Coloreado de Grafos

1. Coloreado de Grafos
Tomado de: Rosen, K. (2004). Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones
Esteban Andrés Díaz Mina

2. Introducción
Los problemas relacionados con colorear mapas de
regiones, como los mapamundis, han generado
muchos resultados de la teoría de grafos. Al colorear
un mapa, se suele asignar colores distintos a las
regiones que tienen una frontera común. Una forma
de garantizar que dos regiones adyacentes no tengan
nunca el mismo color es emplear un color distinto
para cada región del mapa. Esto sin embargo, no es
eficiente y en mapas con muchas regiones seria muy
difícil distinguir colores parecidos.

3. Introducción
Por el contrario, debería utilizarse un número
pequeño de colores siempre que sea posible. Nos
planteamos el problema de determinar el menor
número de colores que se deben utilizar para colorear
un mapa de modo que dos regiones adyacentes no
tengan nunca el mismo color.

4. Introducción
Todo mapa en el plano se puede representar por medio de
un grafo. Para establecer esta correspondencia, cada
región del mapa se representa mediante un vértice. Una
arista conecta dos vértices si las regiones representadas
por dichos vértices tienen frontera en común. Dos
regiones que se tocan en un solo punto no se consideran
adyacentes. Al grafo resultante se le llama grafo dual del
mapa. Por la forma en que se construyen los grafos
duales, está claro que todo mapa en el plano tiene un
grafo dual plano.

5. Coloreado de Regiones
El problema de colorear las regiones de un mapa es
equivalente al de colorear los vértices del grafo dual,
de tal manera que ningún par de vértices adyacentes
en el grafo tenga el mismo color.
Definición 1. El coloreado de un grafo simple
consiste en asignarle un color a cada vértice del grafo
de manera que a cada par de vértices adyacentes se
le asigna colores distintos.

6. Número Cromático
Un grafo se puede colorear asignándole un color
distinto a cada vértice. Sin embargo, para la mayor
parte de los grafos, se puede encontrar un coloreado
que utiliza menos colores que el número de vértices
del grafo. ¿Cuál es el número mínimo de colores que
se requiere?
Definición 2. El número cromático de un grafo es el
número mínimo de colores que se requieren para el
coloreado del grafo.

7. El Teorema de los cuatro Colores
El número cromático de un grafo plano es menor o
igual a cuatro.

8. Ejemplo Teorema de los Cuatro Colores

9. Kn requiere n Colores

10. K3,3 Requiere 2 Colores

11. Número de Colores requeridos por Cn

12. Aplicaciones del coloreo de grafos
El coloreado de grafos tiene una gran variedad de
aplicaciones en problemas relacionados con
planificación y asignación.
Programación de exámenes finales ¿Cómo se
pueden programar los exámenes finales de una
Universidad de modo que ningún estudiante tenga
dos exámenes el mismo tiempo?

13. Aplicaciones del coloreado de grafos
Este problema de planificación se puede resolver
utilizando un modelo con grafos en el que los vértices
representan las asignaturas y existe una arista entre
dos vértices si hay un estudiante matriculado en las
asignaturas representadas por dichos vértices. Cada
segmento horario reservado para un examen final se
representa mediante un color diferente.
Una programación de los exámenes corresponde a un
coloreo del grafo asociado.

14. Aplicaciones del coloreo de grafos
Por ejemplo supongamos que se quieren programar
siete exámenes finales. Supongamos que las
asignaturas se enumeran del 1 al 7 y que las
siguientes parejas de asignaturas tienen alumnos en
común:
1-2 1-3 1-4 1-7
2-3 2-4 2-5 2-7
3-4 3-6 3-7
4-5 4-6
5-6 5-7
6-7

15. Aplicaciones del coloreo de grafos
Una programación consiste de un coloreado del grafo.

16. Aplicaciones del coloreo de grafos
Como el número cromático de este grafo es cuatro, se
necesitan cuatro segmentos horarios para la
programación de los exámenes finales.
Segmento Horario Asignatura
I 1, 5
II 3
III 2, 6
IV 4, 7

17. Finalizamos
Coloreado de Grafos
Hasta pronto