Carpenter t99 2643

CAPÍTULO 3. LA SUMA Y LA RESTA. ESTRATEGIAS
INFANTILES
La investigación ha conformado un cuadro bastante coherente de las estrategias
que los niños inventan para resolver problemas de suma y resta y de la evolución en
el tiempo de estas estrategias. Las distinciones que hemos hecho entre tipos de
problemas se reflejan en los procesos de resolución que utilizan los niños. En las
estrategias más básicas, los niños utilizan objetos físicos (contadores) o dedos para
modelizar la acción o las relaciones descritas en cada problema. A lo largo del
tiempo, las estrategias infantiles llegan a ser más abstractas y eficientes. Las
estrategias de modelización son sustituidas por estrategias más abstractas de
conteo, que a su vez se reemplazan por el uso de los hechos numéricos.
ESTRATEGIAS DE MODELIZACIÓN
Los niños inventan estrategias de modelización para resolver muchos de los
problemas que hemos presentado en el capítulo anterior. Para resolver problemas
de cambio creciente (con la cantidad final desconocida) o problemas de combinación
(con el total desconocido) utilizan objetos o dedos para representar cada uno de los
sumandos y, a continuación, cuentan la unión de los dos conjuntos de objetos.
Ilustramos esta estrategia, llamada "juntar todos", en el siguiente ejemplo:
Ramiro tenía cuatro coches de juguete. Sus amigos le regalaron siete coches
de juguete más en su cumpleaños. ¿Cuántos coches llegó a tener entonces?
Carla forma un conjunto de cuatro cubos y otro conjunto con siete cubos.
Después los pone todos juntos y los cuenta, "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11"
señalando un cubo cada vez que dice un número. Carla entonces responde, "tenía
once coches."

Las Matemáticas que hacen los niños18
Una estrategia parecida se utiliza para resolver los problemas de cambio
creciente (con la cantidad de cambio desconocida). La diferencia principal es que,
en este caso, el objetivo es encontrar el número de objetos que añadimos al
conjunto inicial en vez de la cantidad final. El niño forma un conjunto equivalente a
la cantidad inicial y le añade objetos hasta que la nueva colección de objetos resulta
igual al total dado en el problema. El número de objetos añadidos es la respuesta.
Esta estrategia, llamada "añadir hasta" se muestra en el siguiente ejemplo y en la
figura 3.1:
Figura 3.1 Utilización de la estrategia de
"añadir hasta" para resolver un problema de
cambio creciente (con la cantidad de cambio
desconocida).
Ramiro tiene cuatro coches de juguete. ¿Cuántos más le tendrán que regalar
en su cumpleaños para que llegue a tener once en total?
Carla forma un conjunto de cuatro cubos. Después, va añadiendo cubos
mientras cuenta "5, 6, 7, 8, 9, 10, 11" hasta que hay un total de 11 cubos. Mantiene
los cubos que ha añadido separados del conjunto inicial de cuatro cubos de modo
que pueda contarlos aparte. Entonces cuenta los siete cubos. Carla responde,
"necesita siete más".
Una diferencia importante entre esta estrategia y la de "juntar todos" es que
los niños deben ser capaces de algún modo de distinguir entre los contadores que

La suma y la resta 19
añaden y los contadores del conjunto inicial de modo que puedan contarlos aparte.
Hacen esto manteniendo los contadores separados físicamente o utilizando
contadores de distintos colores. Esto requiere una planificación más avanzada que
no es necesaria en la estrategia de "juntar todos".
La estrategia que mejor modeliza los problemas de cambio decreciente (con la
cantidad final desconocida) supone una acción de quitar o sustraer. En este caso la
cantidad mayor que aparece en el problema se representa al principio, y la cantidad
menor se quita a continuación. Damos un ejemplo de esta estrategia, llamada
"quitar", a continuación:
Carmen tenía doce pegatinas. Le dio cinco pegatinas a Rogelio. ¿Cuántas
pegatinas le quedan a Carmen?
Carla forma un conjunto con 12 cubos y luego aparta 5 de ellos. Cuenta los
cubos que quedan y responde: “le quedan 7”.
Los problemas de cambio decreciente (con la cantidad de cambio desconocida)
también implican la acción de quitar. La estrategia utilizada generalmente para
resolver estos problemas es parecida a la estrategia de "quitar" excepto en que los
objetos se van quitando del conjunto mayor hasta que el número de objetos que
quedan coincida con el número menor dado en el problema. El ejemplo siguiente
ilustra esta estrategia, llamada "quitar hasta".
Rogelio tenía trece pegatinas. Dio algunas a Carmen. Le quedan cuatro
pegatinas. ¿Cuántas pegatinas dio a Carmen?
Carla forma un conjunto con trece cubos. Va quitando uno a uno los cubos
lentamente, mirando los cubos que quedan en el conjunto inicial. Cuando ha quitado
seis cubos, cuenta los cubos que quedan. Ve que ha dejado siete cubos, quita tres
cubos más y vuelve a contar los cubos que quedan. Al comprobar que quedan ahora
cuatro cubos, deja de quitar cubos y cuenta los nueve cubos que había quitado.
Carla entonces responde, "le dio nueve".

