded
desarrdeesdesarrolleolollesolleso ttutus acus act ctividatividavidades ydes ydes ydes y aproveaprovaproveaprovecha loha locha loo qque eue eq studieudiedies en ls enens en len a sesecusecuaa enciaenc a 1 para1 para
simplimplisimplipl ficaficacarlcarloficarloc rlrlos en fis en figurasgurasg geométgeométométmétricasricasricasas sencilsencilsencilnc las, clas, cs, ccomo cuomo cuomo cuo adriláadriláadriláteteroteros.s Considera era el
recorecorrorrrido deido deeeido dellll Sol para bba bbara buscaruscarararscar los eslos elos eslos espapapaciospacios librelibreres máss máss más adecuaadecuaadecuaa dodos.os.
ReflexiReflexiRReflReflexx onaonna sobresobre la peela rtinenrtinennencia dcia ddea dea losos mos modelodelosodelososo de rede rede reloj quloj quloj quloj q e te pe te pproproporoponddo remosemm constrruir.u
Para eeParaa llo,llo, fllo, ffabricaabricaabricaab unouno yo y aplicapl ca lo qqqqueuee ape apraprrendasendasndanda duranduranuranturantntte lase lasa secsecuencuencias 2ciass , 3, 43 4 y 5 py 5 p5 pparaaar
analizanaliza alaa ar elar elr ea e funciofuncfunciounciou nanamienmienmiennaam to y lto a faciacicifa liddadadlil de usode usoouso.
MejoMejoMejorMMejoraMejo aMejorMejoraejorae o tu reutu retu reeetu reu relojloj soloj solar, hlar, hazlo aaz o gregangre do odo o qo o qo uitanduitanduitanduitando loso losoo elemenelemenelemenmentos qutos quost e creae creae c s convs convs convvenientenienteenie e.e.e
PorPor ejPor er ejPorPorPoror eor e emplo,emploemplo,mp sustisusustituye etuye ee l matel matemat rial drial donde mnde mde mondo ararcas las lílas l neas dneaneas da e lase lase l horashorasss para qpara qara ue estue este este asasasa
pupupueuedaedanpuupp trazatrazatra rse dse dderse de mejormejorm manerra,a, modmodmododifica eifica eca el tamall tam ño deño tu relu relu reltu loj paroj paoj paroj p a quea queque loolos seos sectoresctoreoresesre
circircirculcircuccirculares qares qqqqque apaue apauue apau recenrecencenrec permpermitmp an ln leeeeerr adadecadecr uadamuadamdamedamente lante late late l hora,hora,ora cambiambimam a el ga el gel gl nomonnomononn paraparaa
ququeue lue laqq a sombrsombra quequequee proproyecproyecyeceye ta seata sea más fmás fmásss ácil dácil dl e leere leereereer...
PPractiPractPractiPracractctiPractiPPPPPPPrPracPPP acct cacaa con tconcon ttu reu relorelou rrrr j solaj solaso r paraparr para identidententificarificariifi qué requé reé requé relaciónlaciónaciónació ttienetienet n lasn lasn lan las horashoras que mque mque maae m rca corca conn
las dlas delas deasass dddas dees dlaas delas de la hola oorara ofica oficficr ial deial del lugal lugar dor dondnde viveves.s.
RegisRegisRegistRegistRegistgistRegisegR gggg rara de mode mome mm do cuado cuacualitatlitatlitatiaataa vo lala utilididdad qued quequead que poseeposeeposeeposee el uel usl usel uso de to deo deo de tu relreloeloj solaj solaj r en tr en ttrr uusus
activiactiactiviactivactttactivctiviacactaa tiv dadesdddades coccotidicoticotidic anaanas.nas. ParaPPPara eara eara era ello, hllo, hllolo haz unaz unaz u reregregistregistro dero dero ded una seuna seuna seuna semana ymana ymana ymana y valídvalídvalídvalídalo coalo coaalo con el qn el qn en el queueu
hagashaghagasagagashagasashaggash en len lasen llaslasee dos sdos sdos ss ss igiguieniguientes.testestes.te
ElaborElaborEEElaborlaborboraborborE aborbboa oabobo aaaaaaa unauna ouuna ouuununa ou variavariaiariiaas gráfis gráfis grs gráficas, dcas, ddcas, dcas de acuee acuee acuee ac rdo cordo codo codo coon tusn tustun tus registegistregistegistros deros deros deos usouso yo yo y lo quo qulo qulo que apree apre apreaprendenderásderáserásá enen la
secusecusecuesecuenecuencusecuensecuenensecuesecsecuensecuensecuensecue ciaciacciacia 7cia 7.7..ccia 7ciaciia 7.7c TomaToTomaomao en cuen cuenta lata lata latataa imporimporpori tatanciaciciia de sede sed leccioleccioeccicc nar yarar exponnneponer enr en fr en fr en forma aormarma ao decuaddecuuadaa
la inla infla infinfia infnflaa infla infinfa nna oormaormaorormaciciormaciiormaormoo aor ón parón parónn arónónó ara quea quea queeeue loos des des dedes deloloos más pumás puá edan iedanan iidan nterprterprperp etarlaetarlarlla tan bbn ien coen coomo tú.mo tú.mo túmo tú
EscaneEscanescaneEscaEscaneea ea el ca el ca el ca elaa el ódigo y reviy revisa lasa la descridescripciónpción de losde lo relojrelo es solares,
desddesdedesdedd ddesdedesde ssususu oriorisu osusu gengen haasta lasta la actuaactuau lidadlidad.
