1. ORIGAMI Y CABRI: DOS HERRAMIENTAS CLAVES PARA LA
CONSTRUCCIÓN Y APREHENSIÓN DE LOS CONCEPTOS DE ÁREA Y
PERÍMETRO
Por: Nora Benítez Manjarrés
Docente Normal Superior de Pasca y
Universidad de Cundinamarca (Colombia)
e-mail: norax23@hotmail.com
RESUMEN
Como docentes se debe admitir que los niños cometen errores en el cálculo de áreas evidenciando
dificultades tales como la confusión entre área y perímetro. (TIMMS, 1990). Esta incapacidad de los alumnos
para distinguir magnitudes diferentes es considerada por Lunzer (1985) como un obstáculo epistemológico,
posiblemente debido a la carencia de previos conocimientos que a la larga crean un conflicto y por tanto una
ruptura, entre las imágenes intuitivas y deducciones lógicas de ciertas propiedades relacionadas con la
superficie, la longitud o el volumen. Esta inhabilidad se ha visto propiciada por que en muchos casos, los
programas oficiales en matemáticas, no incluyen el concepto de magnitud y los pasos necesarios para su
constitución, preocupándose únicamente por las fórmulas. Por tanto es necesario que, en primaria y en los
primeros años de secundaria, se haga una adecuada construcción de esos dos conceptos para que luego de
que esto se haya logrado, la utilización de algoritmos tenga un sentido real para los estudiantes en los
grados superiores. Con estos referentes como punto de partida, se presenta una propuesta que articula la
práctica del Origami y la utilización de CABRI II plus como herramientas claves en la formalización de estos
conceptos. Así mismo se muestran factores de visibilidad que son indispensables a la hora de solucionar
algunos problemas relativos a estos conceptos.
ABSTRACT
Origami and Cabri: two key tools for the construction and comprehension of the concepts of area and
perimeter: As educators, we should admit that students make many mistakes when working on concepts of
geometric calculations. Many students, in fact, have demonstrated difficulties with respect to the
construction of a satisfying mathematical awareness on the relationships between “perimeter and area” and
very often, they confused them both while doing their calculations. (TIMMS, 1990). This inability of the
students to differentiate between diverse magnitudes is considered by Lunzer (1985) as an epistemological
obstacle, possibly due to the lack of previous knowledge that in the long run creates a conflict, and therefore
a rupture between intuitive images and logical reasoning of certain properties related to surface, length or
volume. This incompetence has been brought about because in many cases licensed mathematics programs
do not include concepts such as the methods of magnitude and the necessary steps that must be followed in
order to better learned and understand its concept. Most of these programs base their teaching solely on
geometric formulas, therefore, it is imperative that when students begin elementary school and middle
school, an appropriate edification of the concepts of area and perimeter is done, so by the time they begin
high school the use of algorithms has been learned and clearly perceived. After mentioning the above

2. observations, I would like to disclose my project which promotes as crucial tools in the teaching of
geometric concepts, the adoption of Origami and the CABRI II Plus software. This project also defines the
role of visualisation as a model of development in geometrical reasoning, which is indispensable when
solving some geometrical situations that are related to the concepts of area and perimeter.
1. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE
ÁREA
Tradicionalmente se enseñan los conceptos de área y perímetro a través de “algoritmos” y
“fórmulas” que terminan olvidándose y confundiéndose entre sí al no haber un adecuado proceso
de construcción de los mismos. El hecho de que algunos docentes se inclinen por el manejo
algorítmico desde la primaria va de la mano con el desconocimiento del papel que como maestros
debemos asumir frente a cimentación de estos conceptos y de las dificultades que se evidencian
en pruebas nacionales e internacionales. Dada su importancia, la comprensión adecuada de área y
perímetro está presente en muchas de las actividades matemáticas que se plantean a lo largo del
currículo de matemáticas. Esto hace que sea fundamental que los maestros de esta área nos
cuestionemos acerca de las estrategias didácticas que pueden ser utilizadas para contribuir a la
solución de este problema
A continuación se ilustran razones fundamentales por las cuales abordar un estudio sobre la
construcción y aprehensión de los conceptos de área y perímetro
Reafirmando las ideas escritas anteriormente, el doctor Carlos Vasco en una de sus
conferencias expresa:
“…Volviendo a las áreas, se sabe ya desde comienzos de siglo que los alumnos creen que las
áreas son las fórmulas de las áreas, que el área del cuadrado es el lado elevado al cuadrado,
que el área del triángulo es base por altura sobre dos, etc., pero no saben propiamente qué es
el área, y si uno les cambia la figura o las unidades, están completamente perdidos. Mucho
menos van a poder comprender la densidad areal de una lámina en física, la velocidad areal de
un planeta o las integrales dobles y las integrales de área” Carlos Vasco, (1999).

