2. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Es el proceso mediante el cual un polinomio se puede expresar como la multiplicación de dos o
más polinomios primos dentro de cierto campo numérico.
𝑃(𝑥) ≡ 𝑀(𝑥) ⋅ 𝑁(𝑥)
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
FACTOR ALGEBRAICO
Se llama así a todo polinomio de grado no nulo.
FACTOR PRIMO
Es aquel polinomio que no puede descomponerse en la multiplicación de
otros polinomios.
Ejemplos
2𝑥 + 3 es primo
𝑥2
− 5 es primo en ℚ pero no es primo en ℝ
𝑥2 − 𝑥 + 1 es primo
NOTA: Todo polinomio de primer grado siempre es
primo en cualquier campo numérico.
3.
4. PROPIEDADES:
PROPIEDAD
El número máximo de factores primos que tiene un polinomio está dado por su grado.
PROPIEDAD
Sólo se pueden factorizar polinomios no primos.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN - AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Consiste en determinar factores comunes que pueden ser monomios o polinomios de
más de un término; en caso de no haber algún factor común, se agrupará
convenientemente con la finalidad de que aparezca algún factor común.
Ejemplo
𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥4𝑦7 − 3𝑥2𝑦8
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦7
(𝑥2
− 3𝑦)
De donde 𝑃 𝑥, 𝑦 tiene 3 factores primos
5.
6. 2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas en sentido inverso al de los
productos notables
RECORDAR
𝒙³ ± 𝒚³ ± 𝟑𝒙𝒚(𝒙 ± 𝒚) = (𝒙 ± 𝒚)³
𝒙𝟐
+ 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)
𝒙𝟐
+ 𝒙𝟐
+ 𝟏 = (𝒙𝟐
+ 𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟏)
3. MÉTODO DE LAS AGRUPACIONES
En este caso se realiza las agrupaciones convenientes, tratando de conseguir factor común
en cada agrupación.
Ejemplo:
Factorice 𝑃(𝑥) = 𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1
𝑃(𝑥) = 𝑥²(𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) = (𝑥 + 1) (𝑥² − 1)
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
de donde: 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)²(𝑥 − 1)
7. 4. MÉTODO DE LAS ASPAS
Aquí se deben distinguir tres métodos: El método del
aspa simple, aspa doble y el aspa doble especial
4.1. ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar polinomios de segundo
grado o grados múltiplos de dos, pero que
además tengan tres términos.
Ejemplo
Factorizar P(x) = x²+9x+20
de donde: P(x)=(x+4)(x+5)
8. 4.2. ASPA DOBLE
Se emplea para factorizar polinomios de segundo grado o grados múltiplos de 2, pero que
además tengan 6 términos y dos variables.
Forma general:
De donde el polinomio factorizado es:
𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑎1𝑥𝑚
+ 𝑐1𝑦𝑛
+ 𝑓1 𝑎2𝑥𝑚
+ 𝑐2𝑦𝑛
+ 𝑓2
9. 4.3. ASPA DOBLE ESPECIAL
Es utilizado cuando el polinomio es de cuarto grado o grados múltiplos de 4,
pero que además tengan 5 términos
Luego:
𝑃(𝑥) = (𝑎₁𝑥² + 𝑚₁𝑥 + 𝑒₁)(𝑎₂𝑥² + 𝑚₂𝑥 + 𝑒₂)
10. 5. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Es utilizado generalmente cuando el polinomio es de grado impar; para ello es necesario
calcular los Posibles Ceros (PC) del polinomio a factorizar, luego utilizar la división por el
método de Ruffini.
𝑃𝐶 = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
3. Luego de factorizar
𝐹 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2
de cómo respuesta la suma de coeficientes de un factor
primo
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 2
11. 1. Al factorizar
𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑤 = 𝑥4𝑧4 − 𝑥4𝑤4 − 𝑦4𝑧4 + 𝑦4𝑤4
indique el número de factores primos obtenidos
A) 15 B) 10 C) 9 D) 8 E) 6
12. 2. Factorice el polinomio
𝑃 𝑥 = 𝑥7
+ 𝑥6
+ 𝑥5
+ 𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 1 e indique el factor de segundo
grado.
A) 5𝑥 + 3 B) 𝑥2
+ 1 C) 4𝑥2
+ 2𝑥 + 1 D) 𝑥2
+ 𝑥 + 2 E) 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
13. 3. Luego de factorizar
𝐹 𝑥 = 𝑥3
− 3𝑥 − 2
de cómo respuesta la suma de coeficientes de un factor primo
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 2
14.
15. 5. Factorizar
𝑃 𝑥 = 𝑥6 + 4𝑥5 − 21𝑥4 + 20𝑥2 − 4
luego, indique la suma de los coeficientes de uno de los factores primos del
polinomio.
A) 3 B) 2 C) 6 D) 10 E) 12
16. 6. Factorice el polinomio
𝐺 𝑥 = 𝑥7 + 𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
señale la mayor suma de coeficientes de un factor primo.
A) 0 B) 4 C) 6 D) 3 E) 4
17. 7. Factoriza
𝑃 𝑎; 𝑏 = 6𝑎2
− 11𝑎𝑏 + 4𝑏2
− 8𝑎 + 14𝑏 − 8
E indique un factor primo.
A) 3𝑎 + 4𝑏 − 2 B) 4𝑏 − 2 C) 3𝑎 − 4𝑏 + 2 D)3𝑎 + 5𝑏 − 1 E) 𝑎 + 𝑏 − 2
18. 8. El coeficiente de un término lineal de uno de los factores primos
de 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥3 + 5𝑥 + 2 es
A) 2. B)−2. C) 1. D)−1. E)−3.
19. 9. Factorice e indique un factor primo
𝑇 𝑥 = 𝑥2
− 9𝑥 + 20 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 − 60
A) 𝑥 − 3 B) 5𝑥 − 1 C)9𝑥2
+ 2𝑥 + 5 D)𝑥2
− 5𝑥 + 2 E)x2
+ 5
20. 10. Luego de Factorizar
𝑃 𝑥 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 2 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑥 + 𝑦 + 3 − 8
Da como respuesta el termino independiente de un factor primo cuadrático.
A) 𝑦3
+ 8𝑦 + 9 B) 𝑦 + 5 C) 𝑦2
+ 3𝑦 + 4 D) 𝑦3
+ 5 E) 𝑦2
+ 4
