Ponencia 2015 - xix jornadas nacionales de educación matemática 2015 guzman vega perez

1. TALLER: CALCULO DE ÁREAS DE FIGURAS COMPUESTAS
BAJO LA MIRADA DE LA VISUALIZACIÓN
Area calculation of compound figures from the Perspective of visualization
Guzmán, Da
, Vega, Lb
, Pérez-Vera, Ic
.
Universidad de las Américasa,b,c
; correos electrónicos: denisseguzmang@gmail.coma
,
luisvegab@live.clb
, ivan.perez@udla.clc
Resumen
Este taller se en enmarca dentro de una investigación cuyo objetivo pretende superar los errores
del cálculo de áreas en los estudiantes en base a una propuesta didáctica, en donde se trabajará la
Geometría axiomática natural (Fase G1), con material manipulable con el fin de potenciar la
visualización de los estudiantes a través de la identificación de sub-figuras en las que se podría
descomponer la figura inicial, y la reconfiguración de estas. La metodología empleada para esta
investigación es la ingeniería didáctica que se caracteriza por estar basada en relaciones
didácticas de aulas. Como sustento teórico esta investigación se utilizara la mirada de la
visualización de Raymond Duval. Se trabajara en el taller con material concreto, cartulinas,
tijeras, regla, papel, etc.; objetos que están a la mano para cualquier docente, con el fin de que los
estudiantes puedan de forma tangible calcular el área de figuras compuestas, a partir de polígonos
regulares
Palabras clave: geometría - área – visualización – reconfiguración – figuras de análisis.
Abstract
This workshop is in forms part of an investigation aimed aims to overcome the mistakes of the
calculation of areas on students based on a methodological approach, where natural axiomatic
geometry (G1 phase) will work with manipulatives in order to enhance displaying students through
identifying sub-figures in which may decompose the initial figure, and reconfiguring these. The
methodology for this research is teaching engineering it is characterized by being based on
classroom teaching relationships. As theoretical support this research the look of the display of
Raymond Duval was used. It worked in the workshop with concrete material, cardboard, scissors,
ruler, paper, etc .; objects that are at hand for any teacher, so that students can tangibly calculate
the area of composite figures, from regular polygons
Keywords: geometry - Area - visualization - reconfiguration - figures analysis.
ANÁLISIS DEL CONTEXTO DEL LA INVESTIGACIÓN
Para situar en un contexto a este contenido, se abarcara la epistemología del tema, asociado al uso
del contenido y todo el proceso de cambio por el que ha pasado, teniendo en cuenta el saber sabio y
los contenidos previos a utilizar, el contexto escolar y un análisis cognitivo, basado en obstáculos,
que interfieren en un aprendizaje eficaz, teniendo en todo momento la mirada de la visualización y
cómo esta teoría nos permite superar esos obstáculos.
Orígenes del conocimiento
Basados en los estudios de Mónica Lorena Micelli (2010), de su tesis para obtener el grado de
maestría.
Guzmán, D., Vega, L., y Pérez-Vera, I. (2015). Cálculo de áreas de figuras compuestas bajo la mirada de la
visualización. En Editor Parraguez, M., Rivas, H., Vásquez, C., Pincheira, N., Solar, H., Rojas, F. y Chandía, E. (Eds.),
XIX Jornadas Nacionales de Educación Matemática (pp. inicial-final). Lugar: Villarrica-Chile.

2. Guzmán, D., Vega, L., y Pérez-Vera, I.
Uno de los primeros vistazos, tanto de la visualización, como del cálculo de área, se hizo en el
antiguo Egipto, donde en los papiros de Rhind y Admes, que datan del 1.650 A.c., se ve la
comparación entre las áreas de un cuadrado y un círculo circunscrito. Se debe aclarar que en
civilizaciones tan antiguas, estas aplicaciones se posicionaban en la aplicación a construcciones, por
la necesidad de calcular el tamaño, en especial de pirámides y terrenos destinados a la siembra, con
respecto al rio Nilo. También estas aplicaciones se presentaban en el contexto de medir volúmenes a
partir de las áreas, como lo demuestra el reconocido “problema 11: papiro de Moscú”.
Más adelante encontramos a la India, con el manuscrito de Bhaskara (600-680), donde se muestran
el cálculo del área y perímetro de trapecios y sus segmentos interiores.
Todas estas aplicaciones eran meramente del cálculo de situaciones, para hacer más fácil la
construcción de sus ciudades. Aquí se encuentran los vestigios más antiguos.
