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Capitulo 5. pandeo
- 2. Pandeo de piezas rectas • Imaginemos una hoja de sierra – σy = 520 MPa – Sección transversal 12mm x 0.5mm – La hoja de sierra resistiría una carga de compresión de 3120 N • Sin embargo, esta pieza puede perder su estabilidad a una carga mucho menor
- 3. La hoja de sierra perdería su estabilidad estructural para una carga que podríamos calcular: Supongamos: I = bh3/12 (sección rectangular) = 1,25 x 10-13 m4 E = 200 GPa y L = 300mm La carga que produciría el pandeo sería: P = 2,74N
- 4. Equilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferenteEquilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferente ESTABILIDAD E INESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
- 5. x . l P P . P P . P k k . P kx kx a) b) c) d) x . l P P . P P . P k k . P kx kx a) b) c) d) Si: 2(kx)L>Px (lo que implica P<2kL) el equilibrio es estable. Si: 2(kx)L<Px (lo que implica P>2kL) el equilibrio es inestable. L
- 6. Concepto de inestabilidad estructuralConcepto de inestabilidad estructural PA B A PB wB A Pcrítica B Para cargas bajas ∫ ⋅ += B A AB dz AE N ww AE LP wB ⋅ ⋅ −= Para una cierta Pcrítica se producen grandes desplazamientos transversales Pandeo Aparecen fenómenos no lineales 6 z y
- 7. Concepto de inestabilidad estructuralConcepto de inestabilidad estructural El pandeo aparece en barras esbeltas para cargas menores que las que producen la plastificación del material PA B AP comp e ⋅σ<criticaPP < Puede ser la condición de diseño crítica 7
- 8. Teoría de primer ordenTeoría de primer orden Problema de Euler PA B z y PA B z y Hipótesis: - Viga esbelta de sección constante - Ejes principales de inercia - Sólo existen esfuerzos de compresión - Comportamiento lineal elástico - Pequeños desplazamientos de flexión - Deformaciones pequeñas - No existen tensiones residuales 8
- 9. Teoría de primer ordenTeoría de primer orden Aplicando la ecuación de la elástica IE M dz vd ⋅ −=2 2 Con las condiciones de contorno: 0v 0v == == Lz z 0 02 2 2 =⋅+ v dz vd λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = IE P2 λ ( ) zsenBzcosAzv λλ ⋅+⋅= PA B z y ( )zv z A z y ( )zv z P ( )zvPM ⋅= 9
- 10. Teoría de primer ordenTeoría de primer orden PA B z y ( )zv z ( ) zsenBzcosAzv λλ ⋅+⋅= ( ) 0 0 =⋅⋅ = LλsenB A π⋅=⋅ nLλ ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅= z L n senBzv π IE L n P ⋅⋅ ⋅ = 2 22 π IE L Pcritica ⋅⋅= 2 2 π Carga crítica de Euler (1744) 10
- 11. Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo BA PB P P P Viga en voladizo Viga biempotrada con deslizadera horizontal Viga biempotrada con deslizadera vertical Viga empotrada-apoyada con deslizadera vertical 11
- 12. Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo PA B z y PB PB Viga en voladizo P BA La carga de pandeo coincide con la de una viga biapoyada de longitud doble ( ) IE L Pcritica ⋅⋅ ⋅ = 2 2 2 π 4 Euler critica P P = 12
- 13. P A B z P Viga bi-empotrada con desplazamiento longitudinal en un extremo La carga de pandeo coincide con la de una viga biapoyada de longitud mitad ( ) IE L Pcritica ⋅⋅= 2 2 2 π Eulercritica PP ⋅= 4 Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo P 13
- 14. P P P Viga bi-empotrada con desplazamiento transversal en un extremo La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de longitud doble ( ) IE L Pcritica ⋅⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 4 π Eulercritica PP = Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo P 14
- 15. PA B z y PB PB PB Viga empotrada-apoyada con desplazamiento transversal en un extremo La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de longitud doble ( ) IE L Pcritica ⋅⋅ ⋅ = 2 2 2 π 4 Euler critica P P = Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo 15
- 16. PBA PBA Viga empotrada-apoyada con desplazamiento longitudinal en un extremo No es posible aplicar simetrías 02 2 2 =⋅+ v dz vd λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = IE P2 λ + condiciones de contorno ( ) IE L, Pcritica ⋅⋅ ⋅ = 2 2 70 π Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo 16
- 17. En general: PBA ? ? ( ) IE L Pcritica ⋅⋅ ⋅ = 2 2 β π Viene fijado en la normativa Longitud de pandeo: ( ) IE L IE L P p critica ⋅⋅=⋅⋅ ⋅ = 2 2 2 2 π β π PA B z y L Lp Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo 17
- 18. Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica x z y π ( ) ξ β π IE L Pcritica ⋅⋅ ⋅ = 2 2 x y π A I i ξ ξ = Radio de giro de la sección respecto al eje ξ 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ = ξ β π σ i L E critica ξ λξ: Esbeltez mecánica Plano de pandeo 18
- 19. Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ξ ξ β λ i L La viga pandea en el plano perpendicular al eje de mayor esbeltez mecánica x z y π x y π ξ 19 2 2 ξ λ π σ E critica =
- 20. Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica Ejemplo: Para una viga biapoyada sobre rótulas esféricas, determine la configuración más estable frente a pandeo 4 4 x 4 4 y I 2140 10 mm I 117 10 mm = ⋅ = ⋅ x y IPN-200 4 4 x 4 4 y I 117 10 mm I 2140 10 mm = ⋅ = ⋅ x y IPN-200 Configuración I Configuración II 20
- 21. Rótula esférica Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica Ejemplo x y z y z x z ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =λ x x i L ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ y y i L 21
- 22. Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica Ejemplo L47,53 1087,1 L i L L5,12 108,0 L i L 2 y xz p y 2 x yz p x ⋅= ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ ⋅= ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ − − L5,12 108,0 L i L L47,53 1087,1 L i L 2 y xz p y 2 x yz p x ⋅= ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ ⋅= ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ − − Configuración I Configuración II Pandea respecto al eje x Pandea respecto al eje y Ambas configuraciones tienen la misma carga crítica 22
- 23. x y z y z x z Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =λ x x i L ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =λ y y i L5,0 Ejemplo: Repetir los cálculos si las rótulas son cilíndricas 23
- 24. Ejemplo L7,26 1087,1 L5,0 i L L5,12 108,0 L i L 2 y xz p y 2 x yz p x ⋅= ⋅ ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ ⋅= ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ − − L25,6 108,0 L5,0 i L L47,53 1087,1 L i L 2 y xz p y 2 x yz p x ⋅= ⋅ ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ ⋅= ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =λ − − Configuración I Configuración II Pandea sobre el plano xz Pandea sobre el plano yz La configuración II es más inestable Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica 24
- 25. Material de apoyoMaterial de apoyo REFERENCIAS COMPLEMENTARIAS 1. Celigüeta, J.T. “Curso de Análsis Estructural” EUNSA. 1998 Cap 14. Introducción a la estabilidad estructural 2. Garrido, J.A. Y Foces, A. “Resistencia de Materiales”. Secretariado de Publicaciones. Universidad de Valladolid. 1994 Cap.15 La torsión en los problemas de pandeo Cap.16 Pandeo global de pórticos planos 3. Marti Montrull, P. “Análisis de estructuras. Métodos clásicos y matricial Horacio Escarabajal Editores. 2003 Parte 6. Pandeo global de estructuras 25