1. IDEeSpaLrAtamBAenHtoÍAd.eMatemáti
as Curso2011-12
padrae2MoEadjteeerm
Biá
ait
oih
sialsleIrIato

2. IÍnAdNiÁ
LeISISgeneral 3 123...LFDuíemnri
ivtioaednyaess
.orTneatéil
nenusii
ddaeasdvdaeridaberleivare
aióln 135 44444.....412345......Apli
CRRAMaueep
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toeeuainnsornítanagda.e.e
esPniEódutlxneaentstrygloeardmsnáReodorr
eesimag.vilanPaadlderdoe.afexbus.ilLnóe.
mn'Hi.oa ns..pedi..stea...lo...pt....im....i....za....
i....ón...................................................................................................................... 111722078 555...5P123....roLbaleimnIIItnnnaetttsgeeegggrdrrraeaaall
eSiiisóónenndilneedpm
eotenrifdvuipidinaada
traaitodens..eBs..rl..oa
q..iuo..ne..adl..ees..A...n...á...li...si...s.............................................................................. 1112238008 5.6P4..roLbaleimnItnaetsgegrdraeal
Sdióeenlepn
otidriva
iadmabdi.oBdleovqaurieabdleesA.n.á.li.si.s-.In.t.eg.r.a
.ió.n................... 222351 777...I7123I....MÁatLrEOMiG
paeuetEsarr
iaBzi
oiiRnonnevAseesrys
asoi.nst.emm.aat.rsi.
me.sa.tr..i
..ia..les..................................................................................................2222378908 7888....81234.....DetePRDDrmreeeostsiopeanrlriuemardo
niilanótldoaenensdsdteeedsuesndilseotdseoemdrtdeeartesmenrdimdenoaiensn
atuyneatt
perioseosrn.elos..sl..ienl..eeam..lee..sn..tpo..osr..dGe..au..un..sas..lí...ne...a................................................................... 3333311102 888...9456....SisteECRm
áaauln
sagu
odliooedndeeeesu
lnumaaaai
nmtirvoaie
ntrirsaeialszedsl.ien..ue..naal..em..sa..t..riz............................................................................................... 33336345 ProblemasdeSele
tividad.BloquedeÁlgebr1a 38

3. 111000I1...I0123I....EspGaPPV
EierroooO
stddoMuuvr
eettsE
ooteTevonserR
eiaatlolÍleaerAsrispaal.
i..o....................................................................................................................4444423343 111100111....11245.....ElesEPPRpjrueaeo
111P.23r.o.EblleemsPpalaas
n
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nidooseeS.ue.
iaouois
s
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2

4. ABNLOÁQLUISEIIS
3

5. TFeumna
i1onesrealesdevariablereal
1.aC)al
ulaeldominiodelassiguientesfun
iones: f(x) =
)f(x) = √x2 − 4 d)f(x) =
+ √3 x − 1 g)f(x) = Ln(x2 − 4) h)f(x) = Ln
j)2x
x2 − 4
k)i)l) f(x) = e1/x f(x) = x Ln2 x f(x) = x Ln x2 f(x) =
b)f(x) =
x3 + 3x + 2
2x3 + 6x2 − 2x − 6
m)s
x + 1
x − 2
Ln(x2 + 3) f(x) =
e)f(x) =
√x2 − 3x + 2
o)x − 2
e2 − ex/(x−1) f(x) = |x + 3|
f)f(x) =
1
x
1

9. r)f(x) =
x2 − 1
t)1
u)1
ex + 1
f(x) = sen(cos x) f(x) = arc tg
n)f(x) =
1
x
+ ex/(x−2) ñ)f(x) =
ex
p)f(x) = |x − 1| + |x − 4|
q)f(x) =

13. x2 + 3
x2 − 4
x2 + |x|
x2 − |x|
s)f(x) =
x
x − |x − 1|
1
x
v)f(x) = cos(Ln x2) w)f(x) =
1
sen x 2.Ca)al
ulaeldominiodelassiguientesfun
iones: f(x) =
six ≥ 0 e)f(x) =


x si0 ≤ x 2
x + 2 si2 ≤ x 3
2x − 1 si3 x ≤ 4
b)f(x) =


1/x six ≤ 0
√x − 1 si0 x ≤ 2
2x + 2 six 2
)f(x) =


x
x − 1 −
1
Ln x
six6= 1
1 six = 1
d)f(x) =


2x
1 − x
six 0
2x
1 + x
(
Ln(x2 − x − 6) six6= 3, 2
0 six = 3
f)f(x) =


− a
x
six ≤ −1
x2 + 1 six −1 PSfragrepla
emegn)ts 1
PSfragrepla
emehn)ts 1 1

14. 3.Daa
4.Determina bd)))aLADloaelstafepurvunmisn
paravaloresde,ititnaóoansdeeydleevléaor,triti
needieonainlldaoismaeojlenasoetd:
oeuna
íao
iodórnedesdunesaldreaajems,dayeseyssibmexoepztarreísasuadgeelrsá
uo
mgarp.áor
taa.mientodelafun
ión f(xenlafun
)=muygrandes(positivosynegativos). 3x
2
−ión12
x+9paraquelagrá
x ab c f(x) = ax2 +bx+c atengaelvérti
eenelpunto
V (−1, 9) ypaseporelpuntoP(−3, 1).IdemV (−1/3, 2/3) yP(2, 17)5.En
ada
aso,determina . a,b yc enlafun
6.R
apu)ntos: imepireensteontyadger
,áre
aimmieenntteoleasinsdigi
yuaieenlte
somfupno
iónritoanmesi,enytoadlaevlaistfuand
b),eióénstpaa,riandvai
paraquelagrá
ylaorleossminutyergvraalonsdedsed
apaseporlos (ap)ositivosynegativos): f(x) = ax2 + bx + c ere-P(1, 4)Q(−2,−62) R(3, 8) P(−1, 11)Q(3, 3) R(5, 23) x (
f(x) =
2x2 + 12x + 16 six 1
−x + 5 six ≥ 1
b)f(x) =


− 1
3
(x2 + 4x − 5) six 1
a
8.aR)epresentagrá
b)))EADselbtaeorvzmaisitsnauadgseruálad
suasíntotaverti
ogamráeinn
al,yparavaloresmuygrandesdeioua,n,aessxiípsntrteeomstaaasedlye
po
umonoptroodrsetndaamed
iaeosnr.ttoesd
eolnalfousne
1
3
jióesn.par:avaloresmuypróximosa x(x2 − 8x + 7) six ≥ 1
)f(x) = |x + 2| − 2(|x| + 1) d)f(x) = |x − 3| + |x| + |x + 3| − 8 e)f(x) = |x + 2| · |x − 3|
f)f(x) = |x2 − 3x| 7.Paralassiguientesfun
ionesf(x) =
amentelassiguientesfun
x + 3
x − 1
iones: ,positivosynegativos. f(x) =
,g(x) =
5 − x
x − 2
yf(x) = − 2
x − 4
six ∈ (−∞,−1] ∪ [1,+∞) 9.aR)epresentagrá


|x|
six ∈ [−1, 1]
1
|x| − 1
b)f(x) =
six ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)


1
x
six 0
|x − 1|
six ≥ 0
)f(x) =
(
ex six ≤ 0
Ln x six 0
d)f(x) =


1
1 − |x|
six ∈ (−1, 1)
p
|x|
amentelassiguientesfun
iones: f : (−∞, 2] −→ R
x −→ y = 2x
b)f : (0, 1] −→ R
x −→ y = Ln x
)f : (−2π, 2π] −→ R
x −→ y = sen x
d)f : [0, 2π] −→ R
x −→ y = tg x e)f : (−2, 0] −→ R
x −→ y = e−x+1
f)f : [0, 2π] −→ R
2 x −→ y = | cos x|

15. TLeímmait2ey
ontinuidad
1.aC)al
ulalossiguienteslímites: l´ım
x→1
x − 3 d)l´ım
3x g)l´ım
j)1
x − 1
1/(x−1) l´ım
b)l´ım
x→−1
x + 1
x3 + 3x2 + 3x + 1
)l´ım
x→3
√x + 1 − 2
2.Ca)al
√x + 2x
x→∞
√x2 + 1
p
x2 + 1 + x) e)l´ım
(
x→∞
p
x2 + 1 −
p
x2 − 1) f)l´ım
x→∞
1 +
3
x
x→∞
3x − 2
5x + 2
1 +
3
x
4x h)l´ım
x→∞
2x2 + 1
2x2 − 1
3x2
−2 i)l´ım
x→1
3x
x + 2
g)x→3
1
x l´ım
√x + 1 − 2
√x + 6 − 3
k)l´ım
x→1
2
(x − 1)2 −
1
x(x − 1)
l) l´ım
(
x→−∞
ulalossiguienteslímites: l´ım
x→0
sen x b)l´ım
x j)l´ım
m)x→0
x sen x l´ım
Ln x
x
) l´ım
x→−∞
arc tg x d)l´ım
o)x→∞
x2 + |x|
x2 − |x| l´ım
log1/2
x2 + 1
x
e)l´ım
x→∞
sen
1
x
f)l´ım
x→0
sen
3.Ca)al
x→∞
(log x)1−3x 1
sen(1/x)
h) l´ım
x→−∞
Ln(1 + x2) i) l´ım
x→−∞
3
5
x→0
|x|
x
k)l´ım
x→1
1
|x2 − 1|
l)l´ım
x→0
d)x arc tg
x→∞
e) 1/(√(2x − 1)x−1) l´ım
(x + 2)2/x l´ım
x2 + 3
− x
n) l´ım
x→−∞
1 + ex
Ln(−x)
ñ)l´ım
x→0
g)x→0+
−3x+1 l´ım
1 + e−1/x
1 − e−1/x2
p) l´ım
x→+∞
ulalossiguienteslímites:
l´ım
x→∞
i)8x3 + 2
2x3 + 3x − 1
(x+1)/(2x+2) l´ım
x/(2x+5) b)l´ım
x→∞
3x2 + 1
3x2 − 1
x2/(x+1)
)l´ım
x→1
l) x→0
x→−∞
l´ım
5 −
1
x
2x+3 f) l´ım
x→−∞
1
|x|
ñ)
3x − 2
x→0
x − 1
1
x l´ım
Ln x h) l´ım
x→+∞
x2 + 3
2x2 − 1
+ 2x
x→1
√2x − 1 − 1
x − 1
Ln x j)l´ım
x→2
x − 2
x
(x2
−4)/(x−2) k) l´ım
x→+∞
log1/2 x + log2
1
x
x→−∞
arc tg
4x2 + x
x
m)l´ım
x→∞
−1)/x 3
Ln
x + 1
x
x n)l´ım
x→∞
sen
x→0+
cos
1
x
o) l´ım
x→+∞
e(x3

16. 4.Ca)omparandolosórdenesdeinnito,asignalímiteaestasexpresiones: l´ım
p
x5 + 2) 5.Ea)studiala
ontinuidaddelassiguientesfun
iones,
lasi
andolasdis
ontinuidades: f(x) =
2x
d)x→+∞
10x2 − 5
)f(x) = |x| f(x) = |x − 1| + |x − 4|
b) l´ım
x→+∞
f) √x5 + 4
10x2 + 3
(log x3 − 10x2) l´ım
) l´ım
x→+∞
log(x3 + 1)
2x2 + 5x d) l´ım
x→+∞
2x
log(x3 + 1)
e) l´ım
x→+∞
(2x −
x→+∞
j)2x
x2 − 4
k)x f(x) = Ln(1 + ex) f(x) =
b)f(x) =
x3 + 3x + 2
2x3 + 6x2 − 2x − 6
e)f(x) =
1 − ex/(x−1) 6.Ea)studiala
ontinuidaddelassiguientesfun
iones
x2 + |x|
x2 − |x|
lasi
andolasdis
ontinuidades: f(x) =
f)f(x) =
g)x2 + |x − 1|
|2x| − x2 1
f(x) =
2 − Ln x
h)f(x) = cos(sen x2) i)f(x) =
log1/3 x
1
1 + ex/(x−1)
l)f(x) =
1
1/x six 1
2x − 1 x ≥ 1
b)f(x) =
ex six 1
Ln x x ≥ 1
)f(x) =


8.Halaelvalordeenlassiguientesfun
sia) eax x ≤ 0
x + 2a x 0 m |x + 1|
si
x −1
x2 2x + 1 six 1
−1 ≤ x 1
d)f(x) =


√x + 6 − 3
x − 3
six6= 3
0 six = 3 e)f(x) =


ionesparaquesean
ontinuasentodo: Rf(x) =
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2
six6= 2
3 six = 2
f)f(x) =


1 − x
1 − √x
six6= 1
7.Estudiala
a) ontinuidaddelassiguientesfun
ionesparalosdistintosvaloresdelparámetrosi: 1 x = 1
af(x) =
x2 + ax six ≤ 2
a − x2 x 2
b)f(x) =


x + m− 1
x2 + m
six ≤ −1
x2 − mx − 3 six −1
b)f(x) =


emx six ≤ 1
2x2 + (m− 1)x − m
x + 2
six 1
4

17. TDeemraiv3adas.Té
ni
asdederiva
ión
1.eaAn)pllio
sanpduontloasdqeuensi
eióinnddi
eadne:rivada,determinaladerivadade
b)adaunadelassiguientesfun
)iones f(x) = x2 + 3x; f′(1) f(x) = √x − 1; f′(5)
f(x) =
; f′(−1) 2.aC)al
j)g)h)i)f)x
x + 2
5 f(x) = sen x3 + cos3(2x) f(x) = √1 − x2 f(x) = cos√x2 − 1 f(x) = Ln3 x − Ln x3 f(x) = arc sen
ulalafun
iónderivadade
adaunadelassiguientesfun
iones: f(x) = tg√x b)f(x) = sen2 x + 3 cos5(2x)
)f(x) =
sen x + cos x
sen x − cos x d)f(x) = e−x · cos(3x) e)f(x) =
m)k)
x + 2
l)x − 2
x
x 1
f(x) = arc tg
− f(x) = arc sen e2x−1 2
x + 1
s
f(x) = arc cos
1 − ex
1 + ex
n)f(x) = Ln
x − 1
x
+ Ln3(sen2 x)ñ)f(x) = arc tg
1 + cos x
sen x 3.Ca)al
ulalafun
iónderivadadelassiguientesfun
iones: f(x) = xx b)f(x) = (sen x)x
)f(x) = xsen x d)f(x) = xLn x 4.Determinalafun
iónderivadadelafun
iónf : R −→ R denidadelaforma:
6.Compruebaquees
f(x) =
si−x2 + 8x x 2 f(x) 

1 − x
ex
six ≤ 0
cos x si0 x π/2
1/x six ≥ π/2 5.Ea)studiala
ontinuidadyderivabilidaddelasfun
iones: f(x) =
Ln(x − 1) six 2
3x − 6 x ≥ 2 7.Determinaa yb paraquelafun


ex six ≤ 0
1 0 x 3
−x2 + 3x + 2 six ≥ 3
b)f(x) =

ióndenidadelaforma:

f : R −→ R x2 + 2x + 1 si
x −1
2x + 2 −1 ≤ x 2
ontinuaperonoderivableenx = 2.
f(x) =
f(x) =
−x2 + 2x + a six ≤ 3
x2 + bx + 21 x 3 seaderivableparatodox ∈ R.(Solu
ión:a = 3 yb = −105 )

18. 8.¾Paraquévaloresdek lafun
iónf : R −→ R denidadelaforma:
f(x) =


4 + x + kx2 six ≤ 1
− 6
kx
six 1 es
ontinuaparatodonúmeroreal?¾Paraquévalorovaloresde(Solu
ión:Es
ontinuaentodo k esf derivableentodox ∈ R? R parak = −2 yk = −3.EsderivableentodoR parak = −29.¾Cuáldebeserelvalorde ) a paraquelafun
iónf : R −→ R denidadelaforma:
six ≥ 0 seaderivableentodonúmerorealx?Paraesevalordea es
f(x) =
Determinaydemaneraqueseaderivableen.(Solu
sisiemx−n x 1
1 − x Ln x x ≥ 1 m n f R