3. 2. DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO
¿Qué otras cosas se pueden hacer en vez de empezar enseñando a partir de fórmulas memorísticas
y de su aplicación en distintos casos? La respuesta es que existen varias actividades posibles que se
pueden explorar y ampliar haciendo uso de herramientas tales como ORIGAMI (o el arte de plegar
papel) y CABRI II plus (un software de geometría dinámica). Pero ante todo se hace necesario
reflexionar frente a las estrategias que pueden contribuir a la construcción y diferenciación de los
conceptos de área y Perímetro.
Para el desarrollo de este proyecto se fijaron como lineamientos los siguientes:
 Realizar una reflexión académica sobre teorías, tendencias y modelos estudiados desde la
didáctica para la construcción de estos conceptos y revisar la pertinencia de algunas
estrategias didácticas
 Utilizar como herramientas Cabri y Origami a través de la selección de algunos modelos
para su análisis
 Diseñar, aplicar y evaluar una serie de actividades a partir de la revisión de documentos y
propuestas didácticas estudiadas
 Presentar estrategias de visualización pertinentes para el fin propuesto
 Presentar algunos análisis que pueden darse desde los estudiantes respecto al trabajo
aplicado con origami, fractales y teselados
Este trabajo se ha puesto a prueba con estudiantes en diferentes niveles de educación: en las
clases de geometría con estudiantes de grado séptimo, con jóvenes que se preparan para ser
maestros de Básica Primaria en el Ciclo Complementario de la Escuela Normal Superior de Pasca
(Cundinamarca) en la asignatura Geometría Dinámica y por último, con jóvenes de segundo
semestre de Licenciatura en Matemáticas en la Universidad de Cundinamarca UDEC en
Fusagasugá.
2.1 REFLEXIÓN ACADÉMICA
Solamente cuando nos enfrentamos a un problema y entendemos que tal vez no tenemos a la
mano el conocimiento ni las herramientas suficientes para solucionarlo es que vislumbramos que
se requiere acudir a otras fuentes que pueden ser nuestros colegas, libros de texto, maestros de
otras instituciones, investigadores y otras personas que han hecho públicos los resultados de sus
trabajos. Luego de revisar diversos documentos se seleccionaron algunos autores que coinciden
en sus apreciaciones respecto al manejo geométrico inicial que debe darse a la construcción de los
conceptos de área y perímetro antes de llegar al manejo numérico. Es así que a continuación se
describen los planteamientos realizados por Chamorro (1996) y la Ingeniería didáctica de Perrin –
Glorian descrita en la tesis doctoral de Corberán (1996).
“Las magnitudes espaciales, tales como la longitud, la superficie y el volumen, constituyen un
campo conceptual propio, cuya particularidad reside en el hecho de que participa tanto de la
geometría como de las estructuras aditivas y multiplicativas”. Chamorro (1996). En estas
condiciones, el cálculo del área de una superficie implica tener en cuenta varios elementos como
son:

