Trazados fundamentales en el plano: Paralelas, Perpendiculares y Mediatrices

DT I. 1º BACHILLERATO
T2. TRAZADOS FUNDAMENTALES
EN EL PLANO.
Paralelas
Perpendiculares
Ángulos
Mediatriz y Bisectriz
Teorema de Thales
Media, Tercera y Cuarta Proporcional
Árco Capaz
V
1
2
a

T2. TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO. Paralelas, Perpendiculares, Mediatrices
EL PUNTO
Es la Intersección de dos rectas
Se designan con letras mayúsculas o números:
A, B, C...P, Q, R,...1, 2, 3,...
P

LA LÍNEA RECTA
Es una sucesión de puntos en una misma dirección.
Las rectas se designan con letras minúsculas:
r
t
s

LA LÍNEA CURVA
Es una sucesión de puntos que no siguen la misma dirección.
Es la trayectoria de un punto en movimiento
Las curvas se designan con letras minúsculas: a, b, c, ...r, s, t...
r
t
s

SEGMENTO
Es una PARTE DE RECTA LIMITADA EN SUS EXTREMOS POR DOS PUNTOS.
Los segmentos se designan con letras minúsculas: segmento a,
o por dos letras mayúsculas en sus extremos: segmento AB o AB
a
A B

RECTA
Es una linea cuyos puntos siempre siguen la misma trayectoria y no tiene principio ni final
Sus extremos se tocan en el infinito.
Las rectas se designan por una letra minúscula
r

SEMIRRECTA
Es una RECTA LIMITADA EN UNO DE SUS EXTREMOS.
las semirrectas se designan por la mayúscula del punto que las limita
y la minúscula de la recta
O r

ÁNGULO
Es la PORCIÓN DE PLANO COMPRENDIDO ENTRE DOS
SEMIRRECTAS QUE TIENEN EL MISMO ORIGEN.
Las semirrectas son los LADOS del ángulo, y el punto de
intersección el VÉRTICE.
Los ángulos se designan por una letra mayúscula en su vértice
o por letras griegas minúsculas
A
a

PLANO
Es la SUPERFICIE FORMADA POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS.
También podemos decir que un plano queda definido por dos rectas que se cortan,
o por dos rectas paralelas, o por una recta y un punto que no le pertenece
a b g

OPERACIONES CON REGLA Y COMPÁS
Trazado de la recta r por dos puntos dados A y B
A B

Trazado de la recta r por dos puntos dados A y B
A r B

Trazado del punto P de intersección de dos rectas r y s
r
s
P

Trazado de la circunferencia de centro O y radio r
r
O

Trazado de la circunferencia de centro O y radio r
R
O R

Puntos A y B de intersección de una recta y una circunferencia
A
B
O

Puntos A y B de intersección de dos circunferencias
A
B

Transporte de un segmento cualquiera AB
Trazamos una recta r
A B
r

Cogmos la medida del segmento
con el compás
A B
r

Cogemos la medida del segmento
con el compás, y marcamos en la
recta r trazada un punto A
A
A
B
r

Haciendo centro en A, trazamos un arco que corta a la recta r
en el punto B. Así, ya está trasladado el segmento
A
A B
B
r

V
V´
a
Transporte de un ángulo
Trazamos una recta, y sobre ella marcamos el vértice V´.

V
1
2
a
V´
Sobre el ángulo dado, trazamos un arco de medida
arbitraria con centro en el vértice, que cortará los lados del vértice en
los puntos 1 y 2

V
1
2
2´
a
V´
Medimos con el compás el arco 1V2 y lo trazamos sobre V´.
Dicho arco corta a la recta en el punto 2

V
1
2
2´
1´
a
V´
Medimos con el compás la distancia 2-1 y la trasladamos sobre 2´.
Así obtenemos 1´

V
1
2
2´
1´
a
V´
Uniendo V con 1 ya tenemos el ángulo transportado

LUGAR GEOMÉTRICO
LUGAR GEOMÉTRICO es el conjunto de puntos (del plano o del espacio)
QUE GOZAN TODOS DE UNA MISMA PROPIEDAD
Son, entre otros, lugares geométricos:
LA MEDIATRIZ de uin segmento: Todos sus puntos equidistan de los extremos
del segmento
BISECTRIZ DEL ÁNGULO: Todos sus puntos equidistan de los lados del ángulo
LA CIRCUNFERENCIA: Todos sus puntos equidistan del centro
LA ELIPSE: La suma de distancias de cada punto de ella a otros dos
puntos fijos llamados focos, es constante.
Esto son algunos ejemplos de lugares geométricos.
Tanto estos como el resto se irán estudiando con más detenimiento
a lo largo de los dos cursos de Dibujo Técnico

SUMA DE SEGMENTOS
Hallar la SUMA de los SEGMENTOS AB y CD
A
D
B
C
A B
1. Dibujamos el segmento AB
sobre una recta auxiliar

SUMA DE SEGMENTOS
A
D
B
C
A
D
C
B
2. A continuación, dibujamos
sobre la misma recta el
segmento CD de forma
consecutiva, haciendo
coincidir el extremo C
con el B

