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1. REGLA DE LA
CADENA

2. Supongamos que z = f(x, y) es una función diferenciable de x y de
y, donde x=g (t) y y=h (t) son funciones derivables de t, entonces z
es una función derivable de t y se cumple que:
Veamos esta fórmula de
manera gráfica:

3. Ejemplo:
Si 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑦 + 3𝑥𝑦4 representa la temperatura en el
punto (x, y) y 𝑥 = 𝑒 𝑡; 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡).
Son las ecuaciones paramétricas de una curva C, calcule la
razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva.

4. Solución:
 Si queremos saber cuál es la razón de cambio de T cuando
t=0, entonces.

5. Ejemplo 2:
Dada la función 𝑧 = 𝑥2
𝑦 − 𝑦2
, donde 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑦 = 𝑒 𝑡
. . Hallar
𝑑𝑧
𝑑𝑡
cuando t = 0.
SOLUCIÓN:
 Primero sustituimos x e y b por sus valores y derivamos una vez hecha la sustitución.
 𝑧 = 𝑥2
𝑦 − 𝑦2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡)
𝑦 = 𝑒 𝑡 → 𝑧 = 𝑒 𝑡
𝑠𝑒𝑛2
𝑡 − 𝑒2𝑡
, de donde

𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝑒 𝑡
𝑠𝑒𝑛2
𝑡 + 2𝑒 𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑡 − 2𝑒2𝑡

6. Aplicando la regla de la cadena, obtenemos:

𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= (2𝑥𝑦)cos( 𝑡) + (𝑥2
− 2𝑦)𝑒 𝑡
Dando como resultado:
 𝑡 = 0 →
𝑥 = 0
𝑦 = 1

𝑑𝑧
𝑑𝑡 𝑡=0
= 0 + (0 − 2). 1 = −2