El documento describe las reglas para construir el lugar de las raíces de un sistema de lazo cerrado. Este lugar representa la ubicación de las raíces de la ecuación característica a medida que varía un parámetro como la ganancia K. Las reglas incluyen determinar los puntos de origen, terminales, así como las asíntotas, intersecciones con los ejes real e imaginario, y puntos de separación. El objetivo es predecir cómo cambiarán las raíces y la estabilidad al modificar parámetros del sistema.

2. INTRODUCION

3. • POR OTRA PARTE.
Los polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados
sin alterar la naturaleza del sistema.
• ¿Por qué modificar los polos de lazo cerrado?
Las características de estabilidad de un sistema en lazo
cerrado están íntimamente ligadas con la ubicación de los
polos de lazo cerrado
Entonces:
-Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de
salida sin alterar su naturaleza.
-Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables
(inestables) utilizando realimentación y , en el caso mas
sencillo, modificando una simple ganancia.

4. El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la ecuación de lazo
cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro parámetro desde cero hasta infinito,
partiendo de la ecuación de lazo abierto GH(s):
Definición:
Condición de ángulo y magnitud
La ecuación característica
0)()(1  sHsG 1)()( sHsG
por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo:
1)()( sHsG ,...2,1,0,360180)()(  kksHsG
Condición de magnitud Condición de ángulo
Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y
magnitud.

5. )7( ss
K
+
-
Polos de lazo abierto:
7,0  ss
)(sC)(sR
En lazo cerrado
Kss
K
sR
sC


)7()(
)(
La ecuación característica es
072
 Kss
)(sB
En lazo abierto
)7()(
)(


ss
K
sE
sB Ks  25.125.312
y dependen del valor de K
Sea el sistema de lazo cerrado

6. Reglas de construcción para el lugar de las raíces
Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de
1.- Puntos de origen (k = 0)
Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos
incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
)5)(4(
)()(


sss
K
sHsG
polos finitos .5,4,0  sss
ceros finitos hayno
2.- Puntos terminales (k = )
Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los ceros
incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.

7. 3.- Número de ramas separadas
P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas
separadas.
ZPN 
303 NRamas separadas
4.- Asíntotas del lugar de las raíces
N
jo
j
)12(180 
 j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1
.2,1,0,3  jN
 60
3
180
1
o
  180
3
)3(180
2
o
  300
3
)5(180
2
o


8. 5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.
N


GH(s)decerosderaícesGH(s)depolosderaíces
1
3
3
)0()540(
1 


6.- Lugar de las raíces sobre el eje real
Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el número
total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado
es impar.

9. 7.- Ángulos de salida y llegada
El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada de un cero de GH(s)
puede determinarse suponiendo un punto S1 muy próximo al polo o al cero aplicando la
siguiente ecuación:
)12(180)(  jsGH o
zp 
En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el ángulo de salida por simple
inspección. Si se usa la fórmula, se define un punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida
o llegada.

 180540 

 1800180 4
0
5

 04
punto de prueba
5 punto de prueba

10. Condiciones de ángulo y magnitud: Según el sistema la ecuación de
transferencia

11. 8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario
Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en la
ecuación característica . Se obtiene el valor de y el de .js   K
j
0209)()(1 23
 KssssHsG
0)(20)(9)( 23
 Kjjj 
0209 23
 Kjj 
1j
se separan las parte real e imaginaria
09 2
 K
0203
  jj
0203
  jj
20180K
s

12. 9.- Puntos de separación
Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan
de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:
0
ds
dK ticacaracterísecuaciónladedespejaseK
sssK 209 23

020183 2
 ss
ds
dK
020183 2
 ss
4724.1s5275.4s

13. 10.- Cálculo del valor de K en el lugar de
las raíces
1)()( sHsG
Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener
los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condición de
magnitud.