EscribEscEscribriiEscribi e pore porpororpor qué crquq ees quque un be un buen couen mienzomienzo parapar converconvertirtetirt
en toden toden to o uno un co un co un cn cnn co onstructor dde reloe relojes sojes lares es elaes elae borarb uno deuno de
tipo etipo epipo ecuatorcuatorcua oro iial.iaiai
EscanEscaneEscaneEscanEscanEscanean a el saa el sa egundoegundundoegundoundoeg códigcódigcódigcódccód o y buo y bub sca lasca la latitlatita ud enud enn la quela queq se ubse ubicai
la ciulala ciuula ciuc dad doddad dodad dodad donde vidndende vie vves, yyes, ya quea qu es unes unu dato qdato qa ue nece nece ne esitaresitarás pars a
conoceconconconconocer el ár el ár el ár ngulongulongulol de incde inceede idede ie linaciacacaacclin ón deln delón deónn gnomognomog n de tn de tu relou reloreloj solaso r.
AnotaAnotaAnotaAnota la latla latlatatitud ditud ditud du e tu ce tu cu iudadi ai a conta contn inuacinu ónón.n.
http://bit.ly/1baGSBD
http://bit.ly/1n3qduL
Respuesta Libre (R. L.)
R. L.

3. 14
b) Desarrollo
Sesión 2
Énfasis en
Esta sesión tiene como propósitos que los estudiantes:
revisen distintas formas en las que aparecen ecuaciones de segundo grado.
analicen diferentes situaciones que se modelan con ecuaciones cuadráticas.
1. Para iniciar la sesión, revise con el grupo el ejercicio 2 de la página 14, que dejó
de tarea.
a) Solicite a los estudiantes que planteen sus ideas y dudas acerca de cómo identificar
una ecuación cuadrática.
2. Pida a los alumnos que resuelvan y respondan la sección “Ecuaciones de segundo
grado” de la página 9. Al terminar, deberán resolver el ejercicio 3 de la sección
UNO × UNO, página 15.
a) En el caso del problema en el que deben calcular la medida del lado del cuadrado
cuya área es de 36 cm2
, no induzca a la obtención de la raíz negativa, los propios
estudiantes deberán deducirlo.
b) Cuando revise las respuestas, solicíteles que planteen otras ecuaciones con las que
puedan resolver los problemas planteados.
c) Considere la pertinencia de llevar a cabo una breve discusión sobre cómo resolver el
ejercicio 3 de la sección UNO × UNO. De esta manera, pueden surgir diversas ideas
que todos aprovechen al formular las situaciones problemáticas.
3. Para finalizar, organice una reflexión grupal sobre el trabajo realizado durante la sesión.
a) Guíelos para que reconozcan las dos perspectivas con las que trabajaron: plantear una
ecuación de segundo grado para resolver una situación particular; en contraposición,
plantear una ecuación cuadrática para representar diversas situaciones.
b) Si lo considera conveniente, solicite que, de tarea, describan algunas situaciones
que se puedan resolver mediante ecuaciones cuadráticas.
c) Pídales, también como tarea, que revisen la información de la sección “¿Cómo
vamos?” de la página 11, para que consoliden el trabajo de su proyecto de la
secuencia.
p. 9
Recursos

4. 15
En el siguiente enlace los alumnos
encontrarán una aplicación para
resolver y comprobar ecuaciones
lineales y cuadráticas.
http://tinyurl.com/rbj3w
En el siguiente enlace los alum
9
Desarrollo
Ecuaciones de segundo grado
2. Antes de trabajar en las cajas, realiza con un compañero las actividades:
Representen los enunciados mediante una ecuación e identifiquen el valor de la
incógnita.
El número x tiene la propiedad de que el producto del número que le precedex y
el número que le sigue, es igual a 24. x =x
Si al cuadrado de un número x se le resta el mismo número se obtiene 12.x
x =x
El doble del área de un cuadrado de lado x es igual a 32.x
x =x
¿En qué se diferencian estas ecuaciones de las que han resuelto anteriormente?
Si consideramos que y representa un número desconocido, planteen una situacióny
similar a las anteriores, para cada una de las ecuaciones.
y2
+ 5 = 6y:
(y – 5)(y y – 4) = 3y y:
2y2
y =y y + 4:y
Si saben que el área de un cuadrado es de 36 cm2
, escriban una ecuación que re-
presente esta situación y utilícenla para encontrar la información.
¿Cuánto vale cada uno de sus lados?
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
¿Todas esas soluciones son útiles en el problema planteado? Justifiquen su
respuesta.
Escriban una ecuación que represente la situación: si a un número n lo elevamos aln
cuadrado y le restamos 25, el resultado es cero.
¿Cuáles números satisfacen la condición dada?
¿Qué semejanzas y diferencias encuentran entre los dos últimos problemas
planteados?
¿Cuántas raíces cuadradas tiene un número positivo?
¿Cuáles son?
Comenten sus respuestas con sus compañeros y valídenlas con el profesor.
http://tinyurl.com/rbj3w
(x + 1) (x − 1) = 24 5 y −5
x2
− x = 12 4 y −3
2x2
= 32
R. M. El doble producto del cuadrado de un número menos el
x2
= 36
6 cm
n2
− 25 = 0
5 y −5
Dos
Dos
4 y −4. El valor que toma la solución es 4 por tratarse del área de un cuadrado.
R. M. En que tienen dos valores como solución.
No, porque el valor negativo −6 no representa una distancia.
R. M. El cuadrado de un número más cinco unidades es igual al
Los números positivos y negativos que cumplen con la raíz, los
R. M. Que las soluciones de la ecuación se utilizan dependiendo el
R. M. El área de un rectángulo con lados (y− 5) y (y − 4)
es el triple de y.
contexto del problema.
cuales son simétricos a excepción del cero.
séxtuple de ese número.
mismo número, es igual a cuatro.
15
En distintos contextos
3 Escribe una situación problemática que pueda representarse mediante las
siguientes ecuaciones en los contextos indicados.
Geometría
x2
2
= 12x
Gastronomía
c (c c + 4) = 12c
Finanzas
p2
–9p = 0p
Ciencias
gt2
2
= 80
Soluciones de ecuaciones
4 Une la ecuación de segundo grado con sus dos soluciones.
5 Desarrolla la expresión para que aparezca el término cuadrático. Después,
ordena los términos de acuerdo con su grado.
Expresión Expresión desarrollada Expresión ordenada
x (x x 4) 9
2x2
4x
x
2x2
x
2 (x 10) 0
1 4x2
+ x − 2 = 0x
5 7
8 5
7 2
x2
– 49 = 0
x2
– 10x + 25 = 0x
x2
+ 4x – 32 = 0x
La mitad del área de un cuadrado
es igual a tres veces el valor de su
perímetro.
La cantidad de un ingrediente
multiplicado por el resultado de
agregar cuatro unidades a esa misma
cantidad, es igual a doce unidades.
El cuadrado del precio de un
producto menos nueve veces ese
precio, es igual a cero.
El tiempo que tarda en caer un objeto
de una altura de ochenta metros.
x2
– 4x = 9 x2
– 4x – 9 = 0
2x2
+ 4x = 2x3
x3
– x2
– 2x = 0
x2
+ 10x = 0 x2
+ 10x = 0
R. M.

5. 16
Sesión 3
Énfasis en
Esta sesión tiene como propósito que los menores reafirmen el análisis de problemas y
su modelación mediante ecuaciones, en particular, las posibles respuestas que pueden
encontrar a partir de una ecuación de segundo grado.