SUMA DE SEGMENTOS
A
D
B
C
A
D
C
B
AB + CD
3. El segmento resultante AD
es la suma de AB + CD

DIFERENCIA DE SEGMENTOS
Hallar la DIFERENCIA de los SEGMENTOS AB y CD
A
D
B
C

A
D
B
C
A B
(el más grande)
sobre una recta auxiliar

C D
A B
2. Dibujamos el segmento
CD (el más pequeño)
dentro del AB, haciendolos
coincidir por uno de sus
extremos
D
B
A
C

D
B
C
D
C
A B
AB - CD
3. El segmento resultante
será DB, diferencia entre
AB y CD
A

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Trazar la MEDIATRIZ m y el PUNTO MEDIO del SEGMENTO AB
A B
MEDIATRIZ de un segmento es la recta perpendicular a él en su punto medio.
Divide al segmento en dos partes iguales, y tiene la propiedad de que todos sus puntos
equidistan de losextremos A y B del segmento.
Por tanto, es un lugar geométrico, ya que todos sus puntos
gozan de la misma propiedad.

A
1
2
1. Trazamos dos arcos iguales,
desde A y desde B, que midan
más de la mitad de dicho
B
segmento.
Ambos arcos se cortarán en
los puntos 1 y 2

1
m
A B M
2
2. Unimos los puntos 1 y 2,
obteniendo así la
MEDIATRIZ del
segmento AB

Aplicación del trazado de la MEDIATRIZ en la resolución de problemas
Trazar la RECTA PERPENDICULAR a la recta r por el PUNTO A, exterior a la recta.
A
r
Hallar la DISTANCIA que hay del punto A a la recta

A
r
1 2
1. Trazamos un arco con
vértice en A que corta a
la recta r en los puntos
1 y 2

A
r
1
3
2
2. Con centro en 1 y en 2,
trazamos arcos iguales
que se cortarán en el
punto 3.

A
r
1
3
2
3. Si unimos A con el
punto 3 obtenemos la
perpendicular a r por
el punto A

A
r P
1
3
2
4. La distancia de A a la
recta estará en la
perpendicular, ya que la
distancia de un punto a una
recta siempre hay que
tomarla en perpendicular

Trazar la RECTA PERPENDICULAR a la recta r por el PUNTO A, perteneciente a ella
r A

r A
1 2
vértice en A que corta a
la recta r en los puntos
1 y 2

s
3
r A
1 2
2. Con centro en 1 y en 2,
trazamos dos arcos iguales
que se cortarán en el
punto 3. Si unimos A con
el punto 3 o el 4 obtenemos
la perpendicular a la
recta r
4

Levantar dos PERPENDICULARES al segmento AB por sus extremos,
utilizando dos métodos diferentes (con compás)
A B

A 1 B
1. Con centro en A, trazamos
un arco que corta al
segmento AB en el punto 1

2
A 1
B
2. Con la misma distancia
que el arco anterior
trazamos un arco 1A, que
cortará al anterior en el
punto 2

4
3 2
A 1
B
3. Con centro en 2 trazamos
el arco 2A, obteniendo así
el punto 3. Del 3 al 2
trazamos otro arco que
corta al anterior en el
punto 4

4
3 2
A 1
B
4. Uniendo el 4 con A
obtenemos una
perpendicular al
segmento AB desde
el punto A

4
3 2 O
A 1 5
B
5. Para la segunda
perpendicular, trazamos
desde B un arco cualquiera
que corta al segmento AB
en el punto 5. Desde el 5
trazamos el arco 5B,
obteniendo así el punto O

4
3 2 O
A 1 5
B
6. Con centro en O,
trazamos la circunferencia
de radio O5 (= OB).

4
A 1 5
6
3 2 O
B
7. Trazamos una recta
del 5 al centro O, que en
su prolongación cortará
a la circunferencia en
el punto 6

4
A 1 5
6
3 2 O
B
8. Uniendo el punto 6
con B, obtenemos
la perpendicular que
buscamos

División de un arco AB de circunferencia en dos partes iguales
A
B

A
B
1. Se traza la cuerda AB

A
c
B
1. Se traza la mediatriz de la
cuerda AB.
Esta mediatriz corta al
arco en el punto medio C

Trazado del arco de circunferencia que pasa por tres puntos A, B y C
A
B
C

A
B
C
1. Trazamos las mediatrices de los
segmentos que forman dos parejas
de los puntos dados, en este caso
de AB y BC, y obtenemos el punto O

A
B
C
2. Si hacemos centro en O y trazamos un
arco de radio OA, el arco pasará por los
tres puntos A, B y C

Hallar el centro de un arco dado

A
B
C
Si tenemos un arco cualquiera y
queremos saber dónde está el centro,
aplicamos el procedimiento anterior
situando 3 puntos arbitrarios

A
O
B
C
2. Trazamos las mediatrices
AB y BC, y donde corten
tenemos O,
centro del arco dado

