Este documento presenta una práctica de cálculo sobre integrales de superficies. Incluye ejercicios para parametrizar diferentes superficies geométricas en 3D, calcular planos tangentes y vectores normales en puntos específicos, hallar áreas de superficies, y evaluar integrales de campos escalares sobre superficies.

1. UNGS - C´alculo en Varias Variables
Segundo Semestre de 2018
PR´ACTICA 8
Integrales sobre superficies
1. Parametrizar las siguientes superficies:
(i) z = 3, con 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (ii) x + z = 2, con −2 ≤ y ≤ 3, x, z ≥ 0
(iii) x + y + z = 1, en el 1er octante (iv) x2 + y2 = 4, con y ≥ 0 y −1 ≤ z ≤ 1
(v) x2 + y2 + z2 = 1, en el 1er octante (vi) x2 + y2 + z2 = 4, con y ≥ 0
(vii) z = x2 + y2, con z ≤ 5 (viii) z = y2, con x2 + y2 ≤ 1
Graficar aproximadamente.
2. Dadas las siguientes superficies:
(ix) x2 + z2 = 3, con −1 ≤ y ≤ 1 (x) x2 + y2 + z2 = 4
(xi) z = x2 + y2, con z ≤ 5 (xii) y2 + 4z2 = 1, con −2 ≤ x ≤ 3
(xiii) (x − 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 1 (xiv) z = 5 − x2, con z ≥ 0 y −1 ≤ y ≤ 1
(xv) La superficie frontera del s´olido definido por el plano x+y +z = 1 en el primer octante.
(xvi) La superficie frontera del s´olido definido por z ≤ 5 − x2 − y2 y z ≥ 0
Parametrizarlas ¿Cu´ales son superficies cerradas? Indicar el borde de las que no lo sean.
3. Para las superficies de los ejercicios 1 y 2 que se indican, utilizar las parametrizaciones halladas
para calcular, si es posible, los planos tangentes y vectores normales en los puntos P se˜nalados.
En lo posible, graficar aproximadamente las superficies, los planos tangentes y los vectores
normales.
Superficies del ejercicio 1:
i) en P = (1/2, 1/2, 3), iii) en P = (1/3, 1/3, 1/3), iv) en P = (
√
2,
√
2, 0), vi) en P = (0, 2, 0),
vii) en P = (1, 1,
√
2), vii) en P = (0, 0, 0) y viii) en P = (0, 0, 0).
Superficies del ejercicio 2:
ii) en P = (0, 0, −2), iii) en P = (0, 0, 0), iv) en P = (0, 1, 0), vi) en P = (0, 0, 5) y viii) en
P = (0, 0, 0).
4. Calcular el ´area de las superficies indicadas en el ejercicio anterior (Salvo 1) viii) y 2) vi)).
5. Calcular el ´area de las siguientes superficies:
(a) S el trozo de cilindro x2 + y2 = 4 que verifica −x ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 1.
(b) S superficie frontera del cuerpo definido por x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y2.
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2. 6. Integrar los siguientes campos escalares sobre las superficies indicadas.
(a) f(x, y, z) = x2 + y2, sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 4.
(b) f(x, y, z) = (x2 + y2)z, sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 4.
(c) f(x, y, z) = z sobre z = 1 − x2 − y2, z ≥ 0.
(d) f(x, y, z) = x2, sobre el cilindro x2 + y2 = 5, 0 ≤ z ≤ 1
(e) f(x, y, z) = x2, sobre la superficie frontera del s´olido x2 + y2 ≤ 5, 0 ≤ z ≤ 1 ¿Cu´al es la
diferencia con el inciso anterior?
7. Calcular el flujo de F a trav´es de S en los casos indicados:
(a) F(x, y, z) = (x, x + y, x + y + z) a trav´es de la porci´on del plano 2x + 3y + 6z = 1 que
se encuentra en el primer octante, orientada con las normales hacia abajo (o sea con la
tercera componente de los vectores normales negativa).
(b) F(x, y, z) = (2xy, 2xyz, zxy2) a trav´es del trozo de cilindro de ecuaci´on x2 + y2 = 1, en
el primer octante, con z ≤ 2 orientado con un campo de vectores normales con primera
coordenada positiva.
(c) F(x, y, z) = (x cos y, x, xz) a trav´es de la porci´on de la superficie z = sen y con (x, y) en
[0, 2] × [0, π] orientada seg´un un campo de vectores normales unitario continuo N que
verifica N(1, π/2, 1) = (0, 0, −1).
(d) F(x, y, z) = (y, −x, z) a trav´es de z = x2 + y2 con x2 + y2 ≤ 2x orientada con un campo
de vectores normales que apunta hacia arriba.
(e) F(x, y, z) = (xy, z, y) a trav´es de la frontera del cuerpo limitado por x + y + z ≤ 18, en
el primer octante orientada con el vector normal exterior.
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