(a + 1)x
1 − x
six 0
2x
1 + ax
ribesufun
iónderivada.(Solu
ión
a = 110.Sean)m yn dosnúmerosreales,yseaf : R −→ R denidadelaforma:
iónm = −1 yn = −1aS)olu
ionesejer
i
io2: ) f′(x) =
f(x) =
e)d)f′(x) = −e−x(cos 3x + 3 sen 3x) − 20(x + 2)4
f′(x) = (
g)1
2√x cos2 √f)x
f′(x) = 3x2 cos x3 − 6 cos2 2x · sen 2x x
f′(x) = − b)f′(x) = sen 2x(1 − 30 cos4 2x)
)f′(x) = −
2
1 − sen 2x
(x − 2)6
√1 − x2
h)f′(x) = −
x sen√x2 − 1
√x2 − 1 i)f′(x) =
ñ)3(Ln2 x − 1)
x
cos x
sen x − 1
f′(x) = j)f′(x) =
k)1
√4 − x2 1
f′(x) =
x2 + 1
l)f′(x) =
m)2e2x−1
√1 − e4x−2 ex
f′(x) =
p
2ex(1 − ex)
(1 + ex)
n)f′(x) =
1
x(x − 1)
+ 6 Ln2(sen2 x) ·
2 aS)olu
ionesejer
i
io3: f′(x) = xx(1 +Ln x) b) f′(x) = x(sen x)x−1 · cos x +(sen x)x · Ln(sen x)
) f′(x) =
sen x · xsen x−1 + xsen x · Ln x · cos x d) f′(x) = 2 Ln x · xLn x−1
6

19. TAepmlia
a4
ionesdelasderivadas
4.11..Ea
u)nRya
aead
bast
aiassaots,aeesnin
rgdiibe
ean:latee
enuya
inónodremlaarel
yentatangentealagrá
b)adelafun
iónenelpuntodeela f(x) = (x2 + 2x + 2)3 x = 0 x = −1 f(x) =
enx = 0 yenx = Ln 2 e)f(x) = sen2(2x) enx = 0 yenx = 3π/4 f)f(x) =
2.Halalospuntosdelagrá
ena)lospaqruaelellaataalnegjeendteeeasb:s
x2 + 1
enyenb)paralelaalare
tadee
isa. adelafun
ua
ión (Solu
iónión: x2 − 2
. (Solu
,denidadelaforma) , x = 1 x = e f : R −→ Rf(x) = −2x2+2x+5(1/2, 11/2)y = 2x + 3enx = 0 yenx = 1
)f(x) = x · ex enx = 0 yenx = 1 d)f(x) =
ex + e−x
3.Halalospuntosdelagrá
adelafun
ión ión:2
) (0, 5)f(x) =
Ln x
x2
a)paralelaalabise
b)paralelaalare
tadee
trizdelprimeryter
ua
ión er
uadrante.en(lSooslquu
(Solu
ieónla:tangentees: y) (0,−1) (−4, 3)4x − y + 2 = 0 ión:(−1,−3) y(−3, 5)4.Determinaenquépuntoslare
ta ) y = x/e estangenteala
5.Halalospuntosdelagrá
genteesparalelaalabise
trizdelprimer
adelafun
ióndenidapor uadrante. x − 2
x + (Solu
2
urvaión: . enlosquelare
(Solu
ión:) y = Ln x(e, 1)f(x) = 2x4 −x2 +x tatan- (0, 0),(1/2, 3/8) y(−1/2,−5/8)6.Dadala
urva ) f(x) =
7.Halatodaslasposiblesre
alejedeabs
isa. (Solu
ión: tastangen)tesala
aunpuntourvadela
quepasanporelpuntourvaenelquelatangenteesparalela . (Solu
M (1, 2)y = x4 (2, 0)(x − 2)8.Sea ) f unafun
ynúmerosreales.En
iónrealdevariablereal,,denidadelaforma,
onf : R −→ Rf(x) = x2 +ax+ba b uentralosvaloresquedebentomara yb paraqueelpunto(2, 4) alagrá
ade pertenez
yquelare
2
x
a f + Ln x2,bus
ión:
y = 0 ey =
tatangenteaelaendi
hopuntosealare
tadee
ua
ióny = 2x(Solu
ión: . a = −2 yb = 49.Sea ) f unafun
lagrá
númerosreales.En
ade iónrealdevariablereal,uentralosvaloresquedebentomar,denidadelaformayparaqueelpuntopertenez
,
onyf : R −→ Rf(x) = eax +ba b a b (0,−1) aa f yquelare
2048
27
tatangenteaelaendi
hopuntosealare
tadee
ua
ión3x−y −1 = 0(Solu
ión: . a = 3 yb = −210.Determinaelángulobajo)elquela
urvay = Ln x
7 ortaaleje. (Solu
ión:)
OX45◦

20. 11.Seaf(x) = a +bx2 + x4 yg(x) = c − ortenenelpunto x3.Cal
yseantangentesendi
ulalosvaloresde,ydemodoquelasgrá
asse ab c (1, 1) 12.Lare
ta estangenteala
urvahopunto. (Solu
ión:,y) a = 7/2b = −7/2 c = 2y = 6x + a f(x) =
bx − 1
bx + 1
enelpuntodeabs
isasx = 0.Halaa y
aS)olEun
. (Solu
ión:yba = −1 b = 3ionesejer
i
io1: ) x = 0,y = 24x + 8;enx = −1,y = 1 b)Enx = 0,y = −
e)En,;en,f)En,1
;en,2
(3x − 3 Ln 2 + 5) x = 0y = 0x = 3π/4y = 1 x = 1y = x − 1x = ey = −
;enx = 1,y = −6x + 4
)Enx = 0,y = x; enx = 1,y = e(2x − 1) d)Enx = 0,y = 1;enx = Ln 2,y =
4.213..aC)aAl
1
4
1
(x 2e) e3 − uplalil
osas
igiuoiennteesslídmeitesl:aRegladeL'H pital l´ım
x→2
x3 d)l´ım
g)l´ım
j)x3 − 8
√3x − √12 3√− x
2x − 19 − 5x l´ım
m) x2 − 5x + 6
cosmx − 1
cos nx − 1 l´ım
b)l´ım
x→0
sen x
x
)l´ım
x→0
x − sen x
x→0+
Ln x
cotg x
e)l´ım
x→0+
x Ln x f)l´ım
x→0
1
x sen x −
1
x2
o)x3 − 3x + 2
x→1
x3 − x2 − x + 1
sen3 x l´ım
h)l´ım
x→a
x − a
xn − an
i)l´ım
x→3
r) senmx
x→0
x
sec2 x − 2 tg x
cos 4x + 1 l´ım
k) l´ım
x→/2
tg 5x
tg 3x
l)l´ım
x→0
u)1 − tg x
x→/4
cos 2x
ex
x4 l´ım
n)l´ım
x→0
tg x + sec x − 1
tg x − sec x + 1
ñ)l´ım
x→0
tg x − sen x
14.aC)al
sen x − x cos x
x→0
x(1 − cos x)
x3 − 1
Ln x p)l´ım
x→1
πx
2 − 1
x − 1
sen
q) l´ım
x→/4
x→/6
cos 3x
1 − 2 sen x
s)l´ım
x→1
1 − x
Ln x
t) l´ım
(ex − 1)x f) l´ım
x→+∞
g)x→0
x1/x l´ım
hx − kx
tg x
v) l´ım
x→/2
Ln sen x
(π − 2x)2
w)l´ım
x→1
ulalossiguienteslímites: l´ım
x→+∞
j) Ln x
√x
x l´ım
b)l´ım
x→∞
x · sen
a
x
)l´ım
x→0+
x · Ln(sen x) d)l´ım
x→
(π − x) tg
x
2
e)l´ım
x→0
x→+∞
x→1
x1/(x−1) h)l´ım
x→0+
(sen x)x i)l´ım
8
x→0+
(cotg x)1/ Ln x
3
x
+ 1
x→(/2)−
(tg x)cos x k)l´ım
x→0+
x3/(4+Ln x) l)l´ım
x→0+

21. 15.aC)al
ulalossiguienteslímites: l´ım
x→1
d)l´ım
(1 + sen x)1/x g)l´ım
16.Se
onsideralafun
2
1
x2 − 1 −
x ión− 1
,denidaen,por:
(1 + 2 cos x)1/ cos x fR b)l´ım
x→1
f)x
1
Ln x −
Ln x
(xn − an)1/ Ln x l´ım
)l´ım
x→0
1
2x −
1
x(ex + 1)
x→0+
(x)1/ Ln x e) l´ım
x→+∞
x→0
x→0
s
x
1 + x
1 − x
h)l´ım
x→0
x − arc sen x
(sen x)3
i) l´ım
x→/2
f(x) =


x
1 + e1/x
six6= 0
0 six = 0 Estudiasu
ontinuidadyderivabilidadenx = 017.aE)studiala
ontinuidadyderivabilidaddelassig.uientesfun
iones:
f(x) =
xe1/x − 1 six6= 0
−1 x = 0
b)f(x) =


Ln(1 + x2)
x2
six6= 0
1 six = 0
)f(x) = x + | Ln x − 1|
d)f(x) =


six 0 19.Halaa paraquelasiguientefun
x2 sen
1
x
six 0
18.Halayparaquelasiguientefun
iónsea
ontinuayderivableen.
si2x 0 ≤ x ≤ 1
Ln(x2 + x) x 1 b c x = 0iónsea
ontinuaenR:
f(x) =


x2 + bx + c six ≤ 0
Ln(1 + x)
x
d)f(x) e)=
)f(x) = Ln(x2 − 4) f(x) = xe1/x f(x) = Ln


Ln(1 + x2) + a six ≤ 0
sen2 x
x2
six 0 20.aC)al
ulalasasíntotasdelassiguientesfun
iones: f(x) =
x3
g)h) )d)e)f)1/6 0 0 1/6 1
3/2 (x − 1)2
r)m)s)
n)ñ)i)o)j)p)k)q)l)8/69 m 3/5 m2/n2 1 1 1/2 2/3 0 1/2 √3 b)f(x) = x + √x2 − 1
x + 1
x − 1
f)f(x) =
13.aS)olu
iones
ex
1 − x −12 b)1
t)n · an−1
−1 +∞
9 u)v)
w)h
Ln
−1/8 3
k

22. 14.a)15.a)
g)b)h)i))j)d)k)e)f)l)0 a
0 2 1 1 e 1 1 1 e3 1/e g)b)h)
)d)e)f)−1/2 1
π/4 e en e e2 −1/1167..Ea)s
Coonnttininuuaapyerdoerniovadbeleri6veanbleenxi)=e02. R − {0}
b)ContinuayderivableenR;f′(0) = 0
18.20.a)Asíntotaverti
19.)Continuayderivableenyal:;obli
d)Continuayderivableenyderivableen(0,+∞) − {e}
R − {1}
R − {0, 1} b = −1/2 c = 1 a = 1 x = 1ua:y = x + 2 b)Asíntotahorizontal:y = 0;obli
ua:y = 2x
)Asíntotasverti
ales:x = 2 yx = −2. d)Asíntotaverti
al:x = 0y = x + 1 e)Asíntotasverti
x = −1 x = 1;horizontal:y = 0 f)Asíntotaverti
al:x = 1;horizontal:y = 0 4.321..Hfau)anMlaioolnoness:ointteorvnalíoas.deE
rxe
tirmeiemntooysd.e
Prer
iombielnetom,aasís
odmeoloospexttirmemiozsare
laitóivnosdelassiguientes f(x) = x3 − 3x + 2 b)f(x) =
)f(x) = x + √x2 − 1 d)f(x) = Ln(x2 − 4) e)f(x) = xe1/x f)f(x) = x Ln x g)f(x) =
h)f(x) = x Ln2 x i)f(x) = ex(x2 − 3x + 1) 22.Razonaporquélagrá
adelafun
iónf(x) = 3x − sen x 23.Dadalafun
ión nopuedetenerextremosrelativos. f(x) = 1 − (2 − x)5,
24.Dmeátxeirmmoi,nmaínimoopuntodeinexión? ompruebaquex2
,yparaquelafun
2 − x
,y.¾Tienef′(2) = 0f′′(2) = 0 f′′′(2) = 0f ab c propiedades:lare
ta tengalasiguientes y = x − 2 esunaasíntotadelagrá
adelafun
iónyenx = 3 25.Hpraelsleantaunextremorelativo. lafun
x
ex
,yparaquelafun
ión abc d iónf denidaporf(x) =
iónf(x) = ax3 + bx2 + cx + d punto tengaunextremorelativoenel (0, 2) yportangentelare
adesufun
iónderivadax3
eslasiguiente:
f′ tay = −x + 2 enelpunto(1, 1)26.Deunafun
ión . f : [−5, 5] −→ R sesabequelagrá
ax2 + bx + c
PSfragrepla
ements 1 10

23. 27.aC)al
ab))DDiet
eurámleinsasodnelfoosrmpuanrtaozson
raídtia
olossoinsitnegrvualalorsesddee
re
imientoydede
re
imientode. ff uulnaolodseeexltlroesmlaosfuanb
ensudominio sioólnutaols
adnezalasunsigmuáiexnimteosfoumn
b)íinoinmeyos:dreetlaertmivoin.adeformarazonadasien
enada 28.Estudiael
re
imientodelafun
iónf(x) = √x − 4 + 5 f(x) = x2 − 2|x| + 2 [−1/2, 3/2] f(x) =
3310..qD
Hiuraee
sludasleiaglrluaasedTeudini1ema0r0etanrmasqiyuoeden
eetssoruarpdidaoeinlode.jemaero
uyasumaes36,en
dsuínas
itriueó
natdaangeunlaerodriegemnadyeor
uentraaquel.loDsenteúrmmeirnoas,psioesxitiisvtoesn,
usuysamsuámxiamdoesy
umadínriamdooss 2x2 − 3x
toria
ex
,seen
u(dyaonddiestlaans
diaistaanla
iTasiesrerameidsemníennimaañ,osyl
uuzá).n¾toCuváalleess A29.srEeenalatrtmeivílnoosism.naú.meros,
32.sdUoin
nhnalaasddia
sdotaoonrrd
iean?adasdelpuntodetraye
oáorredaenqaudeassedpeluepdlaenion,ss
eriobbirseernvauunntoerbrjeentoo x·y = 16 uentraa3kmdelaplayaenfrentedeuna
aseta.DeseairaBpqulaéyalu,gaar6dkembeddeilraig
irasseetaa.nSadaboiepnadraolqleugeanraadaa3km/hyandaporlaarenaa5km/,he,navlaermigiusmaaa B 33.Elpropietariodeuninmuebletienealquilados
eunaerlenmteanpoirsotsiemap30o0posible. e 10 almes
adauno.Por
ada e 34.eD
aodnaómdlaei
foau.un¾m
Cieóunnátoleesnelelalpqruei
leiorqdueelmaláqsuibleernepi
eirodsepurnodiun
qeuiallinpor,opqiueetasreiot?rasladaaotropisomás f : [1, e] −→ R denidaporf(x) =
+ Ln x35.teDalenssgé
xeontmuteppsloontiedernelee
lpuneaúndmdriaeedrnoote4d8meleásnxeigmduoans.dsoumseaanmdoínsimtaole.squeelquíntupl,oddeetler
3367..l
vEEauannslylodauusrinnmlaljaet,adenprrosderisíreononneso
edtoseálnjldaasefnnooldobrpomraseeearenteddlrueedrsnieseáoeapmmdaaeeir
tasríoruotq
sauuyrlelaoeudsldnuooeaspárurpuaenaedaasrit
osaoeebl1aaae0rmrétmeluá
rtxtsaiiaeemnndvgaeeau.2silun0assrmteauxlssatainrrneudvmnaoolps8aa0rer.ntmHelraardleleparatelrae
muaindara
duoáldeesldperimlaesrore
mtaáss 1
x
38.lSteaileelanpteaotrrmm
iáeaanlayugounrrelao
ást
raueinsaeóg.rsdu
tlsteaad
nmiugmruevetlanaá.rlsi,i
Couananelpo
sauddrlaaee 3490..DáHraaeldalaomluoánsxiptmruiaánntqogusueldopeuilseaóds
alealrdeseded5eámrdeiafdeermelnáoxtneigmimtaueddquiydeaspse.uuCednaeel
a
ueirlnevssa
driebibrasesed8en
tmroydealdtiu
rhao5tr
nau
slaoutsdaeersxmetrdaenemeeorsasa.rEmaznaotnonenar
iámn,g
ualol
.ulalasdimensionesdere
daeasylpaesoldvdeaimmloeornsds
eioodnnies
sthradueiárlrq
eouan.e tángulode y2 = 6x
uyadistan
iaalpuntoP(4, 0) 4412..lLD.oaHsdaablaluarnrliaales
sidrq
imuuenefnseesrieuonnti
eliisazaddneelpr
aaidlriainodarlmoap
43.tdI
neiiráns
meurrnieb
tfeiramordesaonsd
ueiunandosotidsnreit
áeeinrrsig
touoursnleosfdeiyirsáeómlnsa
eieetalxresotsestrae,pinnsoaegrure?adnniatqveui
aernaaqrupeetlaró
sdeieri
nsueutnaenrofmieodráreeexnssi
lehoaptaienemenpfloearmdaae
umaisaaldadeieál
miárrar
eedutarinoodfseereelnand
nilísnusdera
io
mnasíytnriuum
na
a.ió
napsae
aidmaídnidmea1.60 rrioeasgdipóaandrta
e.osm¾qQpuureeénseldoitndogamiteaunndtr
deoemlbaoes Rtriángulodeáreamáxima. 11 .Determinalasdimensionesdel