4.  Sus aspectos geométricos: forma, disposición espacial, tipo de superficie, si es poligonal o no,
etc.
 Las estructuras aditivas: encontrar el área de una superficie sirviéndose de una unidad,
consiste en pavimentar dicha superficie con esa unidad, contando o sumando, el número total
de estas.
 Las estructuras multiplicativas: considerando las dos dimensiones de la superficie, se busca el
número de veces que se pueden transportar las longitudes de la unidad en cada dimensión
respectivamente, el producto de esas dos razones da el número total de unidades de
superficie necesarias para pavimentar totalmente.
A lo largo de la Educación básica primaria, secundaria y media es necesario abordar la enseñanza
progresiva del área. Lo anterior implica en los primeros niveles prestar mayor atención a:
 Procesos de medición
 Conceptos relacionados con unidades de medida
 Las mediciones en sí
 La estimación de mediciones
 Uso de mediciones e ideas geométricas a través del currículo
Dejar para el final:
 La realización de mediciones para resolver problemas
 Memorización de equivalencias entre unidades de medida
 Memorización y manipulación de fórmulas
 Conversión interna entre varios sistemas de medida.
Para el cálculo de áreas se emplean estrategias tales como la Comparación o la Composición y
reconfiguración. Las estrategias de comparación están basadas en el uso de unidades de
referencia, ya se trate de unidades estándar o de referencia propias de cada sujeto. Las de
composición y reconfiguración consisten en reorganizar una o varias subfiguras diferentes en otra
figura. Esta operación requiere tener en cuenta algunos factores de visibilidad, los cuales se
podrán apreciar en las actividades que se han diseñado para este fin.
También es fundamental que se tenga claridad sobre los conceptos. Según Perrin - Glorian se
deben diferenciar los siguientes términos:
 SUPERFICIE: designa una parte del plano
 ÁREA: designa la magnitud física, cualidad o propiedad de la superficie
 MEDIDA: designa el número que representa el lugar ocupado por la superficie del plano.
Considerando el “AREA COMO MAGNITUD” , se define el área como una clase de equivalencia a
partir de una aplicación de medida. Un número seguido de una unidad es un medio para designar
un área.
La ingeniería didáctica propuesta por Perrín Golorán y su secuencia de Enseñanza se han
seleccionado para diseñar una serie de actividades que a su vez tendrán como herramientas de
trabajo Cabri y algunos modelos de origami que se derivan de múltiples transformaciones del
molinete.
¿Cómo justificar la escogencia de Origami y Cabri como herramientas? Según Moreno Armella
“Una característica del funcionamiento mental, es que está mediado por instrumentos materiales
y por instrumentos simbólicos”, así mismo afirma que la visualización y las representaciones

5. externas (que son posibles a través de los entornos computacionales), permiten atender al
problema de la validación de los enunciados matemáticos.* Luis Moreno Armella. Matemática
Educativa, Cinvestav. Por esta razón el software de geometría dinámica Cabri II plus resulta ser
clave para generar procesos mentales que van mucho más allá de la simple memorización y pues
en realidad contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico y geométrico. De otra parte, el
trabajo con Origami resulta ser un medio para observar configuraciones en los pliegues de los
modelos, los cuales deben ser muy bien analizados por los estudiantes para poder ser
representados convenientemente en Cabri, como se observará en la última etapa de este
documento.
2.2 MODELOS BÁSICOS
Se plantea la elaboración de siete modelos bidimensionales (un molinete, un florero, una pajarita,
un pez, una flor y dos estrellas). Sus imágenes se tomarán como referencia para aplicar algunas
estrategias para construir los conceptos de área y perímetro.
A continuación se encuentran los pasos básicos para obtener los modelos anteriormente
mencionados
s.
Con los pliegues hasta ahora realizados el reto es obtener una casita y un hexágono. Luego, a
partir de estas se debe construir el molinete o rehilete.

