Enunciado 2

1. Enunciado 2
Analice la figura donde se detallan los flujos de una red de
tuberías de agua con flujos medidos en litros por minuto.
En cada nodo –nombrados con letras A, B, C, D se
conserva el flujo, es decir lo que entra es igual a lo que
sale. Se necesita conocer la cantidad de flujo que circula
en cada tramo por hora. Entonces:
a) Plantee el SEL que permite dar con los valores de los
flujos f de 1 a 5. Esto es, modelice matemáticamente la
situación. En particular y previamente explicite datos
conocidos y datos desconocidos, explicite las
vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL.
b) Resuelva el SEL por método de Gauss-Jordan usando los paquetes informáticos
OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-
y%2Bz%3D1, wiris
https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y
también http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.
c) Construya la expresión paramétrica del conjunto solución y analice las restricciones de
los parámetros en el contexto del problema.
d) Analice si es posible determinar gráficamente la solución. Explique sus conclusiones,
grafique si es posible.
e) Identifique una solución particular. Verifique.
f) ¿Es posible para 1 100f  ? Responda esta pregunta primero haciendo referencia a su
solución en el inciso b) y luego directamente de la figura.
g) Si 4 0f  ¿cuál será la amplitud de flujo en cada una de las otras ramas?
h) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el código de inserción y embébalo
en el foro de la actividad. Así compartirá con sus pares la respuesta. Cuide de
comunicar asegurando que el mensaje llegue de forma clara, correcta y completa.
Datos conocidos
Nodo A
Nodo B
Nodo C
Nodo D
Datos desconocidas son 𝑓1,𝑓2,𝑓3, 𝑦 𝑓4
Debemos hallar entonces los valores de estas incógnitas, para que en cada nodo el flujo se
conserve, es decir, la cantidad de flujo que entra a uno nodo es igual a la que sale del
mismo.

2. A)
Si planteamos las ecuaciones en cada nodo, formamos el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación planteada en el Nodo A
Ecuación planteada en el Nodo B
Ecuación planteada en el Nodo C
Ecuación planteada en el Nodo D
Si separamos los valores desconocidos, de los conocidos, llegamos al siguiente sistema de
ecuaciones equivalente:
Procedemos a completar y ordenar el sistema de ecuaciones anterior:
B)
Si resolvemos el SEL por el método de Gauss-Jordan del anterior sistema de ecuaciones en
la página online de OnlineMSchool, obtenemos los siguientes valores:

3. Utilizamos el paquete informático WolframAlpha:

4. Utilizamos el paquete informático Wiris:
De esta forma llegamos a una matriz escalonada en los renglones reducida.
Escribiendo el sistema de ecuaciones equivalente resultante nos queda:
Despejando la variable 𝑓4de la primera ecuación obtenemos:
Luego reemplazo este valor obtenido en las restantes ecuaciones:
𝑓2 = 25 − (𝑓1 + 5) => 𝑓2 = 20 − 𝑓1
𝑓3 = 30 − (𝑓1 + 5) => 𝑓3 = 25 − 𝑓1
Y finalmente la primera ecuación con la incógnita 𝑓4 ya despejada:
𝑓1 − 𝑓4 = −5 => 𝑓4 = 𝑓1 + 5
Como podemos observar en este caso, las ecuaciones obtenidas son iguales a las que
obtuvimos en los paquetes informáticos.
C)
Expresamos entonces la solución paramétrica de este sistema de ecuaciones:
𝑆{(𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4)𝑓1 = −5 + 𝑡, 𝑓2 = 25 − 𝑡, 𝑓3 = 30 − 𝑡, 𝑓4 = 𝑡, 𝑡 ∈ ℝ},
Luego analizando el rango de valores que puede tomar el parámetro t podemos ver lo
siguiente: El valor del flujo 𝑓4 puede tomar valores que van desde el 0 hasta 30 que son los
galones que se podrían obtener en el nodo C, es decir para que el flujo se conserve en ese
nodo (entran 30 galones, salen 30 galones como valor máximo).
Esto se puede expresar como 0
0 ≤ 𝑡 ≤ 30
Pero teniendo en cuenta que en el nodo D la salida máxima de flugo es 25, luego esto
significa una restricción para el parámetro t, por lo tanto nos queda:
0 ≤ 𝑡 ≤ 25

