1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
“ANDRÉS ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO – ESTADO LARA
PLANO NUMÉRICO
ANTHONY ESCOBAR
C.I. 30.485.784
PNF: HIGIENE Y SEGURIDAD LABORAL
2021

2. PLANO NUMÉRICO
¿Qué es un Plano cartesiano?
• Se conoce como plano cartesiano, coordenadas
cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se
cortan en un punto llamado origen o punto cero.
• La finalidad del plano cartesiano es describir la posición
o ubicación de un punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de coordenadas.
• El plano cartesiano también sirve para analizar
matemáticamente figuras geométricas como la
parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.

3. PARTES DEL PLANO CARTESIANO.
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los
ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A
continuación, te explicamos cada uno.
Se llama origen al punto en el que se
intersecan los ejes “x” y “y”, punto al
cual se le asigna el valor de cero (0). Por
ese motivo, también se conoce como
punto cero (punto 0). Cada eje
representa una escala numérica que
será positiva o negativa de acuerdo a su
dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el
segmento derecho del eje “x” es
positivo, mientras que el izquierdo es
negativo. Consecuentemente, el
segmento ascendente del eje “y” es
positivo, mientras que el segmento
descendente es negativo.

4. CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas
que se forman por la unión de las dos
rectas perpendiculares. Los puntos
del plano se describen dentro de
estos cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran
tradicionalmente con números
romanos: I, II, III y IV.
• Cuadrante I: la abscisa y la
ordenada son positivas.
• Cuadrante II: la abscisa es
negativa y la ordenada positiva.
• Cuadrante III: tanto la abscisa
como la ordenada son negativas.
• Cuadrante IV: la abscisa es
positiva y el ordenada negativa.

5. COORDENADAS DEL PLANO CARTESIANO
Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el
plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y
otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera:
P (x, y), donde:
P = punto en el plano;
x = eje de la abscisa (horizontal);
y = eje de la ordenada (vertical).
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea
perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos
proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”.
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir,
una proyección del punto P sobre el eje “y”.
En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un
número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas.

6. COORDENADAS DEL PLANO CARTESIANO
En este ejemplo, las
coordenadas de los puntos
en cada cuadrante son:
• cuadrante I, P (2, 3);
• cuadrante II, P (-3, 1);
• cuadrante III, P (-3, -1) y
• cuadrante IV, P (3, -2).

7. COORDENADAS DEL PLANO CARTESIANO
En este ejemplo, el punto P (3,4)
nos da la ubicación precisa del
punto en el cuadrante I del
plano.
El 3 pertenece al eje de las
abscisas y el 4 (segmento
derecho) al eje de las ordenadas
(segmento ascendente).
El punto P (-4,-3) nos da la
ubicación específica del punto en
el cuadrante III del plano. El -4
pertenece al eje de las abscisas
(segmento izquierdo) y el -3 al
eje de las ordenadas (segmento
descendente).

8. EJERCICIOS PROPUESTOS
• 1. Escriba los pares ordenados de los puntos A, B, C, D, E, F, G y H en el
siguiente plano cartesiano:

9. EJERCICIOS PROPUESTOS
• 2. Indique a qué cuadrante pertenecen los puntos A, B, C, D, E, F, G y H del
ejercicio anterior.
• 3. Localice en un plano cartesiano los puntos con las siguientes
coordenadas:
A = (6,4); B = (4, 1); C = (6, -2); D = (-3, -3); E = (-2. -2).

10. RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-
A = (2, 5); B = (-5, 3); C = (-5, -2); D = (2,-5); E = (5, 2); F = (-3, 2);
G = (-4, -4); H = (4, -3).
2.-
• Primer cuadrante: A y E;
• Segundo cuadrante: B y F;
• Tercer cuadrante: C y G;
• Cuarto cuadrante: D y H.

11. RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
3.

12. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), se
define la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud
del segmento que los separa.

13. EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Determine la distancia entre cada par de puntos dados
usando la fórmula de distancia.
1.1.- A(1,2) y B(-3,4)
1.2.- A(-3,0) y B(-4,6)
2.- Para los pares de puntos dados en cada figura
a) Estime las coordenadas de los puntos P1 y P2.
b) Estime la distancia entre P1 y P2 usando la fórmula de
distancia

14. REPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
2.1 a) (1,1) y (3,3); b) 2√2
2.2 a) (–1,3) y (5, –3); b) 6√2
2.3 a) (–4, –2) y (0, –3); b) √17
1.1 2√5
1.2 √37

15. PROBLEMA PROPUESTO
Blake caminó desde su casa a la escuela y después caminó a la práctica de
fútbol. ¿ Cuál fue la distancia total que Juan caminó? Las unidades están en
Km.
RESPUESTA:
DISTANCIA= 52 + 13
DISTANCIA= 10,8167 Km.