6. El molinete es la base para obtener otros modelos que serán usados en las actividades propuestas
tales como: El florero, la pajarita, el pez, la flor y dos modelos de estrellas de cuatro puntas.
Para el trabajo con Cabri se plantea a los estudiantes el análisis de algunas de estas figuras por
separado, estableciendo propiedades geométrics y numéricas. De otra parte se plantea el uso de
transformaciones geométricas para realizar diseños de mosaicos y teselados como los que se
ilustran a continuación:
2.3 ACTIVIDADES.
A continuación se presentan algunas actividades para ser abordadas a partir de los modelos de
origami presentados anteriormente y cuya forma de elaboración ha sido diseñada con ayuda de
Cabri. Estas actividades se basan en un trabajo de Perrin Glorian quien propone una Ingeniería
didáctica que tiene en cuenta unas “secuencias de enseñanza”, las cuales han sido adaptadas para
ser trabajadas con Cabri y origami como se verá en seguida:
ACTIVIDAD 1. COMPARANDO SUPERFICIES (Área como magnitud autónoma –independiente de
la forma y desligada del número-)
El hexágono ha sido recortado
en tres piezas que han sido
reorganizadas (sin
superponerse) para construir
el molinete.
Al comparar sus superficies
puede afirmarse lo siguiente:
a. Es mayor la del
hexágono
b. Es mayor la del
molinete

7. c. Son iguales
ACTIVIDAD 2. MEDICIÓN DE SUPERFICIES NO PAVIMENTABLES CON LA
UNIDAD (Recorte y pegado; Estrategias de composición y recomposición)
¿Cuántas unidades cuadradas recubren el interior de la curva cerrada?
ACTIVIDAD 3. (Actividades Geométrico Numéricas: Cubrimiento con diversas unidades.
Aplicación de las Estrategias de Comparación)
Usando como referencia
las unidades A, B, D y D,
determina el área de
cada una de las figuras y
completa la tabla.
Unidades de medida
UNIDAD A UNIDAD B UNIDAD C UNIDAD D
FIGURA UNIDAD A UNIDAD B UNIDAD C UNIDAD D
MOLINETE
PAJARITA
PIRAÑA
ACTIVIDAD 4. Área como parte (cantidad) del plano ocupado por la superficie; Estimación de
medidas; Relaciones y diferencias entre áreas y perímetros.
A continuación se presentan las 6 formas que resultaron al plegar papel. Toma como referencia
una unidad que te permita estimar el área de estas figuras y responde las preguntas 1, 2 y 3.
CASITA HEXÁGONO MOLINETE FLORERO PAJARITA PEZ

8. 1. Al comparar las superficies de la casita, el hexágono, el molinete y el florero, la que tiene
menor área es:
a. La casita b. El hexágono c. El molinete d. El florero
2. Al comparar las superficies del molinete, el florero, la pajarita y el pez, las 2 figuras que tienen
mayor área son:
a. El molinete y el c. El molinete y la
b. El molinete y el pez d. El florero y el pez
florero pajarita
3. Si se comparan el hexágono y el molinete, puede afirmarse que tienen:
a. Igual área pero b. Igual perímetro c. Perímetros iguales d. Áreas y perímetros
diferente perímetro pero diferente área y áreas iguales diferentes.
ACTIVIDAD 5. Conservación y variación de las medidas por transformaciones.
A continuación encontrarás tres figuras. Utiliza la estrategia que consideres adecuada para
determinar sus áreas y sus perímetros y escribe frente a los enunciados falso (F) o verdadero (V)
según corresponda:
La figura 1 tiene igual área que la figura 2 __________
La figura 1 tiene igual área que la figura 3. __________
La figura 2 tiene igual área que la figura 3. __________
FIGURAS FIG. 1 FIG.2 FIG 3
ÁREA La figura 1 tiene mayor perímetro que la figura 2.________
La figura 1 tiene mayor perímetro que la figura 3._________
PERÍMETRO
La figura 2 tiene mayor perímetro que la figura 3.________
ACTIVIDAD 6. Actividades numéricas. Cuadriculado. Aplicación de las Estrategias de Composición
y Recomposición.
Determina en unidades cuadradas el área de cada una de las siguientes figuras. Escribe en cada
caso tu mejor estimación. A= _____ u2 A= _____ u2 A= _____ u2

9. ACTIVIDAD 7. Actividades numéricas: Área del rectángulo y otros polígonos.
Compara el área del rectángulo con las áreas de cada uno de los otros polígonos y completa:
a. Los polígonos cuyas áreas son iguales a la del rectángulo son: _______________________
b. El polígono cuya área es la mitad de la del rectángulo es: ___________________________
c. Si se tienen en cuenta las medidas de las diagonales del rombo y del trapezoide simétrico,
se puede determinar sus área a través de la operación: __________________________
ACTIVIDAD 8. Actividades de comparación y diferenciación de área y perímetro.