24. 4.444..Ea)sCtuduiarvlaa
tuurvratau.raPyupunnttoossdedineeixniónedexliaósnsiguientesfun
iones: f(x) = x3 − 3x + 2 b)f(x) =
)f(x) = x + √x2 − 1 d)f(x) = Ln(x2 − 4) e)f(x) = xe1/x f)f(x) = x Ln x g)f(x) =
h)f(x) = x Ln2 x i)f(x) = ex(x2 − 3x + 1) 45.La
urvay = x3 + ax2 + bx + c
ulaa,b yc46.Dadalafun
ión . f(x) = ax4 +bx3−3x2−ax,
x2
2 x
47.Delafun
− paralelaalare
x
ióntienedospuntos a)Hala eitóenrmina.susextremosrelativoseintervalosdemonotonía. ión ex
yotroen48.Lab)fuDn
yta : sabemosquepasaporelpunto. yenesepuntotienetangente x = 1 x = 1/2f(x) = ax3 + bx (1, 1) 3x + y = 0veri
a by = x3 + ax2 + bx+ c ortaalejedeabs
isaenx = −1 ytieneunpuntodeinexiónen
(2, 1).Cal
al
ulaa yb deinexión,unoen sabiendoquelafun
aquef(1) = 1,f′(1) = 0 yquef en notieneextremorelativo x = 1,
al
ulaa,b yc49.Sea . y = x3 +ax2 + bx+ 7.Halaa yb demaneraquelagrá
adelafun
iónf en tengaunainexión x = 1
uyare
tatangenteenesepuntoformeunángulode45◦
50.Determinaelvalordelas
onstantes
onelejeOX. a,b yc sabiendoquelagrá
adelafun
iónf : R −→ R denidaporf(x) = x(ax2 + bx + c) tieneunpuntodeinexiónen(−2, 12) lare
tatangentetienepore
ua
ión yqueendi
hopunto 10x + y + 8 = 04.5. Representa
ióngrá
adefun
io.nes 51.aR)epresentagrá
amentelasfun
iones: f(x) = x3 − 3x + 2 b)f(x) =
d))x2
f(x) = x2 Ln x 2 − x
f(x) = x
p
|3 − 2x|
e)f(x) =
x3
(1 + x)2
f)f(x) =
g)h)i)e2x
ex − 1 2 1
f(x) = x2e−xf(x) = √x2 − 2x f(x) =
2
sen 2x + senx
12

25. APrnoáblilseimsasdeSele
tividad.Bloquede 1.Seaf : R −→ R lafun
ióndenidaporf(x) = x2e−x2 a)Halalasasíntotasdelagrá
ade . fb
))DoEselbote
orazmlaeislna(apgluroánstio
nasteedrnvealfol.ossqduee
sree
oimbtiieenn.teonyydveadloer
erse
qimueieanlt
oandzeaflya
fauln
uilóans)u.sextremosrelativos 2.Sedesea
onstruiruna
aja
eradadebase
uadrada
onuna
apa
idadde80
m3ylasuper
ielateralseusaunmaterialque
uesta1 .Paralatapa e/
m2 3.uDne5u0n%afmuná
sió
naro.Halalasdimensionesdela
ajaparaquesyup
aorsatelasebaasmeínseimeom.pleaunmaterial f : [0, 4] −→ R sesabequef(1) = 3 queapare
eeneldibujo. yquelagrá
adesufun
iónderivadaesla
PSfragrepla
ements
1 a)Halalare
tatangentealagrá
adef enelpuntodeabs
isax = 1b)Determinalosintervalosde
re
imientoydede
re
imientode . ffun
ión .¾Enquépuntoal
4.Sesabequelafun
)Estudialas
uonm
1
iónáaxviimdaodaybsloalu
toon?vexidaddedenidapor:
anzala 3
f f f : (−1, 1) −→ R √1 − x si0 ≤ x 1 esderivableenelintervalo(−1, 1)a)Determinaelvalordela
ons.tantecb)Cal
ulalafun
iónderivada, . f′
)Halalase
ua
ionesdelasre
tastangentesalagrá
adef e
ua
ión quesonparalelasalare
5.Sealafun
f(x) =
tade y = −x f : [0, 2π] −→ R 

2x2 −
1
2
x + c si
−1 x 0
ióndenidaporf(x) = ex(cos x + sen x)13 :

26. ab))HDaetlearmloisnaexltorseminotesrrveallaotsivdoes
(rloe
iamleise)ntyoaybsdoeludteo
sre(g
ilmobiaenletso)ddeef.f6. a)Halalae
ua
ióndelare
tatangentealaparábola . y = x2 queesparalelaalare
ta
−4x +
y + 3 = 0b)Halalase.
ua
ionesdelasre
tastangentesalaparábolay = x2 quepasanporelpunto(2, 0)78..SlSaeesaqduimiereensfiaobnrei
sadreulnaa
lafun
aajajaqaubeieprrtea
idsea
lahampaen
oorn
baansteid
audaddrea
dhaapya
.on32litrosde
apa
idad.Hala. f : R −→ R ióndenidaporf(x) = 2 − x|x|
a)Esbozalagrá
ade . fb)Estudialaderivabilida.ddef enx = 0)Halalae
ua
ióndelare
tatangente.alagrá
adef enelpuntodeabs
isax = 29.Sesabeque .
esnito.Determinaelvalordea 10.Consideralafun
ión y
a)Halalase
ua
ionesdelasre
denidaportastangenteynormalalagrá
al
ulaellímite.
.1
a
l´ım
x→0
ex − 1 −
2x
ade enelpuntodeabs
f : R −→ R f(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2)f isa
x = 1b)Deter.minalosintervalosde
on
avidadyde
onvexidaddefgrá
ade .¾Tienepuntosdeinexiónla f11.Sesabequelafu?n
iónf : (1,+∞) −→ R denidapor
f(x) =


x2 − 4x + 3 si
−1 x 0
x2 + a
x + 1
six ≥ 0 es
ontinuaenelintervalo(−1,+∞)a)Halaelvalorde . a.¾Esf derivableenx = 0b)Determinalosintervalosde
re
imientoyde?de
re
imientodef12.Sea . f : R −→ R lafun
ióndenidaporf(x) = Ln(x2 + 1)a)Determinalosintervalode
re
imientoyde
re
imient.oylosextremosrelativosdelafun
ión
f b)Ca(lp
uunlatolsadeo
nuda
eiósenadle
alnazraen
tyavtaalnogrednetelaafulan
giróán)
.adef 13.Cal
unleagativa. enelpuntodeinexióndeabs
isa
14..Seaf : R −→ R lafun
a)Estudialaderivabilidadde b)Determinalosintervalosde
)Cal
ulalosextremosrelativosde ióndenidapor.re
imientoyde
l´ım
x→(puntosdondeseal
1
re
imientode. . f(x) = x2 − |x|
fffanzanyvalordelafun
ión).
14
−
1
Ln x −
1
x − 1

27. 15.Unalambredelongitud1metrosedivideendostrozos,
16.aDomtertobeorusmnriaen
a
iinrut
nousnpfsueenraetnom
díinaei.mlCaaa
.lu
ruvlaadlaesel
ounag
iitóundesdelosdost
roonzousnpoasreafqourmealausnum
uaadderaldaosáyre
aosndeel y = xe−x2 17.sSeeaamáxima. enelquelapendientedelare
tatangente f lafun
18.Sea a)Hala,siexisten,lospuntosde
b)Cal
)Esbozalagrá
ulalosintervalosde
ióndenidaporlafun
ade . re
imientoyde
orte
onlosejesyl.asasíntotasdelagrá
,parare
imientoylosextremosrelativosde.ade. f(x) =
x6= 0ffff : R −→ R x4 + 3
19.Sea lafun
lafun
ión tieneunextremoenióndadaporysuvalorenéles
.Cal
ulalosvaloresde. ysabiendoque f(x) = x2 + px + qp q f x = −6 −2f x
a)Estudiasiexisteny
b)qDueetearlm
ainnazaloesnienltloersvlaalofsund
ióndenidaporal
ula,
eió
nre
uandoseapos.ible,lasasíntotasdelagrá
adef(x) =
fimientoyde
re
imiento,losextremosrelativo.sylosvalores f)Esbozalagrá
ade . f20.Sea . f : (1,+∞) −→ R denidaporf(x) =
x2 − x + 1
x2 + x + 1
denidapor
iadeasíntotahorizontal f : [0, 5] −→ R esderivableenelintervalo. x(Ln x)2
a)Cal
b)Halalae
ulalas
ua
onstantes ióndelare
yta.tangentealagrá
(x − 1)2
siax + bx2 −4 + √ade0 ≤ enelpuntodeabs
x 2
x − 1 2 ≤ x ≤ 5 (0, 5)a bf 21.pSaersaablaegqruáe
laafduene
siótanfun
ión.En
asodequeexista,.hEásltlualdai.alaexisten
22.Sea
a)Determina denidaporsabiendoquelagrá
f(x) =
. isa. x = 2f : R −→ R f(x) = x3 + ax2 + bx + 1a, b ∈ R adef pasaporelpunto(2, 2) inexióndeabs
isa ytieneunpuntode x = 0b)Cal
ulalase
ua
ionesdel.asre
tastangenteynormalalagrá
adef 23.Stoetadlesdeea2
o0n0st
rmuirunalatade
onservaenformade
ilindro
ir
ularre
toqeuneetlepnugnatuondaesinupeexrió
nie. 224.
Smaeápxqaiu
miiedora.ed
doens5t0r0um.irDuentedrempiónsaitoelernadfoiormdaedlaepbraissemyadlaeablatsuera
udaedrlaadlaatsainptaarpaaqduereaeqluveoltuemngeanusneaa 325.Sea .¾Quédimensioneshadetenereldepósitoparaquesusuper
ieseamínima? f : R −→ R denidaporf(x) = (x − 3)exa)Cal
ulalosextremosrelativosde . f b)Determinalae
ua
ióndelare
tata(npguennttoesadolandgeráse
oabdtieenenyvaloresqueseal
anzan). f 26.Sea enelpuntodeinexión. f lafun
a)Determinalasasíntotasdelagrá
ióndenida,parayade 15.
por. x2 + 3
x= 62 x= 6−2 f(x) =
x2 − 4
f

28. 27.lDoeseejnetsre
b)Determinalosintervalosde
)dEosnbdozeaselaogbrtáien
otoorddoesnalodsosr,e
eandyevalores
ytuánngvu.élrotsi
seiteunadlaosree
qruee
ismeieanl
ntaelprimer
taonyzadne)
.re
imientoylosextremosrelativosde(puntos f fuadrantequetienendosdesusladossobre r dee
tienemayorárea. ua
ión(vergura),determinaelque
PSfragrepla
ements
x
+y = 1 2
Y 28.Seaf : R −→ R denidaporf(x) = x2e−xa)Determinalosextremosrelativosde .f b)Estudiaydeterminalasasíntotasdela(pguránto
asddoendeseobtienenyvaloresqueseal
anzan). f29.Sea . f : (0,+∞) −→ R lafun
neap)erDiaentoer)m.inalosintervalode
ióndenidapor2
re
imientoyde
re
imientoylos(eLxntrdeemnoostarellaatfiuvnos
idónellaogfuarni
timóno
f(x) = x2 Ln x 1
1
r
X
f b)Ca(lp
uunlatolsadeo
unad
eiósneodbetliaenreen
tyavtaalnogreenstqeuaelsaegarlá
an
azadne).f enelpuntodeabs
isax = √e30.sTleausedtmnooesasmmddoeeastllqoeorussiea
plufeeaasrbdíermrsia
eddatoerrsod2ssoiydsqe3
uhleeoaruspermadossoo
sspuo
qaurudae
rdaeerdnlaat
dsíooms
stoeetntiterdonooteas
lqumsuaeaeadtesrmerairídanl1oiem,smrode?iesstptrieno
tt.oiv¾s.aCmEómlenpotreeh.
eiPmooodrseodt
raeadeapleaugr.nitreo,ldolaes 3321..
SDueeaatderrmadionsaedsomsánxúimmoer.osrealespositivossabiendoquesusumaes10yqueelprodu
todesus f : R −→ R denidaporf(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b.Determinaa yb tangentealagrá
ade sabiendoquelare
ta f ensupuntodeinexióneslare
tay = 2x + 3 33.Seaf : (0,+∞) −→ R lafun
neap)erDiaentoer)m.inalosintervalode
ióndenidaporre
imientoyde
re
imientoylos(eLxntrdeemnoostarellaatfiuvnos
idónellaogfuarni
timóno
f(x) =
34.Sea a)Determinalosintervalosde
b)Ca(lp
uunlatoesldpounndtoesdeeoinbtieexnieónnydevaloresqueseal
b)Cal
ulalosextremosrelativosde denidapor35.Dadalafun
f ión re
imientoyde.de
. anzan). (abs
re
imientode3x + 1
√x
. ff : R −→ R f(x) = (3x − 2x2)exff isasdondeseobtienenyvaloresqueseal
anzan). f denida,parax6= 0 porf(x) =
36.Sea determinalasasíntotasdesugrá
denidapor16 .
a. ex + 1
ex − 1
f : R −→ R f(x) = (3x − 2x2)ex

29. 37.Sea ab))CDaetl
eurmlainloasleoxstirnetmerovsarloelsadtievo
sred
eimientoydede
(abs
re
imientode. ff isasdondeseobtienenyvaloresqueseal
anzan). f : [0, 2π] −→ R lafun
ióndenidaporf(x) = ex(sen x + cos x)a)Determinalosintervalode
re
imientoydede
re
imientode .fb)Cal
ulalospuntosdeinexióndelagrá
ade . f38.Sea . f : R −→ R denidaporf(x) =
39.Sesabeneqsuuepulantfuond
de eióinnexión. denidapor
,determinalae
ua
ióndelare
tatangentealagrá
a f f : [0, 4] −→ R x2 + ax + b si0 ≤ x 2
cx + 1 2 ≤ x ≤ 4 a)Determinaelvalordea,b yc sabiendoquef es
40.Seba)la¾Efunnq
intervalo uióénpuntodelintervalosean.ulaladerivadadelafun
yquex + 1
ex
ontinuaenelintervalo,derivableenel [0, 4](0, 4) f(0) = f(4)ión? f denida,parax6= 0 porf(x) = xe
1
x .Determinalasasíntotasdelagrá
adef4412..DSdeeesmeanebtneroeqrtuoleodnlogasitfluuonsd
.rieó
ntángulosdeperímetro8
f(x) =
denidapor
m,determinalasdimensionesdelquetienediagon.al f : R −→ R ax2 + 3x six ≤ 2
x2 − bx − 4 x 2 a)Halaa yb sabiendoquef b)Determinalare
tatangenteesydlearirvea
btaleneonrmRa.lalagrá
adef enelpuntodeabs
isax = 343.Deentretodaslasre
tasdelplanoquepasanporelpunto . (1, 2)44.ltSareisaánnpgaurtleos.positivasdelosejes
oordenadosuntriángulodeáre,aemn
yf(denidaspor
x) =
íuneimntar.aHaqaulealealqáureeafodremadi
ohno f : R −→ R g : R −→ R f(x) = x2 + ax + b y g(x) = ce−(x+1) Sesabequelasgrá
asdef yg se
ortanenelpunto(−1, 2) taan)geCnatel
.ulalosvaloresde ytienenenesepuntolamismare
ta a,b ycb)Halalae
ua
ióndedi
hare
.tatangente.
17