La estrategia de "quitar hasta" requiere cierta cantidad de ensayos y errores
dado que el niño no puede simplemente contar los objetos que ha apartado
físicamente sino que además debe examinar el conjunto inicial para verificar si
queda en él el número apropiado de objetos. Los niños aplican esta estrategia con
mayor facilidad con números pequeños dado que pueden percibir directamente
cuando quedan dos o tres objetos sin necesidad de contarlos.
Los problemas de comparación (con la diferencia desconocida) describen un
proceso de emparejamiento. La estrategia que se utiliza para resolver estos
problemas requiere la construcción de una correspondencia uno a uno entre dos
conjuntos hasta que se acaban los elementos en uno de los dos conjuntos. El conteo
de los elementos que no tienen pareja nos da la respuesta. Ilustramos la estrategia
de emparejamiento en el siguiente ejemplo y en la figura 3.2:
FIGURA 3.2 Utilización de una estrategia de
correspondencia uno a uno para resolver un problema
de comparación (con la diferencia desconocida)
Marcos tiene seis hámsteres. Jonás tiene once hámsteres. ¿Cuántos
hámsteres tiene Jonás más que Marcos?
Carla forma un conjunto de seis cubos y otro de 11 cubos. Dispone el conjunto
de seis cubos formando una fila. Después forma otra fila con los 11 cubos, de modo
que cada uno de los cubos de esta fila queda situado enfrente de otro cubo

perteneciente a la fila de seis inicial. Entonces cuenta los cinco cubos que no están
emparejados con ningún cubo de la fila inicial. Carla responde, "tiene cinco más".
Es difícil modelizar los problemas en los que la incógnita es la cantidad inicial,
dado que al ser esta cantidad desconocida, no puede ser representada. Algunos
niños intentan resolver estos problemas mediante ensayo y error. El siguiente
ejemplo nos muestra uno de estos intentos:
Roberto tenía algunos coches de juguete. Sus amigos le regalaron cinco coches
más en su cumpleaños. Ahora tiene once. ¿Cuántos coches de juguete tenía Roberto
antes de su cumpleaños?
Carla forma un conjunto de tres cubos. Después añade cinco cubos al conjunto
inicial y cuenta el total. Al comprobar que el total es 8 en vez de 11, devuelve todos
los cubos al lugar en que se guardan los cubos no utilizados y comienza de nuevo. A
continuación, forma un conjunto de cinco cubos al que añade 5 cubos más. Cuenta de
nuevo el total y descubre que su estimación inicial ha resultado insuficiente. En esta
ocasión parece darse cuenta de que solamente le ha faltado un cubo, así que pone un
cubo más en el conjunto de 5 original y añade el otro conjunto de 5. Cuenta el total
y ve que esta vez son once. Vuelve a contar el primer conjunto de seis cubos y
responde, "tenía seis antes de su cumpleaños".
Esta aplicación de la estrategia de ensayo y error supone un intento
razonablemente sistemático de resolver el problema. Cuando Carla se dio cuenta de
que sus dos primeras estimaciones habían resultado insuficientes, incrementó las
cantidades iniciales. Algunos otros niños son menos sistemáticos en la utilización del
ensayo y error.
La figura 3.3 resume las seis estrategias de modelización que hemos descrito.

Problema Descripción de la estrategia
Cambio creciente (cantidad final
desconocida)
Elena tenía tres tomates. Recogió 5
tomates más. ¿Cuántos tomates tiene
Elena ahora?
Juntar todos
Se forman un conjunto con 3 objetos y
otro con cinco. Se juntan los dos
conjuntos y se cuenta el total de los
elementos de la unión.
Cambio creciente (cantidad de cambio
desconocida)
Jesús tenía 3 cacahuetes. Clara le dio
algunos cacahuetes más. Ahora Jesús
tiene 8 cacahuetes. ¿Cuántos cacahuetes
le dio Clara?
Añadir hasta
Se forma un conjunto con 3 objetos. Se
van añadiendo objetos a este conjunto
hasta que hay un total de 8 objetos. La
respuesta se halla contando el número de
objetos añadidos.
Cambio decreciente (cantidad final
desconocida)
Había 8 focas jugando en la nieve. Tres
de ellas se fueron a nadar. ¿Cuántas
focas quedan jugando?
Quitar
quitan tres de ellos. La respuesta es el
número de objetos que quedan.
Cambio decreciente (cantidad de cambio
desconocida)
Había 8 personas en el autobús. Algunas
de ellas se bajaron en la parada. Ahora
quedan tres personas en el autobús.
¿Cuántas se bajaron en la parada?
Quitar hasta
van quitando objetos hasta que queden
tres. La respuesta es el número de
objetos que hemos quitado.
Comparación (diferencia desconocida)
Merche tiene 3 pegatinas. Raúl tiene 8
pegatinas. ¿Cuántas pegatinas tiene Raúl
más que Merche?
Correspondencia uno a uno
Se forman un conjunto de tres objetos y
otro de ocho objetos. Emparejamos cada
elemento de un conjunto con un elemento
del otro hasta que se acaban los
elementos en alguno de los dos conjuntos.
La solución es el número de objetos que
han quedado sin emparejar en el conjunto
mayor.
Cambio creciente (cantidad inicial
desconocida)
Bárbara tenía algunos libros en su casa.
Fue a la biblioteca y tomó prestados tres
libros más. Ahora tiene en total 8 libros
en su casa. ¿Cuántos libros tenía Bárbara
al principio?
Ensayo y error
Se forma un conjunto con varios objetos.
Se añade un conjunto de tres objetos al
conjunto inicial y se cuentan los
elementos del conjunto resultante. Si la
cuenta final es de 8, entonces la
respuesta es el número de objetos del
conjunto inicial. Si no es 8, se prueba con
otro conjunto inicial.
FIGURA 3.3 Estrategias de modelización