División de un segmento AB en 2, 4, 8...o cualquier nº par de partes
A B

1. Trazamos la mediatriz
de AB, obteniendo así
el punto medio C y divi-diendo
A C B
AB en dos partes
iguales

2. Trazamos las mediatrices
de AC y CB, obteniendo así
los puntos D y E, y dividiendo
el segmento en 4 partes
A D C E B
iguales
Si continuáramos haciendo
mediatrices obtendríamos
8, 16, 32...partes iguales

Trazar una PARALELA a la recta r separada de ella 42 mm
r
PARALELAS
Las paralelas son rectas coplanarias
que no tienen ningún punto en común,
es decir, se cortan en el infinito

r
1. Para trazar una paralela
a una DISTANCIA deter-minada,
tenemos que
trazar en primer lugar
una perpendicular a
la recta
PARALELAS

s
r
42 mm
2. Una vez trazada la
perpendicular, medimos
sobre ella la distancia
requerida
y posteriormente trazamos
la paralela
PARALELAS

r
Trazar una PARALELA a la recta r que pase por el PUNTO A
A
PARALELAS

r
1
A
centro en A que corte
a r en el punto 1
PARALELAS

r
A
2 1
2. Con el mismo radio que
el arco anterior, trazamos
un arco con centro en 1 y
radio 1A, que cortará a r
en el punto 2
PARALELAS

r
A 3
2 1
2A
3. Con radio 2A, trazamos
un arco con centro en 1,
que corta al primer arco
trazado en el punto 3
PARALELAS

r
2 1
3
2A
A
4. Uniendo A con el punto 3
obtenemos la paralela
buscada
PARALELAS

Halla en la recta s SEGMENTOS PROPORCIONALES a AB Y BC mediante el
TEOREMA DE THALES
A
B
C
r
s
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
A
A´
B
C
r
1. Trazamos una recta que
parta de A y corte a s en
el punto A´
s
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
A
A´
B
B´
C
r
2. Trazamos una paralela
a la recta AA´ por el
punto B, y obtenemos
el punto B´
s
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
A
A´
B
Los segmentos A´B´, B´C´
son proporcionales a AB y BC
B´
3. hacemos lo mismo por
el punto C, obteniendo
así el punto C´.
respectivamente
C´
C
r
s
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
Halla en la recta s, paralela a r, SEGMENTOS IGUALES a AB Y BC mediante el
TEOREMA DE THALES
A
B
C
r
s

TEOREMA DE THALES
A
A´
B
C
r
s
Utilizando el mismo procedimiento
que en el ejercicio anterior,
si trazamos una recta de A a s
y posteriormente paralelas
a dicha recta que pasen por
B y C, obtendremos
segmentos iguales a AB y BC
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
A
A´
B
B´
C
r
s
B y C, obtendremos
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
A
A´
B
B´
C´
C
r
s
B y C, obtendremos
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
Divide el segmento AB en PARTES PROPORCIONALES a CD y EF mediante el
A B
C
E
D
F
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
A B
C
E
D
F
1. A partir de uno de los
extremos del segmento
trazamos una recta auxiliar
en una dirección arbitraria.
TEOREMA DE THALES

C
A
TEOREMA DE THALES
F
DE
B
C
E
D
F
2. Sobre dicha recta
trazamos los segmentos
CD y EF, de forma
consecutiva y comenzando
en el extremo del
segmento que coincide
con A
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
C
A
F
DE
B
C
E
D
F
3. Unimos F con B.
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
C
A
F
DE
B
G
C
E
D
F
4. Trazamos paralelas a FB
desde D=E, así obtenemos
el punto G.
Los segmentos AG y GB
son proporcionales a CD y
EF respectivamente
TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES
Divide el segmento AB en tres partes iguales
mediante el TEOREMA DE THALES
A B

A
TEOREMA DE THALES
1
2
3
B
1. A partir de uno de los
extremos del segmento
trazamos una recta auxiliar
en una dirección arbitraria.
Sobre dicha recta
hacemos tantas partes
iguales
(de medida arbitraria)
como las partes en
que queremos dividir
el segmento

TEOREMA DE THALES
1
2
3
A B
2. Unimos la última división
(en este caso la 3ª) con
el otro extremo del segmento
(en este caso el B)

TEOREMA DE THALES
1
2
A B
2´
3
3. Trazamos paralelas al
segmento 3B por los puntos
2 y 1, así obtenemos
sobre el segmento AB los
puntos 1´, 2´, que son
las divisiones a partes
iguales del segmento AB

TEOREMA DE THALES
1
2
3
A B
4. Trazamos paralelas al
segmento 3B por los puntos
2 y 1, así obtenemos
sobre el segmento AB los
puntos 1´, 2´, que son
las divisiones a partes
iguales del segmento AB
1´ 2´

A
C
Aplicaciones del TEOREMA DE THALES
Determina la TERCERA PROPORCIONAL de los SEGMENTOS AB Y CD
B
D