10. 2.4 RECONFIGURACIÓN Y FACTORES DE VISIBILIDAD
La reconfiguración es una operación que consiste en reorganizar una o varias sub-figuras
diferentes en otra figura. Según Padilla, V., existen diferentes factores de visibilidad que pueden
intervenir en el proceso de reconfiguración. Algunos se enuncian a continuación:
FACTOR 1. Que el
fraccionamiento de la figura de
partida en partes elementales sea
dado al inicio o deba ser
encontrado.
Ej: Dividir la superficie del
molinete en:
 4 partes de igual forma y
tamaño.
 8 partes de igual forma y tamaño
FACTOR 2. Que el reagrupamiento respectivo de las partes elementales forme una reconfiguración
convexa o no convexa
Resulta más difícil destacar
una sub-figura no convexa ya que la no convexidad no respeta la ley de simplicidad del contorno

11. FACTOR 3. El número de modificaciones posicionales (rotaciones y traslaciones) a efectuar sobre
la sub-figura clave para llegar a una colocación.
Ejemplo: Establece al menos seis maneras de dividir el molinete en cuatro partes de igual forma y
área.
FACTOR 4. Que la figura de partida esté sobre un fondo cuadriculado o no
Ejemplo: Establece un mecanismo para determinar el área de las siguientes figuras.
FACTOR 5. El que todas las sub-figuras deban ser desplazadas al interior de la figura de partida o
que algunas figuras deban salir de ese contorno.
Ejemplo: Recorta y traslada o rota partes de la figura para determinar en unidades cuadradas con
exactitud el área de cada figura.

12. 2.5 APLICACIONES DE LOS FACTORES DE VISIBILIDAD
Los cinco factores de visibilidad descritos anteriormente son esenciales a la hora de diseñar teselas
pues en muchos de los casos estas resultan de construir una figura geométrica que por sí sola
tesele el plano, como un cuadrado, un triángulo equilátero o un hexágono. Luego, se le van
sacando partes de un lado, para luego ponerlas convenientemente en otra parte de la figura
utilizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). El resultado puede ser
un oso, una flecha o cualquier imagen resultado de la creatividad de quien la diseñe, la cual tiene
exactamente la misma área que la figura original. Esta deberá repetirse n veces y colocarse de
modo que las teselas encajen perfectamente. Los siguientes modelos fueron realizados con
estudiantes del Ciclo complementario y de la UDEC haciendo uso de Cabri II plus.

13. Así mismo puede aplicarse para el diseño de fractales como el que se ilustra a continuación y que
fue recreado por la estudiante Marcela Bohórquez (del Ciclo Complementario).
2.6 ANÁLISIS REALIZADOS POR ESTUDIANTES
Luego de trabajar algunos talleres con los estudiantes sobre áreas y perímetros es importante
invitarlos a indagar sobre características métricas y geométricas de algunos modelos de Origami.
Para ello es necesario que los estudiantes tengan una experiencia básica con las herramientas de
Cabri para la realización de construcciones y para la toma de medidas. Estas son algunas
conclusiones de estudiantes de Licenciatura en Matemáticas del II semestre en la asignatura
Pensamiento Geométrico.
2.6.1 ANÁLISIS ESTRELLA 1. En el diseño de este modelo de
estrella se encuentran las siguientes particularidades:
Los vértices de las cuatro puntas de la estrella coinciden con los
vértices de un cuadrado y al interior de la estrella se forma un
nuevo cuadrado.
A partir de las bisectrices puede construirse con Cabri el modelo
de estrella y determinar algunas relaciones métricas.
Al determinar la longitud de los segmentos BC y AB se observa que están en razón de raíz de dos.