ESTRATEGIAS DE CONTEO
Las estrategias de conteo son más eficientes y abstractas que la modelización con
objetos físicos. En la aplicación de estas estrategias, los niños demuestran darse
cuenta de que no es necesario construir físicamente y contar los dos conjuntos
descritos en un problema.
Los niños suelen utilizar dos estrategias de conteo relacionadas para resolver
los problemas de cambio creciente (con la cantidad final desconocida) y los
problemas de combinación (con el total desconocido). Con el "conteo a partir del
primero", los niños comienzan a contar a partir del primer sumando que aparece en
el problema. El conteo finaliza cuando el número de palabras recitadas por el niño
en el mismo, es el representado por el segundo sumando. El siguiente ejemplo
ilustra esta estrategia:
Roberto tenía cuatro coches de juguete. Sus amigos le dieron siete coches
más en su cumpleaños. ¿Cuántos coches de juguete llegó a tener entonces?
Jaime cuenta, "4 [pausa], 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Tiene once coches". Según va
contando, Jaime extiende un dedo por cada palabra recitada. Cuando ha extendido
siete dedos, deja de contar y da la respuesta. (ver figura 3.4).
La estrategia de "contar a partir del mayor" es idéntica a la estrategia de
"contar a partir del primero" con excepción de que el niño comienza a contar a
partir del mayor de los dos sumandos. Jorge utiliza esta estrategia como respuesta
al problema que hemos planteado antes.
Jorge cuenta, "7 [pausa], 8, 9, 10, 11 - 11 coches de juguete". Jorge también
mueve sus dedos según va contando, pero el movimiento es casi imperceptible y muy
pronto podrá prescindir de él para llevar la cuenta.
Observa que para saber cuándo se debe parar de contar, estas dos
estrategias de conteo requieren algún método para llevar la cuenta, de modo que el
número de palabras recitadas de la secuencia numérica sea el indicado por el
segundo sumando. La mayoría de los niños utilizan sus dedos para llevar la cuenta.

Unos pocos utilizan contadores o marcas, pero un número significativo de niños no
muestran evidencias de ninguna acción física que acompañe su conteo. Cuando el
conteo se lleva a cabo mentalmente, es difícil determinar cómo sabe el niño cuando
debe parar de contar. Algunos niños parecen seguir algún tipo de ritmo o cadencia
en el que las palabras utilizadas en el conteo van agrupadas de dos en dos o de tres
en tres. Otros describen explícitamente un doble conteo (por ejemplo, 6 es 1, 7 es
2, 8 es 3), pero los niños por lo general tienen dificultades para explicar estos
procedimientos.
Cuando se utilizan los dedos u otros objetos en las estrategias de conteo,
estos juegan un papel muy diferente del que tienen en las estrategias de
modelización. En este caso, los dedos no representan el segundo sumando en si
mismo, sino que se utilizan para llevar la cuenta del número de palabras que
debemos recitar de la secuencia numérica a partir del número dicho en primer
lugar. Cuando se utilizan los dedos, no parece que los niños cuenten sus dedos, sino
que reconocen las configuraciones formadas con sus dedos (con las cuales están
muy familiarizados) y son capaces de decir inmediatamente cuántos dedos tienen
extendidos.
Una estrategia parecida se utiliza para resolver los problemas de cambio
creciente (con la cantidad de cambio desconocida). La solución de estos problemas
no es el último número recitado en la secuencia de conteo sino el número de
palabras recitadas en esta secuencia. El niño toma el más pequeño de los números
dados en el enunciado e inicia con él una secuencia de conteo progresivo. La
secuencia termina al alcanzarse el número mayor (de los dados en el enunciado). El
niño determina la solución llevando la cuenta de las palabras utilizadas en esta
secuencia de conteo. Esta estrategia, llamada "contar hasta", es la análoga a la
estrategia de modelización "añadir hasta". El ejemplo siguiente ilustra la estrategia
de "contar hasta":

Rodrigo tenía ocho coches de juguete. Sus padres le regalaron algunos coches
más en su cumpleaños. Llegó a tener entonces trece coches de juguete. ¿Cuántos
coches le habían regalado sus padres?
Ana cuenta, "8 [pausa], 9, 10, 11, 12, 13". Extiende un dedo por cada palabra
que dice según va recitando la secuencia desde 9 hasta 13. Mira los dedos
extendidos y responde, "le dio cinco". Sin necesidad de contar, Ana pudo reconocer
los cinco dedos que había extendido. Puede que otros niños tengan necesidad de
contar los dedos utilizados en la secuencia de conteo.
Para reflejar la acción que se produce en los problemas de cambio decreciente
(con la cantidad final desconocida) se emplea una secuencia de conteo regresivo. El
niño comienza a contar en el número mayor dado en el enunciado del problema y
continua contando hacia atrás. Esta estrategia, llamada "contar hacia atrás" o
“conteo regresivo” es la análoga de "quitar". El conteo regresivo puede realizarse de
dos formas distintas:
Carmen tenía once pegatinas. Dio tres pegatinas a Rogelio. ¿Cuántas pegatinas
le quedan?
Ana cuenta, "11, 10, 9 [pausa], 8. Le quedaban 8". Ana utiliza sus dedos para
llevar la cuenta del número de palabras recitadas en la secuencia de conteo.
Bernardo cuenta, "11 [pausa], 10 [extiende un dedo], 9 [extiende un segundo
dedo], 8 [extiende un tercer dedo]. Le quedaban 8".
Ana dice "11" al quitar mentalmente la undécima pegatina, "10" según quita la
décima pegatina, y "9" al quitar la novena pegatina. La respuesta es el siguiente
número (el cuarto) en la secuencia de conteo regresivo, 8. El conteo de Bernardo es
diferente. Según quita el primero, dice "10", refiriéndose a las diez pegatinas que
quedan y luego "9" para las nueve que quedan, finalmente, dice "8" para las ocho que
quedan al quitar la tercera pegatina.
También utilizamos una secuencia de conteo regresivo para representar la
acción en los problemas de cambio decreciente (con la incógnita desconocida).