A
C
B
D
A B
1. Sobre una recta auxiliar dibujamos el segmento AB

A
C
C
B
D
D
A B
2. A continuación de AB trazamos el segmento CD, haciendo
coincidir C y B en el mismo punto

A
C
C
B
D
D
A B
3. Desde A, trazamos una recta auxiliar con ángulo arbitrario

A
C
C´ C
B
D
D
D´
A B
4. Sobre dicha recta, volvemos a trazar el segmento CD (C´D´),
en este caso haciendo coincidir C con A

A
C
C´ C
B
D
D
D´
A B
5. Unimos D´ con C

A
C
C´ C
B
D
D
D´
E
A B
6. Trazamos una paralela a D´C que pase por D, que cortará
a la recta auxiliar en E

A
C
C
x
C´
B
D
D
D´
E
A B
7. El segmento D´E (x) es tercera proporcional de los
segmentos dados

A
C
E
Determina la CUARTA PROPORCIONAL de los SEGMENTOS AB, CD y EF
B
F
D

A
C
E
C
B
F
D
D
A B
1. Sobre una línea auxiliar, trazamos los segmentos
AB y CD de forma consecutiva

A
C
E
C
F
E
B
F
D
D
A B
2. A partir de A, trazamos una línea auxiliar
con ángulo arbitrario, y sobre ella
trazamos el segmento EF,
haciendo coincidir E con A

A
C
E
C
F
E
B
F
D
D
A B
3. Unimos F con C

A
C
E
C
F
G
E
B
F
D
D
A B
4. Trazamos una paralela a FC que pase por D.
Así obtenemos el punto G

A
C
E
C
F
x
G
E
B
F
D
D
A B
5. El segmento FG (x) es la cuarta proporcional de
los segmentos dados

A
D
MEDIA PROPORCIONAL
B
C
Determina la MEDIA PROPORCIONAL de los segmentos AB y CD utilizando el
TEOREMA DE LA ALTURA

A
MEDIA PROPORCIONAL
B
C D 1. Sobre una recta, dibujamos los
C B
segmentos AB - CD consecu-tivamente,
A D
unidos por uno de
sus extremos.
El segmento resultante es AD

A
MEDIA PROPORCIONAL
B
C D 2. Hallamos la mediatriz de AD
M C B
A D

A
MEDIA PROPORCIONAL
B
C D 3. Trazamos la semicircunfe-rencia
M C B
A D
de radio MA

A
MEDIA PROPORCIONAL
C D 4. Trazamos una perpendicular
A
E
D
B
M C B
a AD desde el punto de unión
de los dos segmentos C=B,
que corta a la semicircunfe-rencia
en el punto E

A
MEDIA PROPORCIONAL
C D 5. La distancia EC = EB es la
A
E
D
B
media proporcional
M C B
MEDIA PROPORCIONAL DE
AB - CD. Dicha distancia
es la altura del triángulo
rectángulo ADE

A
C D 5. La distancia EC = EB es la
A
E
D
B
media proporcional
ALTURA
M C B
MEDIA PROPORCIONAL DE
AB - CD. Dicha distancia
es la altura del triángulo
rectángulo ADE
MEDIA PROPORCIONAL

MEDIA PROPORCIONAL
TEOREMA DEL CATETO
A B
C D

MEDIA PROPORCIONAL
A B
C D 1. Sobre una recta, trazamos
A B
el segmento AB
TEOREMA DEL CATETO

A
MEDIA PROPORCIONAL
B
C D 2. Dentro de AB, y haciendo
A C B
D
coincidir uno de sus extremos,
dibujamos el segmento CD.
TEOREMA DEL CATETO

A
MEDIA PROPORCIONAL
B
A C B
D
C D
M
3. Hallamos la mediatriz
de AB
TEOREMA DEL CATETO

A
MEDIA PROPORCIONAL
B
A C B
D
C D
M
4. Trazamos la semicircun-ferencia
MA
TEOREMA DEL CATETO

A
MEDIA PROPORCIONAL
E
B
A C B
D
C D
M
5. Levantamos en D (extremo
del segmento menor) una
perpendicular a AB que corta
a la semicircunferencia
en el punto E
TEOREMA DEL CATETO

A
MEDIA PROPORCIONAL
D
D
E
B
C
C
media proporcional
M
A B
6. El segmento AE ( = CE) es
la MEDIA PROPORCIONAL
de AB - CD. Es el cateto del
triángulo rectángulo ABE
TEOREMA DEL CATETO

TEOREMA DEL CATETO
A
D
D
E
B
media proporcional: CATETO
C
C
M
A B
6. El segmento AE ( = CE) es
la MEDIA PROPORCIONAL
de AB - CD. Es el cateto del
triángulo rectángulo ABE
MEDIA PROPORCIONAL

Hallar los segmentos AB y BC dada la suma s y su diferencia d
s
d
Problemas con SEGMENTOS

s
1. Dibujamos el segmento
s (suma AB + CD) sobre
una recta auxiliar
s
d

s
d
2. Dibujamos la diferencia d
dentro del segmento s,
haciendo coincidir uno de sus
extremos.
s
d

s
E
B
d
3. Trazamos la mediatriz de
EC, que será el punto B
(extremo del segmento AB)
C
s
d

s
d 4. Teniendo BC, sólo queda
A B C
s
d
marcar AB, que va del
extremo de la suma a la
B (mediatriz de EC)
E