30. TLeamiant5egralindenida 5.1. 1I.-nCatle
uglarralalesssigiunienmteesdintieagtraales: Z
x10 dx 2.-Z
2x3 dx 3.-Z
x√x dx 4.-Z
1
x2 dx 5.-Z
(3x4 − 2x3 + x2 − 2x + 1) dx 6.-Z
4√3x dx 7.-Z
√3x3 dx 8.-Z
x2 dx 9.-Z
12.-x3 + 7x + 3
13.-Z
dx (4 sen x − 5 cos x) dx Z
(3 cos x − 5ex) dx 10.-Z
23x+1 dx 11.-Z
(3ex−1 + 5 · 22x+2) dx 14.-Z √3 x + x
dx 15.-Z
2x + 5
√3 x
16.-Z √sen(3x + π) dx 3x + 1)
17.-√x
dx Z
dx 21.-Z
1
23.-√3 5x − 2
22.-Z
tg x dx cotg x dx Z
dx 18.-Z
x
p
x2 + 1 dx 19.-Z
3
x
dx 20.-Z
x
x2 + 1
x2
x3 + 8
dx 24.-Z
xex2
dx 25.-Z
3x
2x dx 26.-Z
esen x cos x dx 18

31. 29.-27.-28.-Z
Z
cos 2x dx cos(2x + 1) dx Z
x cos(x2 + 1) dx 30.-Z
ex cos ex dx 31.-Z
sen 5x dx 32.-Z
sen(4x + 3) dx 33.-Z
x sen(x2 + 5) dx 34.-Z
3 sec2 x dx 35.-Z
dx 36.-Z
sec2(2x + 1) dx 37.-Z
39.-38.-7
cos2 x
Z
sec4 x dx 3 cosec2 x dx Z
8
sen2 x
dx 40.-Z
(5 + 5 cotg2 x) dx 41.-Z
cosec2 x dx 42.-Z
cosec4 x dx 43.-Z
dx 45.-Z
3 + 3x2 dx 46.-Z
47.-2x
√1 − x4
dx 1 + 9x2 Z
dx 44.-Z
ex
√1 − e2x
1
1
cos x
53.-1 + sen2 x
dx Z
dx 48.-Z
ex
1 + ex dx 49.-Z
(2x2 + 3)2 dx 50.-Z
e4x−3 dx 51.-Z √3
55.-cos2 x
dx Z
dx 52.-Z
cos
x − π
2
3x +
1
x2
dx 54.-Z
x4 − 3x√x + 2
x
(x + 1)2 dx 56.-Z
(x3 + 1)2 dx 57.-Z
59.-2
dx x
Z
dx 58.-Z
x2
6x3 + 1
1
x Ln x
dx 60.-Z
e2x−3 dx 19

32. 5.2.61I.-ntegra
ióndefun
ionesra
ionales Z
dx = 4 arc tg(x − 1) + C 63.-Z
64.-4x3 + 2x − 1
dx = 2 Ln |x−2|+Ln |x+1|−3 Ln |x−1|+C Z
65.-dx =
2x + 1
+C Z
2
3
x3−
1
2
x2+
3
2
x−
5
4
Ln |2x+1|+C 62.-Z
4
x2 − 2x + 2
66.-6
x3 − 2x2 − x + 2
1
dx = Ln |x − 1| − Ln |x + 1| + arc tg x + C Z
67.-dx = (x − 2)2(x2 + 2)
−
+C Z
1
9
(x − 1)2 + C 68.-Z
Ln |x−2|−
1
6x − 12
+
1
18
Ln(x2+2)+
1
18√2
arc tg
x
√2
3x2 + 1
x4 − 1
69.-1
x2 + 2x + 7 Ln |x − 3| + C Z
70.-x3 + 1
+C Z
dx =
1
6
Ln

36. (x + 1)2
x2 − x + 1

40. +
1
√3
arc tg
2x − 1
√3
x2 + 1
(x − 1)3 dx = Ln |x − 1| −
2
x − 1 −
1
− x2 + x − 1
3 − x
dx =
1
2
71.-8x + 6
Ln(x2+1)+arc tg x+C Z
72.-(4x2 + 4x + 5
+C Z
dx = Ln |4x2+4x+5|+
1
2
arc tg
x +
1
2
2
73.-x3 + x2 + x + 1
(Ln |x − 1| + 125 Ln |x + 5|)+C Z
dx = Ln |x+1|−
1
2
74.-
x2 + x + 1
1
1
dx = Ln |4x2+4x+5|+
arc tg
x +
(x3 − x2 − x + 1
2
2
+C Z
5.3.75I.-ntegra
x3
1
1
dx =
x24x+
x2 + 4x − 5
2
−6
1
1
dx =
Ln |x − 1| + Ln |x2 + x + x3 − 1
3
1| −
Ln(2x+1)+C √3 arc tg
2x + 1
√3
7x + 1
77.-dx =
6x2 + x − 1
+ C Z
2
3
Ln(3x+1)+
1
2
iónporpartes Z
Ln x dx = x(Ln x − 1) + C 76.-Z
+C 78.-Z
x · 2x dx =
x · 2x
Ln 2 −
2x
Ln2 2
+ C 79.-Z
81.-1
x arc tg(x+1) dx =
x2 arc tg(x + 1) − x + Ln(x2 + 2x + 2)
2
1
1
x · Ln2 x dx =
x2
Ln2 x − Ln x +
2
2
Ln x
1
dx = Ln x x3 −
2x2 −
e−2x+1(x + 1)2 + C Z √x + 1
1
4x2 + C 80.-Z
9
4
20 x2/3+C
(x2 + x)e−2x+1 dx = −
1
2
√3 x
Ln x dx = (
6
7
x7/6+
3
2
x2/3) Ln x−
36
49
x7/6−

41. 82.-Z
e3x(4 sen 4x + 3 cos 4x) + C 83.-Z
85.-e3x 1
cos 4x dx =
25
x2e3x 1
2
2
dx =
e3x
x2 −
x +
x4/3 + C 3
3
9
Z
+ C 84.-Z
√3 x Ln x dx =
3
4
x4/3 Ln x −
9
16
x arc sen x
√1 − x2
dx = −
p
1 − x2 arc sen x + x + C 86.-Z
x2 sen(x+1) dx = (2−x2) cos(x+1)+2x sen(x+1)+C 87.-Z
ambio:x = t290.- ) Z
Ln
91.- (
ambio:) √ex − 1 dx = 2(√ex − 1 − arc tg√ex − 1) + C ex − 1 = t2Z
x − 1
x + 1
dx = x Ln
x − 1
x + 1
+Ln |x+1|−Ln |x−1|+C 88.-Z
5.4.89I.-ntegra
iónpor
ambiodevariables x sen x dx = −x cos x + sen x + C Z
ambio:1 + 2x = t392.- ) Z
x
√dx = 2
1 + x
93.- ambio:) tg x = tZ
√x3
3 −
x
2
#
+ C (
+ √x − Ln(1 + √x)
ambio:tg x = t94.- ) Z
x2
√dx =
3 1 + 2x
95.- ambio:) ex = tZ
3 3 p
(1 + 2x)2
8
(1 + 2x)2
8 −
2(1 + 2x)
5
+
1
2
+ C (
1
dx =
1 + tg x
96.- ambio:) x + 1 = t2Z
1
2
Ln |1 + tg x| −
1
4
Ln |1 + tg2 x| +
1
2
x + C (
1
dx =
1 + cos2 x
97.- ambio:) x = t3Z p
√2
2
arc tg
tg x
√2
+ C (
ex + 1
ex − 4 + 4e−x dx = Ln |ex − 2| −
3
ex − 2
98.- ) sen tZ
+ C (
x
√dx = 2
x + 1
99.- ambio:) x = t2Z
p
3 − √x + 1
(x + 1)3
#
+ C (
1
3
dx =
Ln
x + √3 x
2
100.- ambio:) ex = tZ

44. √3 x2 + 1

47. + C (
9
2x
x
9 − 4x2 dx =
arc sen
+
4
3
2
101.En
uentralaprimitivadelafun
ión ambio:) cos x = tf(x) =
p
9 − 4x2 + C (
ambio:x =
3
2
1
1 + √x
dx = 2[√x − Ln |√x + 1|] + C (
1
9ex + 4e−x dx =
1
6
arc tg
3
2
ex
+ C (
sen x
1 + 4 cos2 x
dx = −
1
2
arc tg(2 cos x) + C (
1
1 + 3x
queseanulaparax = 0.
Solu
ión: F(x) =
1
3
Ln |1 + 3x|
21

48. 102.Halaunafun
103.Hala (Solu
ión: sabiendoqueiónqueseaprimitivade) ,y. ,
(Solu
uyagrá
apaseporelpunto. g(x) f(x) = sen x(π, 0)g(x) = −cos x − 1f f(0) = 1f′(0) = 2 f′′(x) = 3x.Obténdeesafamilia,la
tastangentesadi
ión:has
urvasen)
ualquier f(x) =
f(x) = x· e2x+ 2x + 1104.pHuanltaolvaifeanmeidliaaddoep
ourrvlaasfuenn
liaósnquelapendientedelasre
urvaquepasaporelpunto
x3
2
106.Detodaslasprimitivasdelafun
ión ,¾
) + 3y = 4x − 6A(0, 2).
Solu
ión: F(x) =
105.Halalafun
iónF paralaqueF′(x) =
uáldeelastomaelvalor4parax = 1(Solu
ión: ? F(x) = 2x2 − 6x + 8107.Hala ) f(x) sabiendoquef′′(x) = 6x,f′(0) = 1 yf(2) = 5. (Solu
108.Representatresprimitivadelafun
xe2x
e2x
xe2x
e2x
9
−
+ C; F(x) =
+
2 4
ión :
2 −
4
4
1
ión:) x2
F(x) = x3 + x − 5fPSfragrepla
ements 2
yF(1) = 2. (Solu
ión:F(x) = −
1
x
1
f
109.Sesabequelagrá
adeunafun
ión f pasaporelpunto(1, 1) yquef′(1) = 2quesuderivadasegundaeslafun
.Cal
ularazonadamentelafun
.Se
iónono
. (Solu
etambién g(x) = 2fión:
f(x) = x2110.Cal
ulala)primitivadelafun
iónf(x) = Ln2 x queseanuleparax = e.
22

49. TLeamiant6egraldenida 1.Caa)l
ulalassiguientesintegralesdenidas: Z 3
dx d)Z e
sen 2x dx g)Z 5
j)−2
dx Z /2
(3x2 − 2x + 7) dx b)Z 1
0
4x · 2x dx
)Z 10
5
x
√x − 1
1/e | Ln x| dx e)Z 6
√9 + 4x dx m)Z √3
n)1
Z 2
dx 1 + x2 4
√x + 3
dx f)Z /2
0
o)Ln x
3
x
dx Z 2
dx h)Z 1
0
ex
ex + 2
dx i)Z 1
−1
4x
(x2 + 2)
r)0
tg x dx Z 2
cos x sen3 x dx k)Z 8
0
3
√1 + x
dx l)Z 4
0
u)1
dx Z 3
1
v)0
Z 1
dx (x − 1)2 4x2(1 + x3)5 dx ñ)Z 4
1
√x − 1
x
x)sen√x
3√0
x
dx Z 5
dx p)Z 0
−1
x2 · e2x dx q)Z /4
−/4
2.aO)bténladerivadadelassiguientesfun
0
dx p
9 − x2 dx s)Z 1
0
(x − ex cos x) dx t)Z 3
2
x
x2 − 1
2
x3
0
1
x3 + 1
dx w)Z 6
3
√2x − 3
√2x − 3 − 1
d)2
dt F(x) =
−3 |t + 2| dt e)F(x) =
x2 + 1
x3 − x
dx y)Z 6
3
x√x − 2 dx z)Z 1
0
√x2 − 1
x
iones: F(x) =
3.Cal
ulaZ x
0
Ln(t2 + 4) dt Z 6
ecos t dt b)F(x) =
Z x
0
t2 dt
)F(x) =
Z x2
0
1
3 + t
Z x
Z x3
2
et
t2 + 1
dt f)F(x) =
Z x2
x
1
f(x) dx,siendof lasiguientefun
ión:
f(x) =


12
x
six 6
x2 − 34 si3 ≤ x ≤ 6
25 x 3 4.Cal
ulaelárea
omprendidaentrela
urvay = 3x2 − x + 1,elejeOX ylasre
tasx = 0 yx = 45.Cal
ulaeláreadelre
intolimitadoporlaparáboladee
ua
ión . y = x2,elejeOXe
ua
ión ,lare
tade x = 2 ylare
tax = 4. 23

50. 6.Cal
ulaeláreadelre
intodeterminadoporlaparáboladee
ua
ióny = −x2,elejeOX ylasre
tas
7.xHa=la−r2elyáxre=ad2.elaregiónlimitadaporlaparábolay = x2 − 6x + 5 yelejeOX8.Háleseeláreadelaregiónlimitadaporlaparábola . x = y2 ylare
tax = 49.Halareláreadelaregiónlimitadaporlahipérbola . xy = 12,elejeOX ylasre
tasx = 1 yx = e10.Háleseeláreadelaregiónlimitadaporuna
ualquieradelasondasdelas
urvas . y = sen x y
y = cos x11.Cal
ular.eláreadelaregiónlimitadaporlare
tay = 2x ylaparábolay =
14.Halarelárealimitadporlasparábolas 13.Cal
. 16.Halareláreadelaregiónlimitadaspor15.Halarelárealimitadaporlare
12.Halareláreadelaregiónlimitadaporlare
ulareláreadelaregiónlimitadaporlasparábolas tata ylaparábolaeylaparábolae. y. . 1
x217. a)Dibujalaregiónlimitadaporla
urva 2
y = −2x ylare
y = 4x − x2y = −x2 x = y2y = x2 − 3x y = −x2 + x 2x − y − 5 = 0 y = x2 − 4x y = −x2 + 2x y = −xy = x(3 − x) tay = 2x − 218.Cobm)pHraulelbaaelqáureeadelaregióndes
ritaenelapartadoanterior. . Z 2
19.Cal
ulaelárealimitadaporla
urv.ay = x3 − 2x2 + x 20.
Hoaolrladeenlaádraesa.
omprendidaentrela
urva ylare
21.pDaibsaunjapeolrrleo
sinptuon
toomsdpereinndiedxoióenntdreedlais
hgará
u
ravsa.delasefulne
jeiodneesabs
5
2x dx =
22.áCraela
.ulaeláreadelre
|− 1| 0 2
intoplanolimitadoporla
urva ylasre
,,,yhalasu y = xy = 8xy = x2ex tatangenteaelaenelorigende y =
23.Halaelpolinomiodesegundogradoquepasaporlospuntos 4
9 + 2x2
24.Dadala
limitadaporesa
urva urva,eleje yelejepositivoes4/3. ytas25.Ddoenldaefluanf
uiónn
,sabiendoqueelárea y. x = 0 x = 5(0, 1) (3, 0)OY OX y = x2 + 2x + 2isasylasre
tasverti
alesque y =
ióntieneunextrem,hoaylalaetlaánrgeeanltiemaitlaada
sesabequetieneunmáximorelativoenuprvoarl
aon
uprevnad,ileantree
1
x2
deinexiónen yque6t.atangenteenelpunto ,unpunto f(x) = ax3 + Z bx2 + cx + d x = 11
(0, 0) .Cal
ulaa,bc yd26.Cal
ulaelárealimitadapor . f(x) =
27.Halaelárea
abs
isasdelmáximoymínimode omprendidaentrelas.
urvas,eleje,ylasre
tas5
f(x) dx =
0
4
ylasre
y,siendoylas 4x
X x = a x = ba b x2 + 4
fy = exy = 2x − x2 tasx = 0 yx = 228.Consideralaregióndelplanoquedeterminanlas
urvas . y = ex ey = e2x ylare
tax = ka)Halasuáreapara . k = 1b)Determinaelvalorde .k 0 paraqueel2á4reasea2.