Contexto formal
El cálculo de área en figuras compuestas, está basado en diferentes conceptos, los cuales fueron
extraídos de la unidad 24 y 25 del libro de “Geometría, curso de matemática elemental por Carlos
Mercado Schuler”.
El concepto de superficie según Mercado es “Es el límite que separa a un cuerpo del espacio que lo
rodea, distinguiremos superficies planas o simplemente planos” (Mercado, pág. 12).
Luego La definición de figuras equivalentes, “Son las que tienen la misma área y distinta forma.
Esto significa que un triángulo puede ser equivalente a un paralelogramo, un cuadrado a un
círculo, etc. Siempre que tenga la misma área” (Mercado, pág. 144)
Con respecto a las áreas de polígonos regulares, dice que “El área de un polígono regular es igual
al producto de su semiperímetro por la apotema.” (Mercado, pág. 151)
Figura n°1: Figura N°12, área de un polígono regular. (Mercado, pág. 151)
Para utilizar la reconfiguración se señala que “La transformación de una figura geométrica en otra
consiste en cambiar la forma de la figura sin alterar su área”. (Mercado, pág. 158)
Luego para los polígonos irregulares nos dice que, existen varios tipos de métodos para calcular el
área:
“1er
Método: por triangulación (Figura I): consiste en descomponer el polígono en
triángulos por medio de diagonales trazadas desde uno de los vértices y, en seguida, sumar
las áreas de los triángulos obtenidos.
2do
Método (Figura 2) se descompone el polígono en triángulos y en trapecios rectángulos.
Para esto se elige la diagonal más conveniente y desde los otros dos vértices se trazan las
perpendiculares a ellas. En la figura II se obtuvieron dos trapecios rectángulos y 4
triángulos rectángulos.
3er
Método (Figura 3) A veces según sea la forma del polígono, es más conveniente
descomponer en figuras conocidas y fáciles de determinar su área como cuadrados,
triángulos, paralelogramos, etc. Basta, finalmente, sumar las áreas de estos polígonos
parciales.” (Mercado, pág. 154)

3. Cálculo de áreas de figuras compuestas bajo la mirada de la visualización.
Figura 2: Figuras I, II y III, Descomposición de polígonos. (Mercado, pág. 154)
Y para calcular el área de cualquier polígono, Schuler señala que “Se “cuadricula” la figura
dividiéndola por medio de paralelas en pequeños cuadrados de área conocida” (Mercado, pág.
254)
Figura 3: Figura IV, Cuadriculación (Mercado, pág. 254)
Contexto actual
Actualmente, en nuestro sistema escolar, este saber lo podemos encontrar en el 8vo
año. El Objetivo
fundamental asociado, comprende la utilización de conceptos de figuras planas y sus áreas
respectivas, para el cálculo de un área compuesta. Los contenidos mínimos obligatorios y los
aprendizajes esperados, junto con sus indicadores de evaluación, se desarrollan más en la temática
de la circunferencia y los cuadrados como figuras compuestas, al igual que los ejercicios asociados
a este aprendizaje. Se distingue poco desarrollo cognitivo sobre el tema, al igual que en los textos
escolares, donde se les dedica no más de 2 planas a este contenido, pero sabemos que como dijo
Yves Chevallard, con su teoría de la transposición didáctica, todo el contenido se va envejeciendo o
desgastando a medida que pasa por todos estos filtros, y el sistema escolar es una fiel representación
de esto, donde el contenido es minimizado para la utilización clara que se requiere, formar un perfil
de egreso establecido para la inserción a la sociedad. Todo esto lo podemos desprender de Las bases
curriculares, actualización del 2013 y el texto escolar del año 2014 de 8vo
básico.
Análisis cognitivo
Desde el punto de vista de Guy Brousseau y Gaston Bachelard, los obstáculos son respuestas
universales y poco lógicas de un conocimiento y que interfieren con la comprensión del verdadero
significado y uso del mismo.
Es por eso que en el contexto del cálculo de área nos fundamentamos en los estudios hechos por
Orlando Planchart, Lissette Franchi y Mónica Micelli, quienes nos hablan de dos obstáculos muy
comunes en nuestro sistema escolar, que afectan la buena comprensión y utilización de este
concepto.
La primera está ligada completamente al uso de las figuras de análisis y el entendimiento del sector
al cual se le está calculando el área, lo cual podemos definir como “La percepción visual”, como el
estudiante comprende y visualiza la figura, para los posteriores cálculos.
La segunda comprende el error gráfico, que está dada por la falta de habilidad para percibir, esbozar
e interpretar cada instrucción, con representaciones geométrica, en especial en figuras compuestas,
la comprensión de las sub-figuras, que componen a la original, son fundamentales.
