Lugar geometrico de las raices

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
BARCELONA ESTADO ANZOÁTEGUI
Lugar geométrico de las raíces
Profesor: Integrante:
Francisco Guaicara Luis Méndez CI: 24.447.670
Barcelona abril del 2018

2. INTRODUCCIÓN
En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario asegurar una posición
apropiada a los ceros y polos de malla abierta, de manera que al cerrar la malla,
los polos resultantes determinen el comportamiento deseado del sistema. Para
evaluar los polos de una función de transferencia es necesario factorizar el
polinomio denominador lo que es complicado cuando se trata de polinomios de
orden mayor que dos y con frecuencia manejan algún parámetro cuyo valor
numérico no es definido, como la ganancia del controlador.
El método desarrollado por W. R. Evans permite graficar en el plano complejo
los sucesivos valores de los polos de malla cerrada para todos los valores
posibles del parámetro no definido. Este método es conocido como LUGAR
GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. El parámetro a considerar será la ganancia K
de trayectoria directa en su variación de 0 a infinito.

3. Lugar geométrico de las raíces
Es un método gráfico para dibujar la posición de los polos del sistema en el plano
complejo a medida que varia un parámetro, la información que proporciona este
método es utilizada para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del
sistema.
El LGR resulta muy útil, dado que indica la forma en la que deben modificarse
los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla las
especificaciones de desempeño del sistema. Algunos sistemas de control
pueden tener más de un parámetro que deba ajustarse.
Es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a
medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.
El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la
función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de
ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.
El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas
dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad(BIBO
stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se
encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo (en el caso de sistemas
continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).
Pasos del método
El inicio y terminación del LGR
Considerando la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia de
malla.
El lugar geométrico inicio en los polos de malla K= 0
Esto se puede ver en la ecuación característica en su forma:

4. P(z) + Kq(z) = 0
Haciendo K = 0 se siente
P(z) = 0
Los polos de malla cerrada para K=0 coinciden con los polos de malla abierta.
Los puntos de terminación del lugar geométrico, al crecer K tendiendo a infinito,
el lugar de las raíces tiende a un cero de la función transferencia de malla o a
infinito en el plano complejo.
Los polos de malla cerrada coinciden con los ceros de malla para
K
Esto se puede ver en la ecuación característica en su forma:
Determinar las asíntotas del LGR
Las asintotas son reglas direccionadas angularmente en cantidad n-m que
indican los trazos del LGR que se van al infinito. Estas asintotas se cruzan en un
punto llamado centroide y solamente direccional al LGR.
El número de polos de malla abierta en exceso, en relación con el número de
ceros finitos, tienden a buscar a sus respectivos ceros en el infinito, conforme ,
Los lugares de las raíces para valores muy grandes de deben ser asintóticos
a líneas rectas cuyos ángulos están dados por:

5. La solución de la ecuación completa anterior es:
Ejemplo 1. Para ilustrar el cálculo de las asíntotas y el centroide del lugar de
geométrico, considérese un sistema de control cuya función de transferencia de
malla abierta es:
No se tienen ceros finitos y los polos son reales negativos: