ANALISIS NUMERICO SAIA A

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA
SERIE DE TAYLOR
Integrante:
Ivette Saab
27.205.853
MARZO 2019

2. Serie de Taylor
Una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de
potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados
términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la
función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre
la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está
centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin.
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
 la derivación e integración de una de estas series se puede realizar
término a término, que resultan operaciones triviales;
 se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
 es posible calcular la optimidad de la aproximación.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porquetienen
alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un
desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de
Laurent). Porejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de
Laurent.
A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin, se aproxima a la
función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0,

3. de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1
términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente
diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la
siguiente serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:
,
donde:
 n! es el factorial de n
 f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable
respecto de la cual se deriva.
La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y
tanto (x − a)0 como sonambos definidos como 1 ( = 1). En caso de ser a =

4. 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de MacLaurin.
Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la
forma siempre se puede hacer el cambio de
variable (con lo que en la función a desarrollar
original) para expresarla como centrada en 0. Luego hay que
deshacer el cambio de variable. Porejemplo, si se quiere desarrollar la
función alrededor de a = 1 se puede tomar , de
manera que se desarrollaría centrada en 0.
Función exponencial y logaritmo natural
Serie geométrica
Funciones trigonométricas
Donde Bs son los Números de Bernoulli.
Funciones hiperbólicas

5. Función W de Lambert
Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x)
son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son
los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de
Euler.
La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de variables:
donde es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una
función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un
entorno del punto (a, b) es:
Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera
compactaasí:

6. donde es el gradiente y es la matriz hessiana. Otra forma: