1. Centro de Estudios
Artísticos
“David Alfaro Siqueiros”
Álgebra
Ana Gabriela Flores Delgado
1° “1”
3er. parcial
2. Factorización
1) Defina qué es factorización.
La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un
número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de
otros objetos más pequeños (factores).
3. 2) Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos
de factorización.
Agrupación:
No existe factor
común. Se separa en
parejas comunes;
tienen que ser al
menos de 4
Diferencia de términos. Trinomio cuadrado
Cubos: perfecto:
No es muy usado. Los extremos tienen
Sólo se utiliza con raíz cuadrada exacta
binomios, en los y se comprueba el
que ambos términos doble producto.
tienen raíz cúbica.
Métodos
Factor común:
Diferencia de De Se usa cuando todos
Cuadrados:
Binomio con raíz Factorización los términos tienen
una variable común o
cuadrada exacta;
un coeficiente
ambos términos se
múltiplo de un mismo
restan, y se factoriza a
número.
binomios conjugados.
x2 + bx + c:
ax2 + bx + c: No es factor común,
No es TCP, ni factor no es TCP. Se
común. Se factoriza factoriza a dos
como agrupación. binomios con
término común.
3) Factoriza las siguientes expresiones.
25a 2 − 64b 2 = (5a + 8b)(5a − 8b)
8m 2 − 14m − 15 = (4m + 3)(2m − 5)
x 2 − 15 x + 54 = ( x − 6)( x − 9)
5 x 2 − 13 x + 6 = (5 x − 3)( x − 2)
27 a 9 − b 3 = (3a 3 − b)(9a 6 − 3a 3 b + b 2 )
5a 2 + 10a = 5a (a + 2)
n 2 − 14n + 49 = (n − 7) 2
4. x 2 − 20 x − 300 = ( x − 30)( x + 10)
9 x 6 − 1 = (3x 3 − 1)(3 x 3 + 1)
64 x 3 + 125 = (4 x + 5)(16 x 2 − 20 x + 25)
x 2 − 144 = ( x − 12)( x + 12)
2 x 2 + 11x + 12 = (2 x + 4)( x + 3)
4 x 2 y − 12 xy 2 = 4 xy ( x − 3 y )
xw − yw + xz − yz = ( w + z )( x − y )
x 2 + 14 x + 45 = ( x + 5)( x + 9)
6 y 2 − y − 2 = (3 y − 2)(2 y + 1)
4m 2 − 49 = (2m + 7)(2m − 7)
x 2 − x − 42 = ( x + 6)( x − 7)
2m 2 + 3m − 35 = (2m − 7)(m + 5)
a 2 − 24a + 119 = ( a − 17)(a − 7)
4) Aplicación de la factorización en la solución de
ecuaciones cuadráticas.
En la resolución de ecuaciones cuadráticas, existe el método de la
factorización.
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar
igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es
cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero
cada factor y se despeja para la variable.
5) Conclusiones personales sobre la unidad de
factorización.
Dentro de esta unidad pusimos en práctica nuestras habilidades
para diferenciar un método de factorización, de los otros; lo cual
nos ha apoyado en cada uno de los temas que hemos visto
posteriormente, por ejemplo, en fracciones algebraicas seguimos
viendo varios métodos de factorización, al igual que lo haremos en
el tema de ecuaciones cuadráticas.
5. Este tema ya en secundaria lo habíamos visto, pero sólo algunos de
los métodos, es por eso que al menos en lo personal, me pareció
interesante el hecho de aprenderlos y además, me sirvió de práctica.
Fracciones Algebraicas.
1) Realiza las operaciones con fracciones algebraicas.
x2 ( x − 4)
=
x + 8 x + 16 ( x + 4)
2
6. 4 x 2 − 20 x 4x
=
x − 4 x − 5 ( x + 1)
2
3a − 9b 1
=
6a − 18b 2
x 2 − 6x + 9 x 2 + 6x + 5
* 2 =
( x − 3)( x + 5)
x − 7 x + 12 3 x + 2 x − 1 ( x − 4)(3 x − 1)
2
7 x + 21 x 2 − 5 xy + 4 y 2
* =
( 7 )( x − y )
x − 16 y
2 2
4 x + 11x − 3
2
( x + 4 y )( 4 x − 1)
x 2 − 3 x − 10 2 x + 10 1
* =
x 2 − 25 6 x + 12 3
x − 4 4x + 8
* 2 =
( 4)( x + 2)
2 x + 8 x − 16 ( 2 )( x + 4) 2
3 x − 15 12 x + 18 (12)( x − 5)
÷ =
x+3 4 x + 12 ( 6 )( 2 x + 3)
4x 2 − 9 2x − 3
÷ = ( 2 )( 2 x + 3)
x + 3 y 2x + 6 y
x 2 − 14 x − 15 x 2 − 12 x − 45 ( x + 1)
÷ =
x 2 − 4 x − 45 x 2 − 6 x − 27 ( x + 5)
a −3 a − 4a + 9
− 2 =
a − 3a + 2 a − 4a + 3 ( a − 2 )( a − 1)( a − 3)
2
m 3m 3m 2 − 2m
+ =
m 2 − 1 m + 1 ( m + 1)( m − 1)
2a 4 2a 2 − 12a − 8
− 2 =
a 2 − a − 6 a − 7 a + 12 ( a + 2)( a − 3)( a − 4 )
2 1 1 2m 2 + 22 + 49
− + =
m 2 − 11m + 30 m 2 − 36 m 2 − 25 ( m − 5)( m + 6 )( m − 6 )( m + 5)
7. x 2 3x + 4
+ =
x − 5 x − 14 x − 7 ( x + 2)( x − 7 )
2
2) Define qué es una fracción compleja y da un
ejemplo.