MULTIPLICAR EL SEGMENTO AB por 2,5
A B

B
B
A
A
2 AB
sobre una recta auxiliar y
mediante un arco de radio BA
lo duplicamos (AB´)
B´

B
B M B´
A
A
2 AB
2. Trazamos la mediatriz de
BB´, obteniendo así el
punto M.
BM = B´M = 1/2 AB

B
B M B´ B´´
A
A
2 AB
3. Trazamos el arco B´M, que
cortará a la recta auxiliar en
el punto B´´

B
B M B´ B´´
A
A
2 AB
AB x 2,5
4. El segmento AB´´ es el
resultado de multiplicar
AB por 2,5 su valor

A B
C D
Hallar el PRODUCTO DE SEGMENTOS AB x CD

A B
1. Sobre una línea auxiliar
dibujamos el segmento AB
A B
C D

A B
C D
A B
2. Trazamos una línea auxiliar
que parta de A, y sobre ella
y a partir de A medimos 1 cm
1 cm

A B
C D
C
A B
3. Justo a continuación del cm
marcado en la línea auxiliar,
trasladamos el segmento CD
1 cm
D

A B
C D
C
D
A B
4. Unimos C y B
1 cm

B
E
A
C
5. Trazamos una paralela
a CB por la D. Así
obtenemos el punto E
1 cm
D
A B
C D

B
E
A
C
6. El segmento BE es la
multiplicación de AB x CD
1 cm
D
A B
C D

A B
C D
Hallar la DIVISIÓN ENTRE SEGMENTOS AB / CD

A B
C D
A B
1. Sobre una línea auxiliar
dibujamos el segmento AB

A B
C D
C
A B
2. 1. Trazamos Sobre una una línea línea auxiliar
auxiliar
que dibujamos parta de el A, segmento y sobre ella
AB
y a partir de A situamos el
segmento CD
D

A B
C D
A B
3. 1. A Sobre partir una del segmento línea auxiliar
CD
dibujamos dibujamos 1 el cm segmento y obtenemos
AB
el punto E.
C
D
E
1 cm

A B
C D
A B
4. Unimos D con B
C
D
E
1 cm

A B
C D
A B F
5. Trazamos una paralela a DB
por E, y obtenemos F.
El segmento BF es el
resultado de dividir AB/CD
C
D
E
1 cm
AB/CD

Hallar la RAIZ CUADRADA DEL SEGMENTO AB
A B

A
A
B
1. Trazamos, sobre la
línea auxiliar, el segmento AB
B

A
C A
B
2. A partir de uno de sus
extremos, dibujamos 1 cm
1 cm B

A
B
1 cm B
C A M
3. Hallamos la mediatriz del
segmento suma de AB + 1
(CB)

A
B
1 cm B
C A M
4. Trazamos un arco de radio
MC = MB

A
D
B
AB
5. Trazamos una perpendicular
en A que corta al arco en el
punto D. El segmento DA es la
raiz cuadrada de AB
1 cm B
C A M
AB( ) = 1 x AB

SECCIÓN AÚREA
Determina la sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
A B

A B
1. Trazamos una perpendicular
a AB desde uno de sus
extremos
SECCIÓN AÚREA

A M B
2. Trazamos la mediatriz de AB
SECCIÓN AÚREA

C
½ AB
A M B
3. Se traza el arco BM, que
corta a la primera perpendi-cular
trazada en el punto C
SECCIÓN AÚREA

C
½ AB
A M B
4. Unimos A con C mediante
una recta
SECCIÓN AÚREA

C
D ½ AB
A M B
5. Trazamos el arco CB,
que corta a la recta
anteriormente trazada
en el punto D
SECCIÓN AÚREA

C
D ½ AB
BA aeruá nóicces
A M B
6. El segmento AD es la
SECCIÓN ÁUREA de AB.
SECCIÓN AÚREA

C
D ½ AB
sección áurea AB
A M B
7. Abatimos AD sobre AB
para tener la sección áurea
sobre el segmento
SECCIÓN AÚREA

8. Para calcular el segmento del
A
A
C
D ½ AB
M B
sección áurea AB
cual es sección áurea AB,
completamos el arco CBD
en una circunferencia
SECCIÓN AÚREA

9. La recta que pasaba por A, D
y C, se prolonga y corta la
circunferencia trazada en el
A
A
D
C
M B
E
½ AB
sección áurea AB
punto E
SECCIÓN AÚREA

A
A
D
C
M B
E
½ AB
sección áurea AB
segmento del que es sección áurea AB
10. El segmento AE es el
segmento del cual es sección
áurea AB
SECCIÓN AÚREA

Determinar el LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO
QUE DISTAN 20 mm del punto A
A

