COSENOS DIRECTORES

1. GEOMETRIA
REALIZADO POR:
Daniela marcano.

2. LA RECTA EN EL ESPACIO.
1- recta en el espacio como lugar geométrico
Seaen el espaciounpuntofijoP1 y unvector u
u+o
s
p
p1
fig.1
Ecuación vectorial de la recta en el espacio
Vamos a introducir ahora, un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales con
la base canónica asociada.
z
p(x;y;z) p(x;y;z)
r
x
fig. 2 y
Seael puntofijoP) x1 ; y1 ; z 1 ) por el que pasa larecta.
El vectoru (u1;u2;u3) que da ladirecciónde larecta es obviamentenonulo,entoncesserá,
u=0

3. Ecuación paramétricas. Coeficientesycosenosdirectores.Significadodel parámetro t.
Si en laecuaciónvectorial (2) trabajamoscon lascomponentesde losvectoresque enella
figuran,esdecir.
OP =(x;y; z)
OP1 =(x1; y1; z1)
U=u1;u2;u3)
Tendremos: OP=(x;y; z) =OP1 =(x1; y1; z1)+U=(u1;u2;u3).
Forma canónica (osimétrica) de la ecuación de la recta enel espacio.Planosproyectantes.
Proyeccionesortogonalesde la recta.
Si en lasecuacionesparamétricasde r)
X=x1+u1t
r Y=y1+u2t
Z=z1+u3t
Ecuación en forma continua
Si, en las ecuaciones paramétricas, , y son distintos de cero, se puede despejar en cada una
de ellas el parametro
Igualando las expresiones obtenidas resulta:
que es la ecuación de la recta en forma continua

4. Cosenos directore s en el plano:
En una base ortonorma l, se llama n cosenos directores del vec tor
= (x, y), a los c osenos de los ángulos que forma el vec tor c on los
vec tores de la base.
EJEMPLO:
Determina r los cosenos directores del vec tor (1, 2)

5. Cosenos directores en el espacio
En una base ortonorma l, se llama n cosenos directores del vec tor
= (x, y, z), a los c osenos de los ángulos que forma el vec tor c on
los vectoresde labase.
EJEMPLO:
Determina r los cosenos directores del vec tor (1, 2, −3)

6. Ecuación en forma cartesiana o implícita (Recta como intersección de dos planos)
A partir de la ecuación forma continua de la recta podemos obtener las dos
ecuaciones siguientes:
que se pueden reescribir de la forma:
y que se conocen con el nombre de ecuación implícita o cartesiana de la
recta. (Recta como intersección de dos planos)
EJEMPLO:
Determinemos las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos:
Un vector director de es, por ejemplo, el vector que va desde el punto
hasta el punto
Por lo tanto, la ecuacion de la recta en forma vectorial es:
En forma paramétrica es:
En forma continua es:
En forma implicita es:

7. Ángulos formados por dos rectas paralelas yuna secante
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercer recta que no es paralela a ellas, se
forman varios ángulos de interés
La secante:auna curva o a una figurageométricaesunarecta que la corta. La secante
tambiénse conoce comotransversal cuando corta a varias rectas
La siguiente figura muestra dos rectas paralelas y una
secante que las corta:
Al cortar la secante a las dos rectas paralelas se forman ocho ángulos
ANGULOS INTERNOS:
Ángulos que quedan entre las rectas paralelas.
En la figura anterior, los ángulos: , , y son los ángulos internos.

8. ANGULOS EXTERNOS:
Aquellos ángulos que quedan fuera de entre las rectas paralelas.
En la figura anterior, los ángulos: , , y son los ángulos externo
ANGULOS ALTERNOS:
Aquellos pares de ángulos que quedan en lados opuestos de la recta secante y que no
son adyacentes.
En la figura anterior, los pares de ángulos: , , y son algunos
ejemplos de pares de ángulos alternos.
ANGULOS CORRESPONDIENTES INTERNOS:
Aquellos pares de ángulos que quedan en el mismo lado de la recta secante, no son
adyacentes y siendo uno interno y el otro externo.
En la figura anterior, los pares de ángulos: , , y son
correspondiente
ANGULOS CORRESPONDIENTES EXTERNOS:
Aquellos pares de ángulos que son a la vez tanto correspondientes como externos.
En la figura anterior, los pares de ángulos que son correspondientes externos
son: y .
Ya se demostró que los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida,
entonces, se cumple:

9. TEOREMA
Si una secante corta dos rectasparalelas,losánguloscorrespondientessoniguales.¡Recuerda
que losparesde ánguloscorrespondientesson
y precisamente estosparesde ángulossonlosque se dijoquedansuperpuestosal trasladarla
recta. hasta que quede sobre larecta