5. Luego el valor del flujo f3 puede tomar valores que van desde el 0 hasta 30 planteado sobre
el nodo C de la misma manera que el flujo f4, ya que comparten el mismo nodo. Según la
solución paramétrica tenemos:
0 ≤ 30 − 𝑡 ≤ 30 ⟹ −30 ≤ −𝑡 ≤ 0 ⟹ 0 ≤ 𝑡 ≤ 30
De la misma manera como en el nodo B, la salida máxima de flujo son 25 galones por
minuto (por ejemplo), la nueva restricción es:
0 ≤ 𝑡 ≤ 25
En el nodo A, el flujo f2 puede tomar valores que van desde el 0 hasta 20 galones por
minuto como máximo entonces, según la solución paramétrica obtenemos:
Dicho SEL posee infinitas soluciones ya que las variables dependen de los valores
arbitrarios o parámetros que asignemos a las variables restantes. Luego las soluciones son
mono paramétricas, posee tres variables principales y una sola libre.
0 ≤ 25 − 𝑡 ≤ 20 ⟹ −25 ≤ −𝑡 ≤ −5 ⟹ 5 ≤ 𝑡 ≤ 25
Este rango para el parámetro t coincide si planteamos lo mismo para 𝑓1 en el nodo A,
veamos:
0 ≤ 𝑡 − 5 ≤ 20 ⟹ 5 ≤ 𝑡 ≤ 25
Como este rango es el menor de todos, cumple la solución paramétrica si analizamos los
valores en cada nodo. Luego, el valor final del parámetro t valido para este ejercicio es:
5 ≤ 𝑡 ≤ 25
En el siguiente gráfico mostramos las diferentes soluciones paramétricas y el rango de
valores que puede tomar el parámetro t para que tenga sentido en nuestro problema:
El área sombreada representa el rango de valores para el parámetro t, previamente
analizados.

6. D)
La gráfica de este sistema de ecuaciones sería muy difícil ya que, como tenemos 4 variables
necesitaríamos realizar la representación en la cuarta dimensión, lo cual resulta casi
imposible.
E)
Para encontrar un conjunto de soluciones particulares, asignamos un valor real arbitrario a
la variable libre, es decir, al parámetro “t”, y las restantes variables que definidas mediante
la asignación mencionada.
Entonces:
Asignamos un valor a la variable libre, es decir, por ejemplo:
𝑓4 = 5
Y luego obtenemos el valor de las variables restantes, es decir:
𝑓1 = 0
𝑓2 = 20
𝑓3 = 25
Volvemos al sistema de ecuaciones equivalente obtenido, para verificar la solución
particular.
Luego reemplazando estos valores en nuestro sistema de ecuaciones equivalentes,
deberíamos comprobar la solución particular.
Como puede verse, el conjunto de las soluciones particulares satisfacen nuestro sistema de
ecuaciones.
F)
Analizando el problema de los flujos con 𝑓1 = 100
10 + 10 − 100 − 𝑓2 = 0
100 + 𝑓3 − 20 − 5 = 0
15 + 15 − 𝑓3 − 𝑓4 = 0
𝑓2 + 𝑓4 − 10 − 15 = 0

7. Tenemos que:
{
𝑓2 = −80
𝑓3 = −75
𝑓3 + 𝑓4 = 30
𝑓2 + 𝑓4 = 25
Completando y ordenando tenemos:
0𝑓1 + 𝑓2 + 0𝑓3 + 0𝑓4 = −80
0𝑓1 + 0𝑓2 + 𝑓3 + 0𝑓4 = −75
0𝑓1 + 0𝑓2 + 𝑓3 + 𝑓4 = 30
0𝑓1 + 𝑓2 + 0𝑓3 + 𝑓4 = 25
Podemos ver que el rango es menor que el número de variables por lo que estamos en
presencia de un sistema con infinitas soluciones, pero si miramos el grafico y analizamos el
contexto del problema, el planteo nos es coherente. Como podría ser posible un flujo
resultante 𝑓1 = 100 a partir de dos flujos entrantes de 10? Si bien un problema planteado
puede tener un resultado numérico valido, puede no existir un resultado coherente si se
analiza la situación desde su contexto.

8. G)
Si: 𝑓4 = 0
Volviendo nuevamente al sistema de ecuaciones equivalente:
De este nuevo sistema se puede deducir que el valor de 𝑓1 es:
𝑓1 = −5
Si bien, el conjunto de los valores 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 𝑦 𝑓4f1, satisfacen el sistema de ecuaciones
lineales, el valor de 𝑓1, no representa un resultado razonable, ya que lo que estamos
expresando en cada nodo (A, B, C y D) es la cantidad de agua que pasa por cada tubería, es
decir, caudal. En este sentido, tanto los valores de la cantidad de fluido que entran por las
diferentes tuberías a un nodo, como la que sale del mismo, están expresados en valores
positivos ya no estamos teniendo en cuenta la dirección del mismo, solo comenzamos
planteando “la cantidad de fluido que ingresa a un nodo, es igual a la que sale del mismo”.
Por lo tanto podemos decir que este conjunto de valores para cada variable, no forman un
conjunto de soluciones particulares para este caso.