Maestros

1. 31
desarrollo de experiencias didácticas
Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001
4 Introducción
El trabajo forma parte del Programa de Incentivos
Docentes, Proyecto 19/E021, de la Facultad de Ciencias
ExactasIngenieríayAgrimensura,delaUniversidadNa-
cional de Rosario. Se encuadra en el contexto de la Inge-
niería Didáctica en la Educación Matemática, en el sen-
tido de MichéleArtigue (1), caracterizada por un esque-
ma experimental y constituida por una secuencia de cla-
ses diseñadas por el docente con el fin de realizar un
proyecto de aprendizaje dinámico para un grupo deter-
minado de alumnos. Este proyecto evoluciona y se mo-
difica, en la fase interactiva del trabajo de aula, en fun-
ción de las reacciones de los estudiantes y de las pro-
puestas del profesor. En ese contexto, el problema se
concibe como generador de un proceso a través del cual
el alumno combina elementos del conocimiento, reglas,
técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiri-
dos para dar solución a una situación nueva.
Las actividades que se relatan en esta exposición
forman parte de experiencias que se realizan durante el
primer cuatrimestre con alumnos de primer año de In-
geniería, en la asignaturaAlgebra y GeometríaAnalíti-
ca, de la Facultad.
El objetivo es mostrar que:
• las situaciones de enseñanza basadas en la re-
solución de problemas no rutinarios, constitu-
ye una fuente propicia para el desarrollo de ha-
bilidades en la construcción y exploración de
nuevos conocimientos,
• los alumnos progresan sólidamente cuando se
les da la oportunidad de hacer y rehacer por
ellos mismos la matemática,
• la metodología empleada que sostiene al alum-
no como protagonista de su aprendizaje, supe-
ra a la tradicional que pone el acento en el do-
cente transmisor del conocimiento.
Situaciones didácticas generadas por un
problema de Geometría analítica
Martha Elena Guzmán, Raúl David Katz, Patricia Có1
1
Docentes de Algebra y Geometría Analítica en la Fa-
cultad de Ciencias Exactas Ingeniería y Agrimensura.
Universidad Nacional de Rosario.

2. desarrollo de experiencias didácticas
32 Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001
Al concluir la experiencia, se pudo comprobar que un porcentaje significativo
de los alumnos entró en interacción directa con el problema formulado, pudiéndose
registrar errores y valorar aciertos y que el interés demostrado se transformara en
una efectiva función de aprendizaje.
El trabajo en el aula:
La situación didáctica se concibe como un espacio de articulación del saber,
donde el alumno es el centro del sujeto pedagógico en el proceso de construcción
del conocimiento. El docente es la persona que facilita el acceso al aprendizaje
estimulando al alumno en sus intervenciones, explica sin apresuramientos, propone
estrategias, “actúa como “moderador”, llevando la batuta para dirigir las ideas y
como el “alter ego” que plantea cuestiones y se asegura de que todo siga su causa.
El docente no está para dar soluciones, sino para ayudar al alumno a utilizar de
manera óptima los recursos de que dispone”, Schoenfeld (2)
.
En las actividades que se relatan, el problema que se expone a continuación fue
el medio elegido para la apropiación del conocimiento, en una tarea de resolución no
rutinaria.
Este problema opera como situación problemática, es decir, se cierra momentá-
neamente, pero se vuelve a abordar desde otros aspectos y con nuevos requeri-
mientos.
El problema:
Sean las rectas r1 y r2 dadas por sus ecuaciones paramétricas
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
∈+=
+=
tz
ty
tx
r
31
Rt1
1
1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∈=
=
sz
sy
sx
r
2
Rs22
¿Las rectas, son alabeadas? ¿Cuál es la distancia mínima entre ambas? ¿Cuáles
son los puntos que realizan la mínima distancia?
Las propuestas de solución
Las dos primeras preguntas tienen una rápida respuesta. Sin dificultad, la mayo-
ría de los alumnos aplican, sobre este caso particular, fórmulas obtenidas: condición
de coplanaridad entre dos rectas en el espacio y cálculo de la mínima distancia entre
rectas alabeadas.
En la tercera cuestión, se encuentra con condiciones prácticas nuevas.
Algunos alumnos, más cercanos al razonamiento geométrico, emprenden el
problema a partir de una situación particular, considerando r1
y r2
ortogonales. Sin
embargo no logran la “visualización”, pensada como el proceso que les permitiría
elegir, dentro de un complejo de relaciones, de manera natural y sin esfuerzo, los
modos de ataque más eficaces para resolver los problemas con que se enfrentan -M.
de Guzmán (3)-. Toman r1
como una arista del piso del salón de clase y r2
como una
arista del techo, ortogonal con r1
(gráfico 1).
Luego proponen cortar el planoπ1
de la pared, que contiene a r1
y es perpen-
dicular al techo, con r2
para obtener un punto B y repetir el procedimiento, intersecando
r1
con el plano 1
de la pared, que contiene a r2
y es perpendicular al piso para
obtener otro punto A.

3. 33
desarrollo de experiencias didácticas
Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001
Encuentran así los puntos A y B y afirman que estos puntos A y B son los que
realizan la mínima distancia.
Buscan, entonces, las coordenadas de A y B procediendo analíticamente, sobre
los datos del problema, sin observar que las rectas dadas no son ortogonales. No
encuentran los planos
π
1
y
π
1
y, en consecuencia, no pueden determinar las coor-
denadas de A y B.
Desconcierto por parte del grupo. -¡ No es posible! ¿Dónde está el error?. ¿Están
mal los cálculos?
Les cuesta reconocer que es la particularidad de su razonamiento la causa del
error. Aceptamos, en este sentido, el concepto de G. Brousseau (4) que sostiene que
el error, no es el efecto de la ignorancia, de la duda o del azar, sino la consecuencia de
un conocimiento no apropiado a una nueva situación. Para este autor), ciertos
conocimientos del alumno están ligados a otros conocimientos anteriores que a
menudo son provisorios, imprecisos y poco correctos.
Las intervenciones docentes fueron del tipo:
• Los cálculos son correctos, el error no está allí.
• Revisen su propuesta ¿cómo consideraron r1
y r2
? ¿Las rectas del enunciado
están en las mismas condiciones?
• ¿Es posible encontrar siempre un plano que contenga a una recta y sea per-
pendicular a otra alabeada con ella? “Vean” una recta L en el techo del salón
¿Es posible trazar por L un plano perpendicular a r1
contenida en el piso?
(gráfico 2) . ¿Y al plano del piso? ¿Corta ese plano a r1? ¿Cómo son todos los
planos perpendiculares a r1
?
• ¿Es posible que rectas alabeadas estén contenidas en planos paralelos?
La respuesta positiva surgió, cuando visualizaron a través de los vectores
dirección de las rectas (vectores libres) que es posible determinar planos
paralelos a ambas rectas y que en particular, se pueden tomar de esta familia,
el plano
π
1
que contiene a r1
y el plano que contiene a r2
.
Las dos últimas preguntas les dieron “la pista” para resolver el problema, según
su esquema original, observando que la solución es posible cuando ambas están en
planos paralelos.
Entonces su propuesta inicial toma sentido y es posible hallar fácilmente los
puntos A(1+t, 1+t, 3+t) y B (s, 2s, 2s) que hacen la mínima distancia entre r1
y r2
.
Observaciones
• Es interesante destacar que un pequeño grupo de alumnos, a partir del cono-
cimiento del error cometido al resolver el problema para un caso particular,
demostró: “ dadas dos rectas alabeadas, existe un plano que contiene a una
de ellas y es perpendicular a la otra si, y sólo si ambas son perpendiculares”.