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4. Guzmán, D., Vega, L., y Pérez-Vera, I.
Marco teórico
El marco teórico, en el cual se sustenta este trabajo, es la Visualización de Raymond Duval (2005),
quien habla que la representación o modelación es una habilidad fundamental en el proceso de
resolución de las matemáticas, en especial en el eje de geometría. Dice que la heurística nos
permite, de cierta forma manipular un contenido, en este caso una figura. En este proceso entran a
participar las aprehensiones, que son la comprensión para la utilización completa de un contenido y
su manipulación. Existen 4 tipos de aprehensiones, perceptiva, que es lo instintivo, discursiva, que
es cuando pasamos de lenguaje natural al geométrico y viceversa, y operatoria que es la que nos
permite manipular cada parte de la figura y realizar reconfiguraciones en ella.
La reconfiguración es la habilidad central en el cálculo de área de figuras compuestas. Existen tres
tipos de aprehensiones a trabajar. La reconfiguración simple, que es cuando a partir de una figura, al
dividirla, logramos formar otra. Luego la reconfiguración por exceso, que es donde una figura es
reemplazada por una más simple, pero de mayor área. Y finalmente la reconfiguración por
ensamblaje de partes, es el proceso donde se conserva la figura inicial, pero su composición interna,
es cambiada por sub-figuras.
Con respecto a esto basaremos un taller, que se realizara en la jornada XIX de Sochiem, donde se
pondrá en evidencia como por medio de la visualización y la reconfiguración se puede sobrepasar
los obstáculos, anteriormente mencionados.
FORMULACIÓN DEL TALLER
Este taller estará fundamentado en la necesidad de sobrepasar los obstáculos, basados en la falta de
habilidad para reconocer las figuras y en la poca utilización de la visualización en los problemas
geométricos, dificultando el poder de reconocer como poder calcular el área. Estará enfocado a que
los participantes de Sochiem, puedan vivir la experiencia de la utilización de material tangible.
Definición del taller
Se trabajara en el taller con material concreto, cartulinas, tijeras, regla, papel, etc.; objetos que están
a la mano para cualquier docente, con el fin de que los estudiantes puedan de forma tangible
calcular el área de figuras compuestas, a partir de polígonos regulares. (Como lo muestra la imagen)
Figura 4: Material concreto
Donde, por ejemplo en la Figura 5 tenemos que calcular el área achurada y con ayuda de la
reconfiguración, manipulamos las subfiguras y nos facilita el cálculo, como en la Figura 6.
Figura 5. Figura 6.

5. Cálculo de áreas de figuras compuestas bajo la mirada de la visualización.
Estructura del taller
En este taller, a realizar en la XIX jornada de Sochiem, pondremos en muestra el contenido y como
se desarrolla con las formulas y más abstracto, para luego desarrollarlo con material concreto para
ver cómo se marca la diferencia y se facilita la comprensión del cálculo de áreas de figuras
compuestas.
Referencias
Micelli, M. (2010). Las figuras de análisis en geometría. Su utilización en el aula de la matemática. Las
figuras a talvez de la historia. Pág. 51-87.
Mercado, C. Geometría. Curso de matemática elemental. Tomo III y IV.
Brousseau, G. (2007). Iniciando al estudio de la teoría de las situaciones didáctica. Obstáculos, resultados y
primeras conclusiones. Pág. 48-49
Ministerio de educación, Bases curriculares de 7mo
a 8vo
. Objetivos fundamentales y contenidos mínimos
obligatorios. Rescatado de http://www.curriculumnacional.cl/
Ministerio de educación, Programa de estudio matemática 8vo
básico. Aprendizajes esperados e indicadores
de evaluación con sus actividades. Rescatado de http://www.curriculumenlineamineduc.cl/605/w3-
propertyvalue-49395.html
Vidal, R. La transposición didáctica: Un modelo teórico para investigar los estatus de los objetos
matemáticos. Segunda Fase: Noosfera.
Franchi, L. (2003). Tipología de errores en el área de la geometría plana parte II. Educere.
Planchart, O. (2002) La visualización y la modelación en la adquisición del concepto de función.
Adolfo, G. (2010) La visualización en los primeros ciclos de la educación básica. Posibilidades y
complejidad. Aprehensiones y reconfiguración.
Barrios, E., Muñoz, G., Zetien, I. (2008). El proceso cognitivo de la visualización por estudiantes de nivel
superior mediante el uso de software dinámicos (Cabri) en la resolución de problemas geométricos. La
visualización.
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