Concreto armado

1. 𝑀 𝑢𝑑,𝑚𝑎𝑥 =
𝑅 𝑚𝑎𝑥.𝑓𝑐𝑢.𝑏.𝑑2
1.5
+
𝐴′
𝑠.𝑓𝑦
1.15
(𝑑 − 𝑑′)… (3.19)
Donde Rmax se obtiene aparte de latabla 2.1
Un procedimientoalternativoparaobtenerel máximomomentoestomarel momento
alrededorde lafuerzade compresiónde hormigón. RefiriéndosealaFigura 3.4.1, el momento
máximoviene dadopor:
𝑀 𝑢𝑑,𝑚𝑎𝑥 =
𝐴 𝑠𝑑,𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦
1.15
(𝑑 −
𝑎 𝑚𝑎𝑥
2
) +
𝐴′
𝑠 𝑓𝑦
1.15
(
𝑎 𝑚𝑎𝑥
2
− 𝑑′)… (3.20)
tengaen cuentaque si la ubicacióndel eje neutrocalculado"c"esmenorque el valormáximo
permitido porel códigocmax continuación,se aplicalasiguiente regla
𝐼𝑓
𝑐
𝑑
≤
𝐶 𝑚𝑎𝑥
𝑑
; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
(
. 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦/1.15
.𝜇 < 𝜇 𝑑 𝑚𝑎𝑥
.𝐴 𝑠 < 𝐴 𝑠𝑑 𝑚𝑎𝑥
.𝑀 𝑢 < 𝑀𝑠𝑑 𝑚𝑎𝑥 )
Fototorre peachtree (1990),AtlantaUSA (235 m, 50 niveles}

2. Sección transversal doblemente reforzada
individualmente reforzado con sección de Asmax
sección con A’s la parte superior como en la inferior
Fig. 3.4 momento máximo y el área de acero para secciones doblemente reforzados

3. Ejemplo 3.1 (los rendimientos de acero de compresión)
encontrar la capacidad del momento de la sección transversal muestran en la
figura. asumir la d’=50mm y de materia con propiedades:
 Fcu=25 N/mm2
 Fy=400 N/mm2
Solución:
As= 4ø22 = 15.2cm2 = 1520 mm2
A’s= 2 ø16 = 4.02 cm2 = 402 mm2
d = 600-50 = 550 mm
Paso 1: calcular a:
d’/ d = 50/550 = 0.09
ya que d’/d (0.09) < 0.1 (tabla 3.1) se puede suponer que los
rendimientos de acero de compresión. esta hipótesis se comprueba en la etapa
2. Aplicar la ecuación 3.4 da:
0.67𝑓𝑐𝑢 𝑏. 𝑎
1.5
+
𝐴′ 𝑠 . 𝑓𝑦
1.15
=
𝐴 𝑠 . 𝑓𝑦
1.15

4. 0.67 𝑥 25 𝑥 200 𝑥 𝑎
1.5
+
402 𝑥 400
1.15
=
1520 𝑥 400
1.15
a = 174.1 mm
c = a/0.8 = 217.6 mm
a/d = 0.317 > a/d)min(0.1) … ok
c/d = 217.6/550 = 0.396
Paso 2: comprobar fs y f’s
𝑓′ 𝑠 = 600
𝑐 − 𝑑′
𝑐
= 600
217.6 − 50
217.6
= 462 >
400
1.15
… 𝑜𝑘… (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜)
𝑓𝑠 = 600
𝑑 − 𝑐
𝑐
= 600
550 − 217.6
217.6
= 917 >
400
1.15
… 𝑜𝑘… (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜)
 ya que d’/d (0.09) < 0.1 o d’/a (0.287) < (0.52, tabla 3,1) el rendimiento a
compresión del acero
 ya que c/d (0.396) < (Cb/d = 0.63, tabla 2.1) rendimiento en tensión del
acero
Paso 3: comprobar la capacidad de momento último, Mu
hablando en torno momento concreto fuerza C, y aplicar ecuación 3.7:
𝑀 𝑢 =
𝐴 𝑠 𝑓𝑦
1.15
(𝑑 −
𝑎
2
) +
𝐴′
𝑠 𝑓𝑦
1.15
(
𝑎
2
− 𝑑′
)
Así:
𝑀 𝑢 =
1520𝑥400
1.15
(550 −
174.1
2
) +
402𝑥400
1.15
(
174.1
2
− 50)
𝑀 𝑢 = 249.94𝑥106
= 249.94 𝑘𝑁. 𝑚
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙: 𝑀 𝑢 = 249.94 𝑘𝑁. 𝑚

