2. Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la expresión
f(x)/g(x) se le denomina fracción racional.
Si el grado de f(x) es menor que el grado de g(x),
entonces a la fracción se le llama propia. Es impropia
Cuando el grado del numerador es de igual o mayor
grado que el denominador.
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES
PARCIALES
3. Cuando se requiere integrar una fracción racional
propia de la forma:
La fracción pueden expresarse como la suma de
fracciones simples o fracciones parciales cuyos
denominadores son los factores de la fracción dada y
los numeradores no son conocidos y solo bastaría
investigar cual es el numerador de cada una de ellas.
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES
PARCIALES…
dx
xQ
xP
)(
)(
4. Cuando los términos de la suma:
se combinan por medio de un denominador común, se
obtiene la expresión racional:
Así:
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES
PARCIALES…
2
5
1
2
xx
2
17
)2)(1(
)1(5)2(2
2
xx
x
xx
xx
dx
xx
dx
xx
x
)
2
5
1
2
(
2
17
2
cxx 2ln51ln2
5. El método de integración mediante el desarrollo de
fracciones parciales consiste en descomponer en
fracciones parciales la fracción racional propia y a partir
de ello, obtener la integral de cada una de dichas
fracciones. De esta manera se obtiene la integral de la
fracción racional.
Existen cuatro casos a considerar para la
descomposición de la fracción racional.
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES
PARCIALES…
6. Si:
en donde todos los factores aix+bi son distintos y el
grado de P(X) es menor que n, entonces existen
constantes reales únicas A1, A2, … , An tales que:
CASO I
Factores lineales no repetidos
))...()((
)(
)(
)(
2211 nn bxabxabxa
xP
xQ
xP
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP
22
2
11
1
)(
)(
7. Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que n,
entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An
tales que:
CASO II
Factores lineales repetidos
n
bax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
n
n
bax
A
bax
A
bax
A
xQ
xP
)()()(
)(
2
21
8. Si:
en donde todos los factores aix2+bix+ci son distintos y
el grado de P(X) es menor que 2n, entonces existen
constantes reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn
tales que:
CASO III
Factores cuadráticos no repetidos
)())((
)(
)(
)(
2
22
2
211
2
1 nnn cxbxacxbxacxbxa
xP
xQ
xP
nnn
nn
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xQ
xP
2
22
2
2
22
11
2
1
11
)(
)(
9. Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que 2n,
entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An,
B1, B2, …, Bn tales que:
CASO IV
Factores cuadráticos repetidos
n
cbxax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
2
n
nn
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
xQ
xP
)()()(
)(
222
22
2
11
