Este documento introduce los conceptos básicos de los números complejos y funciones complejas. Explica que los números complejos se componen de una parte real y una parte imaginaria y pueden representarse geométricamente en un plano complejo. También describe las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división de números complejos, así como la representación exponencial de un número complejo. Por último, introduce el concepto de función compleja de una variable y cómo se pueden visualizar sus dominios y rangos en el plano complejo.

1. Asignatura:
Variable Compleja
Desarrollo conceptual de
números complejos y funciones
complejas
Tema:

2. Objetivo:
• Conoce los fundamentos de los números complejos
• Aplica el álgebra de números complejos.
• Reconoce el concepto de función de variable compleja.
Contenido conceptual:
• Números complejos y su álgebra.
• Forma polar y exponencial de un número complejo.
• Funciones de una variable compleja.

3. Números Complejos
Definición:
El conjunto de números complejos se
denota matemáticamente como:
Al valor a se le llama parte real,
Al valor b se le llama parte compleja

4. Por ejemplo:
Note que todo número real, también es
complejo.
Los números complejos se grafican en un
plano, llamado plano complejo.

5. Plano complejo
Note que en el eje x se ubica la parte real y en el
eje y la parte compleja.

6. Otra manera de representar números complejos es
mediante la denominada forma exponencial:

8. La suma y resta de números complejos se
realiza término a término:

9. El producto de números complejos se
realiza distribuyendo términos:

10. Para la división, se realiza el proceso de
racionalización:
Tip: Verifica todos los cálculos para que tomes práctica.

11. Intenta realizar los siguientes cálculos:
Recuerda que tus respuestas deben están
en la forma: a+bi.
Tip: Utiliza wolframalpha.com o una calculadora
para validar tus respuestas.

12. Para realizar potencias enteras de i se
utilizan los siguientes hechos:

13. Recuerda que las funciones de variable real se suelen
denotar como y=f(x), donde x representa la variable
independiente y – y – depende de x.
Las funciones complejas de una variable usualmente
se representan como y=f(z), donde y y z reprensentan
números complejos.
Nota que como los números complejos se representan
en el plano, no es posible visualizar las funciones
complejas de la misma forma que las reales.
Funciones complejas

14. Dado que los números complejos se representan en el
plano, el dominio y rango de una función compleja se
pueden visualizar como subconjuntos del plano
complejo:

15. Algunas funciones complejas tienen dominios que las
funciones reales no aceptaban, por ejemplo:

16. Más adelante se estudiará como definir en los complejos
otras funciones reales importantes como las
exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y
funciones hiperbólicas.
Por ahora ten en mente que muchas funciones reales que
tenían dominios restringidos, ahora quizás no lo tengan,
debido a que se está considerando un conjunto más
amplio.

17. Autoría
Nombre del Docente: David Méndez
Cargo: Docente de Matemáticas CEUTEC
Bibliografía: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Peter O'neill, CENGAGE
Learning 6ta. Ed.