Problema Descripción de la estrategia
Cambio creciente (con la cantidad final
desconocida)
Elena tenía 3 tomates. Cogió 5 tomates
más. ¿Cuántos tomates tiene ahora?
Conteo a partir del primero
La secuencia de conteo comienza en el
3 y continúa 5 pasos más. La solución
es la última palabra pronunciada en
esta secuencia de conteo.
desconocida)
Elena tenía 3 tomates. Cogió 5 tomates
más. ¿Cuántos tomates tiene ahora?
Conteo a partir del mayor
La secuencia de conteo comienza en el
5 y continúa 3 pasos más. La solución
es la última palabra pronunciada en
esta secuencia de conteo.
Cambio creciente (con la cantidad de
cambio desconocida)
Jacobo tenía 3 cacahuetes. Clara le dio
algunos cacahuetes más. Ahora tiene 8.
¿Cuántos cacahuetes le había dado
Clara?
Contar hasta
La secuencia de conteo empieza a
partir del 3 (en el 4) y continúa hasta
que se alcanza el 8. La solución es el
número de palabras recitadas en esta
secuencia de conteo (5).
Cambio decreciente (con la cantidad
final desconocida)
Había 8 pingüinos jugando. Tres de
ellos se alejaron nadando. ¿Cuántos
pingüinos quedan jugando?
Conteo regresivo (o contar hacia atrás)
La secuencia de conteo regresivo
comienza a partir del 8 (en el 7) y se
dan 3 pasos. La solución es la última
palabra pronunciada en esta secuencia
de conteo.
Cambio decreciente (con la cantidad de
cambio desconocida)
Había 8 personas en el autobús.
Algunas de ellas se bajaron. Quedan 3
personas en el autobús. ¿Cuántas se
bajaron?
Conteo regresivo hasta (o contar hacia
atrás hasta)
La secuencia de conteo regresivo
comienza a partir del 8 (en el 7) y
continúa hasta que se alcanza el 3. La
solución es el número de palabras
recitadas en esta secuencia de conteo
(5).
FIGURA 3.5 Estrategias de conteo para los problemas de suma y resta
Pero la secuencia de conteo regresivo en la estrategia de "contar hacia atrás"
continúa hasta que se alcanza el número más pequeño; el número de palabras
recitadas en la secuencia de conteo es la solución del problema. Ilustramos esta
estrategia, que es la correspondiente a la estrategia de modelización "quitar
hasta", a continuación:

Carmen tenía doce gominolas. Dio algunas gominolas a Rogelio. A Carmen le
quedaron 8 gominolas. ¿Cuántas dio a Rogelio?
Carla cuenta, "12 [extiende un dedo], 11 [extiende un segundo dedo], 10
[extiende un tercer dedo], 9 [extiende un cuarto dedo y se detiene], 8." No
extiende ningún dedo para el número 8. Mira los cuatro dedos extendidos y
responde, "dio cuatro a Rogelio".
Bernardo cuenta, "12 [pausa], 11 [extiende un dedo], 10 [extiende un segundo
dedo], 9 [extiende un tercer dedo], 8 [extiende un cuarto dedo]". Mira los cuatro
dedos extendidos y responde, "dio cuatro a Rogelio".
En la figura 3.5 resumimos las estrategias de conteo.
DISTINCIÓN ENTRE ESTRATEGIAS DE MODELIZACIÓN
Y DE CONTEO
Es importante advertir las diferencias que se dan entre las estrategias de
modelización y las de conteo. Distinguimos la modelización por la representación
física explícita, que realizan los niños, de cada cantidad que aparece en el problema
y de la acción o relación que afecta a estas cantidades antes del conteo del
conjunto resultante. Al utilizar una estrategia de conteo, el niño se da cuenta de
que no es realmente necesario formar y contar los conjuntos. La respuesta podemos
obtenerla fijándonos solamente en la secuencia de conteo. Por lo general, las
estrategias de conteo requieren algún tipo de doble conteo simultáneo, y los
objetos físicos que los niños probablemente utilizan (dedos, contadores, marcas) se
usan para llevar la cuenta del número de palabras recitadas en la secuencia de
conteo más que para representar los objetos que aparecen en el enunciado del
problema. A pesar de que los niños utilizan con frecuencia los dedos en las
estrategias de conteo, el uso de los dedos no distingue las estrategias de conteo de
las de modelización. Como mostramos en los siguientes ejemplos (y podemos ver en
la foto que hay al inicio del capítulo segundo), los dedos pueden utilizarse para