Una fracción compleja es una fracción en la que al menos uno de
los términos de uno o ambos miembros es una fracción. Las
expresiones racionales siguientes son fracciones complejas:
2
Ejemplo: 3
4
5
3) Conclusiones personales sobre la unidad de
Fracciones Algebraicas.
A lo largo de este parcial, nos hemos dado cuenta de la importancia,
y de la dependencia de cada tema con los otros, ya que, por ejemplo,
en fracciones algebraicas seguimos utilizando diversos métodos de
factorización, que afortunadamente, son rápidos, ya que la mayoría
de las expresiones en los ejercicios usan métodos de factorización
sencillos, además de las operaciones algebraicas, que fue el primer
tema que vimos.
Ecuaciones Lineales.
1) Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que
existen y cuáles son los principales métodos de
resolución.
8. Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de
igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no
contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra
solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Ecuación general
A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible
encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria o simétrica
E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y
en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en
lavariable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas
ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es
una línea horizontal sin intersección con el eje X
Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es
una línea vertical, interceptando el eje X
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación
que es verdadera en todos los casos.
Métodos:
- Suma-Resta.
*Elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el
signo a uno de ellos.
*Multiplicar, sumar y restar.
*Obtener el valor.
*Despejar la otra variable y sustituir el valor.
9. -Igualación:
*Despejar la misma variable de ambas ecuaciones.
*Igualar los despejes.
*Hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal.
*Sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor.
- Determinantes:
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un
sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la
forma. Dado el sistema de ecuaciones:
Lo representamos en forma de matrices:
Entonces, los términos pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con
una división de determinantes, de la siguiente manera:
y
2) Resolver las siguientes ecuaciones.
4( 2 x − 3) + 5( x − 1) = 7( x + 2 ) − ( 3 x + 4 )
x=3
5x − 3 2x x + 1
+ =
4 3 2
x = 17
15
10. 3( 4 x + 3) + 2 x − 3( 2 − x ) = 2 + 3( x − 4 ) + 5 x − 2
x= −15
9
2 x + 5 3x x + 2
− = + 3x
7 5 2
x = −20
267
2x − 3 x
5( 2 x − 3) + 4( x + 1) − 5 = +
2 3
x= 87
76
3) Graficar:
y=5x-1
Solución: (0.2, 0)
Pendiente: 5
y=2x+3
Solución: (-1.5, 0)
Pendiente: 2
12. 5. Una joyería vende su mercancía 50% más cara que
su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1500,
¿Qué precio pagó al proveedor?
$1000
6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.
a)
2x − 3y = 4
x − 4y = 7
x = −1
y = −2
b)
4a + b = 6
3a + 5b = 10
a= 20
17
b= 22
17
c)
m−n =3
3m + 4n = 9
m=3
n=0
d)
5 p + 2q = −3
2p − q = 3
p= 1
3
q=−7
3
e)
13. x + 2y = 8
3 x + 5 y = 12
x = −16
y = 12
f)
3m + 2n = 7
m − 5n = −2
m = 17
31
n = 17
13
g)
2h − i = −5
3h − 4i = −2
h = − 18
5
i = − 14
5
7. Grafica los incisos a, c, e y g de los sistemas
anteriores.
a)
2x-3y=4
x-4y=7
Solución: (-1, -2)
15. g)
2h-i = -5
3h-4i = -2
Solución: (-3.6, -2.2)
8. Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar
a $4.00 para adultos y $1.50 para niños. Si se
vendieron 1000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos
boletos de cada tipo se vendieron?
x + y = 1000
4 x + 1.5 y = 3500
Adultos: 800 boletos.
Niños: 200 boletos.
9. Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con
otra que contiene 55 % del mismo metal para obtener
800 kg de aleación al 40%. ¿Qué cantidad de cada una
debe emplearse?
x+y= 800
.3x+.55y= 800(.4)= 320
480 kg de Ag al 30%
320 kg de Ag al 55%