Determinar el LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO
QUE DISTAN 20 mm del punto A
A
R 20 mm
El lugar geométrico de los
puntos del plano que distan
20 mm del punto A es una
CIRCUNFERENCIA de
20 mm de radio

Determina el LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO
QUE EQUIDISTAN DE LOS PUNTOS A Y B
A B

A
1
R R
2
1. El lugar geométrico de los
B
puntos del plano que
equidistan de los puntos
A y B es la
MEDIATRIZ de AB.
Para dibujarla, trazamos
dos arcos iguales desde
A y desde B (tienen que tener
una distancia mayor que la
mitad entre A y B).
Estos arcos se cortarán
en los puntos 1 y 2

1
A B
R R
2
2. Uniendo los puntos 1 y 2,
obtenemos la MEDIATRIZ
de AB, solución del problema
m

A B
R1 R1
R
O1
R
1
2
Cualquier punto de la mediatriz
estará a la misma distancia de
A que de B
m

A
m
B
1
R2 R2
R
O2
R
R1
R1
O1
2

r
QUE DISTAN 17 mm DE LA RECTA r

r
17 mm 17 mm
1. Para tomar cualquier distancia
a una recta hay que hacerlo
en perpendicular.
Trazamos una recta auxiliar
perpendicular y sobre
ella marcamos 17 mm por
arriba y 17 mm por
debajo de la recta r

r
17 mm 17 mm
2. Una vez tenemos las distancias
marcadas, trazamos las paralelas

Determina EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO
QUE DISTAN 10 mm DEL ARCO a
O
a

O
a
10 mm 10 mm
1. Trazamos un radio cualquiera, y
a partir del punto donde el radio corta
al arco, marcamos 10 mm hacia
fuera (B) y 10 mm hacia dentro de
dicho arco (A)
B
A

O
B
A
a
10 mm 10 mm
2. Con centro en O, trazamos dos arcos
con radio OA y OB, obteniendo
así las dos soluciones del
problema

Determina el LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN
DE LAS RECTAS r Y s
r
s

DE LAS RECTAS r Y s
r
s
d
d
d
2 1
1. Trazamos paralelas a r y s a la misma
distancia ( distancia d).
Para tomar la distancia, recuerda que
hemos de trazar rectas perpendiculares.
V

DE LAS RECTAS r Y s
s
d
d
d
2 1
V r
2. Si unimos V (punto de unión de r y s)
con el punto 1 y el 2, obtenemos
las rectas cuyos puntos equidistan
de r y s

DE LAS RECTAS r Y s
s
d
d
d
2 1
V r
3. El ángulo formado por las dos
rectas solución, es un ángulo recto

Bisectriz de ÁNGULO MIXTILÍNEO
Determina el LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO QUE
o
s
r
EQUIDISTAN DE LA RECTA r Y DEL ARCO s
V

o
s
d
d r
1. Trazamos paralelas a la recta r a una
distancia arbitraria d
V

o
s
d
d r
2. Trazamos un radio cualquiera del arco s
V

o
s
d
d
d
d r
3. Sobre dicho radio, y en la parte interna del arco,
marcamos la distancia d tanta veces como
paralelas hemos hecho a r
V

o
s
d
2
d
d
d r
4. Trazamos arcos de circunferencia con centro en O
y radio hasta cada una de las divisiones que hemos
hecho con distancia d en la parte interna del arco.
Así, obtenemos los puntos 1, 2
1
V

o
s
d
2
d
d
d r
5. Uniendo V con 1, 2... obtendremos la curva
que equidista de r y s
1
V

o
s
d
4
3 1
2
d
d
d
d
d r
6. Trazamos arcos a la misma distancia que los
anteriores, pero ahora por la parte externa a s.
Así conseguimos los puntos 3 y 4
V

o
s
r
d 1
V
d
2
d
d
d
d
7. Unimos V con los puntos 3, 4... y obtenemos la
segunda curva del resultado, que equidista de r y s
Cuantos más puntos hallemos, más podremos
concretar la curva resultado, que hemos de trazar
a mano o con plantilla de curvas
4
3

Bisectriz de ÁNGULO CURVILÍNEO
Determina EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN
DE LOS ARCOS r Y s
o1
o2
r s
V

o1
d o2
d
d
d
d
3
2
1
d
1. Aplicando el mismo procedimiento
que en el ejercicio anterior, realizamos
arcos internos y externos a r y s
respectivamente, siempre a partir de
un radio auxiliar.
Estos arcos se cortarán en los
puntos 1, 2 y 3
r
V
s
DE LOS ARCOS r Y s

o1
d o2
d
d
d
d
3
2
1
d
2. Uniendo el punto V con los puntos
1, 2, 3, conseguimos la línea cuyos puntos
equidistan de los arcos r y s
r
V
s
DE LOS ARCOS r Y s

V
TT22.. TTRRAAZZAADDOOSS FFUUNNDDAAMMEENNTTAALLEESS EENN EELL PPLLAANNOO.. PPaarraalleellaass,, PPeerrppeennddiiccuullaarreess,, MMeeddiiaattrriicceess
Operaciones con ÁNGULOS
Construir tres ángulos, iguales al dado a mediante los procedimientos indicados:
a
1. POR PERPENDICULARIDAD ENTRE LADOS
2 MIDIENDO CON EL COMPÁS
3. POR PARALELISMO ENTRE LADOS.