1. Para iniciar, plantee a los estudiantes algunas preguntas, por ejemplo: ¿Qué tipo
de ecuaciones revisaron la sesión anterior? ¿Son más fáciles de resolver que las
ecuaciones lineales? ¿Qué tipo de problemas pueden resolverse con tales ecuaciones?
a) Invítelos a compartir sus resultados, pida que argumenten las respuestas de las
preguntas y el uso de las soluciones de las ecuaciones.
2. Solicite que desarrollen la sección “En distintos contextos”, página 10, y al terminar,
los ejercicios 4, 5 y 6 de la sección UNO × UNO, páginas 15 y 16.
a) Se espera que los estudiantes determinen que no siempre las dos soluciones de las
ecuaciones cuadráticas resuelven los problemas de los cuales se obtuvieron.
b) Organice una discusión con respecto a las preguntas: ¿Qué significa la raíz negativa en
el contexto de cada problema? ¿Nunca es solución? ¿De qué depende que sí lo sea?
c) Aproveche el contexto del trabajo realizado en clase para pedirles que comenten
procedimientos rápidos para resolver ecuaciones cuadráticas. Resalte los métodos
iterativos, vinculándolos con los procesos que siguen los programas de computadora
(software) para realizar la misma tarea.
d) Revise con los estudiantes las soluciones de los ejercicios de la sección UNO × UNO,
páginas 15 y 16.
3. Para finalizar, revise los problemas de la actividad 4, sección “Tareas”, de la página 10.
a) Considere que, en estas situaciones, solo se solicita que planteen la ecuación; sin
embargo, si algunos alumnos las resuelven, comente las soluciones con el grupo.
b) Organice a los equipos para que continúen con su producto final. Dígales que
desarrollen la actividad 5, sección “¿Cómo vamos?”, página 11.
pp. 10 y 11
Recursos

6. 17
16
6 Completa el cuadro con las expresiones matemáticas que se muestran y anota
la explicación del procedimiento que les corresponde.
x2
= 16
x2
+ 4 – 4 = 20 – 4 x1
xx = 4; x2
= −4 x2
= 16
Expresiones matemáticas Explicación del procedimiento
x2
+ 4 = 20
Se resta 4 a cada miembro de la igualdad,
ya que es la operación inversa de la suma.
x2
+ 0 = 16
Se obtiene una igualdad más sencilla.
Se aplica la raíz cuadrada en ambos lados
de la ecuación para determinar el valor de x.
x =x 4
Son las dos soluciones de la ecuación
cuadrática.
7 Analiza la información. Luego, calcula el valor positivo que satisface laA
ecuación y anota una interpretación con base en lo que leíste.
Para calcular la posición vertical de un objeto que se deja caer desde una
altura de 75 m, se usa la ecuación h = −5h t2
+ 75, donde h se mide enh
metros y t en segundos. En esta ecuación, el tiempo se empieza a medirt
justo cuando se deja caer el objeto.
Ecuación cuadrática
Solución
positiva
Interpretación física
−5t2
+ 75 = 70
−5t2
+ 75 = 37.5
−5t2
+ 75 = 5
−5t2
+ 100 = 95
x2
+ 4 – 4 = 20 – 4
Es la ecuación que deseamos resolver.
Se simplifican los términos semejantes.
Se obtiene la raíz cuadrada de ambos miembros
de la igualdad.
x2
= 16
x2
= ± 16
x1
= 4; x2
= −4
t1
= 1
t1
= 2.7
t1
= 3.7
t1
= 1
El tiempo que tarda un objeto en caer 5 m
desde 75 m de altura.
El tiempo que tarda en recorrer un objeto la
mitad de la altura (75 m).
El tiempo que tarda un objeto en llegar a
5 m del suelo, desde 75 m de altura.
El tiempo que tardaría un objeto en recorrer
5 m, si se deja caer desde 100 m de altura.
R. M.
10
En distintos contextos
3. Resuelve individualmente las actividades. Escribe una ecuación que represente
cada situación y encuentra la o las soluciones.
El producto de un número por otro, que es 10 unidades menor, es −24:
Solución o soluciones:
El cuadrado de la edad de Jorge más uno, es igual a 10.
¿Cuáles son las soluciones?
¿Todas las soluciones de la ecuación son soluciones del problema? ¿Por qué?
¿Cuál es la edad de Jorge?
Describe en tus hojas de cuaderno el procedimiento que seguiste para encontrar
las respuestas.
Discute con el grupo y con tu profesor tus resultados y tu procedimiento. Elijan el
procedimiento más eficiente para resolver este tipo de problemas.