• Paralelamente a este trabajo, otros alumnos eligieron un camino diferente del
siguiente modo: los puntos A, B que buscamos determinan una recta cuya
dirección es perpendicular a las direcciones de r1
y r2
, entonces
u
es perpen-
dicular al vector,dirección de r1
, y también es perpendicular al vector
v
, direc-
ción de r2
, y como = (s – t – 1, 2s – t – 1, 2s – 3t – 1)
u
= (1, 1, 3); y
v
= (1, 2, 2), debe ser
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
0=v.AB
0=.uAB
u

4. desarrollo de experiencias didácticas
34 Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001
Resuelven el sistema y obtiene la solución 0=t,
9
5
=s
valores de los parámetros que dan para r1
el punto A = (1,1,1)
y para r2
el punto )
9
10
,
9
10
,
9
5
(=B
Verifican, para asegurar su resultado, que
3
2
=AB
• Otro grupo de alumnos argumentó: los puntos A y B que se buscan son tales
que AB debe ser igual a
3
2
dondeA= (1 + t, 1+ t, 1 + 3t) y B = ( s, 2s, 2s)
Entonces
3
2
)132()12()1( 222
=−−+−−+−− tststs
o de manera equivalente
9
2
3101018119 22
=++−−+ tsstts
Llegado a este punto los alumnos se enfrentan con una ecuación de segundo
grado en dos variables y el problema original deriva en un nuevo problema: encon-
trar los puntos del plano que satisfacen esa ecuación, cuestión desconocida por los
alumnos al momento de esta secuencia.
• Otros alumnos analizaron el problema a partir de la definición de distancia
entre rectas, y propusieron encontrar el mínimo entre los valores MN con M
perteneciente a r1 y N perteneciente a r2.
Expresarestaideaenellenguajeespecíficoesmuydifícil.Logranlatraduccióncuando
selessugiereescribirladistanciaentreunpuntoMarbitrarioder1
,M=(1+t,1+t,1+3t)
y otro N arbitrario de r2
, N = (s, 2s, 2s)
Escriben
222
)132()12()1( −−+−−+−−= tststsMN y su equi-
valente 3101018119 22
2
++−−+= tssttsMN
De la arbitrariedad de M y N reconocen la variabilidad de MN lo que
facilita la introducción de una tercera variable z MN = 2
El problema es entonces encontrar el mínimo para la función de dos variables
3101018119 22
++−−+= tssttsz cuestión también desconocida por los
alumnos.
Esto nos muestra como un simple problema es fuente de aprendizaje y de
desequilibrio cuando se descubre la falta de correspondencia entre los sistemas de

5. 35
desarrollo de experiencias didácticas
Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001
conocimientos del alumno y los requisitos que se le plantean ante una nueva situa-
ción.
Si bien encontramos aquí un medio propicio para introducir el estudio de la
ecuación general de segundo grado, para avanzar luego con el estudio de las super-
ficies cuádricas y utilizar estos recursos para analizar el problema, o bien, la posibi-
lidad de estudiar los extremos de una función de dos variables, al momento de la
secuencia decidimos tan solo anticipar esas posibilidades y reservar un tiempo para
la reflexión sobre los planteos y las soluciones del problema. “Los alumnos no
aprenden matemática por lo que hacen, sino por lo que reflexionan acerca de lo que
hacen” -Flores Peñafiel (5)-
Tratamos de discutir las estrategias empleadas, interrogando a los estudiantes
sobre los procesos de solución presentados por ellos, instándolos a comunicar sus
experiencias. Se procuró transmitirles la idea de que hacer matemática significa
preguntarse y preguntarse hasta que las cosas tengan sentido. Que una vez encon-
trado éste, habrá que plantearse el esquema de solución y elegir las herramientas
matemáticas más útiles y aplicarlas y finalmente reflexionar sobre la solución, es el
“mirar atrás” de G. Polya (6).
Se intentó motivar la participación de los distintos grupos para que expresen
sus opiniones, para que de manera colectiva en el transcurso de esas interacciones
verbales, compararan sus métodos, sus ventajas o inconvenientes, la rapidez y las
posibilidades de control. Son ellos quienes deciden la forma más cómoda, lo que les
permite evitar enfoques erróneos. El trabajo docente consistió en estimular la devo-
lución del problema, ya que ellos lo han realizado en interacción con el mismo sin la
mediación del profesor que habitualmente dice lo que se debe hacer. Esto es impor-
tante para la apropiación y reutilización del método en contextos similares pero más
complejos, o en problemas con un contexto diferente, de complejidad similar o
mucho mayor.