14. A
Al construir una estrella con las misma característica uniendo los vértices del cuadrado interno, se
establece que las dimensiones de B’C y A’B’ se mantienen proporcionales a BC y AB. Esto indica
que puede pensarse en reproducir la estrella infinitamente en el interior de la figura como un
efecto cascada.
2.6.2. ANÁLISIS ESTRELLA 2. Al continuar con un
nuevo modelo puede llegarse a análisis más
completos como los que realiza el estudiante
Mario Bermúdez, los cuales transcribo
textualmente:
Antes de mencionar las curiosidades que he
descubierto en esta figura debo mencionar unos
aspectos que me permitirán dar entender mucho
mejor lo descubierto:
En la figura hay principalmente presente:
Un octágono (ABCDEEFGH) que llamaremos
Octágono 1
Un cuadrado (IJKL) que llamaremos cuadrado 1
Una estrella de cuatro puntas (NABOCDPEFMGH) que llamaremos estrella 1

15. Abreviando un poco quisiera que vieran esta figura:
La diferencia es claramente observable, con los
puntos “libres” de la figura anterior o puntos de
intersección entre las rectas de color verde y los
lados del octágono he construido un cuadrado
(cuadrado 2), pero además aquí también se dejo
algunos puntos “libres” o puntos de intersección del
cuadrado con los lados de algunos triángulos, estos
puntos se han dejado con la siguiente intención:
Se puede construir otro
octágono (octágono 2) con
estos puntos, pero además si
observamos, se ha dejado
remarcado los puntos de
intersección de este octágono
2 con las rectas de color verde
(puntos negros en la figura)
para que puedan observar
cómo se puede desde aquí
repetir el proceso anterior y
en definitiva poder construir
indefinidamente octágonos y
cuadrados, por otra parte,
más adelante mostrare la
relación entre ellos; por el
momento responderé a la
pregunta ¿Qué paso con la
estrella 2?
Rta:

16. Si observan con atención se encuentra en tono azul la estrella 2, manteniendo una semejanza con
la anterior (estrella 1), al igual que el “Cuadrado 2 y el Octágono 2” con sus respectivas figuras.
¿Será que la construcción
solo se podrá realizar hacia
adentro de la figura inicial?
Rta: ¡NO!; Se pueden
construir internamente
manteniendo su semejanza y
se pueden construir hacia
fuera manteniendo su
semejanza aplicando las
propiedades adecuadas no
muy distintas a la
construcción de la figura
inicial, observar:
A continuación mostraré las características de esta figura y por qué es interesante su estudio:
Si modificamos la figura de tal forma que el segmento AB uno de los lados del polígono tenga una
medida X, entonces detonaremos la medida del segmento A1B1 como X1. De esta forma existirán
medidas, X2, X3, X4, X5 para los subsecuentes octágonos construidos externamente. Luego de
varios procedimientos encontré la relación siguiente:
Siendo X la medida del lado del primer octágono construido, entonces:
1. octágono = x
2. octágono = x 2
x 4
3. octágono =
4. octágono = x 8

17. En este orden de ideas y de forma general podemos decir que:
n 1
Locta= x 2
n= 1 primer octágono
n=2 segundo octágono y así sucesivamente.
Para calcular el perímetro:
n 1
P= 8x 2
Luego para saber el área:
n 1
2  1) * 8 x * 2
2
Área octágono=
(
Por otra parte, para hallar 4 el valor del lado del
cuadrado teniendo como base la medida x del lado del octágono tenemos:
n 1
Lado del cuadrado=
n 1 2
x 2  2x
2
Perímetro el cuadrado=
n 1
n 1 2
4x 2  8x
2
Sé que se pueden reducir más pero así me gusta
Área del cuadrado= 2
 2
n 1 
x 2
n 1
 2x 
 2 
 

18. Recordemos que x es el valor de uno de los lados del octágono
Llegamos a la parte más bonita:
Perímetro de la estrella =
 n 1
 8 *  2 n 1