Cuando elevamos un número al cuadrado, el resultado siempre es un número posi-
tivo, independientemente de su signo. De este modo si tenemos dos números simé-
tricos (7 y –7, por ejemplo), al elevarlos al cuadrado obtenemos el mismo resultado
(49). Es por eso que una ecuación donde la variable está elevada al cuadrado puede
tener dos soluciones, una negativa y una positiva.
Es importante analizar cada solución para saber si tiene sentido en el contexto del
problema. Por ejemplo, si se habla de edades o distancias, no puede considerarse
como posible solución un número negativo.
4. Resuelve en tus hojas de cuaderno, utiliza una ecuación para representar
cada situación.
La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 85.
¿Qué parejas de números satisfacen la situación?
El área de un rectángulo mide 84 cm2
. Si la base es 5 cm mayor que la
altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
El cuadrado de un número más 8 es igual a 129. ¿De qué número se
trata?
Calcula la medida de la base y de la altura de un triángulo, cuya base
mide 3 cm menos que la altura y tiene un área de 35 cm2
.
Si a un número le sumas 3 y lo elevas al cuadrado el resultado es 9. ¿Qué
número es? ¿Puede ser otro número?
Si x son los meses que han transcurrido desde que se lanzó un productoó ux
al mercado y la cantidad de municipios que lo conocen se define como
x2
+ 3, ¿cuántos meses han pasado cuando el producto es conocido en
39 municipios?
4. Resuelve en tus hojas
x (x − 10) = −24 6 y 4
x2
+ 1 = 10
3 y −3
No. Porque no hay edades negativas.
3 años
R. M. Se igualó la ecuación a cero y se factorizó.
x2
+ 8 = 129, el número puede ser 11 o −11
x2
+ 3 = 39, han pasado 6 meses.
1)
2)
3)
4)
1) x2
+ (x + 1)2
= 85. Los
números son 6 y −7.
2) x (x + 5) = 84. Las
dimensiones son 12 cm
de base y 7 cm de altura.
3)
x(x – 3)
2
= 35. La base mide
7 cm y la altura 10 cm.
4) (x + 3)2
= 9. R. M. 0 y −6
cumplen con la condición.
11
x
a
Soluciones de ecuaciones
6. Analicen en pareja las expresiones algebraicas y resuelvan.
x2
− x = −2x 6x 2
= 864 z(z + 6) = 16z
¿Las expresiones dadas son ecuaciones? ¿Por qué?
¿Cuántas incógnitas tiene cada una? ¿Cuáles son?
¿Cuántas soluciones pueden tener esas ecuaciones? ¿Por qué?
Planteen en sus hojas de cuaderno una situación que se represente con cada una
de las expresiones anteriores y encuentren la o las soluciones de estas.
Utilicen dos métodos: una estrategia ideada por ustedes y un método de solución
que conozcan.
Expliquen su estrategia. Una vez que encuentren las soluciones, sustitúyanlas en
las ecuaciones para verificar que son correctas.
Comparen sus procedimientos y resultados con otros compañeros. Comenten los
métodos que emplearon y valídenlos con el profesor.
¿Cómo vamos?
5. Reúnete con tu equipo para trabajar en la elaboración de sus cajas.
Para diseñar las cajas, consideren que la base de cada caja será cuadrada
y que su lado está dado por x y su altura es a. Como el modelo que se muestra:
Encuentren una expresión algebraica que les permita calcular la cantidad de
cartón que necesitan para cada caja.
Discutan cómo calcularían la cantidad de cartón que deben emplear en cada
caja.
Las cajas deberán cumplir con los siguientes requisitos:
Una tendrá altura de 15 cm y necesitan 700 cm2
de cartón para hacerla.
Otra tendrá una altura de 15 cm y requieren 350 cm2
de material.
La tercera tendrá una altura de 4 cm y necesitan 32 cm2
de cartón.
Escriban una ecuación que represente cada caso, encuentren la o las solu-
ciones y determinen las medidas de la base.
Anoten en sus hojas de cuaderno el método que utilizaron para calcular el
lado de la base (x).xx
¿Cuál es el volumen de cada caja?
Tracen los planos correspondientes a cada caja, recórtenlos, armen sus cajas
y decórenlas para la presentación. Decidan qué uso les darán.
Una. Las primeras dos x y la tercera z.
