1. 1
PLANO CARTESIANO
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Es el módulo de la medida algebraica de un segmento.
Del teorema de Pitágoras se obtiene:
( ) √ ( ) ( )
De donde:
( ) √( ) ( )
Distancia de un punto al origen de
coordenadas:
√
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
Si P1 ( X1 ; Y1 ) y P2 ( X2 ; Y2 ) son los extremos de un segmento P1 P2,
Las coordenadas ( x ; y ) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada:
2. 2
Dónde: r ≠ -1
También:
(*) Si r es (+) P se encuentra dentro del segmento
(*) Si r es (-) P se encuentra en la parte exterior del segmento
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
“P” es el punto medio r = 1 y se cumplirá:
̅ ̅
INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
INCLINACIÓN DE UNA RECTA
La inclinación de una recta es el ángulo que forma el semieje positivo x con la recta cuando
está dirigida hacia arriba.
α1 : Inclinación de L1
α2 : Inclinación de L 2
0º ≤ α < 180º
3. 3
PENDIENTE DE UNA RECTA
“La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica de su inclinación”.
La pendiente de una recta se denota generalmente como “m” y se cumple:
m = tg α
La siguiente tabla muestra las inclinaciones para todas las posiciones que puede tomar una
recta y sus pendientes.
EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA
“La pendiente de una recta no paralela al eje de las ordenadas, ni coinciden con él; es igual a la
diferencia entre las ordenadas de dos puntos de la recta dividida por la diferencia de las
abscisas”.
(*) Si la recta es horizontal (y1 = y2), su
pendiente es 0.
(*) Si la recta es vertical (x1 = x2), ella no
tiene pendiente.
4. 4
RECTAS PARALELAS
Son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Es evidente que dos rectas verticales son
paralelas, pero por no tener pendiente.
Si: α1 = α2 m1 = m2
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si la diferencia de sus inclinaciones es un ángulo recto. “Dos
rectas, de las cuales ninguna es perpendicular al eje de abscisas, son perpendiculares si y sólo
si el producto de sus pendientes es -1”
(*) Si: |α1 – α2| = 90°
m1 . m2 = -1
O también:
(*) Es evidente que dos rectas una
vertical y la otra horizontal, son
perpendiculares, pero no satisfacen
la condición dada.
5. 5
ÁNGULO QUE DETERMINAN DOS RECTAS SECANTES
El ángulo entre las rectas, se mide en sentido antihorario, de la recta inicial a la final. En la
figura, la recta inicial es L1 y la recta final es L 2.
Observamos que:
θ = α2 – α1
TANGENTE DEL ÁNGULO QUE DETERMINAN DOS RECTAS SECANTES
tg θ = tg(α2 – α1)
m1 ≠ m2
6. 6
LA LÍNEA RECTA
Es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen una misma pendiente y que pasan por un
mismo punto. Una recta representada en el plano cartesiano tiene la forma de una ecuación
lineal y sus ecuaciones tienen características particulares para sus posiciones relativas al
sistema de coordenadas.
ECUACIONES DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La ecuación general de la recta “L ” cuya pendiente “m” es igual a es:
Ax + By + C = 0
Dónde:
Si; y = 0 Representa la intersección con el eje “x”
Si; x = 0 Representa la intersección con el eje “y”
Comprobación:
( )
7. 7
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
La recta que pasa por el punto dado P1 ( x1 , y1 ) y tiene la pendiente dada m, tiene por
ecuación
y – y1 = m ( x – x1 )
ECUACIÓN PENDIENTE Y ORDENADA
8. 8
La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación
y = mx + b
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
La recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) tiene por ecuación
( ), x1 ≠ x2
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia d de una recta Ax + By + C = 0 a un punto dado P1 ( x1 – x1 ) puede obtenerse
sustituyendo las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal de la ecuación
de la recta. El valor esta dado entonces por
√
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DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS
La distancia entre las rectas paralelas L 1 : Ax + By + C1 = 0 y la recta
L 2 : Ax + By + C2 = 0 viene dado por:
√
