Este documento presenta un ejemplo de cómo diseñar un eje circular hueco o sólido para transmitir potencia. Explica que se necesita conocer la potencia, frecuencia de rotación y material del eje para calcular el diámetro o espesor mínimo requerido. Luego resuelve un problema de diseño de un eje sólido de acero para transmitir 10 kW a 15 Hz, encontrando que el diámetro mínimo es 16 mm. También determina que para un eje hueco con el mismo diámetro exterior pero con la mitad de diámetro interior, el es

1. EJEMPLO DE DISEÑO DE UN EJE CIRCULAR PARA TRANSMISIÓN DE POTENCIA
PRELIMINAR. Los ejes circulares, o árboles, son usados para transmitir potencia (P). Para
diseñar un árbol además de la potencia se debe conocer la frecuencia de rotación, en
vueltas por segundo (f, en hertz) o bien en vueltas (revoluciones) por minuto (n, en rpm).
Una vez que se ha definido el material que se va a usar, generalmente acero, diseñar el eje
va a consistir en encontrar el diámetro mínimo (eje sólido), o el espesor de pared mínimo
(eje hueco), que debe tener el árbol para que el esfuerzo cortante admisible no sea
excedido cuando el eje transmite la potencia requerida a la frecuencia de rotación
especificada.
Como se sabe que la potencia se puede escribir en términos del torque (T) y de la
frecuencia como:
P = 2πf T = 2π(n/60) T
De donde se puede despejar el torque T cómo:
T = P /2πf = P /[2π(n/60)]
De otro lado, se ha definido el material por lo cual se tiene el cortante admisible (τadm)
definido como τadm= τu / F.S. el cual se hace igual al cortante máximo debido a torsión en
el árbol, el cual se definió como:
τmax = T c/ J = T / (J/c)
De modo que:
J/c = T / τmax
En esta expresión, el lado derecho es conocido (T se encuentra en términos de la Potencia
y de la frecuencia y τmax a partir de la definición del material como τmax = τadm = τu / F.S.) y
se denomina parámetro de diseño y se designa con la letra “k”. En tanto que lo que quedó
al lado derecho solo depende de diámetro (d = 2c) de la sección:
J/c= π c4/2c = π c3/2 = k para el árbol sólido
y J/c= π (c2
4 – c1
4 ) /2c2 = k para el árbol sólido
A partir de estas ecuaciones se despeja c y por consiguiente se tiene el valor mínimo del
diámetro calculado como d = 2c (árbol sólido), o el valor mínimo del espesor de pared
calculado como t = c2 – c1 (eje hueco, en este caso se aclara que como sólo se cuenta con
una ecuación, un dato del problema debe ser alguno de los dos valores c1 o c2,
generalmente el que se da es c2)
PROBLEMA. Diseñar a) un eje sólido de acero que permita transmitir una potencia de 10
kW a una frecuencia de 15 hertz, para un factor de seguridad de 3,0.

2. b) determinar el espesor mínimo que debe tener un eje tubular bajo las mismas
condiciones de la parte (a) si el diámetro interior es la mitad del diámetro hallado en la
parte (a)
SOLUCIÓN:
a) Diseño del eje sólido. En primer lugar se calcula el esfuerzo cortante admisible
definido como τadm= τu / F.S. Se sabe que se va a usar acero de alta resistencia con τu =
300 MPa y ya se definió que el factor de seguridad es 3,0, luego:
τmax = τadm = τu / F.S. = 300 MPa/3,0 = 100 MPa
De otro lado se encuentra T en términos de la Potencia y de la frecuencia:
T = P /2πf = (10 x 103 Nm/s)/ 2π(15 /s) = 106,1 Nm
Con estos dos valores se obtiene el parámetro de diseño como:
k = T / τmax = 106,1 Nm/(150 x 106 N/m2) = 707,4 x 10-9 m3
y decimos que:
k = J/c = π c3/2
De donde se despeja c como:
c =3√2k/ π = 3√2(707,4 x 10-9 m3) = 0,0077 m = 7,7 mm
Por tanto el diámetro mínimo admisible es d = 2c = 2 x 7,7 mm = 15,4 mm (φ5/8”), el cual
aproximamos a 16 mm
b) Diseño del eje hueco. Para diseñar el árbol hueco partimos de la relación:
k = J/c= π (c2
4 – c1
4) /2c2
k = π (c2
4 – c1
4 ) /2c2 con c1 = c/2 = 8 mm/2 = 4 mm = 4 x 10-3 m y c2 = c1 + t
2k/π = (c2
4 – c1
4)/ c2
2k/π = [(c1 + t) 4 – c1
4)]/ (c1 + t)
Reemplazando valores se tiene:
(2 x 707,4 x 10-9 m3)/π = [(4 x 10-3 m + t) 4 – (4 x 10-3 m)4)] (4 x 10-3 m + t)
450,3 x 10-9 m3 = [(4 x 10-3 m + t) 4 – 4 x 10-3 m 4)] (4 x 10-3 m + t)
Pasando a milímetros (mm) tenemos:
450,3 mm3 = [(4 mm + t) 4 – (4 mm) 4)]/ (4 mm + t)
450,3 mm3 = [(4 mm + t) 4 – 256 mm4)]/ (4 mm + t)

3. En esta ecuación es muy difícil despejar “t”, por tanto se resuelve por métodos numéricos:
Se supone un valor para t (en mm) y se calcula el lado derecho hasta que se logra igualar
el valor del lado izquierdo. El resultado de este método iterativo (por pasos) se muestra
en la siguiente tabla:
t, (mm) [(4 + t) 4
– 256 ]/ (4 + t), (mm3
)
1 73,8
4 480
3 306,4
3,9 460,3
3,8 441,7
3,7 423,3
3,79 439,9
3,799 441,6
Luego el valor de t que más aproxima al valor 450,3 mm3 del lado izquierdo de la ecuación
es t = 3,8 mm (5/32”), por tanto el diámetro exterior del árbol hueco debe ser:
d2 = 2 c2 = 2x(4 mm + 3,8 mm) = 15,6 mm (φ5/8”).
Figura 1 Figura 2
CONCLUSIÓN: El diámetro mínimo que debe tener un eje sólido de acero (τu = 300 MPa)
para transmitir una potencia de 10 kW a una frecuencia de 15 hertz, para un factor de
seguridad de 3,0, es de 16 mm (ó φ5/8”, figura 1). Si se usa un eje tubular que tenga un
diámetro interior de 8 mm, o sea la mitad del valor del diámetro del eje sólido, el espesor
de pared debe ser de (aprox.) 3,8 mm, lo que da un diámetro exterior de 15,6 mm (o
φ5/8”, figura 2), obsérvese que es el mismo valor de diámetro exterior encontrado para el
eje sólido, lo cual significa que se puede transmitir la misma potencia con un eje tubular
del mismo diámetro que el sólido .
NOTA ACLARATORIA: A manera de ejemplo se resolvió este problema definido con
unidades del sistema internacional (SI); se aclara que el problema que debe hacer el
estudiante está definido, y se debe resolver, en unidades del sistema inglés (USCS). Un
problema de estas características lo pueden encontrar en el libro de Beer, pág. 192. La
referencia es: http://es.slideshare.net/MichaelFerneine/mecanica-de-materiales-beer-5th
FIN DEL EJERCICIO