R. M. Dos, porque son de segundo grado.
1)
2)
4ax + x2
R. M. Se factorizaron las ecuaciones pero no son exactas.
1500 cm3
; 430 cm3
; 12.81 cm3
1) a) x2
+ 60x − 700 = 0, el lado
de la base es de 10 cm.
b) x2
+ 60x − 350 = 0, el lado
de la base es 5.35 cm.
c) x2
+ 16x − 32 = 0, el lado
de la base es de 1.79 cm.
2) La primera ecuación no tiene
solución. R. M. El cuadrado de
un número menos ese número es
menos dos. Para la segunda las
soluciones son 12 y –12. R. M.
El área de un cuadrado de lado
x multiplicada por seis es igual
a 864 cm2
. Para la tercera, las
soluciones son 2 y –8.
R. M. El área de una ventana de
lados z y z + 6 es 16 cm2
.
Sí. Porque una ecuación
R. L.
R. L.
es una igualdad entre expresiones.

7. 18
Sesión 4
Énfasis en
Esta sesión tiene como propósitos que los colegiales:
revisen situaciones concretas que se modelan con ecuaciones de segundo grado.
analicen casos particulares en las soluciones de las ecuaciones cuadráticas.
1. Para iniciar, invite a los jóvenes a responder preguntas como: ¿Existen distintos tipos
de ecuaciones de segundo grado? Si son diferentes, ¿sus raíces también lo son?
¿La complejidad de un problema indica cómo será la ecuación que lo representa?
a) Después, revise la tarea y proponga a diversos estudiantes comentar las situaciones
que plantearon.
2. Solicite a los alumnos que trabajen con la sección “Soluciones de ecuaciones”
en las páginas 11 y 12, y luego resuelvan los ejercicios 7 y 8 de la sección
UNO × UNO, páginas 16 y 17.
a) Hasta el momento, los estudiantes han resuelto ecuaciones cuadráticas con dos
soluciones reales. Pregunte: ¿Creen que todas las ecuaciones planteadas son
cuadráticas? Es probable que consideren que la tercera ecuación es lineal; en ese
caso, no los corrija y pídales que resuelvan el ejercicio, para que identifiquen el error
y lo señalen.
b) Aproveche los ejercicios en que se requiere plantear problemas para que los
alumnos utilicen diferentes contextos cotidianos, por pesos y medidas lineales,
figuras y geometría, entre otros, que puedan modelarse con ecuaciones cuadráticas.
Por ejemplo, la tercera ecuación se puede interpretar como el área de un rectángulo.
c) Después de comentar con el grupo la información del ejercicio 7 de la sección
UNO × UNO de la página 16, invite a los estudiantes a discutir sobre cómo se
interpretan las ecuaciones.
3. Para cerrar, haga una revisión grupal de las respuestas a la pregunta final del ejercicio
8 de la sección UNO × UNO, página 17.
a) Deje de tarea la actividad 8, sección “Tareas” de la página 13. Tenga en cuenta que
son ejercicios de distinta naturaleza; le sugerimos que lo haga notar al comentar los
problemas planteados en la sección.
b) Si lo considera pertinente, asigne también como tarea la lectura de la sección
“Historias de vida” de la página 13, y la búsqueda de información complementaria.
c) Finalmente, comente a los estudiantes que la siguiente sesión deben presentar ante
el grupo sus tres cajas terminadas.
pp. 12 y 13
Recursos

8. 19
17
8 Obtén la solución de las siguientes ecuaciones y escribe tu procedimiento.
Después, contesta.
Ecuación Solución Procedimiento de cálculo
3x2
+ 8x = 0x
(x 1)2 5x
4
8
9 0
x2
+ 1.5x – 2.5 = 0x
¿Tiene alguna ventaja ordenar los términos para calcular con más facilidad
la raíz de una ecuación? ¿Por qué?
9 Revisa las ecuaciones e indica cuáles tienen las siguientes soluciones.
x1
= 8 o x2
= 6
x2
– 10x + 16 = 0x x2
– 6x = 72x x2
– 2x = 48x
Poorrtaafoolio 111
Connstrruyyoo unn relooojj sollar
Para comenzar, identifica lugares en los que puedas ubicar tu reloj solar.
Observa las áreas despejadas de tu escuela, casa o lugares donde permanezcas una
parte importante del día y regístralas a continuación.
Como viste en esta primera secuencia, con una expresión algebraica puedes indicar el
área de una figura. Aplica lo que aprendiste y escribe con qué figuras o expresiones
identificas las áreas que registraste.
x = 0
x = –1
x = 1
R. L.
R. L.
R. L.
R. M. Sí, porque puede detectarse si es posible factorizar la ecuación para resolverla
más rápido.