2
4x * 2n 1
* 
2 
4* x 2  4x * 2 
 2 
Área de la estrella =
  
2  1 * 8x * 2
2 n 1
   
2 1 * x *2
2 n 1

 
 4 
Todo lo anterior en resumidas cuentas nos permite saber algunos datos de figuras que se
construyen a partir del octágono y conociendo una de las longitudes de sus lados
Debo aclarar que estas características se cumplen para las figuras que se construyen
exteriormente con respecto al octágono inicial, si se desea que se cumpla para las que se realizan
internamente entonces, como ya vimos antes que la todas las mediciones se hacen teniendo como
base
Locta= n 1
x 2
De igual forma se realizaran teniendo, para las realizadas internamente, la
base: x
n 1
Y con esta ecuación ya se puede desarrollar todas las demás características o 2
formulas arriba mencionadas para las construcciones internas de una figura
inicial y la deducción de sus medidas.
“Que pena no continuar escribiendo las otras generalidades pero supongo profe que usted ya las
conoce”

19. 2.6.3 ANÁLISIS FIGURA 3. Punta de estrella.
Profe trataré de evitar mucha introducción puesto que creo que ya usted conoce las
generalizaciones que saldrán de la figura, así que seré breve:
a= medida del lado del cuadrado inicial
n= numero de la construcción
Hablaré de exteriormente cuando la construcción se haga
hacia fuera y de interiormente cuando la construcción se
haga hacia dentro.
Área del cuadrado:
Exteriormente: Interiormente: 2
n 1 2 a
4 a
Perímetro del cuadrado n 1
4
Exteriormente: Interiormente:
4a
n 1
2 4a n 1
2
Como ya mencione, teniendo como base el lado del cuadrado, expresaré los siguientes datos en
función del mismo lado “a” de esta forma el área de los triángulos dentro del cuadrado será:
X= área del triángulo:
2
a
x 
4
De esta forma para saber el área de otros triángulos conociendo el área del primero:
Exteriormente: Interiormente:
n 1 Estas mismas
x generalizaciones con respecto al área se
4 x
pueden aplicar al n 1 cuadrilátero cóncavo.
4
Para hablar del perímetro del triángulo se debe tener en cuenta:

20. a
y  
2 Numero áureo.
Entonces:
Perímetro del triángulo
Exteriormente: Interiormente:
 y
2
n 1
 y
2
2 n 1
2
Por último solo nos queda mencionar el perímetro del cuadrilátero cóncavo:
Exteriormente: Interiormente:
n 1
y
2 y n 1
2
2.6.4. OBSERVACIONES SOBRE LOS ANÁLISIS REALIZADOS POR LOS ESTUDIANTES
En primera instancia puede apreciarse que los estudiantes han logrado realizar una buena
visualización de las figuras y usado diferentes tipos de aprehensión: Realizan una aprehensión
perceptiva en la medida en que reconocen de manera automática las diferentes unidades figurales
discernibles en las figuras dadas, venciendo la ley gestáltica de cierre. Luego pasan a una
aprehensión operatoria cuando dividen la figura de partida en otras sub-figuras que les facilita
realizar operaciones y por último, hacen uso de la aprensión discursiva cuando plantean hipótesis
y son capaces de realizar un tratamiento matemático a partir de las propiedades observables en
las figuras para llegar a resultados concretos.
Resulta muy interesante que los estudiantes identifiquen con claridad propiedades de las figuras y
encuentren relaciones numéricas que los llevan a imaginar y recrear otras construcciones
geométricas para así justificar sus apreciaciones. Así mismo identifican y utilizan constantes
matemáticas como  y raíz de dos para escribir expresiones matemáticas y son capaces de
establecer generalizaciones.
Al revisar las expresiones utilizadas para generalizar se observa que son correctas aunque pueden
escribirse de manera más simplificada. Sin embargo, tal como están escritas dan cuenta de los
razonamientos que han realizado para encontrarlas. Por ejemplo, en el análisis de la segunda