51. APrnoáblilseims-aInstdeegrSae
lieó
ntividad.Bloquede 1.Sealafun
ióndenidapor
f f(x) =
a)Estudialaderivabilidaddeeny,siesposible,
siex − 1 x ≥ 0
2 xe−xx 0 f x = 0 
 −
a
x
six ≤ −1
x2 + 1 six −1 a)Halaelvalordea sabiendoquef b)Esbozalagrá
ade es
ontinua. f)Cal
ulaeláreadelre
i.ntolimitadoporlagrá
adef,elejedeabs
2.Sea ylafun
ióndenidapor
. isaylasre
tasx + 2 = 0 x − 2 = 0f al
ulaladerivadadef b)Cal
ulaeláreadelre
intolimitadoporlagrá
ade endi
a)Dibujalaregióna
otadadelplanoqueestálimitadaporl.agrá
adef 5.Cobn)siyCdaetler
aru
lleaare
f(x) =
lafun
trizdelprimer f : R −→ R
hopunto. f,elejedeabs
isasylare
tax = −13.Halaunafun
ión . f : R −→ R talquesugrá
apaseporelpuntoM(0; 1)punto ,quelatangenteenel M seaparalelaalare
4.Considerala lafun
taióndenidaporyque. 2x − y + 3 = 0 f′′(x) = 3x2f : R −→ R f(x) = x|x|
luáarderaandtee.laregióndes
ritaenelapartadoanterior. ylabise
ióndenidaporf(x) = ex + 4e−xa)Determinalosintervalosde
re
imientoydede
re
imientode.f b)oCagll
oublaaleesl(áprueantdoeslerne
lionstoquliemsietaodbotipenorenlaygvraálo
raesdqeueal
,elejedeabs
anzaylahfaulnla
isasylasre
isóuns).extremosabsolutos tasy
fx = 0 x = 26.SiendoLn.x ellogaritmoneperianodex,halaeláreadelasuper
iesombreada.
PSfragrepla
ements
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
1 3 25
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

52. 7.Cal
ulaeláreadelre
intoa
otadoqueestálimitadoporlare
tay = 2x yporlas
urvasy = x2 e
x2
2 8.Cal
ulaZ 0
10.Caal)
9.Seapasaporelpunto y =
ula: lafun
. ióndenidapor.Cal
ulalaprimitivadef
uyagrá
a dx f : R −→ R f(x) = (x − 1)e2x(1, e2)Z
b)−2
dx Z
1
x2 + 2x − 3
(2x − 3) tg(x2 − 3x) dx 11.SeaI =
dxa)Expresa : I apli
5x2 − x − 160
x2 − 25
12.Eláreadelre
b)Cal
ulaelvalorde intolimita.doporlas
andoel
ambiourvasdee
. ua
ionest = 1 + x2Iy =
Z 13. Cal
a)Sea ulaelvalorde 2
x3
√0
1 + x2
. lafun
on,vale3. a 0af : R −→ R tatangentealagrá
adelafun
iónf deabs
isa3vale enelpunto
x2
a
14.Cal
ula quelafun
ióntieneunextremoen ysuvalorenéles
ulalosvaloresde. ysabiendo p q x = −6 Z
−2ey = √ax,
ióndadaporf(x) = ax2 + b.Halalosvaloresdea yb sabiendoque
Z 6
0
f(x) dx = 6 yquelapendientedelare
−12b)Sea . f : R −→ R lafun
ióndadaporf(x) = x2 +px+q.Cal
(x2 − 1)e−x dx 15.Seanlasfun
ionesf yg : [0,+∞) −→ R,dadasporf(x) = x2 yg(x) = λ√x,dondeλ númerorealpositivojo.Cal
ulaelvalorde esun λ grá
asdeambasfun
ioneses sabiendoqueeláreadelre
16.Sea lafun
ióndenidapor
. intolimitadoporlas 1/3f : (0, 2) −→ R Ln x si0 x ≤ 1
Ln(2 − x) 1 x 2 siendoLn a)Estudliaafluand
ieórnivalobgilairdiatmdodeneperiano. f enelpuntox = 1b)Cal
ula . Z 1,5
f(x) dx17. a)Hazunesbozodelre
.intolimitadoporlas
urvasy =
f(x) =
b)Cal
ulaeláreadedi
hore
into. e.
y = x2 − 1
1
15
1 + x2
26

53. ÁBLLGOQEUBERIAI
27

54. TMematari7
es
7.11..DaOdapselarsam
aitroi
neses
onmatri
es A =
a) ,
2.aE)fe
túalassiguientesopera
)d)
7 iones
−2
onmatri
es: 3 1
B · (−A) A · A − B · B
yB =
−3 0
−2 2
al
ula:
b)1
−2A + 3B 2
A · B
e) 1 2 3 4
5 7 9 11

+
3 −2 5 6
1 1 3 3
b)

3 4 5
2 1 3
−3 4 1
2 3 −4


+


3 −4 −3
2 1 −1
5 7 2
4 −3 6


)1
3


1 1 12 0
2 2 3 4
1 3 2 1

 d)2
 g)
3


6 3
12 6
18 12

3.Siendo
4 2 −5 −2
4.Siendo hala
y.  A =
A2 A3A =


2
3
1
3


f)
a b c d


a
b
c
d

a) .Hala: (A + B)2 b)A2 + B2 + 2AB
a 0 0

5.¾Porquésiendo0 b 0
0 0 c
ydosmatri
)d)A2 − B2 (A + B)(A − B) A B 



0 0 a
0 b 0
c 0 0
1 2
6.Dadaslasmatri
3 es 1
ni? (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB (A + B)(A − B) = A2 − B2A =
7.Cal
a) a b
ulaen
ada
c aso,lamatriz0
queveri
b),
ompruebaque: a) (A + B)t = At + Bt (3A)t = 3At B yB =
es
uadradasdelmismoordennoseveri
a,engeneral,que
0 a
b c
alaigualdad:
8.ParalamatrizA =
1 −2 1
matriz 3 0 1
uentralosvaloresdeyparaquela a b A
yB =
4 0 −1
−2 1 0
3 −1 5
1 0 3
+ B =
4 0 6
9 2 2
b)2
−1 4
−3 −2
− 3B =
−5 4
0 −1
0 −1
1 0
,
al
ulaA50 yA97.En
onmute
onlamatriz
a 0
b 1
28

55. 9.ConsideremoslamatrizA =

 a)Demuestraqueseveri
a b)nCualla
.ularazonadamente laigualdadA3 + I = O,siendoI lamatrizunidadyO lamatriz A1010.En
uentratodaslasmatri
es, . A,simétri

11.Ea)n
uentratodaslasmatri
esdeordendosque
0 3 4

1 −4 −5
−1 3 asydeordendosqueveriquen4
12.Dadalamatrizumplan: b). A2 = IA2 = A A2 = O A =
al
ulaA2,A3, . . .A128 13.CompruebaqueA2 = 2A − I,siendoA =
14.Determina Utilizaestaigualdadpara
ydeformaquelamatriz
elamatrizunidaddeorden3. 
al
ular . 
 I A4a b A =
4 5 −1
−3 4 1
15.Cal
ula ysiendo:
−−3 −4 0
verique. A2 = AAn Bn 
,


5 −4 2
2 −1 1
−4 4 −1
2 −1
a b
16.Dadalamatriz 17.Sea Demuestradespuésquelamatriz unamatriz
,pruebaqueeslamatrizinversadeeslamatriznula. . 
A =
A3 I + A + A2 I − AA 18.uDneimdaude.straquesi uadradatalqueA =
veri
.Si,demostrarqueesigualalamatriz A2 = AB = 2A − IB2 A 

1 1/7 1/7
0 1 0
0 0 1

 B =
1 0
0 3

0 2 1

−7.2. Matrizinversa 0 0 alarela
0 1
0 0
ión,enton
esexiste.Hàlala. 19.HalalainversadelamatrizA2 − A − I = 0A−1A =
21.Compruebaquelamatrizinversade 20.Pruebaquelamatriznotieneinversa.
3 7
2 es5
:
A =
A A−122.Halalamatrizinversade2 −1
4 −2




1 2 1
A =

0 1 0
 A−1 =

 2 0 3
A =
29
3 −6 −1
0 1 0
−2 4 1
1 2
−1 0
yladeB =
−1 0
2 4

56. 23.PruebaqueA2−A−2I = O,siendoA =


0 1 1
1 0 1
1 1 0

 eI lamatrizidentidaddeorden3.Cal
ula
7.324..HAa−El1la
uulsaasanmd
oaiotlarni
igeesusaldyadsainsttereiomr.asmatri
iales X eY queveriquenelsistema:
25.Cal
ulaX talqueX − B2 = A · B,siendo:


2X + Y =
1 4
2 0
26.Determinalosvaloresdeparalos
X − Y =

 m
1 −1
1 0
X + I = O 27.Resuelve:
28.Halalasmatri
eseA queveriquenelsistema:
=
X Y 

1 0 1
1 1 0
0 0 2

 B =


1 0 −1
1 1 1
0 0 1
ualesX =
m 0
0 2
veriqueX2 −
5
2
1 −1
3 2
x
y
=
1 x
y −1
3
2


5X + 3Y =
2 0
−4 15
3X + 2Y =
1 −1
−2 9
7.429..Ra)eRsueelsveollous
siigóuinentdesesisstiesmtaesmdeae
suad
ioenees
puorae
limoéntoedosdleinGaeuasl:esporGauss
g)x 
− y + z = 7
2x − 2y + 2z = 3
x − y − z = −3
2x + 2y − z = 1
x + 7y + z = 11 b)
x + 2y − 2z = 7
2x − 3y + z = 1
)
3x + y − z = 1
9x + 3y − 3z = 3 d)

2x + y + 2z = 10
3x + 2y − z = 12
5x − y − 2z = 11
e)

2x − y + z = 1
4x + 2y + 2z = 2
x + 3y + z = 8
f)


2x − y + z = 1
−2x + y − z = −1
6x − 3y + 3z = 3
h)

x − y + 3z = −4
2x − 2y + 6z = 1
3x + y + z = 2
i)

x + y − 3z = 0
4x − z = 2
3x − y + 2z = −7
30

57. TDeemtaer8minantes
8.11..aD)eDsaertolelarrmlosinsigaunietnteessddeteermoirnadnetens:dosytres

63. 5 7 8
0 45 55
1 2 3

69. b)

75. a 0 0
0 b 0
0 0 c

81. )

85. tan a sec a
sec a tan a

89. d)

99. 8.22..aC)oPmrporupebiaeldasaidgueasldaddees:losdeterminantes

103. cos a cos 2a
1 cos a

107. e)

113. a b c
b c d
d e f

119. f)

125. 1 1 1
a b c
a2 b2 c2

131. g)

137. 4 2 −1
5 −2 4
−3 5 −2

143. h)

149. 1 8 1
1 7 0
1 6 −1

155. i)

161. m 1 3
1 −1 −1
5 −3 m

165. 3.Expresaeldeterminante

169. = −5rae)spuestas: ,¾
uáleselvalorde
adaunodelossiguientesdeterminantes?Justi
alas

173. 2 5
4 3

177. =

181. 2 4
5 3

185. b)

189. 4 3 + 1
5 2 − 3

193. =

197. 4 3
5 2

201. +

205. 4 1
5 −3

209. )

213. 3 · 2 3 · 4
5 1

217. = 3

221. 2 4
5 1

225. d)

229. 4 7
6 9

233. = −

237. 7 4
9 6
t − 1 2t + 4
1 + t t

241. 4.Si
omosumade
uatrodeterminantes.

245. m n
p q

249. m + n p + q
a) n

255. q
halaelvalordelossiguientesdeterminantessindesarolar: = 2

259. b)

263. p m
q n

267. )

271. 3n −m
3q −p

275. d)

279. p 2m
q 2n

283. e)

287. 1 n/m
mp mq

291. f)

295. m 5m
p 5p

299. 5.Sabiendoque

305. x y z
1 2 4
3 5 1

311. 4x 4y 4z
1 2 4
3 5 1

317. b)

323. 3x 3y 3z
1/2 1 2
3 5 1

329. )

335. x y z
2x + 1 2y + 2 2z + 4
3 + x 5 + y 1 + z

341. 6.Pruebasindesarolarquelossiguientesdeterminantesson
eros:
31

342. a)

348. a) = 7,
al
ulaelvalordelossiguientesdeterminantessindesarolarlos:

354. 1 a b + c
1 b c + a
1 c a + b

360. b)

368. 1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

376. 7.Si

382. 8.38..CaDl
uelasaelrdreotelrlmoindaneteudenladmeatterizrminanteporloselementosdeunalínea a b c
p q r
x y z
A =

388. c a b
r p q
ab))DPoersalrarorelgálnaddoeloSpaorrulsa.ter
z x y
9.aC)a
era
olumna. : 


394. b)

400. 3a 3b 3c
a + p b + q c + r
−x + a −y + b −zc

406. )

412. a + 2x b + 2y c + 2z
p q r
2x + p 2y + q 2z + r

418. 

3 1 17
4 13 −2
1 −6 −3
l)
uDlaeslaorsrosilgláuniednotleospdoertelarmseingaunntdeas:la.