R. M.
Las ecuaciones x2
– 10x + 16 = 0 y x2
– 2x = 48 tienen como solución x1
= 8;
mientras que x2
= −6 es solución de las ecuaciones x2
– 6x = 72 y x2
– 2x = 48
R. L.
R. L.
12
Las ecuaciones pueden clasificarse según los exponentes de sus variables. Si el ma-
yor exponente al que está elevada la variable es dos, se trata de una ecuación de
segundo grado, a la que también se le llama ecuación cuadrática.
En general las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones distintas, pero en ocasio-
nes, solamente tienen una solución. Por ejemplo, la ecuación (x − 4)2
= 0 tiene como
única solución x = 4. En esos casos se considera que la ecuación tiene dos soluciones
pero que consisten en el mismo número, se dice que la solución tiene multiplicidad 2.
7. Reúnete con un compañero, lean nuevamente la información del problema de
la actividad inicial y resuelvan la actividad.
¿Cuántas soluciones tenía la ecuación: x2
– 25x + 144 = 0? Argumenten sux
respuesta.
Si la señora Hernández quisiera que el área del huerto fuera de 150 m2
, con-
servando el mismo perímetro, ¿cuál sería la ecuación?
Encuentren un método de solución de la ecuación y resuélvanla.
¿Cuántas soluciones encontraron? ¿Todas son soluciones posibles del proble-
ma? Argumenten su respuesta.
¿Cuáles serían ahora las dimensiones del huerto?
La señora Hernández decidió cercar un nuevo huerto con 80 m de malla de ga-
llinero, pero duda, entre tres superficies disponibles, cuál elegir: una de 144 m2
,
otra de 396 m2
o una tercera de 400 m2
.
Escriban una ecuación para el terreno de 144 m2
y usen su método de solución
para resolver la ecuación.
¿Cuántas soluciones encontraron para el área de 144 m2
? ¿Todas ellas son so-
luciones posibles del problema? Argumenten su respuesta.
Usen su método de solución para resolver en sus hojas de cuaderno la ecuación
para el terreno de 396 m2
.
¿Cuántas soluciones encontraron? ¿Todas ellas son soluciones posibles del pro-
blema? Argumenten su respuesta.
Usen su método de solución para resolver en sus hojas de cuaderno la ecuación
para el terreno de área 400 m2
.
¿Cuántas soluciones encontraron? ¿Todas ellas son soluciones posibles del pro-
blema? Argumenten su respuesta.
¿Cuál de los terrenos le recomendarían usar y por qué?
¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones de esta actividad y las ecuacionesy l
lineales que han resuelto en sus cursos anteriores?
Comparen sus métodos de solución y sus respuestas con las de otros equipos.
Si tienen dudas, coméntenlas con el profesor.
Dos. 16 y 9 porque (16)2
− 25(16) + 144 = 0 y también
x2
− 40x + 144 = 0
2)
3)
x2
− 40x + 396 = 0
x2
− 40x + 400 = 0
1)1) 15 cm de ancho y 10 cm
de largo ó 15 cm de largo y
10 cm de ancho, cualquiera
de estas medidas genera el
mismo rectángulo.
2) Dos, 18 y 22. Sí, ambas son
solución del problema porque
representan los lados del
terreno.
3) Una, 20. Sí es solución del
problema porque representa
el lado del terreno, que en
este caso sería cuadrado.
Dos. Sí, porque los valores que cumplen la ecuación
Dos, 4 y 36. Sí,
R. M. Depende de
R. M. Que estas tienen un
Si conserva el mismo
(9)2
− 25(9) + 144 = 0
perímetro, la ecuación es: x 2
− 25x + 150 = 0.
son 15 y 10, lo que significa que el largo del rectángulo puede tomar alguno de ellos.
ambas son solución del problema porque representan los lados del terreno.
sus necesidades, podría ser el de 400 m2
porque ocupa mayor superficie.
término elevado al cuadrado.

9. 20
x
x
4 m2
p. 13
Recursos
c) Cierre
Sesión 5
Énfasis en
El objetivo de esta sesión es que los jóvenes presenten las cajas que elaboraron con base
en la interpretación de la información proporcionada; además, que revisen de manera
constructiva, el trabajo de sus compañeros.