modelizar un problema o para llevar la cuenta del número de palabras recitadas en
la secuencia de conteo:
Pedro tenía cinco margaritas. Su hermana le dio tres margaritas más. ¿Cuántas
margaritas tiene ahora?
Ángela utiliza la modelización: extiende tres dedos en una mano y cinco dedos
en la otra mano. Entonces cuenta sus dedos moviendo cada uno de ellos ligeramente
según recita cada palabra de la secuencia de conteo, "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tiene
ocho margaritas".
Gerardo utiliza sus dedos en una estrategia de conteo: dice, "5 [pausa], 6, 7,
8" extendiendo un dedo por cada palabra recitada. "Tiene ocho margaritas".
HECHOS NUMÉRICOS
Los procedimientos utilizados para resolver los problemas verbales no se limitan a
las estrategias de modelización y de conteo. A medida que los niños van aprendiendo
hechos numéricos en la escuela y fuera de ella, van aplicando este conocimiento a la
resolución de problemas. Los niños aprenden ciertas combinaciones numéricas antes
que otras, y a menudo utilizan un pequeño conjunto de hechos numéricos básicos
memorizados para obtener, a partir de ellos, soluciones para problemas que
requieren el uso de otras combinaciones numéricas. El uso de dobles (por ejemplo 4
+ 4, 7 + 7) suele aprenderse antes que otras combinaciones, y las sumas cuyo
resultado es 10 (por ejemplo 7 + 3, 4 + 6) se dominan relativamente pronto. Los
siguientes ejemplos muestran el uso que hacen los niños de hechos numéricos
derivados (de otros ya conocidos):
Había seis ranas sentadas en hojas del estanque. Ocho ranas más se unieron a
ellas. ¿Cuántas se juntaron entonces?.
Rodolfo, Diana, Teo y Sandra dieron como respuesta, “14”, casi
inmediatamente.
Maestro: ¿Cómo habéis sabido que eran 14?

Rodolfo: Porque 6 y 6 son 12, y 2 más son 14.
Diana: 8 y 8 son 16. Pero esto son 8 y 6. Son 2 menos, luego son 14.
Teo: Bien, quité uno al 8 y se lo di al 6. Eso hacen 7 y 7, que son 14.
Sandra: 8 y 2 más son 10, y 4 más son 14.
Las soluciones para las que se utilizan hechos numéricos derivados están
basadas en la comprensión de las relaciones que se dan entre los números. Cabría
esperarse que sólo fueran utilizadas por los alumnos más brillantes pero este no es
el caso. Aunque no se haya dado enseñanza específica sobre ellos, la mayoría de los
niños utilizan hechos derivados antes de que hayan llegado a memorizar todas las
combinaciones básicas. En un estudio longitudinal que se realizó durante tres años
en aulas en las que no se había implementado la EEC, alrededor del 80% de los niños
de primer a tercer curso de primaria utilizaron, en algún momento, hechos
derivados. Además, los hechos derivados representaron la estrategia principal del
40% de los niños en algún momento durante este periodo. En muchas de las clases
de EEC, la mayoría de los niños utilizan hechos derivados antes de llegar a
memorizar todas las combinaciones básicas. Cuando los niños tienen la oportunidad
de proponer estrategias alternativas, el uso de hechos derivados llega a ser la
estrategia dominante.
Algunos niños continúan utilizando estrategias de conteo o hechos derivados
durante un largo período de tiempo y no debería asumirse que los niños recuperan
hechos numéricos de la memoria simplemente porque parezca que lo hacen. Los
niños pueden llegar a ser muy eficientes en la utilización de estrategias de conteo y
aplicarlas con mucha rapidez. Las estrategias de conteo y los hechos numéricos
derivados son estrategias relativamente eficientes para la resolución de problemas.
Sin embargo, cuando damos a los niños la oportunidad de resolver muchos problemas
mediante estrategias que ellos han inventado, llegan a aprender de memoria la
mayoría de los hechos numéricos.

Tipo de problema Modelización Conteo
desconocida) y combinación (con el total
desconocido)
Juntar todos Conteo a partir
del primero (o
del mayor)
Cambio creciente (con la cantidad de
cambio desconocida)
Añadir hasta Contar hasta
Cambio decreciente (con la cantidad final
desconocida)
Quitar Conteo
regresivo
Cambio decreciente (con la cantidad de
cambio desconocida)
Quitar hasta Conteo
regresivo hasta
Comparación (con la diferencia
desconocida)
Correspondencia
uno a uno
**
Cambio creciente (con la cantidad inicial
desconocida)
Ensayo y error Ensayo y error
Combinación (con una parte desconocida) ** **
Comparación (con la cantidad comparada
desconocida) y comparación (con el
referente desconocido)
** **
FIGURA 3.6 Relación entre los tipos de problemas y las estrategias de
resolución
Nota: **indica que no hay ninguna estrategia dominante para este tipo de
problemas que podamos hacer corresponder a las acciones o a las relaciones
descritas en los enunciados de los problemas. En los problemas de comparación
(con la cantidad comparada desconocida), los niños suelen utilizar la estrategia
de juntar todos o alguna de las de conteo progresivo. Para los demás problemas,
los niños suelen usar las estrategias de añadir, quitar, contar hasta, o el conteo
regresivo.
RELACIÓN ENTRE LAS ESTRATEGIAS Y LOS
TIPOS DE PROBLEMAS
Resumimos la relación que hay entre las estrategias y los tipos de problemas en la
figura 3.6. Por lo general, los niños pequeños eligen estrategias en las que se
representan directamente la acción o las relaciones descritas en los problemas. En
algunos tipos de problemas, la acción llama más la atención que en otros. Casi todos
los niños utilizan la estrategia de "añadir hasta" o la de "contar hasta" en los
problemas de cambio creciente (con la cantidad de cambio desconocida).