21. estrella para facilitar la lectura de lo encontrado sobre el octágono podrían haber organizado los
datos en una tabla como la siguiente:
1 2 3 4 n
n 1
LADO L  x 2
OCTÁGONO
(L) 1 1.41 2 2.83
( 2  1)
APOTEMA (a) 1.21 1.71 2.42 3.42 a  L
2
n 1
PERÍMETRO P 8 11.31 16 22.64 P  8L  8x 2
ÁREA A 4.8 9.7 19.4 38.8
A  2 1
n
 2 x  2
Para todos los casos x corresponde a la longitud del lado del octágono más pequeño, en este caso
x = 1.
Es evidente que han encontrado la inconmensurabilidad entre algunas medidas aplicando el
método de extracción alterna, el cual puede explicarse fácilmente usando el pentágono regular:
Al trazar las diagonales del pentágono y unir visualmente sus puntos de intersección, es posible
encontrar un nuevo pentágono regular y así sucesivamente, entonces se cumple que en los
pentágonos surgidos mediante el encaje, las relaciones AE'=AB' y B'D=B'E' y por eso AD-AE=B'E y
análogamente AE=ED'=EA' y B'E'=B'D=B'E y resulta AE-B'E'=B'A' y así sucesivamente, sin que se
llegue al final: la diferencia entre la diagonal y el lado
del pentágono mayor es igual a la diagonal del
pentágono menor, la diferencia entre el lado del
pentágono mayor y la diagonal del pentágono menor
es igual al lado del pentágono menor; la diferencia
entre la diagonal del pentágono menor y su lado es a
su vez igual a la diagonal del pentágono menor
inmediato, y así hasta el infinito. El proceso de
extracción alterna puede continuarse, y por eso no
puede hallarse una medida común máxima para la
diagonal y el lado del pentágono regular, por tanto:
existen segmentos recíprocamente
inconmensurables.

22. CONCLUSIONES
Luego de estudiar diferentes fuentes, diseñar algunas actividades y ponerlas a prueba con
alumnos de secundaria y de educación superior es importante destacar que la construcción del
concepto de área y su diferenciación del concepto de perímetro requieren atención por parte de
los maestros pues existen evidencias de fallas en su comprensión por parte de estudiantes de
todos los niveles.
Sintetizando los planteamientos relevantes realizados por Chamorro (1996) y los aspectos
fundamentales de la Ingeniería didáctica de Perrin – Glorian descritos en la tesis doctoral de
Corberán (1996) se tiene lo siguiente:
 Es importante prestar mayor atención en los primeros niveles a los procesos de medición,
los conceptos relacionados con unidades de medida, las mediciones en sí, la estimación de
mediciones y el uso de mediciones e ideas geométricas a través del currículo.
 Una vez realizado este proceso debe plantearse la realización de mediciones para resolver
problemas, la memorización de equivalencias entre unidades de medida, la memorización
y manipulación de fórmulas y la conversión interna entre varios sistemas de medida.
 Es necesario abordar la enseñanza progresiva del área así: Como parte (cantidad) del
plano ocupado por la superficie, Como magnitud autónoma, Como número de unidades
que recubren la superficie, Como producto de dos dimensiones lineales, Como aplicación
que asocia a cada región del plano un número real positivo (teoría de la medida) y Como el
límite de la suma de áreas de polígonos (cálculo integral).
 Es preciso generar actividades didácticas encaminadas a explorar: Concepciones del área;
La unidad de área; El papel de la visualización en la comparación de áreas; La conservación
del área; La relación entre el área y el perímetro; La relación entre el área y la forma de
una superficie; La conservación o variación del área o del perímetro de una superficie
cuando ésta es sometida a una transformación; La bidimensionalidad del área; Las
fórmulas para el cálculo de áreas; La relación existente entre el área de un rombo, un
romboide y un trapecio con el área de un rectángulo y, Los procedimientos utilizados en la
comparación y medida de áreas.
En cuanto a los resultados del trabajo realizado por los estudiantes es preciso decir que no
solamente fueron capaces de plantear y probar hipótesis a través de un tratamiento matemático
lógico y secuencial, sino que además disfrutaron el proceso.
Los estudiantes realizaron diversas exploraciones conducentes a solucionar algunos ejercicios y
problemas de tipo geométrico y numérico relacionados con área y perímetro, en los que la
posibilidad de trabajar a través de la mediación de herramientas como Cabri y el plegado de papel
fue lo que contribuyó a evidenciar la coordinación entre el tratamiento figural y el proceso de
visualización utilizados para justificar sus resultados.

23. BIBLIOGRAFIA
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