434. d)

442. 1 2 6 −1
1 0 1 3
0 3 0 2
0 1 1 0

450. b)

458. 2 3 −5 −5
5 2 7 −3
−3 −7 4 4
−4 2 3 2

466. )

474. 1 2 2 0
2 5 3 1
3 8 4 2
4 14 1 4
a 0 0 0
0 b 0 0
0 0 c 0
0 0 0 d

482. e)

490. a 0 1 2
0 b 7 9
0 0 c 3
0 0 0 d

498. f)

506. a 1 1 4
2 a 1 0
2 0 a 0
1 0 2 a

514. g)

522. 1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
1 5 15 35

530. h)

538. −1 1 1 1
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1

546. i)

554. 3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3

562. j)

570. 1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20

578. k)

586. 1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3

594. l)

602. 1 2 2 4
2 3 2 8
4 2 4 13
2 8 4 11

610. 10.aD)esarolalosdeterminantes,ha
iendo
erospreviamente:

618. 1 1 1 1
1 2 3 4
1 4 9 16
1 8 27 64

626. b)

634. m m m m
m a a a
m a b b
m a b c

642. )

650. a b c d
−1 x 0 0
0 −1 x 0
0 0 −1 x

658. 11.Halaenfun
ióndea,elvalordelsiguientedeterminante:

666. a 1 1 1
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 1 a

674. 32

675. 12.Cal
ula:

683. 1 + x 1 1 1
1 1 + x 1 1
1 1 1 + x 1
1 1 1 1 + x

691. 13.Determinalosvaloresdem queanulanaldeterminante

697. 1 −1 0
m m+ 1 m
2m 2m+ 1 2m− 1

703. 14.aC)ompruebaquelasigualdadessiguientessonverdaderas:

715. b)x + a b c
a x + b c
= x2(x + a + b + c) a b x + c

721. ) = (a + b + c)3

729. 15.aP)ruebaque: a − b − c

735. 2a 2a
2b b − c − a 2b
2c 2c c − a − b
= x2z2

741. 1 + x 1 1 1
1 1 − x 1 1
1 1 1 + z 1
1 1 1 1 − z

749. = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c) 16.aR)esuelvelassiguientese
ua
iones:

757. a + b b + c c + a
p + q q + r r + p
x + y y + z z + x

763. = 2

769. a b c
p q r
x y z

775. b)

783. 1 1 1 1
a b c d
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3

791. ) = 0

799. x −1 −1 0
−x x −1 1
1 −1 x 1
1 −1 0 x

807. = 0 b)

815. x 1 0 0
17.Resuelvelasiguientee
ua
ión:
0 x 1 0
0 0 x 1
1 0 0 x
= 0

823. −1 x x x
x −1 x x
x x −1 x
x x x −1

831. = 0 d)

839. x a b c
a x b c
b c x a
c b a x

847. = 0 8.418..HaRlaaenlrgaongoddeeluasnsiaguimentaestrmiaztri
es: 33

855. 1 1 1 1
x −1 3 2
x2 1 9 4
x3 −1 27 8

864. a)A =
5 3 6 2 1
1 2 2 2 4
b)B =


5 2 1
3 2 0
4 2 1
4 3 0


)C =


5 2 2 1
4 3 3 2
6 1 2 1
5 2 3 2
3 4 4 3


19.aH)alaelrangodelassiguientesmatri
es: 

 20.Determina,segúnlosvaloresdeaa) ,elrangodelassiguientesmatri

 21.Determinasegúnlosvaloresdem a) elrangodelassiguientesmatri
es: 


1 2 −1 2
2 1 0 1
4 5 −2 5
2 −1 1 2


b)

3 5 1
6 10 −2
1 0 1
4 5 0


)

1 2 3 1 −1
4 5 6 2 1
1 0 0 3 4
es: 
A =

1 2 3
7 1 1
a 2 3

 b)B =


3 1 −4 6
1 1 4 4
1 0 −4 a
 8.522..HaClaálla
1 2 3
7 1 1
m 1 2

 b)

2m 1 1
2 m 1
2 1 m


)

1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 m

sumlaotri
deseinlvaersiansvdeelrassasigduieentuesn:amatriz

.Averiguaparaquevaloresdeλ,lamatrizA Cal
ularlainversade notieneinversa. A
uandoadauna.delassiguientesmatri





24.Cal
ulalamatrizinversade
2 1 2
2 5
1 1
A ap)osible: =
B =
C =

3 0 1
 4 3
3 4
5 2 2
esparaaquelosvaloresde4 −2 5
D =

3 −1 2
 E =
3 2 7
quesea λ = 2a

5 0 1 0
2 1 0 0
0 2 0 1
0 1 1 1


23.DadalamatrizA =


1 0 −1
0 λ 3
4 1 −λ
25.Consideramoslamatrizsiguiente:
a)Halalosvaloresdeb)Cal
a ula,siesposible, −1
1 a
paralosqueparatieneinversa. .

 x A A−1 x = 2 b)
3 a
1 a
)
a − 2 0
0 a
A =


x 1 0
0 1 3
x 1 1
34

865. 8.626..ReEsu
eluveal
aieo
unae
isónmatri
iales AXB = C siendo:
27.Dada A =
28.Resuelvelae
ua
ión
3 2
2 3
A =
B =
4 3
,donde:
1 2
AX + B = CC =
1 1
1 1
29.Cal
ulalamatriz
2 3
1 2
sabiendoqueveri

 A ,halaunamatrizX talqueAXA =
1 1
2 3
30.Dadaslasmatri
A =
es:

 

0 1 3
1 1 0
2 0 0

 B =


2 1
−1 0
3 4

 C =


1 −1
0 1
1 −2
alasiguienteigualdad:
halalamatrizqueveri
A ·
X 

1 2 3
0 2 3
0 0 3

 =


2 0 0
0 2 0
0 0 2
A =
−2 0 1
1 −1 5
B =


3 1
0 1
−1 2

 C =
1 2
3 4
D =
−9 3
−8 17
aAB + CX = D31.Hala . X talque3AX = B,siendo:
A =


1 0 2
0 1 1
1 0 1

 B =


1 0 2
1 0 1
1 1 1


35

866. STeismtaem9asdee
ua
ioneslineales 1.Halaelvalordek sabiendoqueelsistema
2.gDeios
muétterie
las.istemasiguientesegúnlosvaloresde notienesolu
ión.Hazlainterpreta
ión m:
3.sDisist
eumtae.elsiguientesistemasegúnlosvaloresde .Interpretageométri
amenteel k:
2x − 2y = 7
6x + ky = 2
4.Dis
ute,segúnlosvaloresde,elsiguientesistema:x + 2y = 3
2x + y = m
x + ky = 3
kx + 4y = 6
mx + 3my = 1
mx − 3my = 2m+ 3 5.Dis
uteelsiguientesistemasegúnlosvaloresdec:
x − 3y = 1
2x + y = 3
3x − 2y = c 6.Ra)esuelvelossiguientessistemasdedose
ua
iones
ondosin
ógnitasporelmétododeCramer: 
y = 5 7.aR)esuelvelossiguientessistemasdetrese
x + 3y = 4
2x − y = 
1
ua
iones
ontresin
ógnitasporelmétododeCramer: 
b)
7x + 4y = 80
5x − 6y = 4
)
2x − 3y = 5
x − y = −5 d)
6x + 5y = 16
5x − 12y = −19
e)
10x + 4y = 3
20x − 5y = 29
f)

x − y = 1
2
3
x +
5
4
x + y − 2z = 9
2x − y + 4z = 4
2x − y + 6z = −1 8.Dis
utesegúnlosvaloresdem a) yresuelve,enlos
−x + 
y + z = 3
x − y + z = 7
x + y − z = 1
asosqueseaposible,lossistemas: 
b)

x + y + z = 11
2x − y + z = 5
3x + 2y + z = 24
)

x + 4y − 8z = −8
4x + 8y − z = 76
8x − y − 4z = 110 d)
9.Dis

utesegúnlosvaloresdelparámetrox − y + z = 3
2y + 3z = 15
3x + y = 12
yresuelve,enlos
2x + y − z = 1
x − 2y + z = 3
5x − 5y + 2z = m a e)

x + 2y − 3z = −16
3x + y − 2z = −10
2x − 3y + z = −4
f)

mx + y − z = 1
x − 2y + z = 1
3x + 4y − 2z = −3
b)
3x + 2y + az = 1
5x + 3y + 3z = 2
ax + y − z = 1 10.aD)is
uteyresuelve,enlos
asosqueseaposible,lossistemas: 


asosenqueseaposible,elsistema:


ax + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y + az = 1
b)
36
ax + y + z = 1

x + ay + z = a
5x + y + az = a2

867. 11.Dis
uteyresuelveenlos
a)
asosqueseaposible,segúnlosvaloresdem,lossiguientessistemas: 

(m+ 2)x + y + z = m − 1
mx + (m− 1)y + z = m− 1
(m+ 1)x + (m + 1)z = m− 1 12.Dadoelsistemadee
ua
ioneslineales
úteloparalosdistintosvaloresdel a yb,la
x + my + z = m + 2
x + y + mz = −2(m+ 1)
mx + y + z = m
b)

14.Dis
2x + y 
= m
a) utelossiguientessistemasdee
ua

ionessegúnlosvaloresde−2x + y = −1
x − my = −2
y: 2x − y − 2z = b
x + y + z = 5
4x − 5y + az = −10 a b13.Epasrtuámdieat,rsoegyúrnesluoéslvvaelloor
eusadnedosea
ompatible. ,dis
ompatibilidaddelsistema
15.Halaelvalordelparámetroparaqueelsiguientesistemahomogéneotengamásdeunasolu

ax + 2z = 2
5x + 2y = 1
x − 2y + bz = 3 m 16.Resuelveelsiguientesistemalinealhomogéneo:

2x − my + 4z = 0
x + y + 7z = 0
x − y + 12z = 0 ax + by + z = 1
x + aby + z = b
x + by + az = 1
b)

ión:

17.Dadoelsistemahomogéneo 

6x + 18y − 10z = 0
7x − 2y − 4z = 0
4x + 10y − 6z = 0 

19.yDardesoolevlesrilsot.ema tengasolu
ióndistintadelatrivial

20.Dadoelsistema a
))TNeongteanignansoitluas
isóonl.u
iones. ,halapabdr))aTTqeeunnegg:aasuonlua
sioólnu
úinóin
ae.nlaque. m x = 3
3x + 3y − z = 0
−4x − 2y + mz = 0
3x + 4y + 6z = 0
al
ulam 18.Hala paraquetengasolu
ióndistintadelatrivial.Resuélveloparaesevalor. m paraqueelsistemalinealhomogéneo 
y + 2z = 0
3y + z = 0
my + z = 0
ab))eAAññinaadddeeeteuurnnmaainee
uduaoa
mx iióRónneslliuinneeleavalelaealllssisisists:teteemmmaaadadasadídofoodredmemamdoodo.odoquqeueeleslisstiesmteamraesruelstualntaten− y = 1
a
x .
− my = 2m− 1
tseeaseian
3x − 2y + z = 5
2x − 3y + z = 4
oommppaattibiblele.
37

868. ÁPrlgoebblermaasdeSele
tividad.Bloquede
1.Si

874. = −6a) ,
al
ulaelvalordelossiguientesdeterminantessindesarolarlos:

886. 2.SabiendoqueA =
x y z
t u v
3.Denotemospor a b c
a)Sabiendoque alamatriztranspuestadeunamatrizuáleselvalorde. ? aMt MA =

892. −3x −y −z
3t u v
3a b c

898. b)

904. −2y x z
−2u t v
−2b a c

910. )

916. x y z
t u v
2x − a 2y − b 2z − c


3 −2 1
1 −4 −2
−1 a − 1 a

 tienerango2,¾

920. b)SeaI lamatrizidentidaddeorden3yseaB unamatriz
)Sea det unamatriz
. uadradatalque.Cal
ula B3 = I(B)C

926. uadradatalquea b
c d
4.Sesabeque .¾Puedeserdet?.Razonalarespuesta. C−1 = Ct(C) = 3 yquedet(A) = 4det ,
al
ulalossiguientesdeterminantes: (−3At) y
ula,indi
andolaspropiedadesqueutili
es,lossiguientes

936. 2b 2a
−3d −3c
ade)terminantes: .Cal
a11 a12 a13
a21 a22 a23
= −2a31 a32 a33

942. 
 a)Cal
ulaA · B,A · C,At · Bt,siendoAt,Bt yCt lasmatri
3a11 3a12 15a13
b)rReaszpoen
a21 taiv
a22 5a23
a31 a32 seaarmativa,halala
aumáleenstdee.lasmatri
5a33
orespondientematriztiinenveernsain.versayenlos
es ,,,yestraspuestasde,y, AB CABC A·B

948. b)

954. 3a21 3a22 3a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33

960. )

966. a11 a12 a13
a21 − a31 a22 − a32 a23 − a33
a31 a32 a33

972. 5.Consideralasmatri
es:
A =
1 0 1
0 1 2
, B =


1 0
0 1
0 0

, C =


asosenquelarespuesta
1 0
0 2
1 0
38

973. 6.Sea

 ab))PDaertaerminalosvaloresdem ∈ R paralosquelamatrizA tieneinversa. m = 0 ysiendoX =
yseaI a)Cal
ulalosvaloresdelamatrizidentidaddeorden2. λ ∈ R talesque
|A − λI| = 0b)Cal
ula . A2 − 7A + 10I8.Consideralasmatri
es .
7.Sea
1 1 
−1
A =
0 m− 3 3
m+ 1 2 0
x y z
A =
,resuelveX · A =
3 1 1
4 2
1 3
a)Hala,siexiste,lamatrizinversadeAB + Cb)Cal
ulasiexistenlosnúmerosreales . x ey queveri
9.ConsideraA =
−3
a)Cal
ulaelvalorde A =
paraque,siendo
, B unnúmeroreal. =
2 1
2
a a A2 − A =
, y C =
−1 −2
6 6
an:C
b)Cal
ulaenfun
ióndea,losdeterminantesde2A yAt)¾Existealgúnvalorde . a paraelquelamatrizA 10.Consideraelsistemadee
ua
ioneslineales seasimétri
x
y
= 3
x
y
a 1
0 −a
12 −1
0 20
a?Razonalarespuesta.
aelsistemasegúnlosvaloresdeλb)Resuelveelsistemapara . λ = 211.Consideralasmatri
es .
  a)Clasi
x − y + z = 2
x + λy + z = 8
λx + y + λz = 10
12.Consideraelsistemadee
a)Halaelvalordeb)Resuelve 
paraua
paraelquelamatriziones.lineales

notieneinversa. 



1 1 0
x
0
A =

2 1 1
, X =

y
, O =

0
 m − 4 1 1 − m
z
0
m ∈ R A AX = O m = 3a)Clasi
b)Resuelveelsistemapara aelsistemasegúnlosvaloresde.
. x + y − z = −4
3x + λy + z = λ − 1
 2x + λy = −2
λλ = 1
39

974. 13.Resuelve: 

 14.Consideraelsistemadee
ua
ioneslineales
ab))CRleassuiel
vaeeellssiisstteemmaaspeagrúanlosvaloresde2 0 5

1 1 . −2
−1 1 1
15.Resuelve ,siendolamatriztraspuestade.  y
λλ = 2ABtX = −2CBt B 



x
y
z

 +

 −2
2
3

 =


5
0
2
λx − y − z = −1
x + λy + z = 4
x + y + z = λ + 2

16.Consideraelsistemadee
ua
ioneslineales
17.Sesabequeelsistemadee
a)Clasi
b)Resuelveelsistemapara aelsistemasegúnlosvaloresdeA =
ua
iones.
.  λλ = 2
1 0 3
2 −1 0
, B =
−1 3 0
0 2 −2
, C =
1 4
0 −1
λx + y − z = 1
x + λy + z = λ
x + y + λz = λ2

tiean)ePurnuaebúaniq
uaesolu
x + αy = 1
x + αz = 1
 y + z = α

ión. α6= 018.Habl)laHalalasolu
iónd.elsistema. a yb sabiendoqueelsistemadee
ua
iones
19.Rtieensueealvlemeelnsoisstdemosasdoleue
iounae
siodniesstintas.
x + 3y + z = 1
−x + y + 2z = −1
 20.Consideraelsistemadee
ua
ioneslineales
ax + by + z = 4
1
0
−1 


3 −2 1
1 −4 −2
−1 −6 −5




x
y
z

 =
a)Clasi
b)Resuelveelsistema
aelsistemasegúnlosvaloresdeuandosea
λx ompatib4l0.eindeterminado.
x + λy = λ
+ y + (λ − 1)z = 1
 λx + y = λ + 2
λ

975. 21.Untenderodisponedetrestiposdebotelasquelamaremosobservaquesivendea1 A,B yC.Elmen
ionadotendero e lasbotelasdeltipoA,a3e lasdeltipoB ya4e lasdeltipoCobtieneuntotalde20 ,enton
es e.Perosivendea1e lasdeltipoA,a3e ladeltipoB ya6e lasdelCenton
esobtieneuntotalde25 , eab))eRPlleatsenunteedlaveereold.is
ihstoemsisatedmeae.
ua
i.onesquerela
ionaelnúmerodebotelasde
adatipoquepose 22.Co
n)si
¾duPeeurnaetdaeelqsduiesetteeermlmnaiúndmaeresereo
uedale
niboúnomteeeslrloasddeebboeteselrasendteer
oaydapotispitoivdoe).quedisponeeltendero?(Tenen
 a)Determinalosvaloresdem paralosquex = 0,y = 1 yz = 0 b)Determinalosvaloresde essolu
ióndelsistema. m )Determinalosvaloresde paralosqueelsistemaesin
23.Consideraelsistemadee
ua
ionepsaralosqueelsistematieneinnitassolu
mx + 2y + z = 2
ompatible. x + my = m
2x + mz = 0
m 
iones.
24.Consideraelsist.emadee
Determinaelvalordedi
hovalorde paraquetengasolu
ua
iones
ionesdistintasdelasolu
ióntrivialyresuélvelopara x + 3y + z = 0
2x − 13y + 2z = 0
 a aa)Clasi
aelsistemasegúnlosvaloresde(a + 2)x − 12y . + 12z = 0
b)Cal
ulalosvaloresde paralosqueelsistematieneunasolu
mm 
mx − y = 1
x − my = 2m− 1
iónenlaquex = 3.
41