V
a
POR PERPENDICULARIDAD
ENTRE LADOS
Trazamos dos rectas que sean
perpendiculares a cada uno
de los lados del ángulo.
Utiliza la escuadra y el cartabón
para ello

V
V
a
a
POR PERPENDICULARIDAD
ENTRE LADOS
Trazamos dos rectas que sean
perpendiculares a cada uno
de los lados del ángulo.
Utiliza la escuadra y el cartabón
para ello

V
1
2
a
MIDIENDO CON EL COMPÁS
1. Trazamos un arco de medida
arbitraria con centro en el vértice,
que cortará los lados del vértice en
los puntos 1 y 2

V
V´
1
2
2
a
2. Sobre una línea auxiliar situamos
un punto V´ y trazamos un arco de
igual radio al trazado en el ángulo
original

V
V´
1
1´
2
2´
a
3. Medimos con el compás, en
el ángulo dado, la distancia que
hay del punto 1 al 2.
Trazamos un arco con dicha
distancia en el punto 2´, que cortará
al arco trazado con anterioridad
desde V´en el punto 1´

V
V´
1
1´
2
2´
a
4. Uniendo V´con 1´obtenemos
el lado que falta para obtener
un ángulo igual al dado

POR PPARALELISMO
ENTRE LADOS
Trazamos, con ayuda de la
escuadra y el cartabón, paralelas
a los dos lados del ángulo.
Ambas rectas se cortarán en V´
V
V´
a

Construir el ÁNGULO IGUAL A LA SUMA DE LOS DADOS b Y g
b g

b
b
g

b
b
g
g

b
b
g
g
g + b

Construir el ÁNGULO IGUAL A LA DIFERENCIA DE LOS DADOS b Y g
b g

b g
b

b g
g
b

b g
g
b
b-g

a
Construye el ÁNGULO TRIPLE DE a

a
a

a
a aa

a
V
Traza la bisectriz del ángulo a

a
V
A
B
1. Trazamos un arco de
radio arbitrario.
Dicho arco corta los
lados del ángulo en
los puntos A y B

a
V
A C
B
2. Trazamos, desde A y
desde B dos arcos iguales
de radio arbitrario
(la medida ha de ser
mayor de la mitad de la
distancia AB).
Donde se corten ambos
arcos obtendremos
el punto C

a
V
A C
B
3. Unimos V con C y
obtenemos la
BISECTRIZ

Trazar la BISECTRIZ DEL ÁNGULO QUE FORMAN LAS RECTAS r Y s
s
r

r 1.En primer lugar trazamos una
s
línea auxiliar que corte r y s

A
r 2. La recta auxiliar forma cuatro ángulos
s
entre r y s.
Trazamos las bisectrices de
dichos ángulos, que se cortarán
B en dos puntos A y B

s
r
A
B
3. Unimos A y B y obtenemos
la BISECTRIZ

V
CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS
Ángulo de 60º
1
Para hacer un ángulo de 60º nos basamos en la construicción
de un triángulo equilátero. Los ángulos de un triángulo equilátero
miden 60º.
Trazamos un arco arbitrario desde V, obteniendo el punto 1
60º
60º 60º

Ángulo de 60º
V
1
2
Trazamos un arco 1V y obtenemos el punto 2

Ángulo de 60º
V
60º
1
2
Uniendo V2 obtenemos el lado del ángulode 60º que buscamos

Ángulo de 30º
2
V 1
Se comienza realizando un ángulo de 60º
como se ha visto anteriormente

Ángulo de 30º
2
V 1
3
Se realiza la bisectriz del ángulo 2V1,
y ya tenemos el ángulo de 30º

Ángulo de 30º
2
V 1
3
30º

Ángulo de 15º
2
V 1
Comenzamos por hacer un ángulo de 30,
para ello hacemos la bisectriz al de 60 (2V1)

Ángulo de 15º
2
V 1
3

Ángulo de 15º
2
V 1
3
30º

Ángulo de 15º
2
4 3
30º 15º
V 1

Ángulo de 90º
V 1

Ángulo de 90º
2
V 1

Ángulo de 90º
3 2
V 1

Ángulo de 90º
4
3 2
V 1

Ángulo de 90º
4
3 2
90º
V 1

Ángulo de 75º
4
3 2
V 1
Se comienza realizando un ángulo de 90º
como se ha visto anteriormente

Ángulo de 75º
4
3 2
V 1
Se traza una recta V2 como si trazáramos
un ángulo de 60º
60º

Ángulo de 75º
4
5
3 2
V 1
El ángulo 5V2 es de 30º. Si le hallamos la
mediatriz obtendremos 15º, que sumados
a los sesenta anteriores son 75º
15º
60º