Los niños resuelven los problemas de cambio decreciente (con la cantidad final
desconocida) con la estrategia "quitar". Dado que el conteo regresivo es
relativamente difícil, algunos niños utilizan esta estrategia con menos frecuencia.
En consecuencia, algunos niños que utilizan estrategias de conteo que requieren el
conteo regresivo para resolver otros problemas pueden continuar utilizando la
estrategia de "quitar" para resolver problemas de cambio decreciente (con la
cantidad de cambio desconocida). La correspondencia uno a uno y la estrategia de
"quitar hasta" no se usan universalmente aunque la mayoría de los niños más
pequeños las utilizan. La estrategia de ensayo y error se utiliza con menos
frecuencia que las citadas anteriormente. Con experiencia en resolución de
problemas, los niños se vuelven más flexibles en la selección de estrategias de modo
que acaban siendo capaces de elegir estrategias que no corresponden exactamente
a la acción descrita en el enunciado del problema. Sin embargo, incluso los niños
mayores tienden a elegir estrategias que modelizan la acción o las relaciones en
ciertos problemas. Por lo general, los niños modelizan la acción principal que aparece
descrita en los problemas de cambio decreciente o decreciente (con la cantidad de
cambio desconocida) durante un período largo de tiempo. Por otra parte, la mayoría
de los niños mayores sustituyen la estrategia de correspondencia uno a uno, que
utilizan en los problemas de comparación, por alguna otra estrategia, de uso más
habitual, que no modeliza directamente la relación de comparación descrita en este
tipo de problemas. Dado que no existe una estrategia de conteo análoga a la
estrategia de modelización por correspondencia uno a uno, los niños deben
seleccionar una estrategia que no modeliza el problema de comparación si quieren
utilizar una estrategia de conteo.
LOS NIVELES EN EL DESARROLLO DE LAS ESTRATEGIAS
Hay una gran variabilidad en las edades a las cuales los niños utilizan las distintas
estrategias. Al iniciar el último curso de educación infantil, la mayoría de los niños

pueden resolver algunos problemas utilizando estrategias de modelización, incluso
aunque hayan tenido poca o ninguna enseñanza formal acerca de la suma o la resta.
Algunos niños al comenzar la educación primaria son capaces de utilizar estrategias
de conteo y unos pocos de utilizar la recuperación de hechos básicos o hechos
derivados de forma sistemática. La mayoría de los niños pasan por tres niveles en la
adquisición de las destrezas necesarias para resolver problemas de suma y resta. Al
principio, resuelven los problemas exclusivamente por modelización. Con el paso del
tiempo, las estrategias de modelización son sustituidas por el uso de estrategias de
conteo y finalmente, casi todos los niños acaban utilizando los hechos numéricos
para resolver los problemas. El paso de la modelización al uso de estrategias de
conteo no se produce de forma instantánea sino que, durante un tiempo, los niños
pueden utilizar a la vez estrategias de modelización y de conteo. Del mismo modo,
los niños aprenden unos pocos hechos numéricos bastante pronto, cuando todavía
tienen depositada toda su confianza en las estrategias de modelización y de conteo,
y el uso de hechos numéricos (recuperados de la memoria) y hechos derivados
evoluciona a lo largo de un período de tiempo extenso.
Evolución en el uso de estrategias de modelización
Al principio, los niños se limitan a resolver problemas mediante modelización. Sin
embargo, no todos tienen el mismo éxito en la resolución de todos los problemas que
pueden modelizarse porque algunos problemas son más difíciles de modelizar que
otros. Para empezar, los niños más pequeños tienen una capacidad de modelización
limitada. No son capaces de planificar y sólo pueden pensar en cada momento en un
paso del problema. Esto no produce ninguna dificultad cuando se utilizan las
estrategias de "juntar todos" y "quitar", pero sí puede causar dificultades en la
estrategia de "añadir hasta". Considera el siguiente ejemplo:
Rodrigo tenía cinco cochecitos de juguete. ¿Cuántos cochecitos le regalaron en
su cumpleaños si al final llegó a tener nueve?

Nicolás forma un conjunto con 5 cubos y a continuación añade 4 cubos más al
conjunto inicial contando "6, 7, 8, 9" según va añadiendo los cubos. No tiene cuidado
en mantener los cubos nuevos separados, así que una vez ha terminado de añadirlos,
no puede distinguirlos del conjunto inicial de 5 cubos. Durante un momento parece
estar confundido y entonces cuenta el conjunto completo formado por los nueve
cubos y responde, "¿Nueve?".
Nicolás ha modelizado la acción que aparece descrita en el problema, pero no
se ha dado cuenta de que necesita mantener separados los cuatro cubos que ha
añadido y los 5 cubos que había en el conjunto inicial. En consecuencia, no tiene
ningún modo de calcular cuántos cubos ha añadido. En otras palabras, él
simplemente ha modelizado la acción descrita en el problema sin planificar cómo iba
a utilizar esta modelización para responder la pregunta del enunciado del problema.
Las únicas estrategias disponibles para los niños que sólo son capaces de
pensar en cada momento en una etapa del problema son las de "juntar todos" y
"quitar". Por consiguiente, podrán solamente resolver los problemas que puedan ser
modelizados con estas estrategias: cambio creciente (con la cantidad final
desconocida), combinación (con el total desconocido) y cambio decreciente (con la
cantidad final desconocida). Los niños aprenden a reflexionar acerca de sus
estrategias de modelización mediante su experiencia en la resolución de problemas
sencillos. Esto les confiere las destrezas de planificación que les permitirán evitar
el tipo de errores que hemos ilustrado en el ejemplo anterior protagonizado por
Nicolás. De este modo, la capacidad de pensar acerca del problema completo -la
acción descrita en el problema así como la pregunta que debe responderse- permite
a los niños resolver los problemas de cambio creciente (con la cantidad de cambio
desconocida) mediante la estrategia de "añadir hasta".
Los problemas de comparación (con la diferencia desconocida) pueden resultar
ligeramente más difíciles de modelizar que los problemas de cambio creciente (con
la cantidad de cambio desconocida). Sin embargo, si el contexto o el enunciado de

