matrices rectas

1. ALGEBRA LINEAL
CONSULTA № 02
NOMBRE: Jimmi Andrés Villacís Miranda
CARRERA:Ing. Petroquímica
PARALELO:“A”
FECHA:04/01/2016
TEMA:Rectas enel espacio
Hiperplanos
Hiperesperas

2. Objetivos:
 Reconocer las definiciones de lo que se comprende
como rectas en el espacio, hiperplanos e hiperesferas.
 Realizar un análisis crítico y conceptual entendiendo las
ecuaciones del objeto a estudiar en el espacio.
 Delimitar los parámetros de búsqueda para establecer
conceptos básicos entendibles de esta manera
mejorando el conocimiento.
Rectas en el espacio
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del
plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual
dirección que , luego es igual ha multiplicado por un escalar:

3. Ecuaciones paramétricas de la recta
Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la
igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:
Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se
tiene:
Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los
planos.

4. Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos
denominadores y pasamos todo al primer miembro,
obtenemos también las ecuaciones implícitas.
Hiperplano
En general, un hiperplano es un espacio afín de dimensión 1. En otras palabras, un
hiperplano es un análogo de muchas dimensiones al plano (de dos dimensiones) en el
espacio tridimensional.
Un hiperplano afín en un espacio n-dimensional puede ser descrito por una ecuación
lineal no degenerada con la siguiente forma:
Aquí no degenerada significa que no todas las ai son 0. Si b=0, se obtiene un hiperplano
lineal, que pasa a través del origen.
Las dos mitades del espacio definidas por un hiperplano en espacios de n dimensiones
son:

5. y
Un hiperplano de un espacio afín ( , V) de dimensión n es un subespacio afín de
dimensión n - 1.
Utilizaremos la misma referencia = ( , (e1,..., en)) de la sección anterior. De la
definición se deduce que un subespacio afín se puede definir mediante:
1. Un punto y n - 1 vectores linealmente independientes. En este caso, si las
coordenadas de son = (p1,..., pn) y los vectores v1,..., vn-1 linealmente
independientes se escriben vi = (vi1,..., vin), para i = 1...n - 1, entonces el
hiperplano que pasa por y cuya variedad de dirección está generada
por v1,..., vn tiene coordenadas paramétricas.
2. n puntos afínmente independientes. Es decir, n puntos , tales que los
vectores , son linealmente independientes. Si estos puntos tienen
por coordenadas = (pi1,..., pin), entonces las ecuaciones paramétricas del
plano que pasa por ellos son
De todo esto se deduce también que un hiperplano queda determinado por una sola
ecuación implícita
b + x1a1 +... + xnan = 0,
Donde se supone que no todos los ai son nulos, claro.

6. Paralelismo de hiperplanos. Dos hiperplanos , son paralelos si sus variedades de
dirección son la misma. Si las ecuaciones implícitas de y son, respectivamente
a + x1a1 + ... + xnan = 0
b + x1b1 + ... + xnbn = 0
Entonces sus variedades de dirección son, respectivamente x1a1 + ... + xnan = 0 y x1b1 +
... + xnbn = 0, y éstas coinciden si y sólo si los vectores (a1,..., an) y (b1,..., bn) son
linealmente dependientes (i. e. proporcionales). Para que sean estrictamente paralelos
se tiene que cumplir también que los vectores (a1,..., an, a) y (b1,..., bn, b) sean
linealmente independientes. En términos matriciales:
y paralelos rg = 1
Mientras que
y estrictamente paralelos paralelos y rg = 2
Atención: Para saber si son estrictamente paralelos hay que comprobar que son
paralelos, es decir, que el rango de la matriz
Si es 1. No vale con decir que el rango de la extendida es 2, pues eso también lo
cumplen hiperplanos que se cortan.

7. Hiperesfera
En matemática, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera»
a un espacio elucídelo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es
una hipersuperficie del espacio euclídeo , notada en general .
Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.
Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número
real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al
conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.
La n+1-tupla de puntos (x1, x2,…, xn+1) que están en una n-esfera (Sn) se
representa con la ecuación:
Donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0)1
Ejemplos:
 Para n=0, la hiperesfera consta de dos puntos de coordenadas R y -R.
 Para n=1, la hiperesfera es una circunferencia.
 Para n=2, la hiperesfera es la esfera usual.

8. Ecuación de una hiperesfera
Teniendo como datos un punto fijo llamado centro y el
radio R, real positivo, siendo un punto cualquiera de la
hiperesfera, la ecuación correspondiente es,2 3
O también en forma vectorial, la esfera de radio R y centro w en E es el conjunto
de todos los puntos x que cumplen
Volumen
El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de
radio R, que es una bola euclídea de dimensión n, vale:
Donde es la función gamma.
Notar la siguiente particularidad: tiende a cero cuando n tiende a infinito.
El volumen de una hiperfesfera, de radio R, en el espacio cuadridimensional
aplicando la fórmula (1) para n = 4 resulta
Y aplicando4 la fórmula Γ(x + 1) = x Γ (x).

9. Conclusiones:
 Se encontraron las diferentes definiciones de lo que es una
recta en el espacio, hiperplanos e hiperesferas encontrando
así su significado e importancia al momento de su uso.
 Sabemos que un espacio en la recta es Definimos
una recta r como el conjunto de los puntos del
plano, alineados con un punto P y con una
dirección dada , un hiperplano es un espacio
afín de dimensión 1. En otras palabras, un hiperplano es un
análogo de muchas dimensiones al plano (dedos
dimensiones) en el espacio tridimensionaly un espacio
elucídelo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-
esfera es una hipersuperficiedel espacio euclídeo ,
notada en general . Constituye uno de los ejemplos más
sencillos de variedad matemática.
 Se estableció la búsqueda del contenido en fuentes
bibliográficas del internet en dondese verifico la veracidad
de la información comparándola con otras fuentes en donde
se decía lo mismo.
Bibliografía:
 (wikipedia.org, 2014)
 (http://www.ditutor.com/recta_2/rectas.html, 2015)
 (https://es.wikipedia.org/wiki/N-esfera, 2014)
 (www.ematematicas.net/ecrectaespacio.php?a=6, 2012)
 (www.librosmaravillosos.com/circomatematico/capitulo03.h
tml, librosmaravillosos)
 (pfortuny, 2015)
 (www.u-cursos.c)