Un nuevo enfoque del problema
La situación que se presenta aquí pone en juego la dialéctica herramienta-objeto
propuesta por R.Douady (7). Se organizó enfocando el problema que originó la
secuencia anterior, donde la solución da significado a las nociones matemáticas
implicadas: parámetros, ecuación de segundo grado en una y dos variables, cónicas
de tipo elíptico, paraboloides elípticos.
El objetivo fue permitir a los estudiantes apropiarse del conocimiento, que
gracias a la situación toma otro significado para ellos.
Una vez que se avanzó con el desarrollo de los contenidos de la asignatura y
conocido el estudio de la ecuación de segundo grado se reconsideró el problema
visualizándolo desde las cónicas.
Los alumnos reconocen que la ecuación:
9
2
3101018119 22
=++−−+ tsstts (*)
es una cónica de tipo elíptico, y afirman rápidamente que es una elipse.
Preguntamos:
¿ Qué relación tendrá con el problema?
¿ Si los puntosA y B que hacen la distancia mínima entre r1
y r2
dependen de un
único s y de un único t, entonces la ecuación puede representar una elipse propia-

6. desarrollo de experiencias didácticas
36 Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001
mente dicha?
La inspección y el análisis de la ecuación les muestra que, en efecto, se
obtiene única solución 0,
9
5
== ts , que )0,
9
5
( es centro de simetría y a su vez
el único punto que satisface (*).
Nuevamente interrogamos:
¿Qué resulta si en la ecuación (*) tomamos valores menores que
3
2
=d ?
• La ecuación no tiene solución en el campo real.
¿Qué significa para nuestro problema?
• No existen s y t reales que verifiquen la ecuación, en consecuencia no hay
puntos que realicen esa distancia.
Interrogamos después:
¿Pueden hallar los puntos de r1
y r2
que realizan una distancia superior a la
mínima
3
2
>d , es decir?
Probando con distintos valores obtuvieron elipses, con centro de simetría en
(
9
5
, 0 ) (gráfico 3).
Entonces ¿cuántos pares de puntos realizan esas distancias? ¿cómo se obtiene
los puntos que las realizan?
Respondieron que hay infinitos pares de puntos en r1
) y r2
) respectivamente,
que realizan esas distancias y que esos pares de puntos se obtienen para aquellos
valores de los parámetros s y t que satisfacen la ecuación de la elipse que obtienen
en cada caso.
• ¿Pueden visualizar esos puntos?
La representación gráfica de algunas de estas elipses les permitió visualizar
el intervalo de variación tanto para el parámetro s como para el parámetro t.
• ¿Qué se puede concluir?
Estos intervalos de variación para s y t, restringen los puntos que verifican
las condiciones del problema a segmentos de rectas en r1
y r2
respectivamen-
te y que además, para cada valor del parámetro s obtienen 2 valores del
parámetro t (salvo para aquellos valores de s extremos del intervalo), lo cual
muestra que para cada punto de r1
existen dos puntos de r2
que realizan la
distancia propuesta.
Un enfoque
Más adelante completando el estudio de las superficies cuádricas les propusi-
mos como ejercicio relacionar la ecuación
3101018119 22
++−−+= tssttsz
con aquella que habían planteado para solucionar el problema.

7. 37
desarrollo de experiencias didácticas
Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001
Reconocen que para cada par de valores s y t la expresión corresponde a una
función de dos variables que expresa la distancia al cuadrado entre los puntos de r1
y r2
, y se les explica que con recursos del cálculo diferencial es posible encontrar los
valores de s y t para los cuales z es mínima. Es decir resulta posible encontrar los
valores de los parámetros s y t que determinan los puntos de r1
y r2
que se encuen-
tran a la mínima distancia.
Se abandona este enfoque puesto que al nivel del curso no se cuenta con los
recursos del cálculo diferencial para funciones de dos variables. Se pasa nuevamen-
te a discutir el problema desde la óptica geométrica.