5. Ejemplo 3.2
calcular el área máxima de acero y la máxima capacidad de momento que está
permitido por el código egipcio para la sección doblemente reforzada se
muestra en el ejemplo 3.1. Las propiedades del material son
Solución:
Paso 1: calcular máxima área de acero
De tabla 2.1 y para Fy= 400N/mm2: 𝜇 𝑚𝑎𝑥= 4.31x 10-4
fcu,
ya que ya que d’/d (0.09) < 0.176 (at C= Cmax) tabla 3.1, a continuación, la
compresión de acero ha dado.
Asd,max = 𝜇 𝑚𝑎𝑥b d + A´s
Asd,max = (4.31 x 10-4
x 25) 200 x 550 + 402 = 1587 > As(1520) … OK
Paso 2: Calcular la capacidad de momento máximo.
De tabla 2.1: Rmax= 0.187, Cmax/d= 0.42 para Fy=400N/mm2
usando la ecuación 3.19 encontrar Mud,max
𝑀 𝑢𝑑,𝑚𝑎𝑥 =
𝑅 𝑚𝑎𝑥. 𝑓𝑐𝑢 𝑏𝑑2
1.5
+
𝐴′
𝑠 𝑓𝑦
1.15
(𝑑 − 𝑑′
)
𝑀 𝑢𝑑,𝑚𝑎𝑥 =
[
0.187 𝑥 25 𝑥 200 𝑥 5502
1.5
+
402 𝑥 400
1.15
(550 − 50)]
106
= 285.5 𝑘𝑁. 𝑚
el mismo resultado se puede obtener usando ecuación 3.20 como sigue:
amax= 0.8 cmax= 0.8 x 0.42 x 550 = 184.8mm
𝑀 𝑢𝑑,𝑚𝑎𝑥 =
𝐴 𝑠𝑑,𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦
1.15
(𝑑 −
𝑎 𝑚𝑎𝑥
2
) +
𝐴′
𝑠 𝑓𝑦
1.15
(
𝑎 𝑚𝑎𝑥
2
− 𝑑′
)
𝑀 𝑢𝑑,𝑚𝑎𝑥 =
1587𝑥400
1.15
(500 −
184.8
2
) +
402𝑥400
1.15
(
184.8
2
− 50) = 258.5 𝑘𝑁. 𝑚

6. Ejemplo 3.3 (compresión del acero no cede)
encontrar la capacidad de momento de la sección transversal mostrada en la
figura.
Fcu= 30 N/mm2, y fy= 400 N/mm2
Solución:
d= 750 – 50= 700mm
Paso 1: calcular una.
𝑑′
𝑑
=
100
700
= 0.143 > 0.10… 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑒𝑑𝑒
Podemos usar la ecuación 3.8 o ecuación 3.10 para calcular a.
0.67𝑓𝑐𝑢 𝑏 𝑎
1.5
+ 𝐴′ 𝑠 𝑓′ 𝑠 =
𝐴 𝑠 𝑓𝑠
1.15
0.4466fcu b a2 – (As fs / 1.15 -600 x A’s) a- 480 A’s d’ = 0
3350 a2 – 360869a – 24x106 = 0
Resolviendo para la única variable “a”
a= 154.2 mm … c= 192.73mm

7. Paso 2: comprobar fs y f’s
𝑓′ 𝑠 = 600
192.73 − 100
192.73
= 288.6
𝑁
𝑚𝑚2
<
400
1.15
… 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑒𝑑𝑒
Ya que c/d (0.275) < cb/d=0.63 los rendimientos de acero en tensión fs=fy/1.15
Paso 3: calcular Mu
Teniendo en todo momento la fuerza de concreto Cc
𝑀 𝑛 =
𝐴 𝑠 𝑓𝑦
1.15
(𝑑 −
𝑎
2
) − 𝐴′
𝑠 𝑓′
𝑠
(𝑑′
−
𝑎
2
) =
𝐴 𝑠 𝑓𝑦
1.15
(𝑑 −
𝑎
2
) + 𝐴′
𝑠 𝑓′
𝑠
(𝑑′
−
𝑎
2
)
𝑀 𝑢 =
1900𝑥 400
1.15
(700 −
154.2
2
) − 500𝑥288.6 (100 −
154.2
2
) = 408.3𝑥106 = 408.3 𝑘𝑁. 𝑚
Final resultado Mu= 408.3 kN.m

8. 3.1.4 diseño de las secciones doblemente armado mediante la utilización
primeros principios.
El mismo procedimiento utilizado en el diseño de las secciones por separado
reforzados se utiliza para el diseño de las secciones doblemente reforzados.
Las incógnitas en estos tipos de problemas son la profundidad de la viga, área
de acero, la posición del eje neutro y la relación de la compresión de acero α.
Dado: fcus fy Mu b d’
necesario: d, As y A’s
variables: a, d, As y A’s
ya que sólo tenemos dos ecuaciones de equilibrio, tenemos que limitar las
incógnitas a sólo dos. si no se da, la profundidad de la compresión de acero se
asumirá 0,05-01 de la profundidad de viga para asegurar el calentamiento de
las barras comprimidas para todos los grados de acero.
el procedimiento de diseño se puede resumir en los siguientes pasos:
1. hacer que los supuestos necesarios.
d’= 0.05 – 0-10 d (los rendimientos de acero de compresión para todos
fy)
asume As= µmax b d … (µmax para la sección reforzada por separado
(tabla 4.1))
asume α= 0.2-0.4 y
equilibrio de fuerzas.
0.67𝑓𝑐𝑢 𝑏 𝑎
1.5
+
(α x 𝐴 𝑠)𝑓𝑦
1.15
=
𝐴 𝑠 𝑓𝑦
1.15
Obtener a= λ d
teniendo en todo momento la fuerza de concreto da.
𝑀 𝑢 =
𝐴 𝑠 𝑓𝑠
1.15
(𝑑 −
𝑎
2
) +
𝐴 𝑠 𝑓𝑠
1.15
(
𝑎
2
− 𝑑′
)
resolver la ecuación anterior para determinar(a,d), entonces calcular.
As= µmax b d
A’s= α As
2. comprobar el área mínima de acero
As>Asmin
3. comprobar el acero superficie máxima y el momento máximo,
asegurando que.
(c/d<cmax/d)

9. Ejemplo 3.4
la sección doblemente reforzada muestra en la figura se somete a un momento
de flexión de un valor factorizada de 200 kN.m
d’=50 mm, fcu= 27 N/mm2, y fy= 280 N/mm2
utilizar los primeros principios para determinar la profundidad de la viga
requerida.
Solución:
Paso 1: calcular.
asume que tanto el acero de compresión y la tensión ha cedido
esta hipótesis se comprobará más adelante.
Dado: fcus fy Mu b d’, As y A’s
necesario: d
variables: a, d
ya que tenemos dos incógnitas solamente en este ejemplo, no tiene que ser
asumido. Aplicar la primera ecuación de equilibrio:
0.67𝑓𝑐𝑢 𝑏 𝑎
1.5
+
𝐴′ 𝑠 𝑓𝑠
1.15
=
𝐴 𝑠 𝑓𝑠
1.15
0.67 𝑥 27 𝑥 250 𝑥 𝑎
1.5
+
509 𝑥 280
1.15
=
2260 𝑥 280
1.15
a= 141.4 mm
c= a/0.8= 176.75 mm

10. Paso 2: calcular la profundidad de la viga d.
teniendo en todo momento la fuerza de concreto.
𝑀 𝑢 =
𝐴 𝑠 𝑓𝑦
1.15
(𝑑 −
𝑎
2
) +
𝐴′
𝑠 𝑓𝑦
1.15
(
𝑎
2
− 𝑑′
)
200𝑥106
=
2260𝑥 280
1.15
(𝑑 −
141.4
2
) +
509𝑥 280
1.15
(
141.4
2
− 50)
d= 429.5 mm
Paso 3: comprobar fs y f’s
d’/d = 50/429.5 = 0.116
ya que d’/d= 0.116 < 0.2 (límite de códigos de acero ver tabla 3.1), así
f’s= fy/ 1.15
c/d= 176.75/429.5= 0.4115
de tabla 2.1. Cmax/d= 0.48 de fy= 280 N/mm2
𝑐
𝑑
(0.411) ≤
𝑐 𝑚𝑎𝑥
𝑑
(0.48) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
[
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦/1.15
𝜇 < 𝜇 𝑑𝑚𝑎𝑥
𝐴 𝑠(22.6 𝑐𝑚2 < 𝐴 𝑠𝑑,𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑢(200 𝑘𝑁. 𝑚) < 𝑀 𝑢𝑑,𝑚𝑎𝑥 ]
Resultado final: d= 450 mm y t= 500m