Ángulo de 75º
4
5
3 2 75º
V 1
El ángulo 5V2 es de 30º. Si le hallamos la
mediatriz obtendremos 15º, que sumados
a los sesenta anteriores son 75º
15º
60º

Ángulo de 37º 30´
4
5
3 2 75º
V 1
37º30´ son la mitad de 75º, por tanto
trazamos un ángulo de 75º y le hacemos
la bisectriz
15º
60º

2
60º
4
V 1
3
5
37º30´ son la mitad de 75º, por tanto
trazamos un ángulo de 75º y le hacemos
la bisectriz
15º
75º

2
60º 37º30´
4
5
3 75º
V 1
Ya tenemos el ángulo de 37º30´
15º

Ángulo de 45º
4
5
3 2
V 1
Se realiza un ángulo de 90º
90º

Ángulo de 45º
4
5
3 2
V 1
6
45º
Se realiza la bisectriz del ángulo 5V1 de 90º,
90º

Ángulo de 105º
15º
2
60º
75º
V 1
Se obtiene sumando 90 + 15,
por tanto hacemos el de 75 y sumamos
los 15 que restan entre el de 90 y el de 75

Ángulo de 105º
15º
2
60º
105º
75º
V 1
Se obtiene sumando 90 + 15,
por tanto hacemos el de 75 y sumamos
los 15 que restan entre el de 90 y el de 75

Ángulo de 120º
2
60º
1 V
Comenzamos como si trazáramos el ángulo de 60º
pero al otro lado del vértrice, en este caso a la izquierda.

Ángulo de 120º
2 30º
60º 90º
1 V
De esta menera tendremos 90 + 30 =120.

30º
Ángulo de 120º
2
60º 120º
1 V
De esta menera tendremos 90 + 30 =120.

Ángulo de 135º
90º
V
Trazamos un ángulo de 90º

90º
45º
Ángulo de 135º
V
Hallamos la bisectriz del ángulo recto de la izquierda,
así conseguimos 45º que sumados a los 90º
anteriores suman 135º

45º 135º
90º
Ángulo de 135º
V
Hallamos la bisectriz del ángulo recto de la izquierda,
así conseguimos 45º que sumados a los 90º
anteriores suman 135º

Ángulo de 150º
90º
V
Trazamos un ángulo de 90º

Ángulo de 150º
V
Si a 90º le sumamos 60º por el método explicado anteriormente,
tendremos 150º
90º
60º

Ángulo de 150º
V
150º
Si a 90º le sumamos 60º por el método explicado anteriormente,
tendremos 150º
90º
60º

Ángulo de 180º
180º
V
El ángulo de 180º es aquel cuyos lados están
en la misma línea recta. Son dos ángulos de 90º
consecutivos

ARCO CAPAZ
Determina EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO DESDE
LOS QUE SE VE EL SEGMENTO AB BAJO UN ÁNGULO RECTO
A B

Determina EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO DESDE
LOS QUE SE VE EL SEGMENTO AB BAJO UN ÁNGULO RECTO
A M B
El lugar geométrico de los puntos
del plano desde los que se ve el
segmento AB bajo un ángulo recto
es UN ARCO CAPAZ DE 90º,
es decir,
UNA CIRCUNFERENCIA
CON CENTRO EN LA
MEDIATRIZ DE AB
ARCO CAPAZ

ARCO CAPAZ
Determinar el ARCO CAPAZ DE 60º PARA EL SEGMENTO AB
A B

A
60º
B
1. Trazamos un ángulo de 60º
utilizando como uno de sus lados
el segmento AB y como vértice
el punto A
ARCO CAPAZ

A
60º
B
2. Prolongamos el lado r del ángulo
y utilizando de nuevo el vértice A,
trazamos un ángulo recto sobre r
ARCO CAPAZ

A
60º
O
M B
3. Trazamos la mediatriz de AB,
que corta a la recta anteriormente
trazada en el punto O, centro
del arco capaz que buscamos
ARCO CAPAZ

A
60º
ARCO CAPAZ
O
M B
4. Trazamos el arco OA u OB,
que es el arco capaz de 60º del
segmento AB

A
60º
60º
ARCO CAPAZ
O
M B
5. Todos los ángulos que tracemos
con vértice en la circunferencia
y los lados pasen por A y B,
medirán 60º

ARCO CAPAZ
A B

A B
135º
ARCO CAPAZ

A
O
B
135º
ARCO CAPAZ

C
A
B
ARCO CAPAZ
Determinar EL PUNTO V desde el que se VEN LOS SEGMENTOS AB y BC BAJO
ÁNGULOS DE 45º y 120º RESPECTIVAMENTE

ARCO CAPAZ
C
A
B
45º

ARCO CAPAZ
C
A
O1
B
45º

C
A
O1
B
45º
120º
ARCO CAPAZ

C
A
V
O1
B
45º
120º
120º
ARCO CAPAZ

C
A
V
O1
B
45º
120º
ARCO CAPAZ

45º
C
A
V
O1
B
45º
120º
120º
ARCO CAPAZ

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