976. GBELOOMQUEETRIIÍIA
42

977. TEesmpaa
1i0osve
toriales
10.11..DadVoselo
stvoe
rteorsesenelespa
io ~u = (1, 0,−1),~v = (2, 0, 1) y~w = (0, 0, 1)a)¾Son : ~u,~v y~w b)Darunve
torlinealmenteindependiente? ~t
quedependalinealmentede~u,~v y~w2.Pruebaquelosve
tores . ~u = (0, 1, 1),~v = (1, 2, 3) y~w = (5, 7, 12) 3.EPrxuperbesaaquuneolodseveel
otsor
eosmo
ombina
iónlinealdelosotrosdos. sonlinealmentedependientes. ~ u1 = (0, 1, 1),~ u2 = (1, 0, 1) y~ u3 = (1, 1, 0) oordenadasdelve
tor formanunabase.Cal
ulalas ~u = (1, 2, 3) 4.Dadoslosve
tores respe
toalabaseanterior. ~u = (3, 3, 2),~v = (5,−2, 1) y~w = (1,−1, 0)a)Halalosve
tores : ~u − 2~v + 3 ~w y
−2~u +~v − 4 ~w b)Cal
ulaa yb talesque~u = a~v + b ~w5.Dadoslosve
tores . ~u = (1,−3, 2),~v = (−2, 6,−4) y~w = (2, 0, 1)a)Expresa : ~u
omo
ombina
iónlinealde~v y~wb)¾Esposibleexpresar . ~w
omo
ombina
iónlinealde~u y~v)¾Sonlinealmentedependientesoindependientes ? ~u,~v y~w6.¾Cuálesdelossiguientesve
torestienenlamismadire
ión??
7.Ea)studialadependen
8.Determinaa) )~a(paraquelossiguientes
,,iaoindependen
yyialinealdelossiguientes
b),onjuntosdeve
,tores: y1,−3, 2) ~b(2, 0, 1) ~c(−2, 6,−4) d(~5,−15, 10) ~e(10,−30, 5) ~u = (1, 2, 1)~v = (−1, 0, 3) w ~= (1, 2,−1) ~a = (1, 2, 3)~b = (1, 4, 11)~c = (1, 1,−1) d ~= (0, 1, 4)
~u = (1, 1, 0)~v = (1, 0, 1) w ~= (5, 2, 3) k onjuntosdeve
toresseanlinealmenteindependiente: ~u = (k,−3, 2),~v = (2, 3, k) y~w = (4, 6,−4) b)~u = (3, 2, 5),~v = (2, 4, 7) y~w = (1,−1, k) 9.¾Paraquévaloresdea el
10.2. onjuntodeve
toresesunabase? 10.Dadoslosve
a)Losmódulosde Produ
toes
alar b)Elprodu
))LEal
porsoeyneo
torestoes
dióelnádnegluvloe
alarde.yqtoureform.an. yyS ,hala: = {(1, 1, 1), (a, 1, 1), (1, a, 0)}
d
e)Laproye
ióndelve
~u = (2,−tor 3, 5) sobresobre~v = . . (6,−1, 0)~u ~v~u ~v~u ~v43
~v ~u

978. f)Hala11.Dadoslosvme
tpoarreasqueelve
tor(m, 2, 3) seaortogonala~u. ~a =~i
+ m~j +~k y~b = −2~i + 4~j + m~k,halam paraquelosve
tores~a y~b 12.¾aS)oPnaralelos b)Ortogonales sean: ~a = (1, 2, 3) y~b = (2,−2, 1) 13.Compruebaqueelve
tor ortogonales?Sinoloson,halaelánguloqueforman. ~u(1/2, 1/2, 0) delamismadire
iónque noesunitarioydalas
oordenadasdeunve
torunitario ~u10.3. Produ
tove
tor.ial 14.Dadoslosve
tores~u = (3, 1,−1) y~v = (2, 3, 4)a)Losmódulosde ,hala: ~u y~vb)Elprodu
tove
torial.de~u y~v)Unve
torunitarioa . ~u y~vd)Eláreadelparalelogramo.quetieneporladoslosve
tores~u y~v15.Dadoslosve
tores . ~u = 2~i−~j +~k y~v = −~i+3~j +2~k,
ompruebaquelosve
tores~u×~v y~v ×~u 16.oHpauleasteolsáyrehaadlealspuarmalóedlouglora.moqueformanlosve
tores son ~a = (7,−1, 2) y~b = (1, 4,−2)17.Halaunve
torperpendi
ulara . ~u(2, 3, 1) ya~v(−1, 3, 0) 18.Haladosve
toresdemódulolaunidadyortogonalesayqueseaunitario. (2,−2, 3) 19.Halaunve
torortogonala y(3,-3,2). ~u(1,−1, 0) ya~v(2, 0, 1) y
uyomódulosea√2410.4. Produ
tomixto . 20.aH)alaelprodu
tomixtodelossiguientesve
tores: ~u = (1,−3, 2),~v = (1, 0,−1) y~w = (2, 3, 0) b)~u = (3, 2, 1),~v = (1,−2, 0) y~w = (−4, 1, 1)
)~u = (1, 2,−1),~v = (3, 0, 2) y~w = (−1, 4,−4) 21.Dadoslosve
tores~u = (2, 1, 3),~v = (1, 2, 3) y~w = (−1,−1, 0),halaelprodu
10.5. 22.C¾Caul
Ejer
áunlatoevlavloeluelmveonludmelenpadreallepleapraípleeldeopídpeetdeormquineatdieonpeoproraristaslosve
i
iosvariados ,toresdados? tomixtoy,. . 23.Seana)¾Sontambiétnrelsinveea
,yltmoreenstelininedalempeenndteieinntdeespleonsdviee
nttoerse:s:
[~u~v, w]~~u = (1, 2, 3)~v = (−2, 1, 0) w ~= ~u ×~ve1~e2 ~ e3 ~ ~u = ~e1 − ~ e3, ~v = ~ e2 + ~ e3 y ~w = ~ e1 − ~e2 + ~ e3 b)Hala~u ×~v y
ompruebaqueelve
torqueobtienesesortogonala~u y~v)Hala . [~u,~v, ~w]24. a)Compruebaq.ueelparalelogramodeterminadoporlosve
tores~u = (3,−2, 1) y~v = (4, 3,−6) esunre
tángulo. 44

979. b)sHiahlaalsausáreamultipli
andolabaseporlaalturay
ompruebaqueobtieneselmismoresultado
|~u ×~v|
25.Dadoslosve
tores.~ u1(2, 0, 0),~ u2(0, 1,−3) y~ u3 = a ~ u1 +b ~ u2,¾quérela
ióndeben
umplira yb que para ~ u3 seaortogonalalve
tor~v(1, 1, 1)26.Cal
ulalas
oordenadasdeunve
tor?~u queseaortogonala~v = (1, 2, 3) y~w = (1,−1, 1) ytalque
[~u,~v, ~w] = 19
45

980. TEelmeasp1a1
ioafín
11.11..LosPpuuntnostosyve
tores A(2, 1, 0) yB(−1, 3,−2) elpunto sonvérti
es
onse
utivosdeunparalelogramo
uyo
entroes M(1, 1, 1)2.Lospuntos .Halalosotrosdosvérti
es. (1, 3,−1),(2, 0, 2) y(4,−1,−3) vérti
e sonvérti
es
onse
utivosdeunparalelogramo.Halael D 3.Halalas
yoeolrd
eenntardoadsedlepaloraslepluongtroasmqou.edividenalsegmentoAB entrespartesiguales,siendo
A(1, 3, 0) yB(−2, 5,−4)4.Compruebasilospuntos.A(1,−2, 1),B(2, 3, 0) yC(−1, 0,−4) 5.Halalospuntos estánalineados. P yQ talesqueA−→Q =
A−→Q,siendoA(2, 0, 1) yB(5, 3,−2)6.Halaelsimétri
odelpunto . A(−2, 3, 0) respe
11.2. 7.Cal
Re
ula tas yparaquelospuntos,todelpuntoyesténalineados. . 8.Es
ribelase
ua
ióndelare
taquepasaporelpunto3
5
Q(1,−1, 2)a b A(1, 2,−1)B(3, 0,−2) C(4, a, ytiene
b) A(1, 0,−1) A−−→B yA−→P =
2
3
omove
tordedire
ión
190..EOHnabltl
eaansleaorsnleae
,entodassusformas.¾Pertene
sguaeat
iuvioaon
dieoesntdeeresmlpoiansraaejmleasértderei
t
aaosqodruedeellnaoasrde
enlospuntosa
ostn.atiqeunee.pasapor yyalare
taanterior? 11.Cotormospdruoesbpausnitoaslgduenoeldae.lossiguientespuntospertene
,yobtener ~v(2,−1, 1)enalare
P1(0, 1, 3) ta P2(7,−3, 2) A(1, 7, 3) B(2,−1,−8)r :
12.Compruebasiexistealgunare
13.Dadalare
a)ta b)taquepaseporlospuntos),d)x = 3 − yλ
. y = 2 + 3λ
z = −1 P(3, 2,−1) Q(−2, 17,−1)
R(1, 5, 0) S(2, 8,−1) P(3, 1, 0)Q(0,−5, 1) R(6,−5, 1)r :
tas,
al
ulaunadete,rhmailnlaau
inónpulinnteoalpoyreexlpqruéseaplaassaenyfloardmirae
p
airóanmdéetrlai
rae:
ta. r :


t ∈ R14.aP)aralassiguientesre
x = 6z + 1
y = 7 15.Estudialaposi
iónrelativadelasre
tasr ys enlossiguientes


x = 2 − t
y = 5 + t
z = 3 − 6t
x + y − z + 2 = 0
3x − y + 4z − 3 = 0
b)s :
y = 3x + 2
z = −6x + 5
)t :
asos:
46

981. a)r :
x = 2 − 2λ
y = 2λ
z = 5 − 6λ b)r :
d)x
y − 2
z 1
=
=
− 2
− 1
3
z − 2
− 2 r :
y s :


e)x + 1
1
z − 2
− 3 r :
16.Halalosvaloresde=
yparaquelasre
z − 7
− 5 m n y − 3
− 2
=
z − 1
− 1
y s :
x − 1
2
tasy=
seanparalelas:
r s y + 1
− 4
=
z + 1
− 2
)r :
x − 1
2
=
y + 2
− 1
=
z + 1
1
y s :
x + 4
− 4
=
y + 3
2
=
x − 3
1
=
y + 2
2
=
z − 1
− 2
y s :
x
− 1
=
y + 7
− 1
=
111.73..HalPallaaen
x + uoas
1
y − 6
z + 4
=
=
2
− 1
6
20.Cdeolmpplarnuoebqauseidloesteprmunintoasn. 19.Pruebaquelospuntos 18.Htoadlalaslsaussef
ouram
ióndelplanoquepasapor aiosn.esparamétri
aseimplí
,itasdelosplanos yyesparaleloanoestánalineadosyhalalae
,n y. y,en P(2, 3, 5) ~u(−1,−2,−3) ~v(1, 3, 5)OXY OXZ OY ZA(1,−1, 2)B(2, 2,−3) C(1, 1, 0) y s :
x − 3
3
=
y − 1
2
=
r :


x = 5 + 4t
y = 3 + t
z = −t
y s :
x
m
=
y − 1
3
=
z + 3
ua
ión A(1, 2, 5),B(0, 1, 2),C(2,−1, 4) yD(1,−1, 2) yE(2, 2, 2) 21.Dnaardioos.elEpnla
naosodaeer
muaa
tiivóon,halalae
22.Compruebasielpunto ua
ióndelplanoquelos
,determinasuse
ontiene. sonono
opla- 2x − y + 5z − 1 = 0pertene
ealplanosiguiente:
ua
ionesparamétri
as. P(15, 2, 7) x = 3 − 5λ + μ
y = 1 − λ
z = μ 23.Haal)laClaonet
ieunae
iaónlageren
etraaldelplanoenlossiguientes
asos: r :
t ∈ R yalpuntoA(2,−1, 2)b)Contienealasre
tas . r1 :



24.aH)alalaposi
iónrelativadelossiguientesparesdeplanos: 
x = 2 + λ
y = −3λ
z = 3
x = 2t
y = 3 + t
z = 1 − t


x = 2 + λ
y = 1 − 2λ
z = 4 − λ
r2 :


x = 1 + 2λ
y = −2 + λ
z = 3λ
)Contienealasre
tas:r :


x = 3 − λ
y = 2 + 3λ
z = 1
s :


π : x − 2y + 3z = 1
π′ : 2x − 4y + 6z = 2
b)
π : 2x − 6y + 2z − 3 = 0
π′ : x − 3y + z + 4 = 0
)
π : x + y − z = −1
π′ : 2x − 3y + z = 2 47

982. 25.aE)studialaposi
iónrelativadelossiguientesplanos: 

27.Halalosvaloresdelparámetrox + 2y − z − 3 = 0
3y + 2z − 1 = 0
x + y + z − 2 = 0
paraquelostresplanos
z
1 k b)

2x − y + z − 3 = 0
x − y + z − 2 = 0
3x − y + z − 4 = 0
)

x − y + z − 1 = 0
3x + y − 2z = 0
2x + 2y − 3z + 4 = 0 26.Da)eterminalasposi
ionesrelativasdelare
tayplanosiguientes: 

28.tDeandgoasnluosnaplraen
π : 2x + 2y + z − 1 = 0
x 1
y 3
z + 1
r :
− otasdenee
=
− =
2
− oumaú
2
nio.nHesalatambiénelve
1
α : x + y + kz = 1
β : kx + y + z = 1
γ : 2x + y + z = k b)
π : x + y tordedire
− 1 = 
0

x 1
y 3
z
r :
− =
− =
2
− 2
1
ióndedi
hare
ta. 
)

π : x + y − 1 = 0
r :
x − 2
2
=
y + 1
− 2
=

α : ax − 2z = 15
β : 2x + y + z = −7
γ : x + y + az = −8a a)Determinalosvaloresdea 29.Dabd)oEenlpesutneto
aso,determinadospapruantqousedleosdti
rehsaprlea
ntoasypealsevne
ptoorrduenadirree

ylare
t
aió.n. A(1, 2,−1) a)E
b)Expresióngeneraldelhazlinealdeplanosdearistalare
)Expresióngeneraldelaradia
ua
ióngeneraldelaradia
taeelpu,ntsoepide: 30.Dadoslosplanos ióndeplanosdevérti
ióndere
yeelpunto.ta . a)Lae
ua
r :
tasdevérti
. ArAπ1 : x − y + 3 = 0 π2 : 2x + y − z = 0
b)Lae
ióndelplanoperpendi
ióndelare
taperpendi
ularalare
ulara 3x + y − z + 1 = 0
)Lare
taparalelaa yporelpunto2x − 3y porelpuntotaquedeterminan + z − . ,determina: 2 = 0
31.Halalae
ua
ióndelplanoquepasaporelpunto .ypor. π1 y
P(2, 2, 1)π1 π2 A(1, 1,−1)π1 π2 B(2, 2, 3)A(2, 0, 1) ontienealare
tax − 1
32.Una.re
33.e¾
Eusa
pioosniebsl.equeunplanoquededeterminadoporelpunto taesparalelaalosplanosyypasaporelpuntoylosve
tores.Halalas y + 3
=
=
2
1
z
y
− 1
x + y = 1 x + z = 0 (2, 0, 0)A(2, 3, 4) ~u(1, 2, 3) ~v(−4,−8,−12)3354..¾DEeste
rimeritnoaquet?respuntos
ualesquieradelespa
iodeterminanunplano? b paraquelare
36. a)Halalae
ua
ióndelare
tataquepasaporelpunto no
ortealplanoyesperpendi
. x − 1
α : 2x − 4y + 5z = 6(1, 0, 0) ularalplanox−y− z + 2 = 0b)Halalae.
ua
ióndelplanoquepasaporelpunto(1, 1, 1) yesperpendi

y 2
z
ularalare
ta=
− =
3
b
6
r : 
x = 2t
y = 3 + t
z = 1 − t 48

983. TEelmeasp1a2
ioeu
lídeo 1.Estudialaposi
ióndelasre
tasr ys yhalaelánguloqueforman:
x − y = 3
y + z = 15 2.Ha)alaelánguloqueformalare
y π : x − 2y − z + 1 = 0 b)r : x = λ, = 1 + 2λ, z = −2 y π : 2x − y + z = 0 3.Cal
ulaelánguloqueformanlosplanosα : z = 3 yβ : x − y + 2z + 4 = 04.Caal)

r :
ulaladistan
y iadelpuntodadoalare
ta,enlossiguientes
asos: . P(0, 7, 0) 

x = 3λ
y = 1 + 2λ
z = −14 + 5λ
y s :
tayelplano: r :
x + 1
− 2
=
+ 3
4
=
z
2
x = −5 + 4λ
y = 5 + λ
z = −10 + 3λ b)P(1, 0, 0) y r : x − 1 =
5.Cal
ulaladistan

iaentrelasre
y + 1
tas,estudiandoantessuposi
= z
iónrelativa:
2
x = 0
y = 0 )P(1, 2, 3) yr :
x = 6
y = 6 + μ
z = −9 6.Caal)
ulalamínimadistan
iaentrelossiguientesparesdere
tasylaperpendi
ular
omún: r :
b)r :
x = 5 − 3μ
y = 4 − μ
z = 5 − 5μ r :


x = 13 + 12λ
= 2
z = 8 + 5λ
y s :


8.Halaelpuntosimétri
7.Halalae
alplano ua
ióndelplanoque
ode.ontienealospuntosyyesperpendi
ular 2x − 3y + 2 = 0
3x − y + 1 = 0 A(−4, 0,−2) B(0, 3,−1) π : x + 3z − 5 = 0P(1, 0, 1)


9.Determinaelpuntosimétri
ode onrespe
respe
todelplano. π : x − y + z = 1A(−3, 1,−7) x = −4 − 2λ
y = −5 + 2λ
z = −1 − 3λ
y s :




x = 1 + λ
y = 1 − 2λ
z = 5 − 7λ
y s :
todelare
tax + 1
10.Halaelpuntodey − 3
z + 1
=
=
1
2
2 :


x = λ
y = 3 − λ
z = 1 + 2λ
uyadistan
iaalpuntoP(1, 0, 2) sea√549 .