los problemas de comparación proporcionan pistas para realizar la correspondencia
uno a uno, estos problemas pueden resolverse mediante modelización.
Los problemas planteados gráficamente, como aquéllos en los que el número de
chicos y el número de chicas que hay en una clase aparecen representados en un
diagrama de barras, proporcionan situaciones en las cuales las cantidades pueden
compararse. Los niños en este nivel pueden resolver problemas de este tipo con
facilidad. Los diagramas de barras permiten comparar las cantidades de una forma
parecida a la que aplicamos al utilizar la estrategia de correspondencia uno a uno
para resolver un problema de comparación.
La mayoría de los niños que utilizan estrategias de modelización tienen
dificultades para resolver (y comprender) los problemas de cambio en los que la
incógnita es la cantidad inicial. Dado que la cantidad inicial es desconocida, no
pueden comenzar a resolver el problema representando esta cantidad. La única
alternativa disponible para modelizar el problema es el ensayo y error, y esta
estrategia es un poco difícil de aplicar para los alumnos acostumbrados a utilizar las
estrategias de modelización. Los alumnos que usan estrategias de modelización
también encuentran dificultades para resolver los problemas de combinación (con
una parte desconocida) por una razón ligeramente diferente. Dado que en este tipo
de problemas no hay ninguna acción explícita que representar, muchos niños tienen
dificultades para representar el problema utilizando objetos. En consecuencia,
muchos alumnos no son capaces de resolver este tipo de problemas mediante
modelización.
Evolución en el uso de estrategias de conteo
Durante un periodo de tiempo, de forma gradual, los niños van reemplazando las
estrategias de modelización por estrategias más eficientes de conteo, y el uso de
estrategias de conteo es un hito importante en el desarrollo de los conceptos
numéricos. Las estrategias de conteo son algo más que procedimientos eficientes

para calcular las soluciones a problemas de suma y resta. Indican un nivel de
comprensión de los conceptos numéricos y una capacidad de pensar en los números
como entidades abstractas.
Inicialmente, puede que los niños utilicen a la vez las estrategias de
modelización y las de conteo. Al principio, utilizan las estrategias de conteo
solamente en situaciones en las que éstas resultan particularmente sencillas de
aplicar, como cuando el segundo sumando es un número pequeño o el primer sumando
es relativamente grande:
Samuel tenía 24 flores. Recogió tres flores más. ¿Cuantas flores reunió en
total?
Aun después de que los niños lleguen a sentirse cómodos con las estrategias
de conteo, pueden ocasionalmente volver a utilizar estrategias de modelización con
objetos. La mayoría de los niños llega a confiar en las estrategias de conteo
progresivo, pero no todos utilizan de forma consistente el conteo regresivo debido
a la dificultad que supone contar hacia atrás.
La elección flexible de estrategias
Inicialmente, los niños utilizan estrategias de conteo consistentes con la acción o
las relaciones descritas en los problemas. En otras palabras, las estrategias de
conteo son abstracciones de las estrategias de modelización correspondientes que
ellos han utilizado previamente. A lo largo del tiempo, sin embargo, muchos niños
aprenden a representar problemas mediante procedimientos de conteo que no son
consistentes con la estructura del problema. Por ejemplo, pueden resolver
problemas de cambio creciente (con la cantidad inicial desconocida) mediante la
estrategia de "contar hasta" o resolver problemas de cambio decreciente (con la
cantidad inicial desconocida) mediante conteo progresivo. Por lo general, también
pueden resolver problemas de comparación (con la diferencia desconocida) por
"conteo regresivo" y utilizando la estrategia de "contar hasta". Algunos de ellos

pueden incluso resolver los problemas de cambio decreciente (con la cantidad final
desconocida) mediante la estrategia de "contar hasta".
El desarrollo del conocimiento de las relaciones parte-todo permite a los niños
ser más flexibles en su elección de estrategias. Los niños comienzan a aprender que
los problemas de suma y resta pueden pensarse en términos de partes y todos. En
un tipo de problemas, las dos partes son conocidas, y el objetivo es encontrar el
total. En el otro, una parte y el total son conocidos, y el objetivo es encontrar la
otra parte. Todos los problemas en los que ambas partes son conocidas pueden
resolverse mediante las estrategias de "juntar todos" o el conteo progresivo. Todos
aquellos en los que conocemos una parte y el total podrán resolverse utilizando
alguna estrategia de un grupo entre las que podemos incluir "contar hasta", "conteo
regresivo", "quitar", etc. En el siguiente ejemplo, una niña nos explica el uso que
hace de la relación parte-todo para resolver el problema:
Había algunos pájaros posados en un cable. Tres de ellos se fueron volando. Al
final quedaron ocho pájaros posados en el cable. ¿Cuántos pájaros había antes de
que los tres pájaros se fueran volando?
Karina: [Cuenta] 8 [pausa], 9, 10, 11. Había 11.
Maestro: Comprendo cómo encontraste la solución, pero ¿cómo se te ocurrió
contar hacia delante de esa forma?
Karina: Bien, había tres pájaros que salieron volando, y los ocho pájaros que
todavía seguían allí y quiero saber cuántos había en total. Los tres y los ocho juntos
eran los pájaros que había en el cable. Entonces los he puesto juntos. Luego he
contado a partir de ocho y he obtenido 11.
En los problemas de cambio decreciente (con la cantidad final desconocida),
cambio decreciente (con la cantidad inicial desconocida), y combinación (con el total
desconocido), ambas partes son conocidas. En los problemas de cambio decreciente
(en los que la cantidad final o la cantidad de cambio son desconocidas), los
problemas de cambio creciente (en los que la cantidad de cambio o la cantidad