Les proponemos estudiar la superficie representada por la ecuación:
3101018119 22
++−−+= tssttsz
El trabajo en la computadora le mostró que se trata de la ecuación de un
paraboloide elíptico (gráfico 4).
Observaron que las proyecciones en el plano S-T de las intersecciones con
planos paralelos al mismo son elipses. Reconocieron también que las coordenadas
s y t de los puntos de esas elipses corresponden en cada caso a puntos que realizan
una distancia dada z.
• ¿Para qué valores de s y t,
3
2
=z ?
Conjeturan que las coordenadas del vértice )
3
2
,,( ts permitirá encontrar los
puntos que realizan la distancia mínima.
• ¿Cómo encuentran s y t ?
Reconocieron haberlos encontrado al estudiar el caso de tipo elíptico de la
ecuación general de 2º grado.
Comentarios
El problema expuesto fue trabajado en un curso de cuarenta alumnos durante el
dictado deAlgebra y GeometríaAnalítica I en el primer cuatrimestre del año 1999. En
el transcurso del segundo cuatrimestre, con los mismos alumnos, en la asignatura
Análisis Matemático II, el problema se planteó como un ejercicio de minimización de
una función de dos variables. Esa actividad fue parte del proyecto de Ingeniería
Didáctica en el que participamos.
Como señaláramos anteriormente la esencia de esta metodología de trabajo radi-
ca en la discusión que se genera a partir del planteo de un problema. En diferentes
instancias guiamos a nuestros alumnos a través de una serie de preguntas, cada
una de las cuales exige no sólo la reproducción de sus conocimientos, sino la
realización de una pequeña búsqueda de una “respuesta inteligente” a la pregunta
formulada.
De este modo, el estudiante realiza tareas que le resultan atrayentes y que le
permiten no sólo asimilar de manera significativa los conocimientos sino también
incorporar nuevos procedimientos, transformándose en protagonista de su apren-
dizaje.Asu vez el tratamiento de situaciones problemáticas propicia la reflexión, el
análisis, la defensa de ideas, consolidándose así hábitos que tienen un valor univer-
sal.
Por otra parte la realización de estas actividades favorece el seguimiento del
trabajo de los alumnos, la detección de sus dificultades, los progresos realizados, y
por lo tanto constituye una forma de evaluar el proceso enseñanza-aprendizaje que
se produce en un contexto de trabajo colectivo.

8. desarrollo de experiencias didácticas
38 Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001
Si bien ponemos énfasis en la resolución de problemas, no pensamos que sea
posible impartir toda nuestra enseñanza a través de problemas. Más bien quere-
mos reflejar un intento por corregir el desequilibrio que se genera cuando solo se
priorizan algunos aspectos en la formación matemática.
La GeometríaAnalítica ofrece la posibilidad de plantear una variedad muy am-
plia de problemas accesibles al nivel de los alumnos.
Las propiedades métricas de las cónicas y sus múltiples aplicaciones, el estudio
del paraboloide hiperbólico como una superficie de traslación o bien como una
superficie reglada (esenciales para cálculo de los esfuerzos de membrana de casca-
rones de concreto armado en forma de paraboloide hiperbólico) constituyen intere-
santes temáticas para abordar otras situaciones problemáticas.
Referencias Bibliográficas
ARTIGUE, M.DOUADY, R. MORENO, L. GÓMEZ, P. Ingeniería didáctica en
educación matemática. Grupo Editorial Iberoamericano. México 1995.
SCHOENFELD, A. Ideas y tendencias en la resolución de problemas, en “La
enseñanza de la Matemática a debate” Ministerio de Educación y Ciencia.
Madrid 1985.
GUZMÁN de, M. El rincón de la pizarra. Pirámide. Madrid 1996.
BROUSSEAU,G.ThéorisationdesPhénomenesd´EnsignementdeMathematiques.
Thèse d´ Etat, Bordeaux, 1986.
FLORESPEÑAFIEL,A.AcciónComunicaciónyreflexión,enSANTOSTRIGO,
L., SANCHEZ, E. Perspectivas en Educación Matemática. Grupo Editorial Ibero-
americana.México1996.
POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Trillas. México 1998.