984. 11.Halaladistan
iaentrelasre
tasr ys:
x − 2y − 1 = 0
y + z = 0 12.Untetraedrotieneporvérti
esA(2, 1, 0),B(3, 4, 0) re
ta yC(5, 1, 0).El
uartovérti
e,D,estásobrela r : x = 1 − λ, y = 2 + λ, z = 3 + λ.Halalas
oordenadasdeD 13.teatr)aeCdarlo
usleaau6nupnuidnatdoes
r delare
:
úbi
as. paraqueelvolumendel R 

x = 2λ
y = 1 + λ
z = 3 − λ
y s :
tas :

x = 5 + λ

y = λ
a)Cal
ulaelsenodelánguloqueformaniónortogonal.dez y = y−2 − 2λ
15.Halalae
b)Halalae
ua
ióndelplanoperpendi
ua
ióndelaproye
ularalare
ta sobre. π : 2x − 3y + z + 1 = 0 r πr πx + 3
queequidistedelospuntosP(1, 0,−1) y
Q(2, 1, 1)b)Cal
ulae.láreadeltriángulodeterminadoporlospuntosP,Q yR14.Seanlare
ta . r yelplanoπ dadospor:
r :


x = 3λ
y = −λ
z = 2λ
2
=
y − 4
3
=
z
4
yquepasaporelpunto
(−1, 1, 0) 16.nHaadloas.lae
yu
aa
li
óunladeellavorleu
mtaendelaguralimitadaporelplanoanteriorylostresplanos
oorde- s quepasaporelpuntoP(2,−1, 1) re
ta y
ortaperpendi
ularmenteala x − 3
1
z
3 17.Compruebaquelasre
tas
18.Dsee
terurmzainnaylahaelauala
y + 1
=
=
2
ióen
udae
ilóanrde
etlaaqpueerppeansdai
puolrar
x
y − 1
z + 3
z
r :
=
=
0
1
2
3 y s :
x − 1
1
=
y + 1
− 1
=
omúnaambas. P(1, 2, 2) yesperpendi
ularalasre
tas:
19.Halalae
20.Dadoslare
plano Obténtambiénlase
ua
ta ióndelplanoua
iones.paramétri
que
asdelare
tadeterminadaporyesortogonalal 3x − y + 3z y= 0
x + 4y − 2 = 0 . π α : 2x − y + 3z + 1 = 0π αr :
yelplanoπ : x+3y −3z +3 = 0a ,halaelplanoque
yesperpendi
r1 :
ontiene r
x + 2y − 3z − 1 = 0
x + 2y − z = 0
y r2 :
ontienealare
tar :
yelplanoπ : x + 2y + 3z − 1 = 0re
tasituadaenelplano ,halalae
x + y − z + 1 = 0
,quepaseporelpuntox yseaperpendi
+ 2y + z = 0
ua
ióndeuna πP(2, 1,−1) x
2
=
1 − y
1
=
z + 1
3
21.Dadoslasre
tas ulara. π
r :
x − 2z + 3 = 0
y − z − 4 = 0
ularar50 .

985. 22. 23.Dadoelpunto a)Cal
b)Áreadeltriángulodevérti
ulayparaqueelve
ylare
es tor,seaperpendi
yularalosve
. tores y. α β (α, 5, β) (1, 0, 3) (1, 1, 4)P(−1, 1, 1)Q(0, 2, 3) R(1, 2, 1)A(6, 5, 8) tar : x + 3 = y − 2 = za)E
ua
ióndelplanoquepasapor : A yesperpendi
ulararb)Puntosimétri
ode . A respe
toar)Distan
iadelpunto . A alare
tar24. a)Demuestraquelasre
tas . r :
pasapor ióndelplanoq.ue
2y + kz = 1
26.E
ua
ontienealare
x ta= 0
y A(1, 5,−2)x − 1
y s :


x = 3 − kλ
y = 2λ
z = 3 − 4λ
se
ortanpara
k = 3 yk = 4/3. b)Parak = 3 25.Es
ribpleanlaoeq
uuea
lai¾ósCn
uodáneltieleasneer?el
ptuanqtuoedseeinatpeorysea
einón?¾Quéánguloforman?¾Cuáleslae
ua
ióndel r : x =
yesparaleloalare
tas por quepasa A(2, 0, 0) yB(0, 1, 0)27. a)Estudia,segúnlosva.loresdea yb,laposi
plano ta.yelplanose
iónrelativadelare
y − 1
z =
b)Parael
asoenquelare
ortenenunpunto.¾Quéánguloforman2
ta− 3
3
28.Sea lare
y? yel r :
π : 2x − 5y + az = −2r sr y s :
x = y
z = 0
omove
tordire
tor~v(1,−1, 1)a)Halaelpunto : P delare
2
b)Halael
uartovérti
e delparalelogramo
er
anoalpunto. B(4, 7, 5)Q =
y − 1
3
=
z
1
3x − y + 2z = 1
x + 4y + z = b
taquepasaporelpuntoA(0, 2, 1) ytiene
tar queestémás
onvérti
esAPBQ29. a)tOipbotedneerpuanrapleulongtoradmeolaseret
ratata? .¾Puedesespe
i
ardequé r :
x − 1
2
=
y
3
=
z − 1
− 1
queequidistedelospuntosA(−1, 1, 2) y
B(4, 4, 2)30.Seba)nCloasl
vuel
atoer.leásreadeltriángulodeterminadoporlostrespuntos. ~u(−1, 2, 3),~v(2, 5,−2),~x(4, 1, 3) y~z(4, 1,−8).¾Sepuedeexpresarx
na
iónlinealde
omo
ombi- ~u yde~vExpresa ?En
omo
ombina
iónlinealdeasoarmativoes
,y.
ribedi
ha
ombina
ión. x
~u~v ~z51

986. GPreoobmleemtraíasdeSele
tividad.Bloquede 1.Sear lare
tadee
ua
iónx − 5
2
=
y + 2
− 1
=
z
4
ys lare
tadadapor
3x − 2y + z = 2
−x + 2y − 3z = 2 ab))DHaetlearmlainea
ulaa
pióonsi
dieólnprlaenlaotiqvuaed
eoanmtiebnaesrael
atarse.
tar yesparaleloalare
2.Consideralare
ta dee
ua
ionesta. s
r x + y + z = 1
x − 2y + 3z = 0 a)Determinalae
ua
ióndelplanoque
ontienealare
tar yno
ortaalejeOZb)Cal
ulalaproye
iónortogonaldelpunto . A(1, 2, 1) sobrelare
3.Consideralospuntoa yylare
tadee
ta. rA(2, 1, 2) B(0, 4, 1) r ua
iónx = y − 2 =
tar queequidistedeA yBb)Cal
ulaeláreadeltriángulodevérti
es . ABC4.Halalae
ua
ióndeunplanoqueseaparaleloalp.lanoπ dee
z − 3
2 a)DeterminaunpuntoC delare
ua
iónx + y + z = 1 onlosejesde
oordenadasuntriángulodeárea yqueforme 18√35.Sealare
tadee
ua
ión . x − 1
ua
ión2x−y+z+1 = 0eláreadeltriángulo .Cal
ula ABC,siendoA elpuntode
a)Halalaposi
b)Para ,halaelplanoque
iónrelativade1
ysegúnlosvaloresdelparámetro. z − 6
m r π mm = −3=
y + 2
3
=
z − 3
− 1
yelplanoπ dee
ortedelare
tar yelplanoπ,B elpunto(2, 1, 2) delare
tar yC laproye
iónortogonaldelpuntoB sobreelplanoπ6.Halalase
ua
ionesparamétri
asdeunare
tasabiendoque
ortaalare.
tar dee
ua
iónx = y = zesparalelaalplano , π dee
ua
ión3x + 2y − z = 4 ypasaporelpuntoA(1, 2,−1)7.Consideraelplano . π dee
ua
ión2x + y − z + 2 = 0 ylare
tar dee
ua
iónx − 5
)Para ,halaelplanoque
ularalplano. − 2
πm = −3= y =
ontienealare
tar yesperpendi
8.Consideraelpunto ylare
taontienealare
dee
ua
ionestayesparaleloalplano. r π
P(3, 2, 0) r x + y − z − 3 = 0
x + 2z + 1 = 0 a)Halalae
ua
ióndelplanoque
ontieneaP yalare
tarb)Determinalas
oordenadasdelpunto . Q simétri
9.Determinalospuntosdelare
ta dee
oderespe
todelare
ta. P rr 
e
ua
ión ydelplanodee
ua
ionesqueequidistandelplanode x = 0

z 3
π y − 1 =
− 2
x + z = 1 π′ ua
ióny − z = 352 .

987. 10.Consideralospuntosa)DeterminalospuAn(t1o,s0d, e−l2s)egymBen(−to2, 3, 1). AB b)Cal
ulaeláreadeltriángulodevérti
esquelodividenentrespartesiguales. A,B yC,dondeC esunpuntodelare
tadee
ua
ión
11.Sea lare

tadee
ua
.¾Dependeelresultadodelaele
iónión
on
retade? −x = y − 1 = zCr z
3 a)Cal
ulaelvalordea sabiendoquelasre
ortan. A delare
deformaqueladistan
iaentreA yB 13.Cal
ulaeláreadeltriángulodevérti
es seamínima. A(0, 0, 1),B(0, 1, 0) yC,siendoC delpunto laproye
14.Consideraelpunto sobreelplano
,lare
. iónortogonal (1, 1, 1) x + y + z = 1A(0, 1,−1)x = a + t
y = 1 − 2t
z = 4 − t
ys lare
tadee
ua
iónx − 1
2
=
y + 2
1
=
tasr ys 12.Habl)laCeall
puulanteolpuntode
orte. se
tar dee
ua
iónx = y = z yunpuntoB delare
tas dee
ua
ión
yelplanoπ ≡ x−2y−z = 2lae
ua
ióndelare
taquepasapor .Hala A,esparalelaaπ y
ortaar15.Sesabequeeltriángulo . ABC esre
tánguloenelvérti
eCdelosplanos ,quepertene
x =
y
− 1
=
ealare
tainterse
ión y + z = 1 yy − 3z + 3 = 0,yquesusotrosdosvérti
z + 1
2
ta3 ≡
16.Halalaperpendi
Hala yeláreadeltriánguloular
omúnalasre.
tas
x − 2y + z = 0
essony. 2x − z = −4
A(2, 0, 1) B(0,−3, 0)C ABCx = β
y = β − 1
z = −1 17.Consideralasre
tas
18.Seanlospuntos Halalae
a)Cal
b)Cal
ulaeláreadelparalelogramodevérti
ulaladistan
ua
ióndeunare
r taque
≡
orteayminadapor iadelorigende.
yoordenadasalare
r s es
yseaperpendi
onse
utivos taquepasaporularalplano. x + y = 1
z = 3 sabiendoquelare
y. z = 0A(1, 0,−1 B(2,−1, 3A BABCD 

x = 1
y = 1
z = α
y s ≡


19.Halaladistan
iaentrelpaassrae
yptoarselorigende
x = y
r ≡
z = 2
tadeter- C D y s ≡
oordenadas.
x − 1 = 1 − z
y = 0 20.ConsideralospuntosP(6,−1,−10),Q(0, 2, 2) yR,queeselpuntodeinterse
21.Consideraelplano Determinasabiendoquelospuntosr ≡
,ylare
yestánalineados. x + y + z − 1 = 0
y = 1 λ PQ R π ≡ 2x + y − z + 7 = 0 

x = 0
y − 1 =
z − 2
− 3
y s ≡
ióndelplanoπ ≡
2xλ‘y + z − 2 = 0 ylare
tar ≡
tar ≡
x = 1 + λ
y = 1 + λ
z = 1 + 3λ 53



988. ab))¾HHaalyaalalgeú
nuap
liaónnodpealrpallaenlooaperpendi
que
ularayque
ontengaa. π rπ ontengaalare
tar22.Lasree
utaas
iones. ?En
asoarmativodeterminasus
r ≡
x + y − 2 = 0
2x + 2y + z − 4 = 0
y s ≡
x + y − 6 = 0
x + y − z − 6 = 0
23.S
oeabna))tnieCHlnoaaeslln
lpauudllanoasteoell
sauádraoe
saióddneedlue
nlu
paudlaarnadodraoqd.uoe.
ontieneal
uadrado. A(1, 2, 1),B(2, 3, 1),C(0, 5, 3) yD(−1, 4, 3)ab))PDreumeubeastqruaeqluoes
eulaptorloígpounnotodseevsétrátni
eesn
uonnsme
isumtivoopslano..Halalae
ua
ióndedi
hoplano. ABCD 24.Da
d)oCsalol
suvlae
etloárerseadedi
hore
ytángulo. ,halaunve
esunre
tángulo. ~u = (2, 1, 0) ~v = (−1, 0, 1)torunitario~w quesea
oplanario
on
~u y~v yortogonala~v25. a)Cal
ulaelvalor.dem paraelquelamatrizA =
determina paradi
veri
alarela
ióny
1 0
2A2 − A = I 1 m
A−1 hovalordemb)Si . M esunamatriz
uadradaqueveri
alarela
ión2M2−M = I,determinalaexpresiónde
26.Sesabequeelsistemadee
enfun
ióndeua
ydeion.eslineales
M−1 M I tiean)eCmaál
sudlae,uennadsio
hluo
−λx . + y + (λ + 1)z = λ + 2
x + y + z = 0
a)Determinalamatriz . (1 − λ)x − λy = 0
28. a)Cal
b)Determinalosvaloresde )Cal
ula ulalamatrizinversa.deparaparalosquelamatriztieneinversa. B = A2 − 2Aλ B B−1 λ = 1A =

i
óans.o,elvalordela
onstanteλ27.Cobn)siHdaerlaaltaodmaastrlaizssolu
ionesdelsistema. . A =
1 ialelsiguientesistemay.resuélvelousandolamatriz−1
b)Es
1 λ
elapartadoanterior, ribeenformamatri
haladaen


1 1 0

0 1 1
1 0 1
A−1 x + y = 1
y + z = −2
x + z = 3

 54