Principios de la dinámica a la luz de la Relatividad http://fisicayquimicaweb.wordpress.com

1. PRINCIPIOS DE LA
DINÁMICA A LA LUZ DE LA
RELATIVIDAD
RELATIVIDAD
ESPECIAL

2. Según la Mecánica Clásica:
Si una fuerza actúa sobre un cuerpo puede acelerarlo indefinidamente, aumentando su velocidad incluso a
valores superiores a los de la luz.
𝑭 =
𝒅𝒑
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
𝒎𝒗 =
𝒅𝒎
𝒅𝒕
𝒗 + 𝒎
𝒅𝒗
𝒅𝒕
Sin embargo, no puede superarse la velocidad de la luz
LA MASA RELATIVISTA
Principios S.XIX: se descubre que los electrones con velocidades
próximas a la de la luz tienen una masa mayor que los electrones
más lentos. Este hecho es inexplicable por la física clásica.
Einstein dedujo que la masa de un cuerpo depende de su
velocidad:
m = Ϫ m0
m = masa relativista
v = velocidad del cuerpo
m0 = masa en reposo

3. La masa de un cuerpo aumenta con su velocidad.
Si la velocidad v se aproxima mucho a c, la masa se hace
infinitamente grande
Esto significa que la fuerza necesaria para acelerar un cuerpo
hasta la velocidad de la luz es infinita, razón por la cual…
Ningún cuerpo con masa puede alcanzar la velocidad de la luz

4. LA ENERGÍA CINÉTICA RELATIVISTA
Según la física clásica, cuando un cuerpo se mueve adquiere energía
cinética, cuyo valor depende de la masa del cuerpo y de su velocidad:
Sabemos también que si un cuerpo se mueve bajo la acción de una fuerza, el trabajo que realiza dicha
fuerza provoca una variación de su energía cinética (Teorema de las Fuerzas Vivas)
∆𝑬 𝒄 = 𝑬 𝒄 𝟐
− 𝑬 𝒄 𝟏
=
𝟏
𝟐
𝑭 𝒅𝒓 =
𝟏
𝟐
𝒅𝒑
𝒅𝒕
𝒅𝒓 =
𝟏
𝟐
𝒅𝒑 𝒗
Donde p = mv es el momento lineal o cantidad de movimiento
Dado que la masa del cuerpo no es constante sino que depende de su velocidad v, nos vemos obligados a
reformular la definición del momento lineal p
p = mv = Ϫm0v

5. ∆𝑬 𝒄 = 𝑬 𝒄 𝟐
− 𝑬 𝒄 𝟏
=
𝟏
𝟐
𝒗 𝒅𝒑p = mv = Ϫm0v
Vamos a calcular la variación de energía cinética que experimenta el cuerpo en reposo hasta que se mueve
a una velocidad próxima a la de la luz
∆𝑬 𝒄 = 𝑬 𝒄 𝟐
− 𝟎 =
𝟎
𝒗
𝒗 𝒅 Ϫ𝒎 𝟎 𝒗 =
𝟎
𝒗
𝒗 𝒅
𝒎 𝟎 𝒗
𝟏 −
𝒗 𝟐
𝒄 𝟐
Al resolver esta integral se llega a:
𝑬 𝒄 = 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
𝟏
𝟏 −
𝒗 𝟐
𝒄 𝟐
− 𝟏

6. 𝑬 𝒄 =
𝒎 𝟎
𝟏 −
𝒗 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟐
− 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
𝑬 𝒄 = Ϫ𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
− 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
Llamamos E = mc2 a la energía relativista total de un cuerpo. Su valor depende de la velocidad a la
que se desplace.
𝑬 𝒄 (𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂) = 𝒎𝒄 𝟐
− 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
Llamamos E0 = m0c2 a la energía en reposo de la partícula.
La energía relativista total de un cuerpo es la suma de su energía cinética y su energía en reposo.

7. 𝑬 𝒄 (𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂) = 𝒎𝒄 𝟐
− 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
La expresión para la energía cinética dada por la ecuación anterior no se
parece apenas a la expresión clásica:
Hagamos un desarrollo en serie mediante el
Binomio de Newton del factor de Lorentz:
𝟏 + 𝒙 𝒏
= 𝟏 + 𝒏𝒙 + 𝒏 𝒏 − 𝟏
𝒙 𝟐
𝟐
+ ⋯
Nos quedaremos con los dos primeros términos, siendo esta aproximación válida para
velocidades mucho menores que la de la luz (v<<c):
Ϫ= 𝟏 −
𝒗 𝟐
𝒄 𝟐
−
𝟏
𝟐
x = −
𝒗 𝟐
𝒄 𝟐
n = -
𝟏
𝟐
Ϫ ≈ 𝟏 + −
𝟏
𝟐
−
𝒗 𝟐
𝒄 𝟐 Ϫ ≈ 𝟏 +
𝒗 𝟐
𝟐𝒄 𝟐

8. 𝑬 𝒄 (𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂) = 𝒎𝒄 𝟐
− 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
𝑬 )𝒄(𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂 = Ϫ𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
− 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
Ϫ ≈ 𝟏 +
𝒗 𝟐
𝟐𝒄 𝟐
𝑬 )𝒄(𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂 = 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
Ϫ − 𝟏
𝑬 )𝒄(𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂 = 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
𝟏 +
𝟏
𝟐
𝒗 𝟐
𝒄 𝟐
− 𝟏
𝑬 )𝒄(𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂 ≈
𝒎 𝟎 𝒗 𝟐
𝟐
= 𝑬 )𝒄(𝒄𝒍á𝒔𝒊𝒄𝒂
A velocidades bajas la expresión
relativista es equivalente a la
expresión clásica

9. LA ENERGÍA TOTAL RELATIVISTA
E = mc2 = Ϫm0c2 𝑬 =
𝒎 𝟎 𝒄 𝟐
𝟏 −
𝒗 𝟐
𝒄 𝟐
Según esta expresión, cuando la velocidad v se acerca a la velocidad de la luz c, la energía de la partícula se
hace muy grande porque el factor de Lorentz se hace cada vez mayor.
Para v = c, la energía resulta infinita
Si v fuese mayor que c, el factor de Lorentz resulta ser la raíz cuadrada de un número negativo y, por
consiguiente, es imaginaria.
Se puede interpretar este resultado considerando que deberá emplearse una cantidad infinita de energía en
acelerar una partícula hasta alcanzar la velocidad de la luz, de modo que no puede existir ninguna partícula
que pueda moverse con una velocidad igual o mayor que la de la luz.

10. La conversión de la energía en reposo en energía cinética con la correspondiente pérdida de energía en
reposo es un acontecimiento común en las desintegraciones radiactivas y en las reacciones nucleares.
Algunos núcleos muy pesados son radiactivos y se desintegran en núcleos más ligeros, más una partícula
alfa.
En este caso, el núcleo original tiene una energía en reposo mayor que las de las partículas obtenidas en
la desintegración.
La energía en exceso aparece como energía cinética de los productos de dicha desintegración