Integrales impropias

1. Integrales Impropias
1.- Determinar si las siguientes integrales tienen (I) un valor nito o (II)
tienen limite innito o no tienen límite. Es decir, si las integrales son conver-
gentes o divergentes.
a.-
¡ 1
0
dx
x2+1
b.-
¡ 1
0
dx
x4+1
c.-
¡ 1
0
dx
ex
e.-
¡ 1
0
e−x2
dx
f.-
¡ 1
0
senx
x dx.
g.-
¡ 1
0
dx
xk+1
k 0
h.-
¡ 1
0
xe−x
dx
Si se gracan estas funciones que se están integrando (½½½ conviene hacerlo
!!!), se nota que tienden o valen 1 en x=0 , son positivas, nitas, decrecientes Y
menores o iguales a 1 en todo el intervalo [0,1]. Por tanto, las integrales anteri-
ores, son menores que
¡ 1
0
1dx = 1 = ´area del cuadrado de lado 1. Por tanto el
límite existe, es nito, y menor a 1. →→ Las integrales son CONVERGENTES
2.- Las funciones f(x)=x−k
, x 0, k 0 tienden a ∞ cuando x tiende a
0 y a 0 cuando k 0 Sin embargo su comportamiento,es decir, el valor al que
tiende
¡ m
0
dx
xk , m un valor nito, depende del valor de k.
Calcular las siguientes integrales
a.-
¡ 1
0
dx
x5 . Esta integral es del tipo
¡ 1
0
xk
dx = xk+1
k+1 . En nuestro caso x−5+1
−5+1 .En
1, la evaluación no tiene problema=1−4
−4 = −1
4 .
En 0 limx→0
x−4
−4 = limx→0+
1
−4x4 = −∞. Por tanto la integral =−1
4 −
(−∞) = −1
4 + ∞ = ∞ La integral diverge.
b.-
¡ 1
0
x
−3
5 dx. La función tiende a ∞ cuando x tiende a 0. Sin embargo, la
integral es FINITA.
¡ 1
0
x
−3
5 dx = x
−3
5
+1
− 3
5 +1
]1
0 = x
2
5
2
5
]1
0 = 5
2 x
2
5 ]1
0 = 5
2 − 0 = 5
2 − 0 = 5
2 .
La integral es nita,→ convergente.
c.-
¡ 4
0
dx
3
√
4−x
Cuando x=4 la función a integrar tiende a más innito, por
eso se le llama integral impropia; si u=4-x, du=-dx; Si x=0, u=4; si x=4 u=0.
Entonces
¡ 4
0
dx√
x−4
= −
¡ 0
4
du
u
1
3
=
¡ 4
0
u
−1
3 du = u
2
3
2
3
]4
0 = 3
2 (4
2
3 − 0). Es un número,
nito→ la integral converge.
d.-
¡ 1
0
dx
x = −
¡ 0
1
dx
x . Esta última integral es la denición del logaritmo
natural de 0 es decir, loge 0 = ln 0 = −∞ (Una denición de logaritmo es la
siguiente: Si a0, y ax
= y, entonces loga y = x; En nuestro caso limx→−∞ ex
=
0, por tanto loge 0 = −∞). Por tanto
¡ 1
0
dx
x = ∞
3.- Comparar las siguientes funciones con funciones que sean fáciles de in-
tegrar o de facilitar el criterio de comparación para decidir si las integrales son
convergentes o divergentes.
a.-
¡ ∞
1
x
x8+25 dx. Para x muy grandes x
x8+25 es aproximadamente igual, pero
1

