1. CONJUNTOS:
LEYESAPLICADASDE CONJUNTOS
REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA
INSTITUTOUNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
INGENIERÍA DE SISTEMAS (47)
ESTRUCTURA DISCRETAY GRAFOS
Profesor:
Ing. Asdrubal Jose Rodriguez Salazar
Bachiller :
Diego Suarez C.I: 20360976
Barcelona, Junio 2014

2. INTRODUCCIÓN
 Un conjunto es una colección de objetos
considerada como un objeto en sí. Los objetos
de la colección pueden ser cualquier cosa:
personas, números, colores, letras, figuras, etc.
Cada uno de los objetos en la colección es un
elemento o miembro del conjunto.
 Por ejemplo, el conjunto de los colores del
arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, violeta}

3. ¿Que es un Conjunto?
 Un conjunto esta constituido por una serie de
elementos que poseen una característica o
condición especial.
Estos elementos se denotan con letras
minúsculas (a,b,..) y se encierran entre corchetes
{} o círculos , Los conjuntos se identifican por ser
denotados por una letra Mayúscula(A,B,C…).
El Conjunto Universal es un conjunto que posee
todos los elementos, y se denota (U).

4. Operaciones con conjuntos
 UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos
de A y de B.
 INTERSECCIÓN: La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que
contiene todos los elementos comunes de A y B.
 DIFERENCIA: La diferencia entre dos
conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B.

5. Operaciones con conjuntos
 COMPLEMENTO: El complemento de un
conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos
los elementos que no pertenecen a A.
 PRODUCTO CARTESIANO: El producto
cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B que contiene todos los pares
ordenados (a, b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece
a B.

6. LEYES DE CONJUNTOS
 Leyes Idempotentes
 Leyes Conmutativas
 Leyes Asociativas
 Leyes Distributivas
 Ley Involutiva

7. Leyes Idempotentes
Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U , se vereca:
1. A ∪ A = A
2. A ∩ A = A
Demostración
En efecto, sea x un elemento arbitrario del universal U . Entonces,
1. x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ A {Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ A {Idempotencia de ∨}
De la arbitrariedad de x se sigue que
∀x [x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ x ∈ A]
de aquí que
A ∪ A = A
2. Análogamente se prueba que A ∩ A = A.

8. Leyes Conmutativas
Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U , se vereca:
 1. A ∪ B = B ∪ A
 2. A ∩ B = B ∩ A
Demostración
En efecto,
1. Sea x cualquier elemento de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B {Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ B ∨ x ∈ A {Conmutatividad de ∨}
⇐⇒ x ∈ (B ∪ A) {Dentición de unión}
Como x es cualquiera de U , se sigue que
∀x [x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ B ∪ A]
por lo tanto, A ∪ B = B ∪ A
2. De una forma similar se demuestra que A ∩ B = B ∩ A.

9. Leyes Asociativas
Dados tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario, U , se vereca:
 1. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
 2.A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Demostración
En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U . Entonces,
1. x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∪ C)] {Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) {Definición de unión}
⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C {Asociatividad de ∨}
⇐⇒ (x ∈ A ∪ B) ∨ x ∈ C {Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C {Definición de unión}
De la arbitrariedad de x se sigue que
∀x [x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C]
de aquí queA ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
2.Análogamente se demuestra que
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

10. Leyes Distributivas
 Dados tres conjuntos A, B y C de un conjunto universal
arbitrario, U , se vereca:
 1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
 2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Demostración
En efecto, 1. En efecto, sea x cualquier elemento del conjunto
universal U , entonces
x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∩ C)] {Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) {Definición de intersección}
⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) {Distributivita}
⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C) {Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) {Definición de intersección}

11. Leyes Distributivas
Al ser x cualquier elemento de U , se sigue que
 ∀x [x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)]
consecuentemente
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2. De una forma similar se prueba que
 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

12. Ley Involutiva
Dado un conjunto cualquiera A de un universal U , se vereca:
 (Ac)c = A
Demostración
Sea x cualquiera de U . Entonces,
x ∈ (Ac)c ⇐⇒ x /∈ Ac {Definición de complementario}
⇐⇒ ¬(x ∈ Ac) {Negación}
⇐⇒ ¬(x /∈ A) {Definición de complementario}
⇐⇒ ¬¬(x ∈ A) {Negación}
⇐⇒ x ∈ A {Doble negación}
luego,
∀x [x ∈ (Ac)c ⇐⇒ x ∈ A]
es decir,
(Ac)c = A