1. Inicie con una reflexión sobre la tarea. Formule a los alumnos preguntas como: ¿Qué
tipo de números encontraron al resolver las ecuaciones? ¿Las respuestas dependen de
cómo es la ecuación? ¿Las ecuaciones siempre pueden escribirse de manera ordenada
(término cuadrático, lineal e independiente)?
a) Compare cómo se inicia, desarrolla y concluye cada inciso de la tarea. Por un lado,
hay ecuaciones por resolver; por el otro, un problema genera una ecuación cuya
solución debe interpretarse.
2. Organice al grupo en equipos para desarrollar el ejercicio 9, sección UNO × UNO,
página 17. Luego, pídales que trabajen la actividad 9, secciones “Presentación
de nuestro trabajo” y “¿Cómo nos fue?”, página 13.
a) Coordine la presentación de los proyectos para comparar las estrategias de cada
equipo y solicite que en grupo decidan cuáles resultan más convenientes y por qué.
3. Para cerrar, continúe con el proyecto del bimestre: Construyo un reloj solar.
a) Invite a los jóvenes a leer el texto del portafolio 1 en la página 17.
Propóngales que, en los recesos, recorran con sus respectivos equipos
las áreas abiertas de su escuela, para identificar dónde pueden instalar
sus relojes solares.
b) Adviértales la importancia de identificar las áreas en que la distribución
del espacio disponible coincida con el recorrido del Sol.
Evaluación
Cuantitativa
a) Proponga a los estudiantes este problema:
El área de un par de habitaciones cuadradas es de 29 m2
. Si la menor es de
4 m2
, ¿cuáles son las dimensiones de la habitación mayor?
Cualitativa
b) Invite a los jóvenes a reflexionar acerca del uso que darían a las ecuaciones de
segundo grado para plantear o resolver una situación en su vida diaria.
5 m por lado.

10. 21
13
¿Cómo nos fue?
¿Qué es una ecuación cuadrática?
¿Cuántos métodos distintos para resolver ecuaciones se propusieron? ¿Cuál te
pareció el mejor? ¿Por qué?
¿Cuál es la relación de tu trabajo al hacer las cajas con la solución de las
ecuaciones cuadráticas?
¿Qué papel jugaste en tu equipo durante la elaboración del proyecto?
Presentación de nuestro trabajo
9. Reúnanse en equipos para presentar sus cajas al grupo. Expliquen el uso que
asignaron a cada una.
Compartan la expresión que escribieron para representar el volumen de las cajas
y las ecuaciones correspondientes.
Comparen los procedimientos que emplearon para resolver las ecuaciones.
¿Todos usaron el mismo procedimiento? ¿Cuál resultó más adecuado?
¿Son iguales las cajas de todos los equipos? ¿Por qué?
En grupo comenten sus experiencias y registren sus conclusiones acerca del con-
tenido trabajado en la secuencia.
8. Resuelve las actividades.
Encuentra las soluciones de las ecuaciones.
(x2
– 9)
10
= 4 x2
– 3x = –x 2
Un ingeniero agrónomo asegura a un hortelano que obtendría mayor ren-
dimiento de un pequeño huerto de manzanas si añadiera 40 árboles a los
que hay actualmente. Ha calculado que si planta x árboles, la producción dex
toneladas de manzanas se puede obtener con la ecuación:
R = –R 1
2
x 2
+ 5x + 1024.x
¿Cuántos árboles más debe sembrar para obtener 1012 toneladas de
manzanas? Explica tu respuesta.
Compara en clase tus resultados con los de algunos compañeros y validen
en grupo sus estrategias de solución.
8. Resuelve las actividad
Diofanto, nacido alrededor del año 200 y fallecido por el año 284 d. de C., llamado el padre del álge-
bra, consideró estos tres tipos de ecuaciones cuadráticas ax2
+ bx =x c, ax2
= bx +x c yc ax2
+ c =c bx.
La razón por la cual para Diofanto existen tres casos es que no tenía ninguna noción del cero y evitaba
los coeficientes negativos considerando los números dados a, b, c como positivos.c
Fuente: www.astroseti.org/articulo/3629/ (consulta: 14 de abril de 2014)
Cierre
R. L.
Sí, porque tenemos las mismas ecuaciones.
2) Una ecuación en donde la
incógnita está elevada al cuadrado.
R. L.
R. L.
R. L.
7 y −7 2 y 1
1) La ecuación es
x2
2
− 5x − 12 = 0,
las soluciones son
12 y −2. R. M.
Debe plantar 12 árboles
más, aparte de los 40.
1)
2)