inicial son desconocidas), y los problemas de combinación (en los que una parte es
desconocida), el total y una de las partes son conocidos. Dado que los problemas de
comparación involucran dos conjuntos disjuntos, el esquema parte-todo no se les
aplica con facilidad. Sin embargo, aproximadamente al mismo tiempo que los niños
desarrollan su comprensión sobre las relaciones parte-todo, llegan a adquirir
suficiente flexibilidad como para ser capaces de elegir también esta estrategia
para este tipo de problemas.
Otro principio básico que permite a los niños ser más flexibles al tratar con
los problemas de cambio, es la comprensión de que las acciones son "reversibles". En
otras palabras, la acción de añadir objetos a un conjunto puede deshacerse
quitando estos objetos del conjunto resultante. Por ejemplo, el siguiente problema
en el que la cantidad inicial es desconocida puede resolverse revirtiendo la acción:
Carmen tenía algunas pegatinas. Dio tres pegatinas a Rogelio. Le quedaron
cinco pegatinas. ¿Cuántas pegatinas tenía a Carmen al principio?
Si las tres pegatinas que se quitaron vuelven a ponerse junto a las cinco
pegatinas que quedan, el conjunto de pegatinas original se restablece. Este análisis
permite a los niños pensar este problema en términos de una acción de añadir y de
este modo podrán resolverlo prescindiendo del uso del ensayo y error.
Los hechos numéricos
A pesar de que las estrategias de conteo pueden llegar a ser muy eficientes, no
resultan apropiadas cuando en el problema intervienen números grandes. A través
de la experiencia resolviendo problemas, los niños comienzan a aprender hechos
numéricos que pueden recuperar (de la memoria) de forma inmediata. Es importante
reconocer, sin embargo, que el aprendizaje de hechos básicos (de memoria) se
prolonga durante un periodo de tiempo mayor del que hasta ahora solía asumirse, y
que puede que muchos niños no lleguen nunca a memorizar todos los hechos
numéricos.

Los niños no aprenden todos los hechos numéricos de una vez, y utilizan
determinados hechos numéricos y hechos derivados en la etapa en la que utilizan
estrategias de modelización y de conteo. A pesar de que no todos los niños utilizan
los hechos derivados de una forma consistente, los hechos derivados juegan un
importante papel en la resolución de problemas y en la memorización de los hechos
numéricos. Es mucho más fácil para un niño recordar los hechos numéricos si
comprende las relaciones que se dan entre los mismos. La mayoría de los niños
utilizan hechos derivados para muchas combinaciones de números en su proceso de
memorización de hechos numéricos, y es importante que todos los niños comprendan
las relaciones que se dan entre distintos hechos numéricos (por ejemplo, 6+7 es uno
más que 6+6), aunque luego no lleguen a utilizar estas relaciones de forma
sistemática para obtener nuevos hechos numéricos.
INTEGRACIÓN DE LOS TIPOS DE PROBLEMAS Y
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
Las relaciones que se dan entre los tipos de problemas y las estrategias que pueden
utilizarse para resolver los mismos están representadas en la figura 3.7. En esta
figura representamos una versión un poco simplificada de lo que hasta ahora hemos
descrito. Los hechos derivados y la recuperación de hechos numéricos son
representados como cortando a través de los distintos niveles. Los niños utilizan
algunos hechos numéricos en todos los niveles, y este uso aumenta hasta que las
estrategias basadas en el uso de hechos numéricos llegan a ser dominantes.

FIGURA 3.7 Estrategias de resolución utilizadas por los niños
Modelización
Conteo
Hechos
numéricos
Cambiodecreciente
(Cantidadfinal
desconocida)
Cambiocreciente
(Cantidadfinal
desconocida)
Combinación
(Totaldesconocido)
Combinación
(Parte
desconocida)
Cambiocreciente
(Cantidadde
cambio
desconocida)
Comparación
(Diferencia
desconocida)
Cambiocreciente
ydecreciente
(Cantidadinicial
desconocida)
Elecciónflexibledeestrategias
Quitar
Conteo
regresivo
Juntartodos
Conteoapartir
delprimero
Conteoapartir
delmayor
Añadirhasta
Contarhasta
Hechos
numéricos
derivados
Recuperación
Correspondencia
unoauno
Ensayoy
error
Modelización
Conteo
Hechos
numéricos
Cambiodecreciente
(Cantidadfinal
desconocida)
Cambiocreciente
(Cantidadfinal
desconocida)
Combinación
(Totaldesconocido)
Combinación
(Parte
desconocida)
Cambiocreciente
(Cantidadde
cambio
desconocida)
Comparación
(Diferencia
desconocida)
Cambiocreciente
ydecreciente
(Cantidadinicial
desconocida)
Elecciónflexibledeestrategias
Quitar
Conteo
regresivo
Juntartodos
Conteoapartir
delprimero
Conteoapartir
delmayor
Añadirhasta
Contarhasta
Hechos
numéricos
derivados
Recuperación
Correspondencia
unoauno
Ensayoy
error

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