2. menor a x
x8 = x−7.
. Entonces
¡ ∞
1
x
x8+25 dx
¡ ∞
1
x−7
dx = lim0m∞,m→∞
x−6
−6 −
1
−6 = 0 + 1
6 ∞. La integral converge!
También, como limx→∞
x
x8+25
1
x7
= limx→∞
x8
x8+25 = limx→∞
x8
x8
x8+25
x8
= limx→∞
1
1+ 25
x8
=
1 = o, ∞. ENTONCES COMO
¡ ∞
1
1
X7 dx converge, se puede armar que
la
¡ ∞
1
xdx
x8+25 converge!! es decir es un número real, la integral es nita!!.
b.-
¡ ∞
0
(1 − e−kx
)dx. k 0 Gracando la función, observamos que y = 1 es
una recta asíntota de ella, es decir,
que limx→∞ f(x) = limx→∞(1 − e−kx
) = 1 . Como la función NO TIENDE
A CERO, LA INTEGRAL NO PUEDE TENDER A UN VALOR FINITO, por
tanto diverge.
c.-
¡ ∞
0
senxdx = limm→∞
¡ m
0
senxdx = limm→∞(− cos m)!!! la función coseno
sigue tomando todos los valores en el intervalo [-1,1] por grande que sean los
valores de m; es decir NO TIENDE A UN NÚMERO REAL (tampoco tiende
a ∞).½NO TIENE LÍMITE, SIGUE TOMANDO TODOS LOS VALORES DE
-1 A 1! Por tanto diverge.
d.-
¡ ∞
−∞
x2k+1
e−x2
dx con k un número entero. Como x2k+1
es una función
impar y e−x2
es par, su producto es impar, por tanto su integral es 0, por tanto
la integral converge.
e.-
¡ ∞
−∞
senhxdx =
¡ ∞
−∞
ex
−e−x
2 dx. Notemos que la función seno hiperbólico
es impar ya que senh(−x)= e−x
−e−(−x)
2 = e−x
−ex
2 = −ex
−e−x
2 = −senhx por
tanto la integral es 0, converge.
f.-
¡ ∞
−∞
cosh xdx =
¡ ∞
−∞
ex
+e−x
2 dx. Nótese que la función cosh x es par. En-
tonces la integral
¡ ∞
−∞
cosh xdx = 2
¡ ∞
0
cosh xdx = 2
¡ ∞
0
ex
+e−x
2 =
¡ ∞
0
ex
dx +
¡ ∞
0
e−x
dx. La primera integral es de una función positiva y creciente, por tanto
tiende a innito. La segunda es igual a 1. Por tanto la integral inicial diverge,
tiende a ∞.
g.-
¡ 1
0
ex
x dx. Como limx→0+
ex
x = ∞ la integral es impropia. Usando el
criterio del cociente limx→0+
ex
x
1
x
= limx→0+
xex
x = 1 = 0, ∞, entonces por el
problema 2d de esta página, como
¡ 1
0
dx
x = ∞, TAMBIÉN la integral
¡ 1
0
ex
x
DIVERGE.
De otra manera, como 0 1
x ex
x para 0 x 1, ya que ex
1 para
ese intervalo
¡ 1
0
1
x dx
¡ 1
0
ex
x dx. Pero la integral menor tiende a mas innito,
entonces la mayor también debe tender a mas innito. Ambas divergen.
h.-
¡ ∞
0
dx
1+x2 = ang tan ∞ − ang tan 0 = π
2 − 0 = π
2 . Convergente.
h1.- Para decidir también podíamos haber empezado con los criterios de-
sarrollados en el libro:¡ 1
0
dx
1+x2
¡ 1
0
1dx = 1. Y
¡ ∞
1
dx
1+x2
¡ ∞
1
dx
x2 ya que 1
1+x2 1
x2 para x 1.
Pero
¡ ∞
1
dx
x2 = −1
x ]∞
1 = 1. La suma de las dos integrales nitas es nita, la
integral converge.
h2.- Como 1
2 ≤ 1
1+x2 ≤ 1 para 0 ≤ x ≤ 1, la integral de una función acotada
en un intervalo nito es nita.
¡ 1
0
dx
x2+1 es nita.
2

3. limx→∞
1
1+x2
1
x2
= limx→∞
x2
x2+1 = 1. Como
¡ ∞
1
1
x2 dx converge en ese intervalo
ENTONCES 1
x2+1 también converge, y por tanto
¡ ∞
0
dx
x2+1 es nita.
k.-
¡ π
2
0
tan xdx = −(limb→ π+
2
ln cos b−limc→0− ln cos c) = −(ln limb→ π
2
+ cos b−
ln 1) = −(−∞) = ∞
l.-
¡ π
2
− π
2
tan xdx. Como la función tangente es función impar,
¡ a
−a
tan xdx = 0
si 0 a π
2 . Lo mismo ocurre si tomamos el límite cuando a → π
2 . Por tanto,
converge a 0.
3