16. PUNTO MEDIO
Punto medio, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de
un segmento
Punto equidistante, es el punto que se encuentra a la
misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean
puntos, segmentos, rectas, etc.
Si en un segmento de recta, el punto medio es el que lo
divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio
es único y equidista de los extremos del segmento. Por
cumplir esta última condición, pertenece a
la mediatriz del segmento.

17. PUNTO MEDIO
En el plano cartesiano
• Dado un segmento, cuyos extremos tienen por
coordenadas:
• El punto medio, Pm, tendrá por coordenadas:

18. PUNTO MEDIO
EN OTROS CASOS
• En el triángulo La mediana une el punto medio de un lado con el vértice del lado
opuesto.
• Si se unen los tres puntos medios de un triángulo se construye un triángulo
semejante al original, cuya área es un cuarto del área primitiva.
• En el punto medio de cada lado de un triángulo se levanta la mediatriz respectiva
de dicho lado.
• El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el centro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
• En las cónicas , En la elipse: el centro es el punto medio de su eje mayor, como
también del segmento que une los focos.
• En la hipérbola: el centro es el punto medio de del segmento que une los focos.
• El centro de una circunferencia es el punto medio de cualquier diámetro.
• En paralegramos, El punto medio de una diagonal de un rectángulo es centro de
simetría
• El punto medio de cualquier diagonal de un rombo es el vértice del ángulo recto
de los cuatro triángulos rectángulos definidos por las dos diagonales.
• El punto medio de la diagonal de un cuadrado es centro de simetría.

19. EJEMPLO RESUELTO
Dados dos puntos en el plano, puedes calcular su distancia, determinar la distancia
entre los puntos (1,2) y (9,8)
Solución:

20. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE LAS SECCIONES CÓNICAS
• Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas
resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si
dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente
dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y
circunferencia.
• Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (1),
elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3).

21. TIPOS
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del
plano, respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a
saber:
• β < α: Hipérbola (naranja)
• β = α: Parábola (azul)
• β > α: Elipse (verde)
• β = 90°: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
• β = 180°: Triangular
• Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
• Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
• Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente
al cono).
• Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
• Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β
disminuye,
• cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

22. CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de
un plano que equidistan a otro punto llamado centro.
Elementos relevantes de la circunferencia:
• El centro es el punto equidistante a todos los puntos de
una circunferencia. Señalado con el nombre C.
• Un radio es cualquier segmento que une el centro de la
circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El
radio también es la longitud de los segmentos del mismo
nombre. Señalado con el nombre r.
• Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos
de la circunferencia pasando por su centro. El diámetro
también es la longitud de los segmento del mismo
nombre. Señalado con el nombre d.
• El perímetro es el contorno de la circunferencia y su
longitud. Señalado con el nombre L.

23. CIRCUNFERENCIA
• Una cuerda es cualquier segmento que une dos
puntos de una circunferencia. El diámetro es una
cuerda de máxima longitud. Segmento verde.
• Un arco es cualquier porción de circunferencia
delimitada por dos puntos sobre esta. Se dice
también que una cuerda subtiende cada arco que
determinan sus extremos. Línea curva azul.
• Una flecha respecto una cuerda es el segmento de su
mediatriz que hay entre esta cuerda y el arco que
determina esta, sin pasar por el centro. Segmento
rojo.
• Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado
por los extremos de un diámetro.

24. CIRCUNFERENCIA

25. CIRCUNFERENCIA
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia queda determinada por un centro C=(a,b) y un radio r, por
tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la distancia de sus
puntos, P=(x,y), al centro sea constante, es decir, |P-C|=r dando la siguiente
ecuación:
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se
denomina circunferencia unidad y su ecuación es:
Es posible usar cuadratura para hallar la ecuación de la circunferencia a partir
de su ecuación extendida
A partir de los puntos extremos de un diámetro, (x1,y1) y (x2,y2), la ecuación de
la circunferencia es:

26. EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 5.
Solución: de la ecuación ( − ) + − = se sustituye en la
fórmula anterior a y b por 0 y r por 5 y nos queda:
+ = 5
Que es igual a
+ = 25

27. EJERCICIOS RESUELTOS
2.- Obtener la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen, con
centro en C(5,4) y radio 3.
Solución: de la ecuación ( − ) + − = se sustituye en la
fórmula anterior a por 5 y b por 4 y r por 3 y nos queda:
( − 5) + − 4 = 3
Que es igual a
− 10 + − 8 + 38 =0

28. PARÁBOLAS
La parábola es el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado foco y de una
recta fija llamada directriz.
d(F,P)= d(P,d)
La parábola aparece en muchas ramas
de las ciencias aplicadas debido a que
su forma se corresponde con las
gráficas de las ecuaciones cuadráticas.
Por ejemplo, son parábolas las
trayectorias ideales de los cuerpos que
se mueven bajo la influencia exclusiva
de la gravedad (ver movimiento
parabólico y trayectoria balística).

29. PARÁBOLAS
• Foco
Es el punto fijo F.
• Directriz
Es la recta fija D.
• Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz,
se designa por la letra p.
• Eje
Es la recta perpendicular a la
directriz que pasa por el foco.
• Vértice
Es el punto de intersección de la
parábola con su eje.
• Radio vector
Es un segmento que une un punto
cualquiera de la parábola con el foco.

30. PARÁBOLAS
• Distancia focal: distancia entre el foco F y
el vértice . Es igual a p/2.
• Puntos interiores y exteriores: la parábola
divide el plano en dos regiones. Los
puntos que están en la región del foco se
llaman puntos interiores (I), mientras que
los otros son los exteriores (J).
• Cuerda: segmento que une dos puntos
cualesquiera de la parábola.
• Cuerda focal: una cuerda que pasa por el
foco F.
• Lado recto: Cuerda focal paralela a la
directriz D y, por tanto, perpendicular al
eje E. Su longitud es dos veces el módulo
del parámetro (2p, pues se ven en la figura
dos cuadrados unidos iguales de lado p).

31. PARÁBOLAS
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
• La ecuación de una parábola es un tipo de función cuadrática porque
siempre debe de tener como mínimo un término elevado al cuadrado.
Además, la ecuación de una parábola depende de si esta está orientada
horizontalmente o verticalmente.
• Así pues, en geometría analítica existen varias maneras de expresar
matemáticamente una parábola: la ecuación canónica o reducida,
la ecuación ordinaria y la ecuación general de la parábola.
ECUACIÓN REDUCIDA O CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
• Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de las otras ecuaciones
parabólicas, es que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas,
es decir, el punto (0,0).
• La forma de la ecuación reducida de la parábola depende de si esta es
horizontal o vertical. Fíjate en la siguiente representación gráfica donde se
muestran las 4 posibles variantes:

32. ECUACIÓN REDUCIDA O CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
Donde p es el parámetro
característico de la
parábola. Como se ve en
la figura, cuando la
variable x está elevada al
cuadrado la parábola es
vertical, en cambio,
cuando la variable y está
elevada al cuadrado la
parábola es horizontal.
Por otra parte, el sentido
de las ramas de la
parábola depende del
signo de la ecuación.

33. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA
La ecuación de la parábola cuando su vértice o centro corresponde al origen de
coordenadas (la ecuación reducida o canónica), pero ¿cuál es la ecuación de la
parábola si el vértice está fuera del origen?
Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera se utiliza la ecuación
ordinaria de la parábola, cuya expresión es:
Donde el centro o vértice de la parábola es el punto V(x0,y0)
La ecuación anterior corresponde a la parábola que está orientada de manera
vertical, es decir, el eje focal de la parábola es paralelo al eje Y.
Análogamente, para definir una parábola orientada de manera horizontal (su
eje focal es paralelo al eje X), se debe usar la siguiente variante de la ecuación
ordinaria de la parábola:
Donde, al igual que antes, el centro o vértice de la parábola es el
punto V(x0,y0)

34. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Todas las ecuaciones de las parábolas que se han analizado sirven para
expresar parábolas horizontales o verticales. Pero, evidentemente, una
parábola también puede ser oblicua o inclinada.
Para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola,
cuya fórmula es la siguiente:
La ecuación anterior se trata de una parábola si, y solo si, los coeficientes A
y C no son simultáneamente nulos y, además, se cumple la siguiente condición:

35. PROPIEDADES DE LAS PARÁBOLAS
Todas las parábolas poseen las siguientes propiedades:
• Una parábola se trata de una curva abierta, o dicho de otra forma, consiste
en dos ramas sin puntos comunes que se prolongan ilimitadamente.
• Toda parábola tiene un único eje de simetría, donde está situado el vértice
de dicha parábola.
• Una parábola de orientación vertical es convexa cuando sus ramas van hacia
arriba, por contra, la parábola es cóncava si sus ramas van hacia abajo.
• La excentricidad de una parábola es equivalente a la unidad (1). La
excentricidad es un coeficiente que en este caso se calcula dividiendo la
distancia desde el foco hasta el centro de la parábola entre la distancia del
vértice a la directriz (y ambas distancias siempre coinciden en su valor).
• De la propiedad anterior, se deriva que todas las parábolas son semejantes o
similares.
• Una parábola no tiene ninguna asíntota.

36. EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Calcula el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya
ecuación es la siguiente: = 8
Solución: la parábola será horizontal porque sigue la siguiente expresión de la
ecuación reducida o canónica de la parábola: = 2 ., Así que su
parámetro p es:
2p=8 ====> p=4
Como la parábola sigue la ecuación reducida o canónica, significa que su vértice
o centro está en el origen de coordenadas: V(0,0), Una vez sabemos el vértice y
el valor del parámetro de la parábola, podemos calcular su foco y directriz de
manera fácil. El término cuadrático de la ecuación es la variable y o sea que el
eje de la parábola será paralelo al eje OX y, de hecho, como su vértice es el
punto (0,0), el eje de la parábola será el propio eje OX. entonces, el foco de una
parábola siempre está situado en el eje de la parábola y a una distancia
de p/2 del vértice de la parábola, con lo que sus coordenadas son:
F(p/2,0) =====> F(2,0)

37. EJERCICIOS RESUELTOS
Del mismo modo, la recta directriz está a una distancia p/2 del vértice de la
parábola, que es el origen de coordenadas y es perpendicular a su eje focal. Por
tanto, la ecuación de la recta directriz es:
x= -p/2 ===> x= -2
2.- Halla el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es la
siguiente:
( − 4) = −16 + 1
La parábola está definida según su ecuación ordinaria (eje paralelo al eje Y),
cuya fórmula es:
( − 0) = 2 ( − 0)
Su parámetro P es : 2p= -16 ===> p= -8
Por otra parte, en este caso la ecuación ordinaria de la parábola implica que su
centro no está en el origen de coordenadas. Las coordenadas cartesianas del
vértice de la parábola son los números x0 = 4 y y0= -1:
===> V(4,-1)
•

38. EJERCICIOS RESUELTOS
Una vez conocidos el vértice y el valor del parámetro de la parábola, se puede
calcular el foco y la directriz.
El término cuadrático de la ecuación es la variable x por lo que el eje de la
parábola será paralelo al eje OY. Así pues, el foco de una parábola siempre
está situado en el eje de la parábola y a una distancia de p/2 del vértice de la
parábola, de modo que las coordenadas del foco son las del vértice
sumando p/2 verticalmente:
F(x0,y0 + p/2)
Que sustituyendo los valores conocidos es:
F(4, -1+ (-8/2)) ===> F(4,-5)
Del mismo modo, la directriz será la recta horizontal situada a una
distancia p/2 del vértice de la parábola. Por lo tanto, la ecuación de la recta
directriz es:
Y= y0 – p/2 ===> y = -1 – (-8/2) ===> y= 3

39. EJERCICIO PROPUESTO
Determina la ecuación de la parábola
cuyo eje es paralelo al eje de las
abscisas, tiene como vértice el punto
V(5,2) y su foco es el punto P(8,2).

40. ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la
suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares entre sí:
El semieje mayor (el
segmento C-a de la figura), y
El semieje menor (el
segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor
y menor respectivamente.

41. PUNTOS DE UNA ELIPSE
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje
mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos
focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la
distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
PF1+PF2=2a, donde a es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El
resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante
y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos
opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

42. DIRECTRICES DE LA ELIPSE
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor
llamada directriz. La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es
una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz
que resulta en la igualdad:
La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse. La relación entre estas dos
distancias es la excentricidad є de la elipse

43. ECUACIONES DE LA ELIPSE
En coordenadas cartesianas
Forma cartesiana centrada en el origen
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen,
es: + = 1
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje x
(abscisa) y b al eje de y (ordenada) la elipse es horizontal, si es al revés, entonces
es vertical. El origen O es el punto medio del segmento [FF']. La distancia entre los
focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa,
siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor.
Forma cartesiana centrada fuera del origen
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
( )
+
(! ")
#
= 1

44. EJERCICIOS RESUELTOS
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la
elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
Solución:
Semi eje mayor 2a=10 ==> a=5
Semidistancia focal FF´=2c=6 ==> c=3
Semi eje menor = 5 − 3 ==> b=4
Ecuación reducida
$
+
!
%
= 1

45. EJERCICIOS RESUELTOS
Dada la ecuación reducida de la elipse, hallar las coordenadas de los vértices,
los focos y la excentricidad
2
+
3
= 1
Solución : como el divisor de y es mayor que el de x, entonces, la parábola
está sobre el eje y, como lo indica la ecuación reducida, a=3 , b=2
, entonces,
A(0,3), Á´(0,-3)
B(2,0), B´(-2,0)
& = 3 − 2 = 5 ===> F(0, 5), F´(0,- 5)
e=
$
'

46. EJERCICIOS RESUELTOS
Dada la ecuación reducida de la elipse, hallar las coordenadas de los vértices,
los focos y el centro.
( − 6)
6
+
( + 4)
4
= 1
Solución : la ecuación tiene la forma
( − ()
+
( − ()
= 1
El centro está indicado por C(xo,yo), Por lo tanto, el centro está en C(6,-4),
los vértices están en
A(12,4), Á´(0,-4)
B(6,0), B´(6,-8)
Y los focos están en:
& = 6 − 4 = 2 5 ===> F(6+2 5, −4), F´(-2 5, -4)

47. HIPÉRBOLAS
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el
valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una
constante positiva.
Las asíntotas de la hipérbola se muestran
como líneas discontinuas azules que se
cortan en el centro de la hipérbola (curvas
rojas), C. Los dos puntos focales se
denominan F1 y F2, la línea negra que une los
vértices es el eje transversal. La delgada línea
perpendicular en negro que pasa por el
centro es el eje conjugado. Las dos líneas
gruesas en negro paralelas al eje conjugado
(por lo tanto, perpendicular al eje
transversal) son las dos directrices, D1 y D2.
La excentricidad e (e>1), es igual al cociente
entre las distancias (en verde) desde un
punto P de la hipérbola a uno de los focos y
su correspondiente directriz. Los dos vértices
se encuentran en el eje transversal a una
distancia ±a con respecto al centro.

48. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
Eje transversal o transverso
• Se le denomina al segmento rectilíneo donde se encuentran los focos y los
vértices de la hipérbola. Su valor es 2a y es perpendicular al eje conjugado.
Eje conjugado o imaginario
• Es el segmento rectilíneo que pasa por el centro de la hipérbola y que es
perpendicular o normal al eje transversal y cuya longitud es de 2b.
Eje focal
• Es el segmento rectilíneo cuyos extremos son los focos de la hipérbola y
cuya longitud es de 2c. Este eje es colineal con el eje transversal.
• Asíntotas
• Son las rectas que se intersecan en el centro de la hipérbola y se acercan a
las ramas al alejarse estas del centro de la hipérbola. Las ecuaciones de las
asíntotas aplicables a las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente:

49. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
Vértices
• Los vértices de una hipérbola son los puntos que son los extremos de su
eje transversal.
Focos
• Son dos puntos, F1, y F2, respecto de los cuales permanece constante la
diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto x, de dicha
hipérbola d(F1,x)-d(F2,x) =2a
Centro
• Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

50. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA
• ECUACIONES DE UNA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN
−
!
#
=1 ó
!
−
#
=1
• ECUACIONES DE UNA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL PUNTO C(h,k)
( )
−
(! ")
#
=1 ó
(! )
−
( ")
#
=1
• La primera ecuación corresponde a hipérbolas cuyo eje focal y mayor son
paralelos al eje x, en las cuales el vértice se halla en V(h±a,k) y los focos
en F(h±c,k).
• La segunda ecuación es la de las hipérbolas cuyo eje focal y mayor son
paralelos respecto al eje y en las cuales los vértices están ubicados
en V(h,k±a) y los focos en F(h,k±c).
• En donde c se calcula por : & = +

51. ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA
• La ecuación general de la hipérbolas es:
Si los coeficientes A y C son de signos diferentes, no nulos y A>0 y C>0,
entonces representa la ecuación general de una hipérbola cuyos ejes son
paralelos o colineales a los ejes coordenados o un par de rectas que se
cortan.

52. BIBLIOGRAFIA
• https://www.significados.com/plano-cartesiano/
• http://www.matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1a.html
• https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio#:~:text=Punto%20medio%20e
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C%20etc.
• https://www.ecured.cu/Punto_medio
• https://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html
• https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola.html
• https://sites.google.com/site/fm20132grupo5/contenidos/tema-17-plano-
cartesiano-elipse